1、2020-2021 学年河南省学年河南省郑州市中原区二校联考郑州市中原区二校联考九年级（上）期中数学试卷九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1如图所示的工件的主视图是（ ） A B C D 2若 3x4y0，则的值是（ ） A B C D 3下列说法正确的是（ ） A对角线互相垂直的平行四边形是正方形 B一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 C一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 D对角线互相垂直的四边形是菱形 4关于 x 的方程（a5）x24x10 有实数根，则 a 满足（ ） Aa1 Ba1 且 a5 Ca1
2、 且 a5 Da5 5若点 A（5，y1） ，B（3，y2） ，C（2，y3）在反比例函数 y的图象上，则 y1，y2，y3的大小关系 是（ ） Ay1y3y2 By1y2y3 Cy3y2y1 Dy2y1y3 6如图，两个转盘中指针落在每个数字的机会均等现在同时自由转动甲、乙两个转盘，转盘停止后，指 针各自指向一个数字，用甲所指的数字作为横坐标 x，乙所指的数字作为纵坐标 y，则点（x，y）在反比 例函数 y图象上的概率为（ ） A B C D 7已知ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，BACADE90，如图所示放置，边 AE，AD 与 BC 交于点 M，N则图中一定相似的三角形有（ ）对
3、A2 B3 C4 D5 8如图，在ABC 中，ABC90，AB8cm，BC6cm，动点 P，Q 分别从点 A，B 同时开始移动（移 动方向如图所示） ，点 P 的速度为 1cm/s，点 Q 的速度为 2cm/s，点 Q 移动到点 C 后停止，点 P 也随之停 止运动，若使PBQ 的面积为 15cm2，则点 P 运动的时间是（ ） A2s B3s C4s D5s 9如图，顶角为 36的等腰三角形，其底边与腰之比等于 k，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰 AB 1， ABC 为第一个黄金三角形， BCD 为第二个黄金三角形， CDE 为第三个黄金三角形以此类推， 第 2020 个黄金三角形的周长
4、（ ） Ak2018 Bk2019 C Dk2019（2+k） 10如图，正方形 ABCD 中，O 为 BD 中点，以 BC 为边向正方形内作等边BCE，连接并延长 AE 交 CD 于 F，连接 BD 分别交 CE，AF 于 G，H，下列结论：CEH45；GFDE；2OH+DHBD； BGDG其中正确的结论是（ ） A B C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11如图，ABCDEF，AF 与 BE 相交于点 G，且 AG2，GD1，DF5，那么的值等于 12如图，一次函数 yk1x+b 与反比例函数 y的图象交于 A、B 两点，其横坐标分别为 1 和
5、 5，则关 于 x 的不等式 k1x+b0 的解集是 13数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高课外活动时他们在阳光下测得一根长为 1 米的竹竿的影 子是 0.9 米， 同一时刻测量树高时， 发现树的影子不全落在地面上， 有一部分影子落在教学楼的台阶上， 且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端 C 处，他们测得落在地面的影长为 1.1 米，台阶总的高度为 1.0 米，台阶水平总宽度为 1.6 米则树高为 14如图，已知平行四边形 ABCD 中，ABBC，BC10，BCD60，两顶点 B、D 分别在平面直角坐 标系的 y 轴、x 轴的正半轴上滑动，连接 OA，则 OA 的长的最小值是 15 如图
6、， 四边形 ABCD 是菱形， AB2， ABC30， 点 E 是射线 DA 上一动点， 把CDE 沿 CE 折叠， 其中点 D 的对应点为点 D，若 CD垂直于菱形 ABCD 的边时，则 DE 的长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16 （8 分）解方程： （1）3x22x20； （2）x26x+9（52x）2 17 （8 分）为了解某校落实新课改精神的情况，现以该校某班的同学参加课外活动的情况为样本，对其参 加“球类” “绘画类” “舞蹈类” “音乐类” “棋类”活动的情况进行调査统计，并绘制了如图所示的统计 图 （1）参加音乐类活
7、动的学生人数为 人，参加球类活动的人数的百分比为 ； （2）请把条形统计图补充完整； （3）若该校学生共 1600 人，那么参加棋类活动的大约有多少人？ （4）该班参加舞蹈类活动 4 位同学中，有 1 位男生（用 E 表示）和 3 位女生（分别 F，G，H 表示） ， 现准备从中选取两名同学组成舞伴，请用列表或画树状的方法求恰好选中一男一女的概率 18 （9 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k+1）x+k2+k0 求证： （1）方程总有两个不相等的实数根 （2）若等腰ABC 的两边 AB，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边 BC 的长为 5求ABC 的周 长 19 （9 分）如
8、图所示，ADBC，BAD90，以 B 为圆心，BC 长为半径画弧，与射线 AD 相交于点 E， 连接 BE，过 C 作 CFBE 于点 F （1）线段 BF 与图中哪条线段相等？写出来并加以证明： （2）若 AB12，BC13，P 从 E 沿 ED 方向运动，Q 从 C 出发向 B 运动，两点同时出发且速度均为每 秒 1 个单位 当 t 秒时，四边形 EPCQ 是矩形； 当 t 秒时，四边形 EPCQ 是菱形 20 （10 分）习近平总书记说： “读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气” 某 校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆据统计，第一个月进馆
9、128 人次， 进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆 608 人次，若进馆人次的月平均增长率相同 （1）求进馆人次的月平均增长率； （2） 因条件限制， 学校图书馆每月接纳能力不超过 500 人次， 在进馆人次的月平均增长率不变的条件下， 校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由 21 （10 分）有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹 角叫做智慧角 （1）在 RtABC 中，ACB90，若A 为智慧角，则B 的度数为 ； （2）如图，在ABC 中，A45，B30，求证：ABC 是智慧三角形； （3）如图，ABC 是智慧三角形，BC 为智慧边，B
10、 为智慧角，A（3，0） ，点 B，C 在函数 y（x 0）的图象上，点 C 在点 B 的上方，且点 B 的纵坐标为当ABC 是直角三角形时，求 k 的值 22 （10 分）如图，已知 AC 为正方形 ABCD 的对角线，点 P 是平面内不与点 A，B 重合的任意一点，连接 AP，将线段 AP 绕点 P 顺时针旋转 90得到线段 PE，连接 AE，BP，CE （1）求证：APEABC； （2）当线段 BP 与 CE 相交时，设交点为 M，求的值以及BMC 的度数； （3）若正方形 ABCD 的边长为 3，AP1，当点 P，C，E 在同一直线上时，求线段 BP 的长 23 （11 分）如图，在平
11、面直角坐标系中，已知 RtAOB 的两条直角边 OA、OB 分别在 y 轴和 x 轴上，并 且 OA、OB 的长分别是方程 x27x+120 的两根（OAOB） ，动点 P 从点 A 开始在线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 0 运动；同时，动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 运动，设点 P、Q 运动的时间为 t 秒 （1）求 A、B 两点的坐标 （2）求当 t 为何值时，APQ 与AOB 相似，并直接写出此时点 Q 的坐标 （3）当 t2 时，在坐标平面内，是否存在点 M，使以 A、P、Q、M 为顶点的四边形是平行四边形？若 存在，请直接
12、写出 M 点的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1如图所示的工件的主视图是（ ） A B C D 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形，本题找到从正面 看所得到的图形即可 【解答】解：从物体正面看，看到的是一个横放的矩形，且一条斜线将其分成一个直角梯形和一个直角 三角形 故选：B 【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混 淆而错误的选其它选项，难度适中 2若 3x4y0，则的值是（ ） A B C D 【
13、分析】根据等式性质，可用 y 表示 x，再带入所求式子，化简，可得答案 【解答】解：由 3x4y0，得 x， ， 故选：B 【点评】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出 y 表示 x 是解题关键 3下列说法正确的是（ ） A对角线互相垂直的平行四边形是正方形 B一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 C一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 D对角线互相垂直的四边形是菱形 【分析】A、根据正方形的判定方法进行判断； B、根据平行四边形的判定方法判断即可； C、根据平行四边形的判定方法判断即可； D、根据菱形的判定方法进行判断 【解答】解：A、对角线互相垂直且相等的平行四边形
14、是正方形，所以 A 选项错误 B、当一组对边平行，另一组对边相等时，该四边形可能为等腰梯形，故 B 选项错误 C、由一组对边平行，一组对角相等可得另一组对边平行，所以是平行四边形，故 C 选项正确 D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以 D 选项错误； 故选：C 【点评】本题考查平行四边形、菱形、正方形的判定，注意间接条件的应用在应用判定定理判定平行 四边形、菱形和正方形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避 免混用判定方法 4关于 x 的方程（a5）x24x10 有实数根，则 a 满足（ ） Aa1 Ba1 且 a5 Ca1 且 a5 Da5 【分析】分方
15、程为一元一次方程和一元二次方程考虑，当 a50 时，可求出 x 的值；当 a50 时， 利用根的判别式0 即可求出 a 的取值范围综上即可得出结论 【解答】解：当 a50 时，原方程为4x10， 解得：x，符合题意； 当 a50，即 a5 时，有（4）2+4（a5）4a40， 解得：a1， a 的取值范围为 a1 且 a5 综上所述，a 的取值范围为 a1 故选：A 【点评】本题考查了根的判别式，分方程为一元一次方程和一元二次方程考虑是解题的关键 5若点 A（5，y1） ，B（3，y2） ，C（2，y3）在反比例函数 y的图象上，则 y1，y2，y3的大小关系 是（ ） Ay1y3y2 By1
16、y2y3 Cy3y2y1 Dy2y1y3 【分析】直接利用反比例函数图象的分布，结合增减性得出答案 【解答】解：点 A（5，y1） ，B（3，y2） ，C（2，y3）在反比例函数 y的图象上， A，B 点在第三象限，C 点在第一象限，每个图象上 y 随 x 的增大减小， y3一定最大，y1y2， y2y1y3 故选：D 【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，正确把握反比例函数增减性是解题关键 6如图，两个转盘中指针落在每个数字的机会均等现在同时自由转动甲、乙两个转盘，转盘停止后，指 针各自指向一个数字，用甲所指的数字作为横坐标 x，乙所指的数字作为纵坐标 y，则点（x，y）在反比
17、 例函数 y图象上的概率为（ ） A B C D 【分析】先用列表法或画树状图法分析所有可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率 【解答】解：树状图如图所示 由树状图知，则点（2，3）和（3，2）在反比例函数 y图象上， 所以点（x，y）在反比例函数 y图象上的概率为， 故选：B 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所 有可能的结果，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 7已知ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，BACADE90，如图所示放置，边 AE，AD 与 BC 交于点 M，N则图中一定相似的三角形有（ ）对 A2 B3
18、 C4 D5 【分析】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案 【解答】解：依题意可知，CAMBNA，BNAANMCAM，ABCADE； 理由：ABC 与ADE 是两个全等的等腰直角三角形，BACEDA90， CBDAEE45， CMAB+MAB，NABNAM+MAB， CMABAN， CAMBNA， BNAANMCAM； ABC 和ADE 都是等腰直角三角形， ABCDAE， 共有 4 对， 故选：C 【点评】此题考查了相似三角形的判定（有两个角分别对应相等的三角形相似） 解此题的关键是要注意 数形结合思想的应用 8如图，在ABC 中，ABC90，AB8cm，BC6cm，动点 P
19、，Q 分别从点 A，B 同时开始移动（移 动方向如图所示） ，点 P 的速度为 1cm/s，点 Q 的速度为 2cm/s，点 Q 移动到点 C 后停止，点 P 也随之停 止运动，若使PBQ 的面积为 15cm2，则点 P 运动的时间是（ ） A2s B3s C4s D5s 【分析】设出动点 P，Q 运动 t 秒，能使PBQ 的面积为 15cm2，用 t 分别表示出 BP 和 BQ 的长，利用 三角形的面积计算公式即可解答 【解答】解：设动点 P，Q 运动 t 秒后，能使PBQ 的面积为 15cm2， 则 BP 为（8t）cm，BQ 为 2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得， （8t）2t1
20、5， 解得 t13，t25（当 t5 时，BQ10，不合题意，舍去） 动点 P，Q 运动 3 秒时，能使PBQ 的面积为 15cm2 故选：B 【点评】此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题 9如图，顶角为 36的等腰三角形，其底边与腰之比等于 k，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰 AB 1， ABC 为第一个黄金三角形， BCD 为第二个黄金三角形， CDE 为第三个黄金三角形以此类推， 第 2020 个黄金三角形的周长（ ） Ak2018 Bk2019 C Dk2019（2+k） 【分析】根据相似三角形对应角相等，对应边成比例，求出前几个三角形的周长，
21、进而找出规律：第 n 个黄金三角形的周长为 kn 1（2+k） ，从而得出答案 【解答】解：ABAC1， ABC 的周长为 2+k； BCD 的周长为 k+k+k2k（2+k） ； CDE 的周长为 k2+k2+k3k2（2+k） ； 依此类推， 第 n 个黄金三角形的周长为 kn 1（2+k） ， 第 2020 个黄金三角形的周长为 k2019（2+k） 故选：D 【点评】本题考查了黄金三角形，用到的知识点是黄金分割的定义和相似三角形的性质，找出各个三角 形周长之间的关系，得出规律是本题的关键 10如图，正方形 ABCD 中，O 为 BD 中点，以 BC 为边向正方形内作等边BCE，连接并延
22、长 AE 交 CD 于 F，连接 BD 分别交 CE，AF 于 G，H，下列结论：CEH45；GFDE；2OH+DHBD； BGDG其中正确的结论是（ ） A B C D 【分析】根据正方形的性质及等边三角形的性质就可以得出CEH45； 由条件就可以得出CAEBDE30，DEF30，就可以得出DEFEDG，就可以得出 DFEG，就可以得出 CGCF，得出CGF75，由CED75，就可以得出 GFED； 由图可知 2（OH+HD）2ODBD，所以 2OH+DHBD； 作 BMCG 于 M，DNCG 于 N，设正方形的边长为 x，根据三角形函数，用 x 表示 BM 和 DN，由 便可求得 BG 与
23、 DG 的关系 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， ABBCCDAD，ABCBCDCDADAB90，ADBCDB45 BEC 是等边三角形， BCBECE，EBCBCEBEC60， ABBECECD，ABEDCE30， BAEBEACEDCDE75， EADEDA15， DEF30， CEF45故正确； EDC75，BDC45， EDB30， DEFEDGEGD75 ADC90，DAF15， EFD75， EFDEGD 在DEF 和EDG 中， ， DEFEDG（AAS） ， DFEG ECDC， ECEGDCDF， CGCF， CGFCFG75， CEDCGF， GFED故正确； 由图
24、可知 2（OH+HD）2ODBD，所以 2OH+DHBD 此结论不正确； 作 BMCG 于 M，DNCG 于 N， BMCDNC90， BMsin60BC，DNsin30CD 设 ABBCCDADx， BMx，DNx ， ， BGDG故错误； 故选：C 【点评】 此题考查了正方形的性质， 等腰三角形的性质， 等边三角形的性质， 三角形全等的判定与性质， 三角形的面积，特殊角的三角函数等知识点，关键是综合运用各个知识解题 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11如图，ABCDEF，AF 与 BE 相交于点 G，且 AG2，GD1，DF5，那么的值等于 【分析】
25、利用平行线分线段成比例定理求解 【解答】解：ABCDEF， 故答案为 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 12如图，一次函数 yk1x+b 与反比例函数 y的图象交于 A、B 两点，其横坐标分别为 1 和 5，则关 于 x 的不等式 k1x+b0 的解集是 x0 或 1x5 【分析】根据 k1x+b0，则反比例函数大于一次函数，进而结合图象得出答案 【解答】解：如图所示：关于 x 的不等式 k1x+b0 的解集是：x0 或 1x5 故答案为：x0 或 1x5 【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，正确数形结合是解题关键 13数学兴趣
26、小组的同学们想利用树影测量树高课外活动时他们在阳光下测得一根长为 1 米的竹竿的影 子是 0.9 米， 同一时刻测量树高时， 发现树的影子不全落在地面上， 有一部分影子落在教学楼的台阶上， 且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端 C 处，他们测得落在地面的影长为 1.1 米，台阶总的高度为 1.0 米，台阶水平总宽度为 1.6 米则树高为 4 米 【分析】根据同一时刻物高与影长成正比例列式计算即可 【解答】解：根据同一时刻物高与影长成正比例， AD3 ABAD+DB3+14（米） 故答案为 4 米 【点评】本题考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相 似比
27、，列出方程，通过解方程求解，加上 DB 的长即可解此题的关键是找到各部分以及与其对应的影 长 14如图，已知平行四边形 ABCD 中，ABBC，BC10，BCD60，两顶点 B、D 分别在平面直角坐 标系的 y 轴、x 轴的正半轴上滑动，连接 OA，则 OA 的长的最小值是 55 【分析】利用菱形的性质以及等边三角形的性质得出 A 点位置，进而求出 AO 的长 【解答】解：如图所示：过点 A 作 AEBD 于点 E， 当点 A，O，E 在一条直线上，此时 AO 最短， 平行四边形 ABCD 中，ABBC，BC10，BCD60， ABADCDBC10，BADBCD60， ABD 是等边三角形，
28、AE 过点 O，E 为 BD 中点， BOD90，BD10， EO5， 故 AO 的最小值为：AOAEEOABsin60BD55 故答案为：55 【点评】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，得出当点 A，O，E 在一条直线上， 此时 AO 最短是解题关键 15 如图， 四边形 ABCD 是菱形， AB2， ABC30， 点 E 是射线 DA 上一动点， 把CDE 沿 CE 折叠， 其中点 D 的对应点为点 D，若 CD垂直于菱形 ABCD 的边时，则 DE 的长为 或 2或 2 2 或 2+2 【分析】分情况进行讨论： 当 DCAD 时，如图 1，根据 30 度的余弦列式可得
29、DE 的长； 当 CDAB 时，如图 2，过 E 作 EFCD 于 F，设 CFEFx，则 ED2x，DFx，根据 CD CF+DF2，列方程可得 DE 的长； 当 CDBC 时，延长 DC 交 AD 于 F，分别计算 EF 和 DF 的长，可得 DE 的长； 当 DCCD 时，如图 4，延长 DC 交 DE 于 F，分别计算 EF 和 DF 的长，可得 DE 的长 【解答】解：分 4 种情况： 当 DCAD 时，如图 1，设 DEDEx， 由折叠得：CDCD2， 四边形 ABCD 是菱形， DB30， DD30， RtCFD 中，CFCD1， DFCDCF211， RtDFE 中，cos30
30、， ， DEDE； 当 CDAB 时，如图 2，过 E 作 EFCD 于 F， ABCD， B+BCD180， B30， BCD60，DCD1506090， 由折叠得ECDDCD45， ECF 是等腰直角三角形， 设 CFEFx，则 ED2x，DFx， CDCF+DF2， x+x2， x1， DE2x22； 当 CDBC 时，如图 3，延长 DC 交 AD 于 F，则 DCED， RtCFD 中，D30，CD2， CF1，DF， RtDEF 中，DF3，D30， EF， DEEF+DF2； 当 DCCD 时，如图 4，延长 DC 交 DE 于 F， DCD90， FCD90， CD2，FDC3
31、0， CF，DF2FC， 由折叠得：ECDECD135， DECDEC15， FEBFDE30， EFDF+2， DEEF+DF2+2， 综上所述，DE 的长为或 2或 22 或 2+2 故答案为为或 2或 22 或 2+2 【点评】 此题考查了菱形的性质， 折叠问题， 解直角三角形及直角三角形的性质等知识， 解题的关键是： 正确画出 DC 与菱形各边垂直的图形，并添加辅助线，然后解直角三角形即可 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16 （8 分）解方程： （1）3x22x20； （2）x26x+9（52x）2 【分析】 （1）利用公式法求
32、解即可； （2）利用直接开平方法求解即可 【解答】解： （1）a3，b2，c2， （2）243（2）280， 则 x， x1，x2； （2）x26x+9（52x）2， （x3）2（52x）2， x352x 或 x32x5， 解得 x1，x22 【点评】 本题主要考查解一元二次方程的能力和实数的运算， 熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法： 直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 17 （8 分）为了解某校落实新课改精神的情况，现以该校某班的同学参加课外活动的情况为样本，对其参 加“球类” “绘画类” “舞蹈类” “音乐类” “棋类”活动的情况进
33、行调査统计，并绘制了如图所示的统计 图 （1）参加音乐类活动的学生人数为 7 人，参加球类活动的人数的百分比为 30% ； （2）请把条形统计图补充完整； （3）若该校学生共 1600 人，那么参加棋类活动的大约有多少人？ （4）该班参加舞蹈类活动 4 位同学中，有 1 位男生（用 E 表示）和 3 位女生（分别 F，G，H 表示） ， 现准备从中选取两名同学组成舞伴，请用列表或画树状的方法求恰好选中一男一女的概率 【分析】 （1）先由绘画类人数及其所占百分比求出总人数，总人数乘以音乐类对应百分比求出其人数， 用球类人数除以总人数可得其所占百分比； （2）根据以上所求结果可补全图形； （3）总
34、人数乘以参棋类活动的人数所占比例即可得； （4）利用树状图法列举出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解 【解答】解： （1）本次调查的总人数为 1025%40（人） ， 参加音乐类活动的学生人数为 4017.5%7 人，参加球类活动的人数的百分比为100%30%， 故答案为：7、30%； （2）补全条形图如下： （3）该校学生共 1600 人，则参加棋类活动的人数约为 1600280， 故答案为：280； （4）画树状图如下： 共有 12 种情况，选中一男一女的有 6 种， 则 P（选中一男一女） 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要
35、的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总 体的百分比大小 18 （9 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k+1）x+k2+k0 求证： （1）方程总有两个不相等的实数根 （2）若等腰ABC 的两边 AB，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边 BC 的长为 5求ABC 的周 长 【分析】 （1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论； （2）利用求根公式求出 x1k+1，x2k，讨论：当 k+15，解得 k4，三角形三边为 5、5、4，当 k 5，三角形三边为 5、5、6，然后分别计算三角形的周长 【解答】 （1）证明：（2k+1
36、）24（k2+k） 10， 所以方程总有两个不相等的实数根； （2）x， 所以 x1k+1，x2k， 当 k+15，解得 k4，三角形三边为 5、5、4，则三角形的周长为 5+5+414； 当 k5，三角形三边为 5、5、6，则三角形的周长为 5+5+616； 综上所述，ABC 的周长为 14 或 16 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系： 当0 时， 方程有两个不相等的两个实数根； 当0 时， 方程有两个相等的两个实数根； 当0 时， 方程无实数根也考查了三角形三边的关系 19 （9 分）如图所示，ADBC，BAD90，以 B
37、为圆心，BC 长为半径画弧，与射线 AD 相交于点 E， 连接 BE，过 C 作 CFBE 于点 F （1）线段 BF 与图中哪条线段相等？写出来并加以证明： （2）若 AB12，BC13，P 从 E 沿 ED 方向运动，Q 从 C 出发向 B 运动，两点同时出发且速度均为每 秒 1 个单位 当 t 8 秒时，四边形 EPCQ 是矩形； 当 t 13 秒时，四边形 EPCQ 是菱形 【分析】 （1）通过证明BCFEBA 可判断 BFEA； （2）EPt，CQt，先就是出 AE5，再判断四边形 EPCQ 为平行四边形，当 CPAD 可判断平行 四边形 EPCQ 为矩形，从而得到 5+t13；作
38、CHAD 于 H，如图，当 CDCQEDt 可判断平行 四边形 EPCQ 为菱形，则利用勾股定理得到 122+（t8）2t2，然后分别解关于 t 的方程即可 【解答】解： （1）BFAE 理由如下： ADBC， CBFAEB， 在BCF 和EBA， ， BCFEBA， BFEA； （2）EPt，CQt， 在 RtABE 中，AE5， EPCQ，EPCQ， 四边形 EPCQ 为平行四边形， 当 CPAD 时，CPE90，则平行四边形 EPCQ 为矩形， 此时 APBC13，即 5+t13，解得 t8， 即当 t8 时，四边形 EPCQ 是矩形； 作 CHAD 于 H，如图， 当 CDCQEDt，
39、平行四边形 EPCQ 为菱形， 而 PDt+513t8， 在 RtPDC 中，122+（t8）2t2，解得 t13， 即当 t13，四边形 EPCQ 是菱形 故答案为：8，13 【点评】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角； 作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线） 也考查了矩形和菱形的判 定 20 （10 分）习近平总书记说： “读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气” 某 校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆据统计，第一个月进馆 128 人次， 进馆人次逐月增加，到第三个月末
40、累计进馆 608 人次，若进馆人次的月平均增长率相同 （1）求进馆人次的月平均增长率； （2） 因条件限制， 学校图书馆每月接纳能力不超过 500 人次， 在进馆人次的月平均增长率不变的条件下， 校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由 【分析】 （1）先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三 个月的进馆人次等于 608，列方程求解； （2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与 500 比较大小即可 【解答】解： （1）设进馆人次的月平均增长率为 x，则由题意得： 128+128（1+x）+128（1+x）2608 化简得
41、：4x2+12x70 （2x1） （2x+7）0， x0.550%或 x3.5（舍） 答：进馆人次的月平均增长率为 50% （2）进馆人次的月平均增长率为 50%， 第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3128432500 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次 【点评】本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键本题难度适中，属于中档题 21 （10 分）有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹 角叫做智慧角 （1）在 RtABC 中，ACB90，若A 为智慧角，则B 的度数为 45 ； （2）如图，在ABC 中，A45，B30，求证：ABC
42、是智慧三角形； （3）如图，ABC 是智慧三角形，BC 为智慧边，B 为智慧角，A（3，0） ，点 B，C 在函数 y（x 0）的图象上，点 C 在点 B 的上方，且点 B 的纵坐标为当ABC 是直角三角形时，求 k 的值 【分析】 （1）利用智慧角的意义和勾股定理即可得出结论； （2）构造出两个直角三角形，即可得出结论； （3）分两种情况：先判断出BCFABE，进而得出 B（3+a，） ，C（1+a，+a） ，最后代 入反比例函数解析式中即可得出结论； 先判断出MACNBA（AAS） 进而 AMBN，进而得出 B（3+b，） ，C（3，b） ， 最后代入反比例函数解析式中即可得出结论 【解答
43、】解： （1）如图 1， 在 RtABC 中，ACB90，A 是智慧角， ABAC， 根据根据勾股定理得，BCAC， BA45， 故答案为 45； （2）如图 2，过点 C 作 CDAB 于点 D 在 RtACD 中，A45， ACDC 在 RtBCD 中，B30， BC2DC ABC 是智慧三角形 （3）由题意可知ABC90或BAC90 当ABC90时，如图 3， 过点 B 作 BEx 轴于点 E， 过点 C 作 CFEB 交 EB 延长线于点 F， 过点 C 作 CGx 轴于点 G， 则AEB FABC90 BCF+CBFABE+CBF90 BCFABE BCFABE 设 AEa，则 BF
44、a BE， CF2 OGOA+AEGE3+a21+a，CGEF+a， B（3+a，） ，C（1+a，+a） 点 B，C 在函数 y（x0）的图象上， （3+a）（1+a） （+a）k 解得：a11，a22（舍去） k 当BAC90时，如图 4，过点 C 作 CMx 轴于点 M，过点 B 作 BNx 轴于点 N 则CMACABANB90 MCA+CAMBAN+CAM90 MCABAN 由（1）知B45 ABC 是等腰直角三角形 ACAB 由知MACNBA MACNBA（AAS） AMBN 设 CMANb，则 ON3+b B（3+b，） ，C（3，b） 点 B，C 在函数 y（x0）的图象上， （
45、3+b）（3）bk 解得：b9+12 k18+15 综上所述，k4或 18+15 【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全 等三角形的判定和性质， 等腰直角三角形的判定和性质， 构造直角三角形和相似三角形是解本题的关键 22 （10 分）如图，已知 AC 为正方形 ABCD 的对角线，点 P 是平面内不与点 A，B 重合的任意一点，连接 AP，将线段 AP 绕点 P 顺时针旋转 90得到线段 PE，连接 AE，BP，CE （1）求证：APEABC； （2）当线段 BP 与 CE 相交时，设交点为 M，求的值以及BMC 的度数； （3）若正方形
46、ABCD 的边长为 3，AP1，当点 P，C，E 在同一直线上时，求线段 BP 的长 【分析】 （1）先求出APEABC90，PAEPEAABC45，即可得出结论； （2） 由 （1） 知， APEABC， 得出， 再判断出PABEAC， 进而判断出PABEAC， 即可得出结论； （3）先画出图形，利用勾股定理求出 CP，再分两种情况，求出 CE 和 CE，借助（2）的结论，即可得 出结论 【解答】解： （1）AC 是正方形 ABCD 的对角线， ABC90，BACBCA45， 由旋转知，PAPE，APE90ABC， PAEPEA45BAC， APEABC； （2）在 RtABC 中，ABCB
47、， ACAB， 由（1）知，APEABC， ， BACPAE45， PABEAC， PABEAC， ， PABEAC， ABPACE， BCE+CBMBCE+ABP+ABCBCE+ACE+ABCACB+ABC45+90 135， BMC180（BCE+CBM）45； （3）如图，在 RtABC 中，ABBC3， AC3， 点 P，C，E 在同一条线上，且APE90， CP， CECPPE1 或 CECP+PE+1， 由（2）知， BPCE（1）或 BPCE； 即：BP 的长为或 【点评】此题是相似形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的 性质，勾股定理，判断出P
48、ABEAC 是解本题的关键 23 （11 分）如图，在平面直角坐标系中，已知 RtAOB 的两条直角边 OA、OB 分别在 y 轴和 x 轴上，并 且 OA、OB 的长分别是方程 x27x+120 的两根（OAOB） ，动点 P 从点 A 开始在线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 0 运动；同时，动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 运动，设点 P、Q 运动的时间为 t 秒 （1）求 A、B 两点的坐标 （2）求当 t 为何值时，APQ 与AOB 相似，并直接写出此时点 Q 的坐标 （3）当 t2 时，在坐标平面内，是否存在点 M，使以 A、
