1、第 1 页，共 19 页 2021-2022 学年学年人教版人教版九年级（上）期中数学九年级（上）期中数学模拟模拟试卷试卷（一）（一） 一、选择题（本大题共 12 小题，共 36 分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 2. 将方程22 8 1 = 0配方的结果是( ) A. (2 4)2= 1 B. 2( 2)2= 9 C. 2( 2)2= 1 D. 2( 2)2= 5 3. 如图，、与 相切于、， = 50， 点是圆上异于、的一动点，则的度数 是( ) A. 65 B. 115 C. 65和115 D. 130和50 4. 下列一元二次方
2、程中，有实数根的是( ) A. 2 2= 0 (是实数) B. 2 + 2020 = 0 C. 2 2 + 3 = 0 D. 22+ + 1 = 0 5. 如图，二次函数 = 2 4 + 3的图象交轴于，两点，交轴于，则 的面积为( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 1 6. 如图，为 的直径，弦 于点，连 接，若 = 80，则的度数为( ) A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 7. 已知一元二次方程2+ + = 0有一个根为1，那么: 的值是( ) A. 1 B. 1 C. 0 D. 2 8. 在如图4 4的正方形网格中， 绕某点旋转一定的角度， 得到 111， 则其旋转中
3、心可能是( ) 第 2 页，共 19 页 A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 9. 函数 = 2+ + 和 = + 在同一坐标系中的图象大致是( ) A. B. C. D. 10. 如图， 已知 中， = 90， = 6， = 4， 将 绕直角顶点顺时针旋转90得到 . 若点是的中点，连接，则 = ( ) A. 4 B. 5 C. 42 D. 6 11. 如图， 是 的直径， 弦 于， 连接， 过点作 于， 若 = 8， = 5， 则 的长度是( ) A. 25 B. 4 C. 5 D. 3 12. 二次函数 = 2+ + ( 0)的部分图象如图 所示，图象过点(1,0)，对称轴为直线 =
4、 1，下列结论： 0 0时，1 3 其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共 6 小题，共 18 分） 13. 矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是_ 14. 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是 。 第 3 页，共 19 页 15. 如图，在 中， = 1， = = 3 2.将 绕点逆时针方向 旋转90，得到，连接.则线段的长为_ 16. 某超市销售一种水果，若每千克盈利10元，则每天可销售500千克经 市场调查，若每千克涨价1元，日销售量减少20千克，现超市要保证每 天盈利6000元设每千克涨价元，可列方程
5、为_ 17. 抛物线 = 4( 2)2与轴的交点坐标是_ 18. 如图，在正方形中， = 5，点在边上， = 1， 和 关于所在的直线对称， 将 绕点顺时针旋转90得 ，连接，则线段的长度为_ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 63 分） 19. 某公司经过市场调查发现，该公司生产的某商品在第天的 售价(1 100)为( + 30)元/件， 而该商品每天的销量满 足关系式 = 200 2.如果该商品第15天的售价按8折出售，仍然可以获得20%的利润 (1)求该公司生产每件商品的成本为多少元 (2)问销售该商品第几天时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 20. 关于的一元二次方程2+ (2 +
6、 1) + 2 1 = 0有两个不相等的实数根 (1)求的取值范围 (2)设1，2是方程的两根且1 2 + 2 2 + 12 17 = 0，求的值 第 4 页，共 19 页 21. 如图， 每个小方格都是边长为1个单位的小正方形， ， ， 三点都是格点(每个小方格的顶点叫格点) (1)找出格点，连接，使得四边形为菱形； (2)画出菱形绕点逆时针旋转90后的菱形111，并求点旋转到点1所经过的路线长 22. 如图，在 中，是 上的一点， = 120，弦 = 23，弦平分交于点，连接 ， (1)求 半径的长； (2)试探究线段，之间的数量关系，并证明你的结论 第 5 页，共 19 页 23. 【问
7、题发现】如图所示，四边形为正方形，为其对角线，在边上取点，作/，则 此时，的数量关系为_， 的形状为_ 【拓展延伸】如图所示，将 绕点顺时针旋转，旋转角为(0 30)，请问此时线段、 的位置关系与数量关系是什么？说出你的理由； 【类比探究】 当旋转角为45时， 与的关系是_； 若 = 2， = 3， 连接， 则 的面积为_ 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 = 2+ + 与直线相交于、两点，其中 (3,4)(0,1) (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为直线下方抛物线上的任意一点，连接，求 面积的最大值； 第 6 页，共 19 页 (3)在抛物线对称轴上找一点，使点、三点构成
8、的图形是直角三角形，求点的坐标 答案和解析答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意 故选： 根据中心对称图形与轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重 合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合 2.【答案】 【解析】解：方程整理得：2 4 = 1 2， 配方
9、得：2 4 + 4 = 1 2 + 4，即( 2)2= 9 2， 2( 2)2= 9 故选： 方程移项整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断 此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 3.【答案】 【解析】解：连接，则 = = 90， = 360 90 90 50 = 130， 应分为两种情况： 第 7 页，共 19 页 当点在优弧上时， = 1 2 = 65； 当点在劣弧上时， = 180 65 = 115； 故选 C 连接，当点在优弧上时，由圆周角定理可求得 = 65，当点在劣弧上时，由圆内接四边 形的对角互补可求得 = 115.故本题有两种情况两个答
10、案 本题利用了四边形的内角和为360度，圆周角定理，圆内接四边形的性质求解 4.【答案】 【解析】解：、= ()2 4 1 (2) = 52 0，有实数根； B、= 12 4 1 2020 = 8079 0，没有实数根； C、= (2)2 4 1 3 = 8 0，没有实数根； D、= 12 4 2 1 = 1 42 0时， 方程有两个不相等的实数根；当= 0时，方程有两个相等的实数根；当 0， 0时，直线过一、二、三象限，抛物线开口向上且对称轴在轴左侧，A正确； 当 0， 0时，直线过二、三、四象限，抛物线开口向下，对称轴在轴左侧，D 错误 故选： 根据每一个图象中，、的符号是否相符，逐一排除
11、 主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题 10.【答案】 【解析】解：如图所示：取的中点，连接 由旋转的性质可知： = = 4， = = 6， = 2， = 2 = 4 点为的中，点为的中点， = 1 2 = 3，/ 又 ， 在 中，依据勾股定理可知 = 2+ 2= 5 故选： 取的中点，连接.依据旋转的性质知 = = 4， = = 6，则 = 2，由是的中点可求 得 = 4，然后利用三角形的中位线定理可得到 = 3，最后在 中依据勾股定理求解即可 本题主要考查的是旋转的性质、勾股定理的应用、三角形中位线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题 的关键 第 10 页，
12、共 19 页 11.【答案】 【解析】解：连接、， ， = 8， = = 1 2 = 4()， ， = ， = ， = 5， = 2 = 25()， 由勾股定理得： = 2 2= 2()， 在 中，2= 2+ 2，即2= ( 2)2+ 42， 解得： = 5， = = 5 2 = 3()， 故选： 连接、，根据垂径定理求出，根据三角形中位线定理求出，根据勾股定理求出，再根据勾股 定理计算，得到答案 本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是 解题的关键 12.【答案】 【解析】 【分析】 考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次
13、函数图象与系数的关系二次函数 = 2+ + 系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、与轴的交点有关 由对称轴和抛物线与轴的交点判断，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对其余所 得结论进行判断 【解答】 解：对称轴位于轴的右侧，则，异号，即 0 0 故正确； 第 11 页，共 19 页 抛物线开口向下， 0 抛物线的对称轴为直线 = 2 = 1， = 2 = 1时， = 0， + = 0， 而 = 2， = 3， = 2 + 3 = 0， 即 0时，1 0， 解得： 5 4， (2)根据题意得： 1+ 2= (2 + 1)，12= 2 1， 1 2 + 2 2 + 12 17 =
14、(1+ 2)2 12 17 = (2 + 1)2 (2 1) 17 = 0， 解得：1= 5 3，2 = 3(不合题意，舍去)， 的值为5 3 【解析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式 (1)根据“关于的一元二次方程2+ (2 + 1) + 2 1 = 0有两不相等的实数根”， 结合判别式公式， 得 到关于的不等式，解之即可， (2)根据“1，2是方程的两根且1 2 + 2 2 + 12 17 = 0”，结合根与系数的关系，列出关于的一元二次 方程，解之，结合(1)的结果，即可得到答案 第 15 页，共 19 页 21.【答案】(1)画图如右图 (2) = 42+ 42= 42； 旋转到1
15、所经过的路线长= 9042 180 = 22. 【解析】 在网格中画旋转90的图形， 要充分运用网格里的垂足关系， 画完以后， 要会判断， 是否符合题意 22.【答案】解：(1)连接、，过作 于点，如图1， = 120， = 180 = 60， = 2 = 120， = 1 2 = 60， = 23， = 1 2 = 3， = 60 = 3 3 2 = 2， 故 的半径为2； (2) + = ，理由如下： 在上截取 = ，连接，如图2， 第 16 页，共 19 页 = 120，平分， = = 60， = ， 是等边三角形， = = ， = 60， + = 60， = 60， + = 60， =
16、 ， = = 60， = = 60， 是等边三角形， = ， ()， = ， + = ， + = 【解析】(1)连接、，过作 于点，由圆内接四边形的性质求得，再求得，最后 解直角三角形得便可； (2)在上截取 = ，连接，证明 = ，再证明 ，得 = ，进而得结论 本题是主要考查圆周角定理，垂径定理，角平分线定义，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与 判定，解直角三角形，内容较多，有一定难度，第一题关键在于求的度数，第二题的关键在于构造全 等三角形 23.【答案】 = 等腰直角三角形 / 9 2 【解析】解：【问题发现】如图四边形是正方形， = ， = 90， 第 17 页，共 19 页
17、 = = 45， /， = = 45， = = 45， = ， = ， 是等腰直角三角形， 故答案为： = ，等腰直角三角形 【拓展延伸】 ， = ， 理由：如图，延长、交于点，延长交于点， 由【问题发现】得， = ， = ， 由旋转得， = = ， ()， = ， = ； = 180 = 90， + = + = 90， = 90， 【类比探究】如图，当旋转角为45时，则 = = 45， = 45， = ， /； = = 45， = 45， = ， /， 点、点到直线的距离相等， 、 在公共边上的高相等， 与 面积相等， = = 3， = = 1 2 3 3 = 9 2， 故答案为：/，9 2
18、 【问题发现】由正方形的性质和两条直线平行，内错角相等可证明 = = 45，可得 = ， 是等腰直角三角形； 【拓展延伸】由旋转得， = = ，进而证明 ，得 = ， = ，然 后证明 + = + = 90，可证得 ； 第 18 页，共 19 页 【类比探究】由 = = 45，可证明/；由 = = 45，可证明/，可知 = ，求得 的面积 此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、旋转的特征、两 条直线垂直的证明等知识与方法，其中【类比探究】中的三角形的面积的求法不只一种，可从不同角度探 究问题的答案 24.【答案】解：(1)将点(3,4)，(0,1)代入函
19、数解析式得， 9 3 + = 4 = 1 ，解得： = 4 = 1， 抛物线的解析式 = 2+ 4 1 (2)设直线的解析式为 = + ，则 3 + = 4 = 1 ，解得： = 1 = 1， 直线的解析式为 = 1， 过点作轴的垂线交直线与点， 设点(,2+ 4 1)，则(, 1)， = 1 (2+ 4 1) = 2 3， = + = 1 2 ( ) + 1 2 ( ) = 1 2 ( )， = 1 2 (2 3) 3 = 3 2( + 3 2) 2 + 27 8 ， = 3 2时，有最大值，为 27 8 (3)由 = 2+ 4 1知对称轴为直线 = 2， 设点(2,)， (3,4)，(0,
20、1)， 2= 1 + ( + 4)2，2= 4 + ( + 1)2，2= 9 + 9 = 18， 当点为直角顶点时，2+ 2= 2， 1 + ( + 4)2+ 18 = 4 + ( + 1)2， 解得： = 5， 点(2,5)， 当点为直角顶点时，2+ 2= 2， 4 + ( + 1)2+ 18 = 1 + ( + 4)2， 解得： = 3， 点(2,3)， 当点为直角顶点时，2+ 2= 2， 4 + ( + 1)2+ 1 + ( + 4)2= 18， 第 19 页，共 19 页 解得： = 5 2 17 2 或 = 5 2 + 17 2 ， 点(2, 5 2 17 2 )或(2, 5 2 + 17 2 )， 综上所述，点的坐标为(2,5)或(2,3)或(2, 5 2 17 2 )或(2, 5 2 + 17 2 ). 【解析】(1)将点和点的坐标代入函数解析式求解即可； (2)先求直线的解析式， 过点作轴的垂线交直线于点， 然后设点的坐标， 得到点的坐标， 求得， 再表示 的面积，最后求面积的最大值； (3)先求对称轴，再设点的坐标，最后利用两点间的距离公式结合勾股定理进行分类计算，进而求得点的 坐标 本题考查了二次函数的解析式、三角形的面积、勾股定理，解题的关键是准确作出对应的辅助线和分类讨 论
