1、2021 年河南省南阳市唐河县中考数学二模试卷年河南省南阳市唐河县中考数学二模试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1|2|的倒数的相反数是（ ） A2 B C2 D 2 2020 年 6 月 23 日， 中国北斗系统第五卡五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨， 可以为全球用户提供定位、导航和授时服务，今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过 0.4 万 亿元，把 0.4 万亿用科学记数法表示为（ ） A41012 B41011 C41018 D40109 3如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ） A18 B54
2、C108 D216 4下列计算正确的是（ ） A（a3）2a5 B C D（ab）2a2ab+b2 5为了解网课学习的整体效果，启智中学让学生参与了关于网课学习满意度的调查，将全校 2100 名学生 的调查结果制成如图所示的扇形统计图，下列说法错误的是（ ） A觉得“比较满意”的学生人数最多 B觉得“一般”的学生有 525 人 C觉得“不满意”的学生人数对应的扇形圆心角度数是 5 D觉得“非常满意”的人数是“不满意”人数的 6 倍 6如图所示，直线 l1斜截平行线 l2，l3，则下列判断错误的是（ ） A17 B26 C3+590 D4+7180 7下面说法正确的是（ ） A（x+1）（x1）
3、x2是一元二次方程 B方程 3x26x 的解为 x2 C若关于 x 的一元二次方程 kx22x10 有两个不相等的实数根，则 k1 D已知一元二次方程 ax2+bx+c0，若 a+b+c0，则该方程一定有一个根为 1 8如图，根据图中的信息，可得正确的方程是（ ） A（）2x（）2（x5） B（）2x（）2（x+5） C82x62（x+5） D82x625 9如图，在ABC 中，C90，A30以点 B 为圆心画弧，分别交 BC、AB 于点 M、N，再分别 以点 M、N 为圆心，大于MN 为半径画弧，两弧交于点 P，画射线 BP 交 AC 于点 D若点 D 到 AB 的 距离为 1，则 AC 的
4、长是（ ） A2 B3 C D+1 10如图在正方形 ABCD 的边 BC 上有一点 E，连接 AE点 P 从正方形的顶点 A 出发，沿 ADC 以 1cm/s 的速度匀速运动到点 C图是点 P 运动时，APE 的面积 y（cm2）随时间 x（s）变化的函数 图象当 x7 时，y 的值为（ ） A7 B6 C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，满分分，满分 15 分）分） 11计算： 12如图是小方制作的 1 个圆形飞镖盘，该镖盘被平均分成了四个区域，每个区域上分别画有线段、等边 三角形、平行四边形、矩形小方随机投掷两次飞镖（若飞镖落在分界线上或飞镖盘外，则重新投掷）， 则两次
5、所投区域上的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 13如图，反比例函数 y（x0）经过 A、B 两点，过点 A 作 ACy 轴于点 C，过点 B 作 BDy 轴于 点D， 过点B作BEx轴于点E， 连接AD， 已知AC1、 BE1、 S矩形BDOE4 则SACD 14如图，在扇形 OAB 中，点 C 在上，AOB90，ABC30，ADBC 于点 D，连接 AC，若 OA2，则图中阴影部分的面积为 15如图，在矩形 ABCD 中，AB2，AD1，E 是 AB 上一个动点，F 是 AD 上一个动点（点 F 不与点 D 重合），连接 EF，把AEF 沿 EF 折叠，使点 A 的对应点 A总落在
6、 DC 边上若AEC 是以 AE 为腰的等腰三角形，则 AD 的长为 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，满分小题，满分 75 分）分） 16先化简（x+1），然后从 x的范围内选取一个合适的整数作为 x 的值代 入求值 172020 年初的新冠肺炎疫情对大们的生活造成了较大的影响，为响应教育部下发通知“停课不停学”的 倡议， 某校准备选用合适的软件对全校学生直播上课， 经对直接软件功能进行筛选， 学校选定了 “钉钉” 和 “QQ 直翻” 两款软件进行试用， 并组全校师生对这两款软件打分 （均为整数， 最高 5 分： 最低 1 分） ， 随机抽取 20 名同学和 10 位教师的打分情况作为
7、样本，分析过程如下 A收集数据：20 名同学打分情况如下： 钉 钉 5 4 5 1 4 2 5 3 4 1 1 3 5 4 2 4 4 3 2 5 QQ 直 播 4 3 3 3 5 5 3 4 5 2 2 5 4 4 4 1 3 2 3 2 B整理、描述数据：根据学生的打分情况，绘制了如下尚不完整的条形统计图： C分析数据：学生打分的平均数、众数、中位数如下表： 软件 平均数 众数 中位数 钉钉 3.35 4 A QQ 直播 3.35 B 3 D抽取的 10 位教师对“钉钉”和“QQ 直播”这两款软件打分的平均分分别为 4.4 分和 4 分 请根据以上信息解答下列问题： （1）请补全条形统计图
8、； （2）填空：a ，b ； （3）你认为学生对这两款软件评价较高的是 ，（填“钉钉”或“QQ 直播”）理由是 ； （4） 学校决定选择综合平均分高的软件进行教学， 其中综合平均分中教师打分占 60%， 学生打分占 40%， 请你通过计算分析学校会采用哪款软件进行教学 18如图，在ABC 中，AB4，以 AB 为直径作O，分别交 BC 于点 D，交 CA 的延长线于点 E，过点 D 作O 的切线 DH 交 AC 于点 H，且 DHAC，连接 DE 与 AB 交于点 G （1）求证：ABAC； （2）填空：当 BD 时，四边形 EODA 为菱形；若EGAEAG，则 GO 的长 为 19如图，海岛
9、 B 在海岛 A 的北偏东 30 方向，且与海岛 A 相距 20 海里，一艘渔船从海岛 B 出发，以 5 海 里/时的速度沿北偏东 75方向航行，同时一艘快艇从海岛 A 出发，向正东方向航行2 小时后，快艇到 达 C 处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的 E 处 （1）求ABE 的度数； （2）求快艇的速度及 C，E 之间的距离 （参考数据：sin150.26，cos150.97，tan150.27，1.73） 20 九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后， 进一步研究了函数 y的图象与性质， 其探究过程如下： （1）绘制函数图象，如图 1 列表：下表是 x 与 y 的几组对应值；
10、 x 3 2 1 1 2 3 y 1 2 4 4 2 1 描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象请你把图象补充完整； （2）通过观察图 1，写出该函数的两条性质； ； ； （3）观察发现：如图 2若直线 y2 交函数 y的图象于 A，B 两点，连接 OA，过点 B 作 BC OA 交 x 轴于 C则 S四边形OABC ； 探究思考： 将中 “直线y2” 改为 “直线ya （a0） ” ， 其他条件不变， 则S四边形OABC ； 类比猜想：若直线 ya（a0）交函数 y（k0）的图象于 A，B 两点，连接 OA，过点 B
11、 作 BCOA 交 x 轴于 C，则 S四边形OABC 21如图，在ABC 中，ACB90，ACBC，AB6cm，E 是线段 AB 上一动点，D 是 BC 的中点， 过点 C 作射线 CG， 使 CGAB， 连接 ED 并延长交 CG 于点 F， 连接 AF 设 A、 E 两点间的距离为 xcm， E、F 两点间的距离为 ycm 小亮根据学习函数的经验，对因变量 y 随自变量 x 变化而变化的规律进行了探究（如需作图或作辅助 线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答） 下面是小亮的探究过程，请补充完整： （1）列表：如表的已知数据是根据 A、E 两点间的距离 x 进行取点、画图、测量，
12、分别得到了 x 与 y 的 几组对应值： x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y/cm 9.49 7.62 5.83 3.16 3.16 4.24 请你通过计算补全表格； （2）描点、连线：在平面直角坐标系 xOy 中，描出剩余的点（x，y），并画出函数 y 关于 x 的图象； （3）根据函数图象，当 E、F 两点间的距离 y 最小时，A、E 两点间的距离约为 cm； （4）解决问题：当 EFAE2 时，BE 的长度大约是 cm（结果保留 1 位小数） 22在平面直角坐标系 xOy 中，关于 x 的二次函数 yx2+px+q 的图象过点（1，0），（2，0） （1）求这个二次函数的表达式；
13、（2）求当2x1 时，y 的最大值与最小值的差； （3）一次函数 y（2m）x+2m 的图象与二次函数 yx2+px+q 的图象交点的横坐标分别是 a 和 b， 且 a3b，求 m 的取值范围 23阅读理解 （1）如图 1，在ABC 中，ABAC，BAC120，D，E 为 BC 边上的点，且DAE60若 BD 1，EC2，求 DE 的长 思考如下：注意到条件中有 ABAC，BAC120，不妨把ACE 绕点 A 顺时针旋转 120，得到 ABF，连接 DF易证ADFADE，从而将线段 BD，DE，EC 集中在了FBD 中，因为FBD 的度 数是 BFEC2，BD1，所以 DE 的长为 ； 类比探
14、究 （2）如图 2，在ABC 中，CAB60，ABAC，D，E 为 BC 边上的点，且DAE30，BD2， EC，求 DE 的长； 拓展应用 （3） 如图 3 E 是正方形 ABCD 内一点， AEB90， F 是 BC 边上一点， 且EDF45， 若 AB2， 请直接写出当 DE 取最小值时 CF 的长 参考答案参考答案 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1|2|的倒数的相反数是（ ） A2 B C2 D 【分析】根据倒数和相反数的定义求解即可 解：|2|2， 则|2|的倒数为，|2|的倒数的相反数是 故选：B 2 2020 年 6 月 23 日，
15、中国北斗系统第五卡五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨， 可以为全球用户提供定位、导航和授时服务，今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过 0.4 万 亿元，把 0.4 万亿用科学记数法表示为（ ） A41012 B41011 C41018 D40109 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为整数，且 n 比原来的 整数位数少 1，据此判断即可 解：0.4 万亿40000000000041011 故选：B 3如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ） A18 B54 C108 D216 【分析】首先确定该几何体的形状
16、，然后根据尺寸求得底面积，用底面积乘以高即可求得体积 解：观察三视图知：该几何体为六棱柱，底面正六边形的边长为 6，高为 2， 正六边形的面积66254 故其体积为：542108， 故选：C 4下列计算正确的是（ ） A（a3）2a5 B C D（ab）2a2ab+b2 【分析】分别利用幂的乘方和积的乘方法则，二次根式的性质，除法法则和完全平方公式对每个选项进 行判断即可 解：（a3）2a6 A 选项错误； |x|， B 选项正确； ， C 选项错误； （ab）2a22ab+b2， D 选项错误 综上，正确的选项是 B， 故选：B 5为了解网课学习的整体效果，启智中学让学生参与了关于网课学习满
17、意度的调查，将全校 2100 名学生 的调查结果制成如图所示的扇形统计图，下列说法错误的是（ ） A觉得“比较满意”的学生人数最多 B觉得“一般”的学生有 525 人 C觉得“不满意”的学生人数对应的扇形圆心角度数是 5 D觉得“非常满意”的人数是“不满意”人数的 6 倍 【分析】根据扇形统计图给出的数据和扇形统计图的特点分别对每一项进行分析，即可得出答案 解：A、因为不满意所占的百分比是：130%40%25%5%，比较满意占 40%，占的最多，所以觉 得“比较满意”的学生人数最多，正确； B、觉得“一般”的学生有：210025%525，正确； C、觉得“不满意”的学生人数对应的扇形圆心角度数
18、是：3605%18，本选项错误； D、因为“非常满意”占 30%，“不满意”占 5%，所以觉得“非常满意”的人数是“不满意”人数的 6 倍，正确； 故选：C 6如图所示，直线 l1斜截平行线 l2，l3，则下列判断错误的是（ ） A17 B26 C3+590 D4+7180 【分析】根据平行线的性质即可求解 解：A、l2l3， 73， 13， 17，故选项 A 不符合题意； B、l2l3， 26，故选项 B 不符合题意； C、l2l3， 35，故选项 C 符合题意； D、l2l3， 48， 7+8180， 4+7180，故选项 D 不符合题意 故选：C 7下面说法正确的是（ ） A（x+1）（
19、x1）x2是一元二次方程 B方程 3x26x 的解为 x2 C若关于 x 的一元二次方程 kx22x10 有两个不相等的实数根，则 k1 D已知一元二次方程 ax2+bx+c0，若 a+b+c0，则该方程一定有一个根为 1 【分析】根据一元二次方程的定义对 A 进行判断；利用因式分解法解方程可对 B 进行判断；根据一元二 次方程的定义和判别式的意义可对 C 进行判断；利用一元二次方程解的定义可对 D 进行判断 解：A（x+1）（x1）x2是一元一次方程，所以 A 选项不符合题意； B方程 3x26x 的解为 x12，x20，所以 B 选项不符合题意； C若关于 x 的一元二次方程 kx22x1
20、0 有两个不相等的实数根，则 k0 且（2） 24k（1） 0，解得 k1 且 k0，所以 C 选项不符合题意； D把 x1 代入一元二次方程 ax2+bx+c0 得 a+b+c0，所以 D 选项不符合题意 故选：D 8如图，根据图中的信息，可得正确的方程是（ ） A（）2x（）2（x5） B（）2x（）2（x+5） C82x62（x+5） D82x625 【分析】根据圆柱体的体积计算公式结合水的体积不变，即可得出关于 x 的一元一次方程，此题得解 解：依题意，得：（）2x（）2（x+5） 故选：B 9如图，在ABC 中，C90，A30以点 B 为圆心画弧，分别交 BC、AB 于点 M、N，再
21、分别 以点 M、N 为圆心，大于MN 为半径画弧，两弧交于点 P，画射线 BP 交 AC 于点 D若点 D 到 AB 的 距离为 1，则 AC 的长是（ ） A2 B3 C D+1 【分析】过 D 作 DEAB 于 E，依据含 30 度角的直角三角形的性质以及角平分线的性质，即可得到 AC 的长 解：如图所示，过 D 作 DEAB 于 E， A30，点 D 到 AB 的距离为 1， AD2DE2， 又C90，BD 平分ABC， CDED1， ACAD+CD2+13， 故选：B 10如图在正方形 ABCD 的边 BC 上有一点 E，连接 AE点 P 从正方形的顶点 A 出发，沿 ADC 以 1c
22、m/s 的速度匀速运动到点 C图是点 P 运动时，APE 的面积 y（cm2）随时间 x（s）变化的函数 图象当 x7 时，y 的值为（ ） A7 B6 C D 【分析】当点 P 在点 D 时，yABADaa8，解得：a4，当点 P 在点 C 时，yEP ABEP46，解得：EP3，即 EC3，BE1，当 x7 时，yS正方形ABCD（SABE+SECP+S APD，即可求解 解：设正方形的边长为 a， 当点 P 在点 D 时，yABADaa8，解得：a4， 当点 P 在点 C 时，yEPABEP46，解得：EP3，即 EC3，BE1， 当 x7 时，如下图所示： 此时，PC1，PD743，
23、当 x7 时，yS正方形ABCD（SABE+SECP+SAPD）44 （41+13+43）， 故选：C 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，满分分，满分 15 分）分） 11计算： 10 【分析】先化简立方根，算术平方根，负整数指数幂，然后再计算 解：原式3（3）+4 3+3+4 10， 故答案为：10 12如图是小方制作的 1 个圆形飞镖盘，该镖盘被平均分成了四个区域，每个区域上分别画有线段、等边 三角形、平行四边形、矩形小方随机投掷两次飞镖（若飞镖落在分界线上或飞镖盘外，则重新投掷）， 则两次所投区域上的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 【分析】利用列表法表示两次投掷所
24、出现的所有情况，进而求出相应的概率即可 解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 共有 16 种可能出现的结果情况，其中两次所投区域上的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的有 4 种， 所以两次所投区域上的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 13如图，反比例函数 y（x0）经过 A、B 两点，过点 A 作 ACy 轴于点 C，过点 B 作 BDy 轴于 点 D，过点 B 作 BEx 轴于点 E，连接 AD，已知 AC1、BE1、S矩形BDOE4则 SACD 【分析】过点 A 作 AHx 轴于点 H，交 BD 于点 F，则四边形 ACOH 和四边形 ACDF 均为矩形，根据 S 矩形
25、BDOE4，可得 k 的值，即可得到矩形 ACOH 和矩形 ACDF 的面积，进而可求出 SACD 解：过点 A 作 AHx 轴于点 H，交 BD 于点 F，则四边形 ACOH 和四边形 ACDF 均为矩形，如图： S矩形BDOE4，反比例函数 y （x0）经过 B 点 k4 S矩形ACOH4， AC1 OC414 CDOCODOCBE413 S矩形ACDF133 SACD 故答案为： 14如图，在扇形 OAB 中，点 C 在上，AOB90，ABC30，ADBC 于点 D，连接 AC，若 OA2，则图中阴影部分的面积为 1+ 【分析】 连接 OC， 作 CMOB 于 M， 根据等腰直角三角形的
26、性质得出ABOOAB45， AB2， 进而得出OCBOBC75，即可得到BOC30，解直角三角形求得 AD、BD、CM，然后根据 S 阴影SABD+SAOBS扇形OAB+（S扇形OBCSBOC）计算即可求得 解：连接 OC，作 CMOB 于 M， AOB90，OAOB2， ABOOAB45，AB2， ABC30，ADBC 于点 D， AD，BDAB， ABO45，ABC30， OBC75， OBOC， OCBOBC75， BOC30， AOC60，CMOC1， S阴影SABD+SAOBS 扇形OAB+（S扇形OBCSBOC） SABD+SAOBS 扇形OACSBOC + 1+ 故答案为 1+
27、15如图，在矩形 ABCD 中，AB2，AD1，E 是 AB 上一个动点，F 是 AD 上一个动点（点 F 不与点 D 重合），连接 EF，把AEF 沿 EF 折叠，使点 A 的对应点 A总落在 DC 边上若AEC 是以 AE 为腰的等腰三角形，则 AD 的长为 或 【分析】分两种情形分别画出图形，利用勾股定理构建方程求解即可 解：如图 1 中，当 EACE 时，过点 E 作 EHCD 于 H 四边形 ABCD 是矩形， ADBC1，B90， 设 AEEAECx，则 BE2x， 在 RtEBC 中，则有 x212+（2x）2， 解得 x， EB2x， BBCHCHE90， 四边形 CBEH 是
28、矩形， CHBE， ECEAEHCA， HACH， DACDCA2 如图 2 中，当 AEAC 时，设 AEEACAy 则 CHEB2y，AHCACHy（2y）2y2， 在 RtACH 中，则有 y212+（2y2）2， 解得 y或 1（舍弃）， CA， DA2， DA为或， 故答案为或 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，满分小题，满分 75 分）分） 16先化简（x+1），然后从 x的范围内选取一个合适的整数作为 x 的值代 入求值 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后在x中选取一个使得原分式有 意义的整数值代入化简后的式子即可解答本题 解：（x+1） ， x且 x+
29、10，x10，x0，x 是整数， x2 时，原式 172020 年初的新冠肺炎疫情对大们的生活造成了较大的影响，为响应教育部下发通知“停课不停学”的 倡议， 某校准备选用合适的软件对全校学生直播上课， 经对直接软件功能进行筛选， 学校选定了 “钉钉” 和 “QQ 直翻” 两款软件进行试用， 并组全校师生对这两款软件打分 （均为整数， 最高 5 分： 最低 1 分） ， 随机抽取 20 名同学和 10 位教师的打分情况作为样本，分析过程如下 A收集数据：20 名同学打分情况如下： 钉 钉 5 4 5 1 4 2 5 3 4 1 1 3 5 4 2 4 4 3 2 5 QQ 直 播 4 3 3 3
30、 5 5 3 4 5 2 2 5 4 4 4 1 3 2 3 2 B整理、描述数据：根据学生的打分情况，绘制了如下尚不完整的条形统计图： C分析数据：学生打分的平均数、众数、中位数如下表： 软件 平均数 众数 中位数 钉钉 3.35 4 A QQ 直播 3.35 B 3 D抽取的 10 位教师对“钉钉”和“QQ 直播”这两款软件打分的平均分分别为 4.4 分和 4 分 请根据以上信息解答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）填空：a 4 ，b 3 ； （3）你认为学生对这两款软件评价较高的是 “钉钉” ， （填“钉钉”或“QQ 直播”） 理由是 “钉 钉”的众数、中位数都比“QQ 直播”
31、的众数、中位数大 ； （4） 学校决定选择综合平均分高的软件进行教学， 其中综合平均分中教师打分占 60%， 学生打分占 40%， 请你通过计算分析学校会采用哪款软件进行教学 【分析】（1）根据统计表中的数据，即可补全条形图； （2）根据中位数和众数的定义即可填空； （3）根据表格数据可得“钉钉”的众数、中位数都比“QQ 直播”的众数、中位数大，进而可以进行评 价； （4）根据题意即可通过计算分析学校会采用哪款软件进行教学 解：（1）如图，补全的条形统计图如下： （2）a4，b3 故答案为：4，3； （3）学生对这两款软件评价较高的是“钉钉”， 理由是：“钉钉”的众数、中位数都比“QQ 直播”
32、的众数、中位数大 故答案为：“钉钉”，“钉钉”的众数、中位数都比“QQ 直播”的众数、中位数大； （4）根据题意，得 4.460%+3.3540%3.98（分）， 460%+3.3540%3.74（分）， 3.983.74， 学校会采用“钉钉”软件进行教学 18如图，在ABC 中，AB4，以 AB 为直径作O，分别交 BC 于点 D，交 CA 的延长线于点 E，过点 D 作O 的切线 DH 交 AC 于点 H，且 DHAC，连接 DE 与 AB 交于点 G （1）求证：ABAC； （2） 填空：当 BD 2 时， 四边形 EODA 为菱形；若EGAEAG， 则 GO 的长为 1 【分析】（1）
33、连接 OD，由切线的性质可证 ODAC，得ODBC，再由 OBOD，得OBD ODB，从而OBDC，即可证明； （2）连接 AD、OD、EO，四边形 EODA 为菱形，得 ADODAB2，根据圆周角定理可得ADB 90，再运用勾股定理即可； 通过两个角相等可证OGDDGB，设 OGx，得，代入即可得出 x 的方程，从而解决问 题 【解答】（1）证明：连接 OD， DH 为O 的切线，D 为切点， ODDH， DHAC， ODHDHC90， ODAC， ODBC， OBOD， OBDODB， OBDC， ABAC； （2）解：如图，连接 AD、OD、EO， 四边形 EODA 为菱形， ADODA
34、B2， AB 为O 的直径， ADB90， BD， 故答案为：2； EGAEAG， AGEOGD， EAGOGD， AEOD， CEDODE，EAGAOD， OGDGOD， ODDG， BAED， ODEB， 又OGDDGB， OGDDGB， 设 OGx， ， ， x0， x1， OG1， 故答案为：1 19如图，海岛 B 在海岛 A 的北偏东 30 方向，且与海岛 A 相距 20 海里，一艘渔船从海岛 B 出发，以 5 海 里/时的速度沿北偏东 75方向航行，同时一艘快艇从海岛 A 出发，向正东方向航行2 小时后，快艇到 达 C 处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的 E 处 （1）求ABE 的
35、度数； （2）求快艇的速度及 C，E 之间的距离 （参考数据：sin150.26，cos150.97，tan150.27，1.73） 【分析】（1） 过点 B 作 BDAC 于点 D， 作 BFCE 于点 F， 由平行线的性质得出ABDNAB30， 求出DBE105，则可得出答案； （2）在 RtBEF 中，解直角三角形求出 EF，BF，在 RtABD 中，解直角三角形求出 AD，BD，证明 四边形 BDCF 为矩形，得出 DC，FC，求出 CE 的长，则可得出答案 解：（1）过点 B 作 BDAC 于点 D，作 BFCE 于点 F， 由题意得，NAB30，GBE75， ANBD， ABDNA
36、B30， 而DBE180GBE18075105， ABEABD+DBE30+105135； （2）BE5210（海里）， 在 RtBEF 中，EBF907515， EFBEsin15100.262.6（海里）， BFBEcos15100.979.7（海里）， 在 RtABD 中，AB20，ABD30， ADABsin302010（海里）， BDABcos302010101.7317.3（海里）， BDAC，BFCE，CEAC， BDCDCFBFC90， 四边形 BDCF 为矩形， DCBF9.7，FCBD17.3（海里）， ACAD+DC10+9.719.7（海里）， CEEF+CF2.6+1
37、7.319.9（海里）， 设快艇的速度为 v 海里/小时，则 v9.85（海里/小时） 答：快艇的速度为 9.85 海里/小时，C，E 之间的距离约为 19.9 海里 20 九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后， 进一步研究了函数 y的图象与性质， 其探究过程如下： （1）绘制函数图象，如图 1 列表：下表是 x 与 y 的几组对应值； x 3 2 1 1 2 3 y 1 2 4 4 2 1 描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象请你把图象补充完整； （2）通过观察图 1，写出该函数的两条性质； 函数的
38、图象关于 y 轴对称 ； 当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小（答案不唯一） ； （3）观察发现：如图 2若直线 y2 交函数 y的图象于 A，B 两点，连接 OA，过点 B 作 BC OA 交 x 轴于 C则 S四边形OABC 4 ； 探究思考：将中“直线 y2”改为“直线 ya（a0）”，其他条件不变，则 S四边形OABC 4 ； 类比猜想：若直线 ya（a0）交函数 y（k0）的图象于 A，B 两点，连接 OA，过点 B 作 BCOA 交 x 轴于 C，则 S四边形OABC 2k 【分析】（1）用平滑的曲线顺次连接各点，即可画出函数图象； （2）
39、观察函数图象即可求解； （3）求出点 A、B 的坐标，利用 S四边形OABCCOyA，即可求解 解：（1）补全图象如图所示： （2）函数的图象关于 y 轴对称； 当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小（答案不唯一）； （3）如图 2，A、B 的纵坐标相同，故 ABOC， 而 BCOA，则四边形 OABC 为平行四边形， 当 y2 时，即 2，解得 x1， 故点 A、B 的坐标分别为（1，2）、（1，2），则 AB1+12OC， 则 S四边形OABCCOyA224， 当 ya 时， 同理可得：点 A、B 的坐标分别为（，a）、（，2），则 ABOC， 则
40、S四边形OABCCOyA a4， 当函数表达式为 y时， 同理可得：点 A、B 的坐标分别为（，a）、（，2），则 ABOC， 则 S四边形OABCCOyA a2k； 故答案为：4；4；2k 21如图，在ABC 中，ACB90，ACBC，AB6cm，E 是线段 AB 上一动点，D 是 BC 的中点， 过点 C 作射线 CG， 使 CGAB， 连接 ED 并延长交 CG 于点 F， 连接 AF 设 A、 E 两点间的距离为 xcm， E、F 两点间的距离为 ycm 小亮根据学习函数的经验，对因变量 y 随自变量 x 变化而变化的规律进行了探究（如需作图或作辅助 线，请先将原题草图画在对应题目的答
41、题区域后再作答） 下面是小亮的探究过程，请补充完整： （1）列表：如表的已知数据是根据 A、E 两点间的距离 x 进行取点、画图、测量，分别得到了 x 与 y 的 几组对应值： x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y/cm 9.49 7.62 5.83 4.24 3.16 3.16 4.24 请你通过计算补全表格； （2）描点、连线：在平面直角坐标系 xOy 中，描出剩余的点（x，y），并画出函数 y 关于 x 的图象； （3）根据函数图象，当 E、F 两点间的距离 y 最小时，A、E 两点间的距离约为 4.5 cm； （4）解决问题：当 EFAE2 时，BE 的长度大约是 3.3（答案不唯
42、一） cm （结果保留 1 位小数） 【分析】（1）证明CEF为等腰直角三角形，则 yEFCE，即可求解； （2）根据表格数据，描点连线绘制函数图象即可； （3）观察函数图象即可求解； （4）在（2）的图象的基础上，画出函数 yx+2，观察函数图象即可求解 解：（1）当 x3 时，点 E、F 的位置为 E和 F， 此时 AEAB，故 CEAB， 则ECB904545，即 RtBCE为等腰直角三角形， 点 D 是 BC 的中点，则 DEBC， 则DEB45，故CED45， ABDG，故GCE90， CEF为等腰直角三角形， 则 yEFCEAC6sin4534.24， 故答案为 4.24； （2）
43、根据表格数据，描点连线绘制函数图象如下： （3）从图象看，当 E、F 两点间的距离 y 最小时，A、E 两点间的距离约为 x4.5（cm）， 故答案为 4.5； （4）在（2）的图象的基础上，画出函数 yx+2， 从图象看，两个函数的交点的横坐标为 x2.7（cm）， 则 BEABx62.73.3（cm）（答案不唯一）， 故答案为 3.3（答案不唯一） 22在平面直角坐标系 xOy 中，关于 x 的二次函数 yx2+px+q 的图象过点（1，0），（2，0） （1）求这个二次函数的表达式； （2）求当2x1 时，y 的最大值与最小值的差； （3）一次函数 y（2m）x+2m 的图象与二次函数
44、yx2+px+q 的图象交点的横坐标分别是 a 和 b， 且 a3b，求 m 的取值范围 【分析】（1）由二次函数的图象经过（1，0）和（2，0）两点，组成方程组再解即可求得二次函数的 表达式； （2） 求得抛物线的对称轴， 根据图象即可得出当 x2， 函数有最大值 4； 当 x时函数有最小值， 进而求得它们的差； （3）由题意得 x2x2（2m）x+2m，整理得 x2+（m3）x+m40，解方程求得 x11，x2 4m，根据题意得到 4m3，解得 m1 解：（1）由二次函数 yx2+px+q 的图象经过（1，0）和（2，0）两点， ，解得， 此二次函数的表达式为 yx2x2； （2）抛物线开
45、口向上，对称轴为直线 x， 在2x1 范围内，当 x2，函数有最大值为：y4+224；当 x时函数有最小值：y 2， y 的最大值与最小值的差为：4（）； （3）y（2m）x+2m 与二次函数 yx2x2 图象交点的横坐标为 a 和 b， x2x2（2m）x+2m，整理得 x2+（m3）x+m40， 解得：x11，x24m， a3b， a1，b4m3， 故解得 m1，即 m 的取值范围是 m1 23阅读理解 （1）如图 1，在ABC 中，ABAC，BAC120，D，E 为 BC 边上的点，且DAE60若 BD 1，EC2，求 DE 的长 思考如下：注意到条件中有 ABAC，BAC120，不妨把
46、ACE 绕点 A 顺时针旋转 120，得到 ABF，连接 DF易证ADFADE，从而将线段 BD，DE，EC 集中在了FBD 中，因为FBD 的度 数是 60 BFEC2，BD1，所以 DE 的长为 ； 类比探究 （2）如图 2，在ABC 中，CAB60，ABAC，D，E 为 BC 边上的点，且DAE30，BD2， EC，求 DE 的长； 拓展应用 （3） 如图 3 E 是正方形 ABCD 内一点， AEB90， F 是 BC 边上一点， 且EDF45， 若 AB2， 请直接写出当 DE 取最小值时 CF 的长 【分析】 （1）把ACE 绕点 A 顺时针旋转 120，得到ABF，连接 DF，则
47、 AEAF，EAF120， ABFACE30，证ADEADF（SAS），得 DEDF，再由勾股定理求出 DF，即可得 出答案； （2）先证ABC 是等边三角形，得CABBACB60，ABACBC，将ABD 绕点 A 逆时 针旋转 60，得到ACF，连接 EF，再证EAFEAD（SAS），得 EFDE，过点 F 作 FGBC， 交 BC 的延长线于点 G，然后由含 30角的直角三角形的性质得 CG1，则 EG，即可解决问题； （3）将CDF 绕点 D 顺时针旋转 90，得到ADG，取 AB 的中点 O，连接 OD、OE、OF，则 OA OBAB1，由 DEODOE，得 DE 取最小值时，点 E
48、在 OD 上，再由旋转的性质得 DFDG， CDFADG，然后证ODFODG（SAS），得 OFOG，设 CF 的长为 x，则 OFOG1+x，BF 2x，在 RtOBF 中，由勾股定理得出方程，解方程即可 解：（1）ABAC，BAC120， ABCACB（180120）30， 把ACE 绕点 A 顺时针旋转 120，得到ABF，连接 DF，如图 1 所示： 则 AEAF，EAF120，ABFACE30， FBDABF+ABC30+3060，DAF120DAE1206060， DAEDAF， 在ADE 和ADF 中， ， ADEADF（SAS）， DEDF， BFEC2，BD1， BDBE，
49、在 BF 上取中点 M，连接 DM， 则 BMBF1，BMBD， FBD60， BDM 是等边三角形， BDMBMD60，DMBMFM， MDFMDFBMD30， FDBBDM+MDF90， DF， DE， 故答案为：60，； （2）CAB60，ABAC， ABC 是等边三角形， CABBACB60，ABACBC， 将ABD 绕点 A 逆时针旋转 60，得到ACF，连接 EF，如图 2 所示： 则 AFAD，FCBD2，ACFB60，CAFBAD， CAB60，DAE30， CAE+BAD30， EAFCAE+CAFCAE+BAD30DAE， 在EAF 和EAD 中， ， EAFEAD（SAS
50、）， EFDE， 过点 F 作 FGBC，交 BC 的延长线于点 G， ECFACE+ACF60+60120， FCG60， CFG30， CGFC21， EGEC+CG+1， 在 RtFCG 中，由勾股定理得：FG， 在 RtFEG 中，由勾股定理得：EF， DE； （3）将CDF 绕点 D 顺时针旋转 90，得到ADG，取 AB 的中点 O，连接 OD、OE、OF，如图 3 所 示： 则 OAOBAB1， DEODOE， DE 取最小值时，点 E 在 OD 上，如图 4 所示： 由旋转的性质得：DFDG，CDFADG， EDF45， CDF+ADO904545， ODGADO+ADGADO
