1、6.2.4 向量的数量积 一只猴子捡到一把钝刀，连小树也砍不断于是它向砍柴人请教砍柴人说：“把刀放到石头上磨一磨”于是猴子高兴地飞奔回去，立刻把刀放在一块石头上拼命地磨直到它发现刀口和刀背差不多厚了，便停了下来结果当然是失败的难道猴子没有做功吗？不难道猴子没有用心吗？也不是物理中的做功在数学中叫做什么？又是如何表示的呢？ 第一阶段 课前自学质疑 感知新课 确定重点 素养导学 数量积、夹角、投影、模 预习关键词 深度预习 分步思考 1两向量的夹角与垂直 (1)夹角：已知两个 a，b，O 是平面上的任意一点， 作OAa，OBb，则 (0)叫做向量 a 与 b 的夹角 向量 a 与 b 的夹角的范围
2、是 0. 当 0 时，a 与 b 当 时，a 与 b (2)垂直：如果 a 与 b 的夹角是2，则称 a 与 b 垂直，记作 ab. 非零向量 反向 同向 AOB 小题体验 已知向量 a，b 的夹角为3，试求下列向量的夹角： 解：(1)a，b；(2)2a，23b. (1)向量a，b 的夹角为23. (2)向量 2a，23b 的夹角为3. 2向量的数量积的概念 条件 非零向量 a 与 b，a 与 b 的夹角为 结论 数量|a|b|cos 叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积) 记法 向量 a 与 b 的数量积记作 a b，即 a b|a|b|cos 规定 零向量与任一向量的数量积为 0 3.投
3、影向量 (1)条件：向量 a 与 b 的夹角为 (0，)，设与 b 方向 相同的单位向量为 e. (2)投影向量：向量 a 在 b 方向上的投影向量OM1|a|cos e. 小题体验 判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)向量 a 在向量 b 上的投影一定是正数( ) (2)一个向量在另一个向量方向上的投影向量是一个向量( ) 4向量数量积的重要性质 设 a，b 是非零向量，它们的夹角为 .e 是与 b 方向相同的单位向量， 则 (1)a ee a|a|cos . (2)aba b0. (3)当 a，b 同向时，a b|a|b|；当 a，b 反向时，a b|a|b|. 特别地，a a|a|
4、2或|a| a a. (4)|a b|a|b|. 5平面向量数量积的运算律 交换律 a bb a 对数乘的结合律 (a) b(a b)a (b) 分配律 (ab) ca cb c 小题体验 判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)向量的数量积运算满足(a b) ca (b c) ( ) (2)已知 a0，且 a ca b，则 bc. ( ) (3)(a b) (a) b. ( ) 预习验收 衔接课堂 1已知|a|1，|b|2，a 与 b 的夹角为3，则 a b 等于( ) A1 B2 C3 D4 【答案】A 【解析】a b1 2 cos31，故选 A. 2在等腰直角三角形 ABC 中，若C9
5、0 ，AC 2， 则BA BC的值等于( ) A2 B2 C2 2 D2 2 【答案】B 【解析】BA BC|BA|BC|cosABC2 2 cos 45 2. 3已知非零向量 m，n 满足 4|m|3|n|，cosm，n13. 若 n(tmn)，则实数 t 的值为( ) A4 B4 C94 D94 B 4在ABC 中，ABa，BCb，且 a b0， 则ABC 是( ) A锐角三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D钝角三角形 D 1了解平面向量数量积的物理背景 2掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解投影向量 (重点、难点) 3会用两个向量的数量积求两个向量的夹角(重点) 第二阶段 课堂探
6、究评价 素养目标 1数学运算； 2数学抽象 学科素养 探究归纳 1 求两向量的数量积 切入命题点 【例 1】 已知向量 a，b 的夹角为 60 ，且|a|2，|b|1， 若 c2ab，da2b， 求：(1)c d；(2)|c2d|. 解：(1)c d(2ab) (a2b)2a22b23a b 2 42 13 2 1129. (2)|c2d|2(4a3b)216a29b224a b 16 49 124 2 11297， |c2d| 97. 总结核心点 求向量数量积的方法 定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式 a b|a|b|cos . 训练得分点 已知|a|3，|b|4，a 与 b 的
7、夹角为34，求： (1)(3a2b) (a2b)； (2)|ab|. 解：(1) (3a2b) (a2b)3a28a b4b2 3 328 3 4cos344 429148 2. (2)|ab| (ab)2 a22a bb2 322 3 4cos3442 2512 2. 探究归纳 2 求向量的模 切入命题点 【例 2】 已知|a|1，|b|3，且|ab|2，求|ab|. 解：方法一：|ab|2(ab)2a22a bb2192a b4， a b3. |ab|2(ab)2a22a bb212 3916， |ab|4. 方法二：|ab|2(ab)2a22a bb2， |ab|2(ab)2a22a b
8、b2， |ab|2|ab|22a22b22 12 920. 又|ab|2， |ab|216， |ab|4. 总结核心点 根据数量积的定义 a aa2或|a| a a，这是求向量模的一种方法，即要求一个向量的模，先求这个向量与自身的数量积(一定非负)，再求它的算术平方根对于复杂的向量也是如此例如，求|ab|，可先求|ab|2(ab)2，再取其算术平方根，即为|ab|. 训练得分点 已知|a|b|5，向量 a 与 b 的夹角为3，求|2ab|，|a2b|. 解：a b|a|b|cos 5512252， |2ab| 2ab2 4|a|24a b|b|2425425225 5 7. |a2b| a2b
9、2 |a|24a b4|b|2254252425 5 3. 探究归纳 3 求向量的夹角 切入命题点 【例 3】 已知|a|5，|b|4，若 a b10，则 a 与 b 的夹角 . 【答案】23 【解析】cos a b|a|b|105 412，因为 0，所以 23. 【例 4】 已知|a|b|2，且 a 与 b 的夹角为 60 ，设 ab 与 a 的 夹角为 ，ab 与 a 的夹角是 ，求 . 解：如图，作OAa，OBb，且AOB60 ， 以 OA，OB 为邻边作 OACB， 则OCab，BAOAOBab，BCOAa. 因为|a|b|2，AOB60 ，所以OAB 为正三角形， 所以OAB60 A
10、BC， 即 ab 与 a 的夹角 60 . 因为|a|b|，所以平行四边形 OACB 为菱形， 所以 OCAB，所以COA90 60 30 ， 即 ab 与 a 的夹角 30 ，所以 90 . 【例 5】 已知|a|b|2，(a2b) (ab)2，求 a 与 b 的夹角 解：(a2b) (ab)|a|22|b|2a b2，|a|b|2， a b2. 设 a 与 b 的夹角为 ，cos a b|a|b|12. 又0，3. 总结核心点 1利用公式 cos a b|a|b|求出夹角的余弦值，从而求得夹角可以直接求出 a b 的值及|a|， |b|的值， 然后代入求解， 也可以寻找|a|， |b|，a
11、 b 三者之间的关系，然后代入求解 2求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作、二证、三算”的步骤求出 训练得分点 1若非零向量 a，b 满足|a|b|，(2ab) b0， 则 a 与 b 的夹角为( ) A30 B60 C120 D150 【答案】C 【解析】(2ab) b2a bb22|a|b| cosa，b|b|20， |a|b|0， 2cosa，b10， cosa，b12，a 与 b 的夹角为 120 . 2试指出图中向量的夹角 解：AOB 为两向量OA与OB的夹角； OA与OB的夹角为 0 ，两向量同向； OA与OB的夹角为 180 ，两向
12、量反向； 两向量OA与AB的夹角为 . 探究归纳 4 向量数量积的运算性质 切入命题点 【例 6】 设 a，b，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线， 给出下列结论： a cb c(ab) c； (b c) a(c a) b 不与 c 垂直； |a|b|ab|； (3a2b) (3a2b)9|a|24|b|2. 其中正确结论的序号是 【解析】根据数量积的分配律知正确； 因为(b c) a(c a) b c(b c) (a c)(c a) (b c)0， (b c) a(c a) b 与 c 垂直，错误； 因为 a，b 不共线，所以|a|，|b|，|ab|组成三角形的三边， |a|b|0. 但
13、当 k1 时，两向量夹角为 0 ，与题意不符，舍去 综上，k 的取值范围为(0,1)(1，) 总结核心点 向量 a，b 的夹角为锐角，得到 a b0；反之，a b0不能说明 a，b 的夹角为锐角，因为 a，b 夹角为 0时也有 a b0.同理，向量 a，b 的夹角为钝角，得到a b0；反之，a b0 不能说明 a，b 的夹角为钝角，因为 a，b 夹角为 180 时也有 a b0. 训练得分点 已知|a|3，|b|2，向量 a，b 的夹角为 60 ，c3a5b， dma3b，求 m 为何值时，c 与 d 垂直 解：由已知得 a b3 2 cos 60 3. 若 cd，则 c d0， c d(3a5b) (ma3b)3ma2(5m9)a b15b2 27m3(5m9)6042m870， m2914，即当 m2914时，c 与 d 垂直
