1、2020-2021 学年河南省南阳市邓州市九年级（上）期中数学试卷学年河南省南阳市邓州市九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上。分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上。 1下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A B C D 2下列方程是一元二次方程的是（ ） Aax2+bx+c0 Bx2+2xx21 C （x1） （x3）0 D2 3如果12a，则（ ） Aa Ba Ca Da 4已知关于 x 的一元二次方程（a2）x22x+a240 有一个根为 0，则 a 的值为（ ） A0 B2 C2 D2 5把方程
2、 2x24x10 化为（x+m）2的形式，则 m 的值是（ ） A2 B1 C1 D2 6如图，直线 l1l2l3，直线 AC 分别交 l1，l2，l3于 A、B、C，直线 DF 交 l1，l2，l3于点 D、E、F，AC 与 DF 相交于点 G，且 AG2，GB1，BC5，则的值为（ ） A B C D 7如图，在ABC 中，A78，AB4，AC6，将ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与 原三角形不相似的是（ ） A B C D 8在一幅长为 70cm，宽为 40cm 的矩形风景画的四周镶一条相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所 示，如果要使整个挂图的面积是 4800cm2，设
3、金色纸边的宽为 xcm，那么 x 满足的方程是（ ） Ax2+110 x10000 Bx2+55x5000 Cx2110 x10000 Dx255x5000 9如图，在ABC 中，ABAC10，BC12，正方形 DEFG 的顶点 E，F 在ABC 内，顶点 D，G 分别 在 AB，AC 上，ADAG，DG3，则点 F 到 BC 的距离为（ ） A3 B2 C D 10如图，矩形 ABCD 中，AB6，BC8，动点 P 从点 A 出发，按 ABC 的方向在 AB 和 BC 上移动， 记 PAx，点 D 到直线 PA 的距离为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是（ ） A B C D 二、填空
4、题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11若式子有意义，则 x 的取值范围是 12若 m 是方程 x23x50 的根，则代数式 3m29m10 的值为 13目前以 5G 等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市 2019 年底有 5G 用户 2 万户，计划到 2021 年底 全市 5G 用户数累计达到 8.72 万户，设全市 5G 用户数年平均增长率为 x，可列方程为 14五子棋深受广大棋友的喜爱，其规则是：在 1515 的正方形棋盘中，由黑方先行，轮流奕子，在任何 一方向（横向竖向或斜线方向）上连成五子者为胜如图是两个五子棋爱好者甲和乙的部分对弈图（甲执 黑子先行乙执
5、白子后走） ，观察棋盘思考：若 A 点的位置记作（8，4） ，若不让乙在短时内获胜，则甲必 须落子的位置是 （用坐标表示） 15如图，平行四边形 ABCD 的顶点 C 在等边三角形 BEF 的边 BF 上，E 点在 AB 延长线上，G 为 DE 的中 点，连结 CG，若 AD6，ABCF4，则 CG 的长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16 （9 分）计算：+（）+ 17解方程： （1）2（x3）2x29； （2）3x224x 18 （8 分）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形网格中， （1）画出ABC 向上平移 6 个单位，再
6、向右平移 5 个单位后的A1B1C1； （2）以点 B 为位似中心，将ABC 放大为原来的 2 倍，得到A2BC2，请在网格中画出A2BC2； （3）直接写出CC1C2的面积，及 A1，A2的坐标 19 （9 分）已知 x1、x2是关于 x 的方程 x22（m+1）x+m2+50 的两个不相等的实数根 （1）求实数 m 的取值范围； （2）已知等腰ABC 的一边长为 7，若 x1、x2恰好是ABC 另外两边长，求这个三角形的周长 20 （9 分） 在ABC 中， BC10cm， AC6cm， 点 P 从点 B 出发， 沿 BC 方向以 2cm/s 的速度向点 C 移动， 点 Q 从点 C 出发
7、，沿 CA 方向以 1cm/s 的速度向点 A 移动，若 P，Q 同时出发，设运动时间为 ts，则 CPQ 能否与CBA 相似？若能，求 t 的值；若不能，请说明理由 21 （9 分）如图，在菱形 ABCD 中，G 是 BD 上一点，连结 CG，并延长交 BA 的延长线于点 F，交 AD 于 点 E （1）求证：AGCG （2）若 GE2，EF4，求 CG 的长 22 （10 分） “新冠”疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品，某药店销售普通口罩和 N95 口罩，今年 8 月份的进价如表： 普通口罩 N95 口罩 进价（元/包） 8 20 （1）计划 N95 口罩每包售价比普通口罩贵 16
8、元，7 包普通口罩和 3 包 N95 口罩总售价相同，求普通口 罩和 N95 口罩每包售价 （2）按（1）中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为 120 包，当每包售价降价 1 元时， 日均销售量增加 20 包，该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为 320 元，求此时普通口罩每包售价 （3）疫情期间，该药店进货 3000 包 N95 口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了 500 包后，又打 9 折 销售，全部售完，这批 3000 包的 N95 口罩所获利润为多少元？ 23 （10 分）阅读探究 如图，在四边形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E，点
9、 E 不与 A，B 重合，分别连接 ED，EC，可以把四边 形 ABCD 分成三个三角形， 如果其中有两个三角形相似， 我们把 E 叫做四边形 ABCD 边 AB 上的相似点； 如果这三个三角形都相似，我们就把 E 叫做四边形 ABCD 边 AB 上的“强相似点” （1）如图，若ABDEC40，试判断点 E 是否是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似 点？ ； （填是或否） （2）如图，在ABC 中，ACB90，直角顶点 C 在直线 DE 上，分别过点 A，B 作 ADDE 于 点 D，BEDE 于点 E，试判断点 C 是否是四边形 ABED 边 DE 上的相似点并说明理由 （3）如图，AD
10、BC，DP 平分ADC，CP 平分BCD 交 DP 于 P，过点 P 作 ABAD 于点 A，交 BC 于点 B，求证：点 P 是四边形 ABCD 边 AB 上的一个强相似点 24 （11 分）如图 1，在正方形 ABCD 中，AB4，点 E 在 AC 上，且 AE，过 E 点作 EFAC 于点 E， 交 AB 于点 F，连接 CF，DE 【问题发现】 （1）线段 DE 与 CF 的数量关系是 ，直线 DE 与 CF 所夹锐角的度数是 ； 【拓展探究】 （2）当AEF 绕点 A 顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请写出结论，并结合图 2 给出证明； 若不成立，请说明理由； 【解决问题】
11、（3）在（2）的条件下，当点 E 到直线 AD 的距离为 1 时，请直接写出 CF 的长 2020-2021 学年河南省南阳市邓州市九年级（上）期中数学试卷学年河南省南阳市邓州市九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上。分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上。 1下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A B C D 【分析】直接利用最简二次根式的定义得出答案 【解答】解：A、，故不是最简二次根式，不合题意； B、2，故不是最简二次根式，不合题意； C、，是最简二次根式，符
12、合题意； D、，故不是最简二次根式，不合题意； 故选：C 2下列方程是一元二次方程的是（ ） Aax2+bx+c0 Bx2+2xx21 C （x1） （x3）0 D2 【分析】根据一元二次方程的定义分别判断即可 【解答】解：A、没有说明 a 是否为 0，所以不一定是一元二次方程； B、移项合并同类项后未知数的最高次为 1，所以不是一元二次方程； C、方程可整理为 x24x+30，所以是一元二次方程； D、不是整式方程，所以不是一元二次方程； 故选：C 3如果12a，则（ ） Aa Ba Ca Da 【分析】由已知得 12a0，从而得出 a 的取值范围即可 【解答】解：， 12a0， 解得 a
13、故选：B 4已知关于 x 的一元二次方程（a2）x22x+a240 有一个根为 0，则 a 的值为（ ） A0 B2 C2 D2 【分析】把 x0 代入方程计算，检验即可求出 a 的值 【解答】解：把 x0 代入方程得：a240， （a2） （a+2）0， 可得 a20 或 a+20， 解得：a2 或 a2， 当 a2 时，a20，此时方程不是一元二次方程，舍去； 则 k 的值为2 故选：D 5把方程 2x24x10 化为（x+m）2的形式，则 m 的值是（ ） A2 B1 C1 D2 【分析】先把二次项系数化为 1 得到 x22x，然后把方程两边加上 1 后利用完全平方公式变形得到 （x1）
14、2，从而得到 m 的值 【解答】解：x22x， x22x+1+1， （x1）2， 所以 m1 故选：B 6如图，直线 l1l2l3，直线 AC 分别交 l1，l2，l3于 A、B、C，直线 DF 交 l1，l2，l3于点 D、E、F，AC 与 DF 相交于点 G，且 AG2，GB1，BC5，则的值为（ ） A B C D 【分析】先求出，再证ADGCFG，由相似三角形的性质对应边的比相等即可求出结论 【解答】解：GB1，BC5， GCGB+BC6， ， l1l3， ADGCFG， ， 故选：B 7如图，在ABC 中，A78，AB4，AC6，将ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与 原三
15、角形不相似的是（ ） A B C D 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可 【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确 D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误； 故选：C 8在一幅长为 70cm，宽为 40cm 的矩形风景画的四周镶一条相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所 示，如果要使整个挂图的面积是 4800cm2，设金色纸边的宽为 xcm，那么 x 满足的方程是
16、（ ） Ax2+110 x10000 Bx2+55x5000 Cx2110 x10000 Dx255x5000 【分析】根据题意可知：矩形挂图的长为（70+2x）cm，宽为（40+2x）cm；则运用面积公式列方程即可 【解答】解：挂图长为（70+2x）cm，宽为（40+2x）cm， 所以根据矩形的面积公式可得： （70+2x） （40+2x）4800， 整理得：x2+55x5000， 故选：B 9如图，在ABC 中，ABAC10，BC12，正方形 DEFG 的顶点 E，F 在ABC 内，顶点 D，G 分别 在 AB，AC 上，ADAG，DG3，则点 F 到 BC 的距离为（ ） A3 B2 C
17、 D 【分析】过点 A 作 AMBC 于点 M，交 DG 于点 N，延长 GF 交 BC 于点 H，通过证明ADGABC， 可得ADGB，可证 DGBC，可证ADGABC，然后根据相似三角形的性质以及正方形的性质 求解即可求得答案 【解答】解：过点 A 作 AMBC 于点 M，交 DG 于点 N，延长 GF 交 BC 于点 H， ABAC，ADAG， AD：ABAG：AC， BACDAG， ADGABC， ADGB， DGBC， 四边形 DEFG 是正方形， FGDG， FHBC，ANDG， ABAC10，BC12， BMBC6， AM8， DGBC， ADGABC， ， ， AN2， MNA
18、MAN6， FHMNGF633， 故选：A 10如图，矩形 ABCD 中，AB6，BC8，动点 P 从点 A 出发，按 ABC 的方向在 AB 和 BC 上移动， 记 PAx，点 D 到直线 PA 的距离为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是（ ） A B C D 【分析】点 P 在 AB 上时，点 D 到 AP 的距离为 AD 的长度，点 P 在 BC 上时，根据同角的余角相 等求出APBPAD，再利用相似三角形的性质列出比例式整理得到 y 与 x 的关系式，从而得解 【解答】解：点 P 在 AB 上时，0 x6，点 D 到 AP 的距离为 AD 的长度，是定值 8； 点 P 在 BC
19、上时，6x10， APB+BAP90， PAD+BAP90， APBPAD， 又BDEA90， ABPDEA， ， 即， y， 纵观各选项，只有 D 选项图形符合 故选：D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11若式子有意义，则 x 的取值范围是 x2 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于 0，分母不等于 0，列不等式求解 【解答】解：若式子有意义， 则需， x2， 故答案为：x2 12若 m 是方程 x23x50 的根，则代数式 3m29m10 的值为 5 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把 xm 代入 x23x50 得 m23
20、m5，然后把 3m29m 变 形为 3（m23m） ，然后利用整体代入的方法计算 【解答】解：把 xm 代入 x23x50，得 m23m50， 所以 m23m5， 所以 3m29m103（m23m）1035105 故答案是：5 13目前以 5G 等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市 2019 年底有 5G 用户 2 万户，计划到 2021 年底 全市5G用户数累计达到8.72万户， 设全市5G用户数年平均增长率为x， 可列方程为 2 （1+x） 28.72 【分析】 设全市 5G 用户数年平均增长率为 x， 根据该市 2019 年底及计划到 2021 年底全市 5G 用户数量， 即可得出关于
21、 x 的一元二次方程 【解答】解：设全市 5G 用户数年平均增长率为 x， 依题意，得：2（1+x）28.72， 故答案为：2（1+x）28.72 14五子棋深受广大棋友的喜爱，其规则是：在 1515 的正方形棋盘中，由黑方先行，轮流奕子，在任何 一方向（横向竖向或斜线方向）上连成五子者为胜如图是两个五子棋爱好者甲和乙的部分对弈图（甲执 黑子先行乙执白子后走） ，观察棋盘思考：若 A 点的位置记作（8，4） ，若不让乙在短时内获胜，则甲必 须落子的位置是 （5，3）或（1，7） （用坐标表示） 【分析】根据 A 点的位置表示的坐标规律，结合五子棋中白棋已经有三个在一条直线上的情况，合理地 选择
22、黑棋的落点 【解答】解：白棋已经有三个在一条直线上， 甲必须在（5，3）或（1，7）位置上落子，才不会让乙马上获胜 故答案为： （5，3）或（1，7） 15如图，平行四边形 ABCD 的顶点 C 在等边三角形 BEF 的边 BF 上，E 点在 AB 延长线上，G 为 DE 的中 点，连结 CG，若 AD6，ABCF4，则 CG 的长为 3 【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到 BF 和 BE 的长，然后可以证明DCG 和EHG 全等，然后即可得到 CG 的长 【解答】解：如图，延长 CG 交 BE 于点 H， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，CDAB，DCAB，
23、 AD6，ABCF4， CD4，BC6， BFBC+CF10， BEF 是等边三角形，G 为 DE 的中点， BFBE10，DGEG， DCAB， CDGHEG， 在DCG 和EHG 中， ， DCGEHG（ASA） ， DCEH，CGHG， CD4，BE10， HE4，BH6， CBH60，BCBH6， CBH 是等边三角形， CHBC6， CGCH3， 故答案为：3 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16 （9 分）计算：+（）+ 【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，合并同类二次根式得到答案 【解答】解：原式3+2+4+2 2
24、 17解方程： （1）2（x3）2x29； （2）3x224x 【分析】 （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可 【解答】解： （1）移项得：2（x3）2（x29）0， 分解因式得： （x3） （x9）0， 解得：x13，x29 （2）3x24x20， a3，b4，c2， b24ac1643（2）40， x， x1，x2 18 （8 分）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形网格中， （1）画出ABC 向上平移 6 个单位，再向右平移 5 个单位后的A1B1C1； （2）以点 B 为位似中心，将ABC 放大为原来的 2 倍，得到A2BC2，请在网格中画出A2BC2； （3）
25、直接写出CC1C2的面积，及 A1，A2的坐标 【分析】 （1）利用点平移的坐标变换规律写出 A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）延长 BA 到 A2使 BA22BA，延长 BC 到 C2使 BC22BC，从而得到A2BC2； （3）利用三角形面积公式CC1C2的面积，然后利用（1） 、 （2）中所画图形写出 A1，A2的坐标 【解答】解： （1）如图，A1B1C1为所作； （2）如图，A2BC2为所作； （3）CC1C2的面积369； A1的坐标为（7，9） ；A2的坐标为（3，5） 19 （9 分）已知 x1、x2是关于 x 的方程 x22（m+1）x+m2+50 的两个不相等的
26、实数根 （1）求实数 m 的取值范围； （2）已知等腰ABC 的一边长为 7，若 x1、x2恰好是ABC 另外两边长，求这个三角形的周长 【分析】 （1）由根的判别式即可得； （2）由题意得出方程的另一根为 7，将 x7 代入求出 x 的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可 得 【解答】解： （1）由题意得4（m+1）24（m2+5）0， 解得：m2； （2）由题意，x1x2时， 只能取 x17 或 x27，即 7 是方程的一个根， 将 x7 代入得：4914（m+1）+m2+50， 解得：m4 或 m10， 当 m4 时，方程的另一个根为 3，此时三角形三边分别为 7、7、3，周长为 17
27、； 当 m10 时，方程的另一个根为 15，此时不能构成三角形； 故三角形的周长为 17 20 （9 分） 在ABC 中， BC10cm， AC6cm， 点 P 从点 B 出发， 沿 BC 方向以 2cm/s 的速度向点 C 移动， 点 Q 从点 C 出发，沿 CA 方向以 1cm/s 的速度向点 A 移动，若 P，Q 同时出发，设运动时间为 ts，则 CPQ 能否与CBA 相似？若能，求 t 的值；若不能，请说明理由 【分析】 设运动时间为 ts， 则可知 BP2t，CP102t，CQt，当CPQ 和CAB 相似时，可知CPQ B 或CPQA，则有或，分别代入可得到关于 t 的方程，可求得
28、t 的值 【解答】解：设运动时间为 ts，则 BP2t，CP102t，CQt， PCQACB90， 当CPQ 和CAB 相似时，有CPQB 或CPQA， 当CPQB 时，则有， ， 解得 t 当CPQA 时，则有， ， 解得 t 综上所述，t 的值为或 21 （9 分）如图，在菱形 ABCD 中，G 是 BD 上一点，连结 CG，并延长交 BA 的延长线于点 F，交 AD 于 点 E （1）求证：AGCG （2）若 GE2，EF4，求 CG 的长 【分析】 （1）根据菱形的性质得到 ABCD，ADCD，ADBCDB，推出ADGCDG，根据 全等三角形的性质即可得到结论； （2）由全等三角形的性
29、质得到EAGDCG，等量代换得到EAGF，求得AEGFGA，即 可得到结论 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是菱形， ABCD，ADCD，ADBCDB， FFCD， 在ADG 与CDG 中， ， ADGCDG（SAS） ， AGCG； （2）ADGCDG， EAGF， AGEAGE， AEGFAG， ， AG2GEGF， AGCG， CG2GEGF， GE2，EF4， GFGE+EF2+46， CG 22 （10 分） “新冠”疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品，某药店销售普通口罩和 N95 口罩，今年 8 月份的进价如表： 普通口罩 N95 口罩 进价（元/包） 8 20 （1）计
30、划 N95 口罩每包售价比普通口罩贵 16 元，7 包普通口罩和 3 包 N95 口罩总售价相同，求普通口 罩和 N95 口罩每包售价 （2）按（1）中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为 120 包，当每包售价降价 1 元时， 日均销售量增加 20 包，该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为 320 元，求此时普通口罩每包售价 （3）疫情期间，该药店进货 3000 包 N95 口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了 500 包后，又打 9 折 销售，全部售完，这批 3000 包的 N95 口罩所获利润为多少元？ 【分析】 （1）设普通口罩每包的售价为
31、x 元，N95 口罩每包的售价为 y 元，根据“N95 口罩每包售价比 普通口罩贵 16 元，7 包普通口罩和 3 包 N95 口罩总售价相同” ，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组， 解之即可得出结论； （2） 设普通口罩每包的售价降低m元， 则此时普通口罩每包的售价为 （12m） 元， 日均销售量为 （120+20m） 包，根据每天的利润每包的利润日均销售量，即可得出关于 m 的一元二次方程，解之取其正值即可 得出结论； （3）根据利润销售收入进货成本，即可得出答案 【解答】解： （1）设普通口罩每包的售价为 x 元，N95 口罩每包的售价为 y 元， 依题意，得：， 解得： 答：普通
32、口罩每包的售价为 12 元，N95 口罩每包的售价为 28 元 （2） 设普通口罩每包的售价降低m元， 则此时普通口罩每包的售价为 （12m） 元， 日均销售量为 （120+20m） 包， 依题意，得： （12m8） （120+20m）320， 整理，得：m2+2m80， 解得：m12，m24（不合题意，舍去） ， 12m10 答：此时普通口罩每包的售价为 10 元 （3）由题意得，这批 3000 包的 N95 口罩所获利润为 2500280.93000203000（元） 答：这批 3000 包的 N95 口罩所获利润为 3000 元 23 （10 分）阅读探究 如图，在四边形 ABCD 的边
33、 AB 上任取一点 E，点 E 不与 A，B 重合，分别连接 ED，EC，可以把四边 形 ABCD 分成三个三角形， 如果其中有两个三角形相似， 我们把 E 叫做四边形 ABCD 边 AB 上的相似点； 如果这三个三角形都相似，我们就把 E 叫做四边形 ABCD 边 AB 上的“强相似点” （1） 如图， 若ABDEC40， 试判断点 E 是否是四边形 ABCD的边 AB 上的相似点？ 是 ； （填是或否） （2）如图，在ABC 中，ACB90，直角顶点 C 在直线 DE 上，分别过点 A，B 作 ADDE 于 点 D，BEDE 于点 E，试判断点 C 是否是四边形 ABED 边 DE 上的相
34、似点并说明理由 （3）如图，ADBC，DP 平分ADC，CP 平分BCD 交 DP 于 P，过点 P 作 ABAD 于点 A，交 BC 于点 B，求证：点 P 是四边形 ABCD 边 AB 上的一个强相似点 【分析】 （1）先用等式的性质判断出ADEBEC，进而得出ADEBEC，即可得出结论； （2）利用同角的余角相等判断出DACECB，进而判断出ADCCEB，即可得出结论； （3）利用角平分线的定义和同旁内角互补，判断出DPC90，进而判断出ADPPDC，即可判 断出ADPPDCBPC，即可得出结论 【解答】解： （1）DEC40， AED+BEC180DEC140， 在ADE 中，A40，
35、 AED+ADE180A140， ADEBEC， AB， ADEBEC， 点 E 是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点， 故答案为：是； （2）点 C 是四边形 ABED 边 DE 上的相似点，理由： ACB90， ACD+BCE90， ADDE， ADC90， ACD+DAC90， DACECB， BEDE， BEC90ADC， ADCCEB， 点 C 是四边形 ABED 边 DE 上的相似点； （3）DP 平分ADC， 2ADP2PDCADC， CP 平分BCD， 2BCP2PCDBCD， ADBC， ADC+BCD180， 2PDC+2PCD180， PDC+PCD90， DPC9
36、0， ABAD， A90DPC， ADPPDC， ADPPDC， 同理：PDCBPC， ADPPDCBPC， 点 P 是四边形 ABCD 边 AB 上的一个强相似点 24 （11 分）如图 1，在正方形 ABCD 中，AB4，点 E 在 AC 上，且 AE，过 E 点作 EFAC 于点 E， 交 AB 于点 F，连接 CF，DE 【问题发现】 （1）线段 DE 与 CF 的数量关系是 CFDE ，直线 DE 与 CF 所夹锐角的度数是 45 ； 【拓展探究】 （2）当AEF 绕点 A 顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请写出结论，并结合图 2 给出证明； 若不成立，请说明理由； 【解决问
37、题】 （3）在（2）的条件下，当点 E 到直线 AD 的距离为 1 时，请直接写出 CF 的长 【分析】 （1）延长 DE 交 CF 的延长线于 T，证明FACEAD 可得结论 （2）成立如图 2 中，延长 DE 交 CF 于 T，证明FACEAD 可得结论 （3）分两种情形分别画出图形，过 E 作 EJAF 于 J，先求出 DF 的长，再利用勾股定理求解即可 【解答】解： （1）延长 DE 交 CF 的延长线于 T 四边形 ABCD 是正方形， DACCAF45，ACAD，ADCDAB4， EFAC， AEF 是等腰直角三角形， AFAE， ， FACEAD， ，ACFADE， CFDE，
38、AEDCET， TEAD45， 故答案为：CFDE，45； （2）结论成立，理由如下： 如图 2 中，延长 DE 交 CF 于 T EAFDAC45， DAECAF， ， AFCAED， ，ACFADH， CFDE， AHDTHC， CTDDAH45； （3）分两种情况： 如图 31 中，过 E 作 EJAF 于 J， AEEF，AEF90，EJAF， AFAE2，FJJA1， EJAF1，DFAD+AF6， 点 E 到直线 AD 的距离为 1， F，A，D 共线， CF2； 如图 32 中，当点 E 在直线 AD 上方时，过 E 作 EJAF 于 J， 则 DFADAF2， CF2； 综上所述，满足条件的 CF 的值为 2或 2
