1、2020-2021 学年河南省郑州市巩义市西学区九年级（上）期中数学试卷学年河南省郑州市巩义市西学区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2已知 m 是方程 x2x20 的一个根，则代数式 m2m+2 的值等于（ ） A4 B1 C0 D1 3已知点 P 关于 x 轴的对称点 P1的坐标是（2，3） ，那么点 P 关于原点的对称点 P2的坐标是（ ） A （3，2） B （2，3） C （2，3） D （2，3）
2、 4用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A2m2+m10 化为 Bx26x+40 化为（x3）25 C2t23t20 化为 D3y24y+10 化为 5下列语句中正确的是（ ） A长度相等的两条弧是等弧 B平分弦的直径垂直于弦 C相等的圆心角所对的弧相等 D经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 6当 ab0 时，yax2与 yax+b 的图象大致是（ ） A B C D 7如图，在正方形 ABCD 中，ABE 经旋转，可与CBF 重合，AE 的延长线交 FC 于点 M，以下结论正 确的是（ ） ABECE BFMMC CAMFC DBFCF 8如图，在ABC 中，ABC90，AB8cm，
3、BC6cm动点 P，Q 分别从点 A，B 同时开始移动， 点 P 的速度为 1cm/秒，点 Q 的速度为 2cm/秒，点 Q 移动到点 C 后停止，点 P 也随之停止运动下列时 间瞬间中，能使PBQ 的面积为 15cm2的是（ ） A2 秒钟 B3 秒钟 C4 秒钟 D5 秒钟 9 （非课改）已知 ， 是关于 x 的一元二次方程 x2+（2m+3）x+m20 的两个不相等的实数根，且满足 +1，则 m 的值是（ ） A3 B1 C3 或1 D3 或 1 10若二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴的交点坐标分别是（m，0） ， （n，0） ，且 mn，图象上 有一点 M（p，q）
4、在 x 轴下方，对于以下说法：b24ac0；xp 是方程 ax2+bx+cq0 的解； mpn；a（pm） （pn）0，对于以上说法正确的是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11若|b1|+0，且一元二次方程 kx2+ax+b0 有实数根，则 k 的取值范围是 12已知抛物线 yx22（k+1）x+16 的顶点在 x 轴上，则 k 的值是 13某药品原价每盒 25 元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒 16 元，则该药品平均每次降价的百分率是 14当2x1 时，
5、二次函数 yx2+kx1 的最大值是 1，则 k 的值可能是 15如图，RtOAB 的顶点 A（2，4）在抛物线 yax2上，将 RtOAB 绕点 O 顺时针旋转 90，得到 OCD，边 CD 与该抛物线交于点 P，则点 P 的坐标为 三三.解答题（共解答题（共 75 分）分） 16 （8 分）解方程： （1）2x2+37x； （2） （2x+1）2+4（2x+1）+30 17 （6 分）如图，C90，以 AC 为半径的圆 C 与 AB 相交于点 D若 AC3，CB4，求 BD 长 18 （8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k+1）x+4（k）0 （1）判断这个一元二次方程的根的情
6、况； （2）若等腰三角形的一边长为 3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及 面积 19 （8 分）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点的坐标分别为 A（1，5） 、B（1，1） 、C（3， 1） 将ABC 向右平移 2 个单位、再向下平移 4 个单位得到A1B1C1；将A1B1C1绕原点 O 旋转 180 得到A2B2C2 （1）按要求画出图形； （2）请直接写出点 C1和 C2的坐标； （3）请直接写出线段 A1A2的长 20 （9 分）如图，在ABC 中，ABAC2，BAC45，AEF 是由ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 得到的，连接 BE、CF 相交于点
7、 D （1）求证：BECF； （2）探究旋转角等于多少度时，四边形 ABDF 为菱形，证明你的结论； （3）在（2）的条件下，求 CD 的长 21 （12 分）某汽车租赁公司拥有 20 辆汽车据统计，当每辆车的日租金为 400 元时，可全部租出；当每 辆车的日租金每增加 50 元，未租出的车将增加 1 辆；公司平均每日的各项支出共 4800 元设公司每日 租出 x 辆车时，日收益为 y 元 （日收益日租金收入平均每日各项支出） （1）公司每日租出 x 辆车时，每辆车的日租金为 元（用含 x 的代数式表示） ； （2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ （3）当每日租出多少辆
8、时，租赁公司的日收益不盈也不亏？ 22 （12 分）一位同学拿了两块 45三角尺MNK，ACB 做了一个探究活动：将MNK 的直角顶点 M 放在ABC 的斜边 AB 的中点处，设 ACBC4 （1）如图 1，两三角尺的重叠部分为ACM，则重叠部分的面积为 ，周长为 （2）将图 1 中的MNK 绕顶点 M 逆时针旋转 45，得到图 2，此时重叠部分的面积为 ，周长 为 （3） 如果将MNK绕M旋转到不同于图1和图2的图形， 如图3， 请你猜想此时重叠部分的面积为 （4）在图 3 情况下，若 AD1，求出重叠部分图形的周长 23 （12 分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 ABC 放在
9、第二象限，斜靠在两坐标轴上，且 点 A（0，2） ，点 C（1，0） ，如图所示：抛物线 yax2+ax2 经过点 B （1）求点 B 的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点 P（点 B 除外） ，使ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形？若 存在，求所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形
10、的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确 故选：D 2已知 m 是方程 x2x20 的一个根，则代数式 m2m+2 的值等于（ ） A4 B1 C0 D1 【分析】把 xm 代入方程 x2x20 求出 m2m2，代入求出即可 【解答】解：把 xm 代入方程 x2x20 得： m2m20， m2m2， 所以 m2m+22+24 故选：A 3已知点 P 关于 x 轴的对称点 P1的坐标是（2，3） ，那么点
11、 P 关于原点的对称点 P2的坐标是（ ） A （3，2） B （2，3） C （2，3） D （2，3） 【分析】平面直角坐标系中任意一点 P（x，y） ，关于 x 轴的对称点的坐标是（x，y） ，关于 y 轴的对称 点的坐标是（x，y） ，关于原点的对称点是（x，y） 【解答】解：点 P 关于 x 轴的对称点 P1的坐标是（2，3） ， 点 P 的坐标是（2，3） 点 P 关于原点的对称点 P2的坐标是（2，3） 故选 D 4用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A2m2+m10 化为 Bx26x+40 化为（x3）25 C2t23t20 化为 D3y24y+10 化为 【分析】各项
12、中的方程变形得到结果，即可做出判断 【解答】解：A、2m2+m10，变形得：m2+m， 配方得：m2+m+，即（m+）2，本选项正确； B、x26x+40，移项得：x26x4， 配方得：x26x+95，即（x3）25，本选项正确； C、2t23t20，变形得：t2t1， 配方得：t2t+，即（t）2，本选项错误； D、3y24y+10，变形得：y2y， 配方得：y2y+，即（y）2，本选项正确 故选：C 5下列语句中正确的是（ ） A长度相等的两条弧是等弧 B平分弦的直径垂直于弦 C相等的圆心角所对的弧相等 D经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 【分析】根据等弧的定义对 A 进行判断；根据垂径
13、定理对 B 进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对 C 进行判断；根据圆的对称性对 D 进行判断 【解答】解：A、能完全重合的两条弧是等弧，所以 A 选项错误； B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以 B 选项错误； C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以 C 选项错误； D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，所以 D 选项正确 故选：D 6当 ab0 时，yax2与 yax+b 的图象大致是（ ） A B C D 【分析】根据题意，ab0，即 a、b 同号，分 a0 与 a0 两种情况讨论，分析选项可得答案 【解答】解：根据题意，ab0，即 a、b 同号， 当 a0 时，b0，
14、yax2与开口向上，过原点，yax+b 过一、二、三象限； 此时，没有选项符合， 当 a0 时，b0，yax2与开口向下，过原点，yax+b 过二、三、四象限； 此时，D 选项符合， 故选：D 7如图，在正方形 ABCD 中，ABE 经旋转，可与CBF 重合，AE 的延长线交 FC 于点 M，以下结论正 确的是（ ） ABECE BFMMC CAMFC DBFCF 【分析】根据旋转的性质可得ABECBF，根据全等三角形的性质以及 E 是 BC 上任意一点即可作 出判断 【解答】解：因为 E 是 BC 上任意一点，E 不一定是 BC 的中点，故选项 A 错误； 根据旋转的性质可得ABECBF，则
15、AEBF， 又直角ABE 中，BAE+AEB90， BAE+F90， AMF90， AMFC，故 C 正确； E 是 BC 上任意一点，BFBE，则 AC 和 AF 不一定相等，则 M 不一定是 FC 的中点，则 B 错误； BFBC， BFCF 一定错误，故 D 错误 故选：C 8如图，在ABC 中，ABC90，AB8cm，BC6cm动点 P，Q 分别从点 A，B 同时开始移动， 点 P 的速度为 1cm/秒，点 Q 的速度为 2cm/秒，点 Q 移动到点 C 后停止，点 P 也随之停止运动下列时 间瞬间中，能使PBQ 的面积为 15cm2的是（ ） A2 秒钟 B3 秒钟 C4 秒钟 D5
16、 秒钟 【分析】设出动点 P，Q 运动 t 秒，能使PBQ 的面积为 15cm2，用 t 分别表示出 BP 和 BQ 的长，利用 三角形的面积计算公式即可解答 【解答】解：设动点 P，Q 运动 t 秒后，能使PBQ 的面积为 15cm2， 则 BP 为（8t）cm，BQ 为 2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得， （8t）2t15， 解得 t13，t25（当 t5 时，BQ10，不合题意，舍去） 动点 P，Q 运动 3 秒时，能使PBQ 的面积为 15cm2 故选：B 9 （非课改）已知 ， 是关于 x 的一元二次方程 x2+（2m+3）x+m20 的两个不相等的实数根，且满足 +1，则
17、m 的值是（ ） A3 B1 C3 或1 D3 或 1 【分析】由于方程有两个不相等的实数根可得0，由此可以求出 m 的取值范围，再利用根与系数的 关系和+1，可以求出 m 的值，最后求出符合题意的 m 值 【解答】解：根据条件知： +（2m+3） ，m2， 1， 即 m22m30， 所以，得， 解得 m3 故选：A 10若二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴的交点坐标分别是（m，0） ， （n，0） ，且 mn，图象上 有一点 M（p，q）在 x 轴下方，对于以下说法：b24ac0；xp 是方程 ax2+bx+cq0 的解； mpn；a（pm） （pn）0，对于以上说法正确的
18、是（ ） A B C D 【分析】根据抛物线与 x 轴有两个不同的交点，根的判别式0，再分 a0 和 a0 两种情况对选 项讨论即可得解 【解答】解：二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴的交点坐标分别是（m，0） ， （n，0） ， b24ac0，yax2+bx+ca（xm） （xn） ，故正确； 图象上有一点 M（p，q）在 x 轴下方， ya（pm） （pn）0，故正确， 图象上有一点 M（p，q）在 x 轴下方， xp 时，ax2+bx+cq， xp 是方程 ax2+bx+cq0 的解，故正确， 当 a0 时，图象上有一点 M（p，q）在 x 轴下方， mpn， 当 a0
19、 时，图象上有一点 M（p，q）在 x 轴下方， pmn 或 mnp，故错误， 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11若|b1|+0，且一元二次方程 kx2+ax+b0 有实数根，则 k 的取值范围是 k4 且 k0 【分析】根据非负数的性质求出 a、b 的值，转化成关于 k 的不等式即可解答 【解答】解：|b1|+0， b1，a4， 原方程为 kx2+4x+10， 该一元二次方程有实数根， 164k0， 解得：k4， 方程 kx2+ax+b0 是一元二次方程， k0， k 的取值范围是：k4 且 k0， 故
20、答案为：k4 且 k0 12已知抛物线 yx22（k+1）x+16 的顶点在 x 轴上，则 k 的值是 3 或5 【分析】抛物线 yax2+bx+c 的顶点纵坐标为，当抛物线的顶点在 x 轴上时，顶点纵坐标为 0， 解方程求 k 的值 【解答】解：根据顶点纵坐标公式， 抛物线 yx22（k+1）x+16 的顶点纵坐标为， 抛物线的顶点在 x 轴上时， 顶点纵坐标为 0，即0， 解得 k3 或5 故本题答案为 3 或5 13某药品原价每盒 25 元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒 16 元，则该药品平均每次降价的百分率是 20% 【分析】 设该药品平均每次降价
21、的百分率为 x，根据降价后的价格降价前的价格 （1降价的百分率） ， 则第一次降价后的价格是 25（1x） ，第二次后的价格是 25（1x）2，据此即可列方程求解 【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为 x， 由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒 16 元， 故 25（1x）216， 解得 x0.2 或 1.8（不合题意，舍去） ， 故该药品平均每次降价的百分率为 20% 14当2x1 时，二次函数 yx2+kx1 的最大值是 1，则 k 的值可能是 3 或 【分析】先求抛物线的对称轴为：xk，分三种情况讨论：当 k4 时，此时2x1 在对称轴 的右侧，y 随 x 的增大而减小，x2
22、所对应的 y 就是其最大值，列式可求得 k 的值；当2k1 时，xk 所对应的 y 就是其最大值，列式可求得 k 的值；当 k2 时，此时2x1 在对称轴的左 侧，y 随 x 的增大而增大，所以 x1 时所对应的 y 就是其最大值，同时可求得 k 的值；最后写出结论 【解答】解：二次函数 yx2+kx1 的对称轴：x， 分三种情况讨论： 当2 时，即 k4 时， 此时1x2 在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而减小， 当 x2 时，y 有最大值，y大（2）2+k（2）11， k3（舍去） ； 当21 时，即4k2， 当 x时，y 有最大值，y小（）2+k （）11， k2+k211， k2，
23、4k2， k2， 当1 时，即 k2， 此时2x1 在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大， 当 x1 时，y 有最大值，y大12+k111， k3， 综上所述，k 的值可能是 3 或2， 故答案为：3 或2 15如图，RtOAB 的顶点 A（2，4）在抛物线 yax2上，将 RtOAB 绕点 O 顺时针旋转 90，得到 OCD，边 CD 与该抛物线交于点 P，则点 P 的坐标为 （，2） 【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得 D（0，2） ，且 DCx 轴，从而求 得 P 的纵坐标为 2，代入求得的解析式即可求得 P 的坐标 【解答】解：RtOAB 的顶点 A（2，
24、4）在抛物线 yax2上， 44a，解得 a1， 抛物线为 yx2， 点 A（2，4） ， B（2，0） ， OB2， 将 RtOAB 绕点 O 顺时针旋转 90，得到OCD， D 点在 y 轴上，且 ODOB2， D（0，2） ， DCOD， DCx 轴， P 点的纵坐标为 2， 代入 yx2，得 2x2， 解得 x， P（，2） 故答案为（，2） 三三.解答题（共解答题（共 75 分）分） 16 （8 分）解方程： （1）2x2+37x； （2） （2x+1）2+4（2x+1）+30 【分析】 （1）本题可以运用因式分解法解方程因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左边为两个 一次因式相乘
25、，右边为 0，再分别使各一次因式等于 0 即可求解 （2）令 t2x+1，则原方程转化为 t2+4t+30，解该方程求得 t 的值，然后求 x 的值即可 【解答】解： （1）原方程可变形为（2x1） （x3）0 2x10 或 x30， x1，x23； （2）令 t2x+1，则原方程转化为 t2+4t+30， 整理，得 （t+1） （t+3）0， 所以 t1 或 t3， 所以 2x+11，或 2x+13， 所以 x11，x22 17 （6 分）如图，C90，以 AC 为半径的圆 C 与 AB 相交于点 D若 AC3，CB4，求 BD 长 【分析】根据勾股定理求得 AB 的长，再点 C 作 CEA
26、B 于点 E，由垂径定理得出 AE，即可得出 BD 的 长 【解答】解： （1）在三角形 ABC 中，ACB90，AC3，BC4， AB5， 点 C 作 CEAB 于点 E，则 AD2AE， CAECAB，AECACB90， ACEABC， ， AC2AEAB，即 32AE5 AE1.8， AD2AE21.83.6 BDABAD53.61.4 18 （8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k+1）x+4（k）0 （1）判断这个一元二次方程的根的情况； （2）若等腰三角形的一边长为 3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及 面积 【分析】 （1）根据方程的系数结合
27、根的判别式，可得出（2k3）20，由此即可得出该方程有两个 实数根； （2）分 3 为底边长及腰长两种情况考虑：当 3 为底边长是，由0 可求出 k 值，将其代入原方程可 求出三角形的腰长，再根据周长及面积公式可求出等腰三角形的周长及面积；当 3 为腰长时，将 x3 代入原方程可求出 k 值，代入 k 值可求出等腰三角形的底边长度，再根据周长及面积公式可求出等腰三 角形的周长及面积综上即可得出结论 【解答】解： （1）（2k+1）244（k）4k212k+9（2k3）20， 该方程有两个实数根； （2）当 3 为底边长时，（2k3）20， k， 此时原方程为 x24x+40， 解得：x1x22
28、 2、2、3 能组成三角形， 三角形的周长为 2+2+37，三角形的面积为3； 当 3 为腰长时，将 x3 代入原方程，得：93（2k+1）+4（k）0， 解得：k2， 此时原方程为 x25x+60， 解得：x12，x23 2、3、3 能组成三角形， 三角形的周长为 2+3+38，三角形的面积为22 综上所述：等腰三角形的周长为 7 或 8，面积为或 2 19 （8 分）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点的坐标分别为 A（1，5） 、B（1，1） 、C（3， 1） 将ABC 向右平移 2 个单位、再向下平移 4 个单位得到A1B1C1；将A1B1C1绕原点 O 旋转 180 得到A2B2
29、C2 （1）按要求画出图形； （2）请直接写出点 C1和 C2的坐标； （3）请直接写出线段 A1A2的长 【分析】 （1）利用平移的性质以及旋转变换的性质画出图形即可 （2）根据点的位置写出坐标即可 （3）利用勾股定理计算即可 【解答】解： （1）画图右图所示： （2）C1（1，3） ，C2（1，3） （3）A1A22 20 （9 分）如图，在ABC 中，ABAC2，BAC45，AEF 是由ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 得到的，连接 BE、CF 相交于点 D （1）求证：BECF； （2）探究旋转角等于多少度时，四边形 ABDF 为菱形，证明你的结论； （3）在（2）的条件下，求 CD
30、 的长 【分析】 （1）证明BAECAF（SAS） 可得出 BECF （2）证得 AFBE，ABCF，得出四边形 ABDF 为平行四边形，则可得出结论； （3）由勾股定理求出 CF2，由菱形的性质可得出答案 【解答】解： （1）由题意可得AEFABC BACEAF，ABACAEAF， BAC+CAEEAF+CAE 即BAECAF， 在BAE 和CAF 中， ， BAECAF（SAS） BECF （2）当旋转角为 90时，四边形 ABDF 为菱形，理由如下： 旋转角为 90， BAECAF90， BAE 与CAF 均是等腰直角三角形， ABEACF45， BAFBAE+EAF90+45135，
31、ABE+BAF45+135180， AFBE， 又BACACF45， ABCF， 四边形 ABDF 为平行四边形， ABAF 四边形 ABDF 为菱形； （3）在 RtCAF 中，ACAF2， ， 四边形 ABDF 为菱形， DFAB2 CDCFDF 21 （12 分）某汽车租赁公司拥有 20 辆汽车据统计，当每辆车的日租金为 400 元时，可全部租出；当每 辆车的日租金每增加 50 元，未租出的车将增加 1 辆；公司平均每日的各项支出共 4800 元设公司每日 租出 x 辆车时，日收益为 y 元 （日收益日租金收入平均每日各项支出） （1）公司每日租出 x 辆车时，每辆车的日租金为 （140
32、050 x） 元（用含 x 的代数式表示） ； （2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ （3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？ 【分析】 （1） 根据当全部未租出时， 每辆租金为： 400+20501400 （元） ， 得出公司每日租出 x 辆车时， 每辆车的日租金为：140050 x； （2）根据已知得到的二次函数关系求得日收益的最大值即可； （3）要使租赁公司日收益不盈也不亏，即：y0即：50 （x14）2+50000，求出即可 【解答】解： （1）某汽车租赁公司拥有 20 辆汽车据统计，当每辆车的日租金为 400 元时，可全部租 出； 当每辆车的日租
33、金每增加 50 元，未租出的车将增加 1 辆； 当全部未租出时，每辆租金为：400+20501400（元） ， 公司每日租出 x 辆车时，每辆车的日租金为： （140050 x） ； 故答案为： （140050 x） ； （2）根据题意得出： yx（50 x+1400）4800， 50 x2+1400 x4800， 50（x14）2+5000 500， 该抛物线的开口方向向下， 该函数有最大值 当 x14 时，在范围内，y 有最大值 5000 当日租出 14 辆时，租赁公司日收益最大，最大值为 5000 元 （3）要使租赁公司日收益不盈也不亏，即：y0 即：50（x14）2+50000， 解得
34、 x124，x24， x24 不合题意，舍去 当日租出 4 辆时，租赁公司日收益不盈也不亏 22 （12 分）一位同学拿了两块 45三角尺MNK，ACB 做了一个探究活动：将MNK 的直角顶点 M 放在ABC 的斜边 AB 的中点处，设 ACBC4 （1）如图 1，两三角尺的重叠部分为ACM，则重叠部分的面积为 4 ，周长为 4+4 （2）将图 1 中的MNK 绕顶点 M 逆时针旋转 45，得到图 2，此时重叠部分的面积为 4 ，周长为 8 （3） 如果将MNK绕M旋转到不同于图1和图2的图形， 如图3， 请你猜想此时重叠部分的面积为 4 （4）在图 3 情况下，若 AD1，求出重叠部分图形的
35、周长 【分析】 （1）根据 ACBC4，ACB90，得出 AB 的值，再根据 M 是 AB 的中点，得出 AMMC， 求出重叠部分的面积，再根据 AM，MC，AC 的值即可求出周长； （2）易得重叠部分是正方形，边长为AC，面积为AC2，周长为 2AC （3）过点 M 分别作 AC、BC 的垂线 MH、ME，垂足为 H、E求得 RtMHDRtMEG，则阴影部分 的面积等于正方形 CEMH 的面积 （4）先过点 M 作 MEBC 于点 E，MHAC 于点 H，根据DMHEMH，MHME，得出 RtDHM RtEMG，从而得出 HDGE，CEAD，最后根据 AD 和 DF 的值，算出 DM，即可得
36、出答案 【解答】解： （1）ACBC4，ACB90， AB4， M 是 AB 的中点， AM2， ACM45， AMMC， 重叠部分的面积是4， 周长为：AM+MC+AC2+2+44+4； 故答案为：4，4+4； （2）叠部分是正方形， 边长为42，面积为444， 周长为 248 故答案为：4，8 （3）过点 M 分别作 AC、BC 的垂线 MH、ME，垂足为 H、E， M 是ABC 斜边 AB 的中点，ACBC4， MHBC， MEAC， MHME， 又NMKHME90， NMH+HMK90，EMG+HMK90， HMDEMG， 在MHD 和MEG 中， ， MHDMEG（ASA） ， 阴影
37、部分的面积等于正方形 CEMH 的面积， 正方形 CEMH 的面积是 MEMH444； 阴影部分的面积是 4； 故答案为：4 （4）如图所示： 过点 M 作 MEBC 于点 E，MHAC 于点 H， 四边形 MECH 是矩形， MHCE， A45， AMH45， AHMH， AHCE， 在 RtDHM 和 RtGEM 中， RtDHMRtGEM GEDH， AHDHCEGE， CGAD， AD1， DH1 DM 四边形 DMGC 的周长为： CE+CD+DM+ME AD+CD+2DM4+2 23 （12 分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且
38、 点 A（0，2） ，点 C（1，0） ，如图所示：抛物线 yax2+ax2 经过点 B （1）求点 B 的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点 P（点 B 除外） ，使ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形？若 存在，求所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）根据题意，过点 B 作 BDx 轴，垂足为 D；根据角的互余的关系，易得 B 到 x、y 轴的距 离，即 B 的坐标； （2）根据抛物线过 B 点的坐标，可得 a 的值，进而可得其解析式； （3）首先假设存在，分 A、C 是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案 【解答
39、】解： （1）过点 B 作 BDx 轴，垂足为 D， BCD+ACO90，ACO+CAO90， BCDCAO， （1 分） 又BDCCOA90，CBAC， BCDCAO， （2 分） BDOC1，CDOA2， 点 B 的坐标为（3，1） ； （4 分） （2）抛物线 yax2+ax2 经过点 B（3，1） ， 则得到 19a3a2， （5 分） 解得 a， 所以抛物线的解析式为 yx2+x2； （7 分） （3）假设存在点 P，使得ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形： 若以点 C 为直角顶点； 则延长 BC 至点 P1，使得 P1CBC，得到等腰直角三角形ACP1， （8 分）
40、过点 P1作 P1Mx 轴， CP1BC，MCP1BCD，P1MCBDC90， MP1CDBC （10 分） CMCD2，P1MBD1，可求得点 P1（1，1） ； （11 分） 若以点 A 为直角顶点； 则过点 A 作 AP2CA，且使得 AP2AC，得到等腰直角三角形ACP2， （12 分） 过点 P2作 P2Ny 轴，同理可证AP2NCAO， （13 分） NP2OA2，ANOC1，可求得点 P2（2，1） ， （14 分） 以 A 为直角顶点的等腰 RtACP 的顶点 P 有两种情况即过点 A 作直线 LAC，在直线 L 上截取 AP AC 时，点 P 可能在 y 轴右侧，即现在解答情况的点 P2； 点 P 也可能在 y 轴左侧，即还有第种情况的点 P3因此，然后过 P3作 P3Gy 轴于 G，同理：AGP3 CAO， GP3OA2，AGOC1， P3为（2，3） ； 经检验，点 P1（1，1）与点 P2（2，1）都在抛物线 yx2+x2 上，点 P3（2，3）不在抛物线 上 （16 分）
