1、2021 年山东省临沂市沂水县中考数学一模试卷年山东省临沂市沂水县中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 42 分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的. 1的绝对值是（ ） A B C0 D 2下面是科学防控新冠知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形（ ） A 打喷嚏，捂口鼻 B戴口罩，讲卫生 C 勤洗手，勤通风 D喷嚏后，慎揉眼 3在数轴上，点 A，B 在原点 O 的两侧，分别表示数 a，1，将点 A 向右平移 2 个单位长度，
2、得到点 C，若 COBO，则 a 的值为（ ） A1 B1 C2 D3 4一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数 据，可求这个物体的表面积为（ ） A B2 C3 D（+1） 5如图，直线 l1l2，点 A 在直线 l1上，以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线 l1，l2于 B，C 两 点，连接 AC，BC，若172，则ABC 的度数为（ ） A36 B54 C72 D75 6下列运算正确的是（ ） A（2m3）24m6 Bm2m3m6 C3m+m23m3 D（mn）2m2n2 7已知有等腰三角形两边长为一元二次方程 x23x+20
3、 的两根，则等腰三角形周长是（ ） A4 B5 C4 或 5 D不能确定 8某学习小组进行“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率如下表，则符合这一结果的 试验可能是（ ） 试验次数 100 200 500 800 1000 1200 实验频率 0.343 0.326 0.335 0.330 0.331 0.330 A先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上 B先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次的点数和不大于 6 C将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，恰有一个篮子为空 D从两男两女四人中抽取两人参加朗读比赛，两人性别相同 9我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量
4、牵”问题；“一条竿子一条索，索比竿子长一托折 回索子却量竿，却比竿子短一托”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长 1 托；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 1 托设绳索长 x 托，则符合题意的方程是（ ） A2x（x1）1 B2x（x+1）+1 Cx（x+1）+1 Dx（x1）1 10为了减轻学生课外作业负担，数学老师准备按照学生每天课外作业完成量（完成题目个数）实行分档 布置作业 作业量分档递增， 计划使第一档、 第二档和第三档的作业量覆盖全校学生的 70%， 20%和 10%， 为合理确定各档之间的界限， 随机抽查了该校 500 名学生过去一个阶段完成作业量的平均数
5、 （单位： 个） ； 绘制了统计图如图所示，下面四个推断合理的是（ ） A每天课外作业完成量不超过 15 个题的该校学生按第二档布置作业 B每天课外作业完成量超过 21 个的该校学生按第三档布置作业 C该校学生每天课外作业完成量的平均数不超过 18 D该校学生每天课外作业完成量的中位数在 1518 之间 11观察下列两行数： 0，2，4，6，8，10，12，14，16， 0，3，6，9，12，15，18，21，24， 探究发现： 第 1 个相同的数是 0， 第 2 个相同的数是 6，若第 n 个相同的数是 102， 则 n 等于（ ） A18 B19 C20 D21 12如图，在ABC 中，B
6、D，CE 分别是边 AC，AB 上的中线，BDCE 于点 O，点 F 是 OB 的中点，若 OB8，OC6，则 EF 的长是（ ） A7 B5 C4 D3 13若 a2b+2，b2a+2，（ab）则 a2b22b+2 的值为（ ） A1 B0 C1 D3 14如图，点 C，D 在以 AB 为直径的O 上，且 CD 平分ACB，若 CD，CBA15，则 AB 的 长是（ ） A B4 C D 二二.填空题（本大题共填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 15不等式组的解集为 16化简： 17九章算术中记载了一种测量井深的方法如图所示，在井口 B 处立一根
7、垂直于井口的木杆 BD，从 木杆的顶端 D 观察井水水岸 C，视线 DC 与井口的直径 AB 交于点 E，如果测得 AB1.6 米，BD1 米， BE0.2 米，那么 AC 为 米 18如图，在ABC 中，BAC30，ABAC3，P 为 AB 边上一动点，以 PA，PC 为邻边作平行四边 形 PAQC，则对角线 PQ 的最小值为 19定义：若两个函数的图象关于直线 yx 对称，则称这两个函数互为反函数请写出函数 y2x+1 的 反函数的解析式 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 63 分）分） 20计算：2|5|+（） 2 21A，B 两家酒店规模相当，去年下半年的
8、月盈利折线统计图如图所示 （1）要评价这两家酒店 712 月的月盈利的平均水平，你选择什么统计量？求出这个统计量 （2）已知 A，B 两家酒店 712 月的月盈利的方差分别为 1.073（平方万元），0.54（平方万元）根据 所给的方差和你在（1）中所求的统计量，结合折线统计图，你认为去年下半年哪家酒店经营状况较好？ 请简述理由 22如图，在树正东方向两个相距 6m 的 A，B 两点处，测得树顶端 D 的仰角为 37，45，在树的正西 方向的 C 处测得树顶端 D 的仰角是 64求 B，C 之间的距离 BC （参考数据：sin640.90，cos64 0.44，tan642.0，sin370.
9、60，cos370.80，tan370.75） 23汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为 t 小时，平均速度为 v 千米/小时（汽车行驶速度不超过 100 千米/小时）根据经验，v，t 的一组对应值如下表： v（千米/小时） 75 80 85 90 95 t（小时） 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16 （1）根据表中的数据，分析说明平均速度 v（千米/小时）关于行驶时间 t（小时）的函数关系，并求出 其表达式； （2）汽车上午 8：00 从甲地出发，能否在上午 10：30 之前到达乙地？请说明理由； （3）若汽车到达乙地的行驶时间 t 满足 3.5t4，求平均速度 v 的取值范围
10、 24如图，AB 是O 的直径，点 C，点 D 在O 上，ACCD，AD 与 BC 相交于点 E，点 F 在 BC 的延长 线上，且 AFAE （1）求证：AF 是O 的切线； （2）若 EF6，sinBAC，求O 的半径 25如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C（0，3） （1）若抛物线的对称轴是直线 x2 求抛物线的解析式； 点 P 在对称轴上，若PBC 的面积是 6，求点 P 的坐标； （2）当 b0，2x0 时，函数 y 的最大值满足 2y10，求 b 的取值范围 26如图 1，点 E 为正方形 ABCD 内一点，
11、AEB90，现将 RtABE 绕点 B 按顺时针方向旋转 90， 得到CBF（点 A 的对应点为点 C），延长 AE 交 CF 于点 G （1）求证：四边形 BEGF 是正方形； （2）连接 DE，如图 2，若 AB15，CG3，试求 BE 的长；如图 3，若 DADE，求证：CG FG 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 42 分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的. 1的绝对值是（ ） A B C0 D 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数
12、进行解答 解：的绝对值是 故选：B 2下面是科学防控新冠知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形（ ） A 打喷嚏，捂口鼻 B戴口罩，讲卫生 C 勤洗手，勤通风 D喷嚏后，慎揉眼 【分析】根据轴对称图形的概念求解如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形 叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴 解：A不是轴对称图形，故此选项不合题意； B是轴对称图形，故此选项符合题意； C不是轴对称图形，故此选项不合题意； D不是轴对称图形，故此选项不合题意 故选：B 3在数轴上，点 A，B 在原点 O 的两侧，分别表示数 a，1，将点 A 向右平移 2 个单位长度，得到点 C，若
13、 COBO，则 a 的值为（ ） A1 B1 C2 D3 【分析】根据 COBO 可得点 C 表示的数为1，据此可得 a123 解：点 C 在原点的左侧，且 COBO， 点 C 表示的数为1， a123 故选：D 4一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数 据，可求这个物体的表面积为（ ） A B2 C3 D（+1） 【分析】由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为的正三角形可计算边长为 2， 据此即可得出表面积 解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为的正三角形 正三角形的边长2 圆锥的底面圆半径是 1，母线长是
14、2， 底面周长为 2 侧面积为222，底面积为 r2， 全面积是 3 故选：C 5如图，直线 l1l2，点 A 在直线 l1上，以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线 l1，l2于 B，C 两 点，连接 AC，BC，若172，则ABC 的度数为（ ） A36 B54 C72 D75 【分析】根据平行线的性质得出BAC 的度数，再由题意可知 ACAB，从而有ACBABC，根据 三角形的内角和即可得到结果 解：l1l2，172， BAC172， 以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线 l1，l2于 B，C 两点， ABAC， ACBABC， ABC（180CAB）54 故选：B 6
15、下列运算正确的是（ ） A（2m3）24m6 Bm2m3m6 C3m+m23m3 D（mn）2m2n2 【分析】根据积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项、完全平方公式，解决此题 解：A根据积的乘方与幂的乘方，得（2m3）24m6，那么 A 正确，故 A 符合题意 B根据同底数幂的乘法，得 m2m3m5，那么 B 不正确，故 B 不符合题意 C根据合并同类项法则，3m 与 m2无法合并，3m+m23m3，那么 C 不正确，故 C 不符合题意 D根据完全平方公式，（mn）2m2+n22mn，那么 D 不正确，故 D 不符合题意 故选：A 7已知有等腰三角形两边长为一元二次方程 x23x+
16、20 的两根，则等腰三角形周长是（ ） A4 B5 C4 或 5 D不能确定 【分析】求出方程的解，即可得出两种情况，再看看是否符合三角形的三边关系定理，最后求出即可 解：x23x+20， （x1）（x2）0， x10，x20， x11，x22 分为两种情况： 三角形的三边可能为 1、1、2， 1+12， 此时不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形； 三角形的三边可能为 1、2、2， 此时符合三角形三边关系定理，能组成三角形，等腰三角形的周长是 1+2+25 故选：B 8某学习小组进行“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率如下表，则符合这一结果的 试验可能是（ ） 试验次数 1
17、00 200 500 800 1000 1200 实验频率 0.343 0.326 0.335 0.330 0.331 0.330 A先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上 B先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次的点数和不大于 6 C将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，恰有一个篮子为空 D从两男两女四人中抽取两人参加朗读比赛，两人性别相同 【分析】根据统计图可知，试验结果在 0.33 附近波动，即其概率 P0.33，计算四个选项的概率，约为 0.33 者即为正确答案 解：A先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上的概率为，与表格不符，不符合题意； B先后两次掷一枚质地
18、均匀的骰子，两次的点数和不大于 3 的概率为，与表格不符，不符合 题意； C将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，恰有一个篮子为空，与表格相符，符合题意； D从两男两女四人中抽取两人参加朗读比赛，两人性别相同的概率为0.33，与图形不符，不符合题 意； 故选：D 9我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量牵”问题；“一条竿子一条索，索比竿子长一托折 回索子却量竿，却比竿子短一托”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长 1 托；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 1 托设绳索长 x 托，则符合题意的方程是（ ） A2x（x1）1 B2x（x+1）+1 Cx（x+1）+
19、1 Dx（x1）1 【分析】设绳索长 x 尺，则竿长（x1）尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长 1 托；如果将绳索对半 折后再去量竿，就比竿短 1 托”，即可得出关于 x 的一元一次方程，此题得解 解：设绳索长 x 尺，则竿长（x1）尺， 依题意，得：x（x1）1 故选：D 10为了减轻学生课外作业负担，数学老师准备按照学生每天课外作业完成量（完成题目个数）实行分档 布置作业 作业量分档递增， 计划使第一档、 第二档和第三档的作业量覆盖全校学生的 70%， 20%和 10%， 为合理确定各档之间的界限， 随机抽查了该校 500 名学生过去一个阶段完成作业量的平均数 （单位： 个） ； 绘制了统
20、计图如图所示，下面四个推断合理的是（ ） A每天课外作业完成量不超过 15 个题的该校学生按第二档布置作业 B每天课外作业完成量超过 21 个的该校学生按第三档布置作业 C该校学生每天课外作业完成量的平均数不超过 18 D该校学生每天课外作业完成量的中位数在 1518 之间 【分析】利用条形统计图结合中位数的定义分别分析得出答案 解：A由条形统计图可得：每天课外作业完成量不超过 15 个题的学生一共有（25+75+150+100）350 （名）， 100%70%，故每天课外作业完成量不超过 15 个题的该校学生按第一档布置作业，错误，不合 题意； B每天课外作业完成量超过 21 个的学生有（2
21、5+15+15+5）60（名）， 100%12%10%，故此选项错误，不合题意； C由 A 得，该校学生每天课外作业完成量的平均数不超过 18，正确，符合题意； D500 个数数据的中间是第 250 和 251 的平均数， 该校学生每天课外作业完成量的中位数在 1215 之间，故此选项错误，不合题意； 故选：C 11观察下列两行数： 0，2，4，6，8，10，12，14，16， 0，3，6，9，12，15，18，21，24， 探究发现： 第 1 个相同的数是 0， 第 2 个相同的数是 6，若第 n 个相同的数是 102， 则 n 等于（ ） A18 B19 C20 D21 【分析】 由所给的
22、数字可发现：第 1 个相同的数是 06 （11） ，第 2 个相同的数是 66（21） ， 第 3 个相同的数为 126（31），从而可得其规律：第 n 个相同的数为：6（n1），则可求解 解：第 1 个相同的数是 06（11）， 第 2 个相同的数是 66（21）， 第 3 个相同的数为 126（31）， ， 第 n 个相同的数为：6（n1）， 6（n1）102， 解得：n18 故选：A 12如图，在ABC 中，BD，CE 分别是边 AC，AB 上的中线，BDCE 于点 O，点 F 是 OB 的中点，若 OB8，OC6，则 EF 的长是（ ） A7 B5 C4 D3 【分析】先利用重心的性质
23、得到 OEOC3，然后利用勾股定理计算 EF 的长 解：BD，CE 分别是边 AC，AB 上的中线， 点 O 为ABC 的重心， OEOC3， 点 F 是 OB 的中点， OFOB4， BDCE， EOF90， EF5 故选：B 13若 a2b+2，b2a+2，（ab）则 a2b22b+2 的值为（ ） A1 B0 C1 D3 【分析】 由 a2b+2， b2a+2， 且 ab， 可得 a+b 1， 将 a2b22b+2 变形为 （a+b） （ab） 2b+2， 再代入计算即可求解 解：a2b+2，b2a+2，且 ab， a2 b2b a， 即（a+b）（ab）ba， a+b 1， a2b22
24、b+2 （a+b）（ab） 2b+2 b a2b+2 （a+b）+2 1+2 3 故选：D 14如图，点 C，D 在以 AB 为直径的O 上，且 CD 平分ACB，若 CD，CBA15，则 AB 的 长是（ ） A B4 C D 【分析】连接 DA、DB，作 DEBC 于 E，如图，根据圆周角定理得到ADBACB90，ABD BCD45，则可判断ABD 和CDE 都为等腰直角三角形，解直角三角形即可得解 解：连接 DA、DB，作 DEBC 于 E，如图， AB 为直径， ADBACB90， CD 平分ACB， ACDBCD45， ABDACD45， ABD 和CDE 都为等腰直角三角形， DE
25、CD， CBA15， DBC60， BD2， ABBD4， 故选：B 二二.填空题（本大题共填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 15不等式组的解集为 1x2 【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集 解：解不等式 2x13，得：x2， 解不等式 2x1，得：x1， 则不等式组的解集为 1x2， 故答案为：1x2 16化简： 【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果 解：原式， 故答案为： 17九章算术中记载了一种测量井深的方法如图所示，在井口 B 处立一根垂直于井口的木杆 BD，从 木杆的顶端
26、D 观察井水水岸 C，视线 DC 与井口的直径 AB 交于点 E，如果测得 AB1.6 米，BD1 米， BE0.2 米，那么 AC 为 7 米 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论 解：BDAB，ACAB， BDAC， ACEBDE， ， ， AC7（米）， 故答案为：7 18如图，在ABC 中，BAC30，ABAC3，P 为 AB 边上一动点，以 PA，PC 为邻边作平行四边 形 PAQC，则对角线 PQ 的最小值为 【分析】如图（见解答），先利用直角三角形的性质可得 CDAC，再根据平行四边形的性质可 得 ABCQ，由此可得出当 PQAB 时，PQ 取得最小值，此时 PQC
27、D 解：如图，过点 C 作 CDAB 于点 D， 在 RtACD 中，ADC90，BAC30，AC3， CDAC， 四边形 PAQC 是平行四边形， ABCQ， 当 PQAB 时，PQ 取得最小值，此时 PQCD， 故答案为： 19定义：若两个函数的图象关于直线 yx 对称，则称这两个函数互为反函数请写出函数 y2x+1 的 反函数的解析式 y 【分析】求出函数和 x 轴、y 轴的交点坐标，求出对称的点的坐标，再代入函数解析式求出即可 解：在 y2x+1 中， 当 x0 时，y1， 当 y0 时，x， 即函数和 x 轴的交点为（，0），和 y 轴的交点坐标为（0，1）， 所以两点关于直线 yx
28、 对称的点的坐标分别为（0，）和（1，0）， 设函数 y2x+1 的反函数的解析式为 ykx+b， 把（0，）和（1，0）代入，可得： ， 解得：， 函数 y2x+1 的反函数的解析式为 yx+， 故答案为：yx+ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 63 分）分） 20计算：2|5|+（） 2 【分析】根据二次根式的乘法法则、绝对值和负整数指数幂的意义计算 解：原式210+9 210+9 21 21A，B 两家酒店规模相当，去年下半年的月盈利折线统计图如图所示 （1）要评价这两家酒店 712 月的月盈利的平均水平，你选择什么统计量？求出这个统计量 （2）已知 A，
29、B 两家酒店 712 月的月盈利的方差分别为 1.073（平方万元），0.54（平方万元）根据 所给的方差和你在（1）中所求的统计量，结合折线统计图，你认为去年下半年哪家酒店经营状况较好？ 请简述理由 【分析】（1）由要评价两家酒店月盈利的平均水平，即可得选择两家酒店月盈利的平均值，然后利用求 平均数的方法求解即可求得答案； （2）根据平均数及折线统计图的变化趋势分析即可 解：（1）选择两家酒店月盈利的平均值； 2.5（万元）， 2.3（万元）； （3）A 酒店经营状况较好， A 酒店营业额的平均值大于 B 酒店，且由折线统计图可知 A 酒店的营业额持续稳定增长，潜力大 22如图，在树正东方向
30、两个相距 6m 的 A，B 两点处，测得树顶端 D 的仰角为 37，45，在树的正西 方向的 C 处测得树顶端 D 的仰角是 64求 B，C 之间的距离 BC （参考数据：sin640.90，cos64 0.44，tan642.0，sin370.60，cos370.80，tan370.75） 【分析】过点 D 作 DHAC 于点 H，在 RtDBH 中，先求出 DH 的长，然后在 RtDCH 中求出 CH 的 长，进而可得结果 解：过点 D 作 DHAC 于点 H， 在 RtDAH 中，A37， AH， 在 RtDBH 中，DBH45， BH， ABAHBH， 6（m）， 解得 DH18（m）
31、， BHDH18m， 在 RtDCH 中，DCH64， CH9（m）， BCBH+CH27（m） 答：B，C 之间的距离 BC 为 27m 23汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为 t 小时，平均速度为 v 千米/小时（汽车行驶速度不超过 100 千米/小时）根据经验，v，t 的一组对应值如下表： v（千米/小时） 75 80 85 90 95 t（小时） 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16 （1）根据表中的数据，分析说明平均速度 v（千米/小时）关于行驶时间 t（小时）的函数关系，并求出 其表达式； （2）汽车上午 8：00 从甲地出发，能否在上午 10：30 之前到达乙地？请
32、说明理由； （3）若汽车到达乙地的行驶时间 t 满足 3.5t4，求平均速度 v 的取值范围 【分析】（1）根据表格中数据，可知 v 是 t 的反比例函数，设 v，利用待定系数法求出 k 即可； （2）根据时间 t2.5，求出速度，即可判断； （3）根据自变量的取值范围，求出函数值的取值范围即可 解：（1）由表格中的数据可以看出每一对 v 与 t 的对应值乘积为一定值，将每一对对应值作为点的坐标 在平面直角坐标系中做出对应的图像是双曲线的一部分， 设 v， v75 时，t4， k754300， v（t3）； （2）10.582.5， t2.5 时，v120100， 汽车上午 8：000 从甲地
33、出发，不能在上午 10：30 之前到乙地； （3）3.5t4， 75v， 答：平均速度 v 的取值范围是 75v 24如图，AB 是O 的直径，点 C，点 D 在O 上，ACCD，AD 与 BC 相交于点 E，点 F 在 BC 的延长 线上，且 AFAE （1）求证：AF 是O 的切线； （2）若 EF6，sinBAC，求O 的半径 【分析】（1）由 AEAF，AB 是O 的直径，可以得出CAE+CEA90，再根据 ACCD，得出 B+F90，从而得出FAB90即可； （2）由锐角三角函数的定义得出，求出 AE5，AC4，则可求出 AB 的长 【解答】（1）证明：AEAF， FCEA， AB
34、是O 的直径， ACB90， CAE+CEA90， ACCD， CAEDB， B+F90， FAAB， AB 是O 的直径， AF 与O 相切于点 A； （2）解：AEAF，ACB90， CFCEEF3， CABCEA， sinCABsinCEA， ， AC， ， AE5， AC4， sinCAB， AB， ， AB， 即O 的半径为 25如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C（0，3） （1）若抛物线的对称轴是直线 x2 求抛物线的解析式； 点 P 在对称轴上，若PBC 的面积是 6，求点 P 的坐标； （2）当 b0，2
35、x0 时，函数 y 的最大值满足 2y10，求 b 的取值范围 【分析】（1）由对称轴得出 b 的值，由点 C 的坐标得出 c 的值，即可确定抛物线的解析式； 先设出点 P 的坐标，用梯形 OCPD 的面积减去三角形 OBC 和三角形 BPD 的面积，列出关于点 P 的坐 标的方程，求出未知数即可确定 P 的坐标； （2）根据 x 的范围将 y 用含 b 的式子表示出来，由 y 的范围即可确定 b 的范围 解：（1）抛物线 yx2+bx+c 的对称轴为直线， b4， 又抛物线与 y 轴的交点为（0，3）， c3， 抛物线的解析式为 yx2+4x+3； 点 P 在抛物线的对称轴上， 可设点 P
36、的坐标为（2，m）， 则 SPBCS梯形PDOCSPDBSCOB ， 解得 m9 或 m9， 点 P 的坐标为（2，9）或（2，9）； （2）b0 时， ， ， 抛物线开口向上，在对称轴左边，y 随 x 的增大而减小， 当2x0 时，取 x2，y 有最大值， 即 y42b+32b+7， 22b+710，解得：， 又b0， 26如图 1，点 E 为正方形 ABCD 内一点，AEB90，现将 RtABE 绕点 B 按顺时针方向旋转 90， 得到CBF（点 A 的对应点为点 C），延长 AE 交 CF 于点 G （1）求证：四边形 BEGF 是正方形； （2）连接 DE，如图 2，若 AB15，CG
37、3，试求 BE 的长；如图 3，若 DADE，求证：CG FG 【分析】（1）先根据有三个角是直角的四边形是矩形，再根据 BEBF 可得结论； （2）根据勾股定理列方程得 BC2FB2+FC2，即 225FB2+（FB+3）2，解方程可得答案； 过点 D 作 DHAE 于 H，证明ADHBAE（AAS），得 AHBEAE，根据旋转的性质可得答 案 【解答】（1）证明：将 RtABE 绕点 B 按顺时针方向旋转 90，得到CBF， AEBCFB90，BEBF，EBF90， 又BEG90， 四边形 BFGE 是矩形， 又BEBF， 四边形 BFGE 是正方形； （2）解：四边形 BFGE 是正方形， BFFGBE， ABBC15，CG3，BC2FB2+FC2， 225FB2+（FB+3）2， FB9 或12（负值舍）， BE9； 证明：过点 D 作 DHAE 于 H， DADE，DHAE， AHAE，ADH+DAH90， 四边形 ABCD 是正方形， ADAB，DAB90， DAH+EAB90， ADHEAB， 又ADAB，AHDAEB90， ADHBAE（AAS）， AHBEAE， 将 RtABE 绕点 B 按顺时针方向旋转 90， AECF， 四边形 BFGE 是正方形， BEFG， FGCF， CGFG
