1、2021 年河南省南阳市唐河县中考数学一模试卷年河南省南阳市唐河县中考数学一模试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，满分分，满分 30 分分） 1 （3 分）在实数|3.14|，3， 中，最小的数是（ ） A B3 C|3.14| D 2 （3 分）目前世界上刻度最小的标尺是钻石标尺，它的最小刻度为 0.2nm（其中 1nm10 9m） ，用科学记 数法表示这个最小刻度（单位：m） ，结果是（ ） A210 8m B210 9m C210 10m D210 11m 3 （3 分）下列说法正确的是（ ） A端午节我们有吃粽子的习俗，为了保证大家吃上放心的粽子，质监部门对广安市市场上
2、的粽子实行 全面调查 B一组数据1，2，5，7，7，7，4 的众数是 7，中位数是 7 C海底捞月是必然事件 D甲、乙两名同学各跳远 10 次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲同学跳远成绩的方差为 1.2，乙同 学跳远成绩的方差为 1.6，则甲同学发挥比乙同学稳定 4 （3 分）已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ） A B C D 5 （3 分）如图摆放的一副学生用直角三角板，F30，C45，AB 与 DE 相交于点 G，当 EFBC 时，EGB 的度数是（ ） A135 B120 C115 D105 6 （3 分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 7 （3
3、 分）若点 A（2，y1） ，B（1，y2） ，C（3，y3）在反比例函数 y的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By3y1y2 Cy2y1y3 Dy3y2y1 8 （3 分）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4若随机摸出一 个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于 5 的概率为（ ） A B C D 9 （3 分）如图，已知 RtAOB 的顶点 O（0，0） ，AOB90，点 B 在 x 轴正半轴上，点 A 在 y 轴正半 轴上，按以下步骤作图：以点 A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 AO、AB
4、于点 M，N；分别以 点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径作弧，两弧交于点 P，连接 AP，交 BO 于点 C过点 C 作 CD BO 交 AB 于点 D若 CD2，B30，则点 A 的坐标为（ ） A （0，3） B （0，4） C （0，5） D （0，6） 10 （3 分）如图，边长分别为 1 和 2 的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后 把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止设小三角形移动的距离为 x，两个三角形重叠面积 为 y，则 y 关于 x 的函数图象是（ ） A B C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，满分分，满分 15 分）
5、分） 11 （3 分）（） 1 12 （3 分）二次函数 yx2bx+1 的顶点在 x 轴上，则 b 13 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在 DC 上，将矩形沿 AE 折叠，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处若 AB3，BC5，则 tanDAE 的值为 14 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 为 AB 中点，以 BE 为边作正方形 BEFG边 EF 交 CD 于点 H在 边 BE 上取点 M 使 BMBC作 MNBG 交 CD 于点 L，交 FG 于点 N，欧儿里得在几何原本中利 用该图解释了 （a+b）（ab） a2b2， 现以点 F 为圆心， FE 为半径作圆孤
6、交线段 DH 于点 P， 连接 EP 记 EPH 的面积为 S1，图中阴影部分的面积为 S2若点 A，L，G 在同一直线上，则的值 为 15 （3 分）如图，在圆心角为 90的扇形 OAB 中，半径 OA2cm，C 为的中点，D、E 分别是 OA、OB 的中点，则图中阴影部分的面积为 cm2 三三.解答题（共解答题（共 8 小题，满分小题，满分 75 分）分） 16 （8 分）求代数式（x1）的值，其中 x+1 17 （9 分）家庭过期药品属于“国家危险废物” ，处理不当将污染环境，危害健康某市药监部门为了解市 民家庭处理过期药品的方式，决定对全市家庭作一次简单随机抽样调查 （1）下列选取样本
7、的方法最合理的一种是 （只需填上正确答案的序号） 在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取；在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取；在全 市常住人口中以家庭为单位随机抽取 （2）本次抽样调查发现，接受调查的家庭都有过期药品，现将有关数据呈现如图： m ，n ； 补全条形统计图； 扇形统计图中扇形 C 的圆心角度数是 家庭过期药品的正确处理方式是送回收点，若该市有 180 万户家庭，请估计大约有多少户家庭处理过 期药品的方式是送回收点 18 （9 分）如图：一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端 的视角分别是DCA30和DCB60， 如果斑马线的宽度是 AB3
8、 米， 驾驶员与车头的距离是 0.8 米，这时汽车车头与斑马线的距离 x 是多少？ 19 （9 分）如图 1 是一种简易三分角器的示意图，其中 AB 与半圆 O 的直径 BC 在同一直线上，且 AB 的长 度与半圆的半径相等； DB 与 AC 垂直于点 B， DB 足够长 使用方法如图 2 所示， 若要把MEN 三等分， 只需适当放置三分角器，使 DB 经过MEN 的顶点 E点 A 落在边 EM 上，半圆 O 与另一边 EN 恰好相 切，切点为 F，则 EB，EO 就把MEN 三等分了请证明这一方法的正确性 （写出已知、求证、证明） 20 （9 分）如图，一次函数 yx+b 与反比例函数 y（
9、x0）的图象交于点 A（m，3）和 B（3，1） （1）填空：一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ； （2）请直接写出不等式组x+b 的解集是 ； （3）点 P 是线段 AB 上一点，过点 P 作 PDx 轴于点 D，连接 OP，若POD 的面积为 S，求 S 的最大 值和最小值 21 （10 分）5G 时代的到来，将给人类生活带来巨大改变现有 A、B 两种型号的 5G 手机，进价和售价如 表所示：型号价格 价格 型号 进价（元/部） 售价（元/部） A 3000 3400 B 3500 4000 某营业厅购进 A、B 两种型号手机共花费 32000 元，手机销售完成后共获得利润 44
10、00 元 （1）营业厅购进 A、B 两种型号手机各多少部？ （2） 若营业厅再次购进 A、 B 两种型号手机共 30 部， 其中 B 型手机的数量不多于 A 型手机数量的 2 倍， 请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？ 22 （10 分） （1）发现问题： 如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中，ACB90，点 F 为 BC 上一点，以 BF 为边作正方形 BFED，点 E 在 AB 上，若 ACBC2，BF，则 ； （2）类比探究： 如图 2，在（1）的条件下，将正方形 BFED 绕点 B 旋转，连接 AE，BE，CF，求的值； （3）拓展延伸： 在
11、（2）的条件下，当 A，E，F 三点共线时，直接写出线段 CF 的长 23 （11 分）抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 A 的坐标为（1，0） ，点 C 的坐标为（0，3） 点 P 为抛物线 yx2+bx+c 上的一个动点过点 P 作 PDx 轴于点 D，交直线 BC 于点 E （1）求 b、c 的值； （2）设点 F 在抛物线 yx2+bx+c 的对称轴上，当ACF 的周长最小时，直接写出点 F 的坐标； （3）在第一象限，是否存在点 P，使点 P 到直线 BC 的距离是点 D 到直线 BC 的距离的 5 倍？若存在， 求出点 P 所有的坐标
12、；若不存在，请说明理由 2021 年河南省南阳市唐河县中考数学一模试卷年河南省南阳市唐河县中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，满分分，满分 30 分分） 1 （3 分）在实数|3.14|，3， 中，最小的数是（ ） A B3 C|3.14| D 【解答】解： |3|3 （3） C、D 项为正数，A、B 项为负数， 正数大于负数， 故选：B 2 （3 分）目前世界上刻度最小的标尺是钻石标尺，它的最小刻度为 0.2nm（其中 1nm10 9m） ，用科学记 数法表示这个最小刻度（单位：m） ，结果是（ ） A210 8m B210
13、9m C210 10m D210 11m 【解答】解：0.2nm0.210 9m21010m 故选：C 3 （3 分）下列说法正确的是（ ） A端午节我们有吃粽子的习俗，为了保证大家吃上放心的粽子，质监部门对广安市市场上的粽子实行 全面调查 B一组数据1，2，5，7，7，7，4 的众数是 7，中位数是 7 C海底捞月是必然事件 D甲、乙两名同学各跳远 10 次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲同学跳远成绩的方差为 1.2，乙同 学跳远成绩的方差为 1.6，则甲同学发挥比乙同学稳定 【解答】解：A、端午节我们有吃粽子的习俗，为了保证大家吃上放心的粽子，质监部门对广安市市场 上的粽子实行抽样调查，本
14、选项说法错误，不符合题意； B、一组数据1，2，5，7，7，7，4 的众数是 7，中位数是 5，本选项说法错误，不符合题意； C、海底捞月是不可能事件，本选项说法错误，不符合题意； D、甲、乙两名同学各跳远 10 次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲同学跳远成绩的方差为 1.2，乙同 学跳远成绩的方差为 1.6，则甲同学发挥比乙同学稳定，本选项说法正确，符合题意； 故选：D 4 （3 分）已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ） A B C D 【解答】解：由三视图可知，这个几何体是 故选：D 5 （3 分）如图摆放的一副学生用直角三角板，F30，C45，AB 与 DE 相交于点 G，
15、当 EFBC 时，EGB 的度数是（ ） A135 B120 C115 D105 【解答】解：过点 G 作 HGBC， EFBC， GHBCEF， HGBB，HGEE， 在 RtDEF 和 RtABC 中，F30，C45 E60，B45 HGBB45，HGEE60 EGBHGE+HGB60+45105 故EGB 的度数是 105， 故选：D 6 （3 分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 【解答】解：解不等式 3（x2）x4，得：x1， 解不等式 3x2x2，得：x2， 故选：D 7 （3 分）若点 A（2，y1） ，B（1，y2） ，C（3，y3）在反比例函数 y的图
16、象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By3y1y2 Cy2y1y3 Dy3y2y1 【解答】解：点 A（2，y1） ，B（1，y2） ，C（3，y3）在反比例函数例函数 y的图象上， y1，y2（k2+3） ，y3， y2y1y3， 故选：C 8 （3 分）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4若随机摸出一 个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于 5 的概率为（ ） A B C D 【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 共有 12 种可能出现的结果，其中“和为 5”的有 4 种， P（和为5
17、） 故选：C 9 （3 分）如图，已知 RtAOB 的顶点 O（0，0） ，AOB90，点 B 在 x 轴正半轴上，点 A 在 y 轴正半 轴上，按以下步骤作图：以点 A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 AO、AB 于点 M，N；分别以 点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径作弧，两弧交于点 P，连接 AP，交 BO 于点 C过点 C 作 CD BO 交 AB 于点 D若 CD2，B30，则点 A 的坐标为（ ） A （0，3） B （0，4） C （0，5） D （0，6） 【解答】解：由尺规作图可知：AC 平分BAO， AOB90，B30， BAO60， BACOAC30， CDBO，
18、即 AOCD， ACDOAC30， ADCD， 设 CDa，则 ADa，BD2a，即 AB3a， BD：AB2：3， AOCD， BCDBOA， CD：AO2：3， CD2， AO3 故选：A 10 （3 分）如图，边长分别为 1 和 2 的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后 把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止设小三角形移动的距离为 x，两个三角形重叠面积 为 y，则 y 关于 x 的函数图象是（ ） A B C D 【解答】解：0 x1 时，两个三角形重叠面积为小三角形的面积， y1， 当 1x2 时，重叠三角形的边长为 2x，高为， y（2x）x2x+，
19、当 x2 时，两个三角形没有重叠的部分，即重叠面积为 0， 故选：B 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，满分分，满分 15 分）分） 11 （3 分）（） 1 0 【解答】解：原式2（2） 2+2 0， 故答案为：0 12 （3 分）二次函数 yx2bx+1 的顶点在 x 轴上，则 b 2 或2 【解答】解：yx2bx+1（x）2+1， 则抛物线的顶点坐标为（，1） ， 该二次函数的图象的顶点在 x 轴上， 10， 解得：b2 或 b2， 故答案为：2 或2 13 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在 DC 上，将矩形沿 AE 折叠，使点 D 落在 BC 边上的点 F
20、处若 AB3，BC5，则 tanDAE 的值为 【解答】解：由翻折变换可知，ADAF5， 在 RtABF 中，由勾股定理得， BF4， FCBCBF541， 设 DEx，则 EFx，EC3x， 在 RtEFC 中，由勾股定理得， 12+（3x）2x2， 解得 x， 即 DE， 在 RtADE 中， tanDAE， 故答案为： 14 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 为 AB 中点，以 BE 为边作正方形 BEFG边 EF 交 CD 于点 H在 边 BE 上取点 M 使 BMBC作 MNBG 交 CD 于点 L，交 FG 于点 N，欧儿里得在几何原本中利 用该图解释了 （a+b）（ab）
21、 a2b2， 现以点 F 为圆心， FE 为半径作圆孤交线段 DH 于点 P， 连接 EP 记 EPH 的面积为 S1，图中阴影部分的面积为 S2若点 A，L，G 在同一直线上，则的值为 【解答】解：如图，连接 AL，GL，PF 由题意：S矩形AMLDS阴a2b2，PH， 点 A，L，G 在同一直线上，AMGN， AMLGNL， ， ， 整理得 a3b， ， 故答案为： 15 （3 分）如图，在圆心角为 90的扇形 OAB 中，半径 OA2cm，C 为的中点，D、E 分别是 OA、OB 的中点，则图中阴影部分的面积为 （+） cm2 【解答】解：连接 OC，过 C 点作 CFOA 于 F， 半
22、径 OA2cm，C 为的中点，D、E 分别是 OA、OB 的中点， ODOE1cm，OC2cm，AOC45， CF， 空白图形 ACD 的面积扇形 OAC 的面积三角形 OCD 的面积 （cm2） 三角形 ODE 的面积ODOE（cm2） ， 图中阴影部分的面积扇形 OAB 的面积空白图形 ACD 的面积三角形 ODE 的面积 （） +（cm2） 故图中阴影部分的面积为（+）cm2 故答案为： （+） 三三.解答题（共解答题（共 8 小题，满分小题，满分 75 分）分） 16 （8 分）求代数式（x1）的值，其中 x+1 【解答】解：原式（） x（x1） ， 当 x+1 时， 原式（+1） （
23、+11） （+1） 2 17 （9 分）家庭过期药品属于“国家危险废物” ，处理不当将污染环境，危害健康某市药监部门为了解市 民家庭处理过期药品的方式，决定对全市家庭作一次简单随机抽样调查 （1）下列选取样本的方法最合理的一种是 （只需填上正确答案的序号） 在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取；在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取；在全 市常住人口中以家庭为单位随机抽取 （2）本次抽样调查发现，接受调查的家庭都有过期药品，现将有关数据呈现如图： m 20 ，n 6 ； 补全条形统计图； 扇形统计图中扇形 C 的圆心角度数是 36 家庭过期药品的正确处理方式是送回收点，若该市有 180 万户
24、家庭，请估计大约有多少户家庭处理过 期药品的方式是送回收点 【解答】解： （1）选取样本的方法最合理的一种是在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取； 故答案为：； （2）抽样调查的家庭总户数为：808%1000（户） ， m%20%，m20， n%6%，n6 故答案为 20，6； C 类户数为：1000（80+510+200+60+50）100， 条形统计图补充如下： 扇形统计图中扇形 C 的圆心角度数是 36010%36， 故答案为：36； 18010%18（万户） 答：若该市有 180 万户家庭，估计大约有 18 万户家庭处理过期药品的方式是送回收点 18 （9 分）如图：一辆汽车在一个十字
25、路口遇到红灯刹车停下，汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端 的视角分别是DCA30和DCB60， 如果斑马线的宽度是 AB3 米， 驾驶员与车头的距离是 0.8 米，这时汽车车头与斑马线的距离 x 是多少？ 【解答】解：如图：延长 AB CDAB， CAB30，CBF60； BCA603030，即BACBCA； BCAB3 米； RtBCF 中，BC3 米，CBF60； BFBC1.5 米； 故 xBFEF1.50.80.7 米 答：这时汽车车头与斑马线的距离 x 是 0.7 米 19 （9 分）如图 1 是一种简易三分角器的示意图，其中 AB 与半圆 O 的直径 BC 在同一直线上，且 AB
26、 的长 度与半圆的半径相等； DB 与 AC 垂直于点 B， DB 足够长 使用方法如图 2 所示， 若要把MEN 三等分， 只需适当放置三分角器，使 DB 经过MEN 的顶点 E点 A 落在边 EM 上，半圆 O 与另一边 EN 恰好相 切，切点为 F，则 EB，EO 就把MEN 三等分了请证明这一方法的正确性 （写出已知、求证、证明） 【解答】已知：EBAC，ABOB，EF 切半圆 O 于点 F， 求证：123 证明：如图，连接 OF EN 切半圆 O 于点 F， OFEF， EBAC 且 OFOB， EO 平分BEF， 32， EBAC， ABEOBE90， ABOB，EBEB， ABE
27、OBE（SAS） ， 12， 123 20 （9 分）如图，一次函数 yx+b 与反比例函数 y（x0）的图象交于点 A（m，3）和 B（3，1） （1）填空：一次函数的解析式为 yx+4 ，反比例函数的解析式为 y ； （2）请直接写出不等式组x+b 的解集是 1x3 ； （3）点 P 是线段 AB 上一点，过点 P 作 PDx 轴于点 D，连接 OP，若POD 的面积为 S，求 S 的最大 值和最小值 【解答】解： （1）将 B（3，1）代入 yx+b 得： 13+b，解得 b4， 一次函数的解析式为 yx+4， 将 B（3，1）代入 y得： 1，解得 k3， 反比例函数的解析式为 y；
28、（2）将 A（m，3）代入 yx+4 得： 3m+4，解得 m1， A（1，3） ， 由图可得，x+b 得解集为：1x3； （3）点 P 是线段 AB 上一点，设 P（n，n+4） ， 1n3， SODPDn（n+4）（n24n）（n2）2+2， 0，且 1n3， 当 n2 时，S 有最大值，且最大值是 2， 当 n1 或 n3 时，S 有最小值，且最小值是 21 （10 分）5G 时代的到来，将给人类生活带来巨大改变现有 A、B 两种型号的 5G 手机，进价和售价如 表所示：型号价格 价格 型号 进价（元/部） 售价（元/部） A 3000 3400 B 3500 4000 某营业厅购进 A
29、、B 两种型号手机共花费 32000 元，手机销售完成后共获得利润 4400 元 （1）营业厅购进 A、B 两种型号手机各多少部？ （2） 若营业厅再次购进 A、 B 两种型号手机共 30 部， 其中 B 型手机的数量不多于 A 型手机数量的 2 倍， 请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？ 【解答】解： （1）设营业厅购进 A、B 两种型号手机分别为 a 部、b 部， ， 解得， 答：营业厅购进 A、B 两种型号手机分别为 6 部、4 部； （2）设购进 A 种型号的手机 x 部，则购进 B 种型号的手机（30 x）部，获得的利润为 w 元， w（34
30、003000）x+（40003500） （30 x）100 x+15000， B 型手机的数量不多于 A 型手机数量的 2 倍， 30 x2x， 解得，x10， w100 x+15000，k100， w 随 x 的增大而减小， 当 x10 时，w 取得最大值，此时 w14000，30 x20， 答：营业厅购进 A 种型号的手机 10 部，B 种型号的手机 20 部时获得最大利润，最大利润是 14000 元 22 （10 分） （1）发现问题： 如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中，ACB90，点 F 为 BC 上一点，以 BF 为边作正方形 BFED，点 E 在 AB 上，若 ACBC2，B
31、F，则 ； （2）类比探究： 如图 2，在（1）的条件下，将正方形 BFED 绕点 B 旋转，连接 AE，BE，CF，求的值； （3）拓展延伸： 在（2）的条件下，当 A，E，F 三点共线时，直接写出线段 CF 的长 【解答】解： （1）如图 1， RtABC 中，ACBC2，C90， AB2， 四边形 BFED 是正方形， BFE90，BFEF， BE2， AE22，CF2， ； 故答案为：； （2）如图 2，由旋转得：CBFABE， ABC 是等腰直角三角形， ， 四边形 BFED 是正方形， ， ， ABECBF， ； （3）分两种情况： 如图 3，A，E，F 三点共线， RtAFB 中
32、，AB2，BF， AF， AE， 由（2）知：ABECBF， ， CF1； 如图 4，A，E，F 三点共线， AFBBFE90， AF， AEAF+EF+， 同理得：CF+1； 综上，CF 的长为1 或+1 23 （11 分）抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 A 的坐标为（1，0） ，点 C 的坐标为（0，3） 点 P 为抛物线 yx2+bx+c 上的一个动点过点 P 作 PDx 轴于点 D，交直线 BC 于点 E （1）求 b、c 的值； （2）设点 F 在抛物线 yx2+bx+c 的对称轴上，当ACF 的周长最小时，直接写出点 F 的坐标；
33、（3）在第一象限，是否存在点 P，使点 P 到直线 BC 的距离是点 D 到直线 BC 的距离的 5 倍？若存在， 求出点 P 所有的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）把 A、C 点的坐标代入抛物线的解析式得， ， 解得，； （2）直线 BC 与抛物线的对称轴交于点 F，连接 AF，如图 1， 此时，AF+CFBF+CFBC 的值最小， AC 为定值， 此时AFC 的周长最小， 由（1）知，b2，c3， 抛物线的解析式为：yx22x3， 对称轴为 x1， 令 y0，得 yx22x30， 解得，x1，或 x3， B（3，0） ， C（0，3） ， 设直线 BC 的解析式为：ykx+b（k0） ，得 ， 解得， 直线 BC 的解析式为：yx3， 当 x1 时，yx32， F（1，2） ； （3）设 P（m，m22m3） （m3） ，过 P 作 PHBC 于 H，过 D 作 DGBC 于 G，如图 2， 则 PH5DG，E（m，m3） ， PEm23m，DEm3， PHEDGE90，PEHDEG， PEHDEG， ， ， m3（舍） ，或 m5， 点 P 的坐标为 P（5，12） 故存在点 P，使点 P 到直线 BC 的距离是点 D 到直线 BC 的距离的 5 倍，其 P 点坐标为（5，12）
