1、2019 年山东省临沂市蒙阴县中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 14 小题，每小题 3 分，共 42 分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（3 分）计算35 结果正确的是（ ）A8 B2 C2 D82（3 分）如图，直线 ab，直角三角形如图放置，DCB90，若1+B65，则2 的度数为（ ）A20 B25 C30 D353（3 分）下列计算正确的是（ ）Aa 5+a5a 10 Ba 7aa 6 Ca 3a2a 6 D（a 3） 2a 64（3 分）如果 a2+2a10，那么代数式（a ） 的值是（ ）A3 B1 C1 D35（3 分）计算 3 6 + 的结果是（ ）A
2、 B 5 C3 D 6（3 分）方程 x22x 3 可以化简为（ ）A（x3）（x+1）0 B（x+3）（x1）0C（x 1） 2 2 D（x1） 2+407（3 分）世界因爱而美好，在今年我校的“献爱心”捐款活动中，九年级三班 50 名学生积极加献爱心捐款活动，班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图，根据图中提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是（ ）A20、20 B30、20 C30、30 D20、308（3 分）定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V 数”如“729”就是一个“V 数”若十位上的数字为 2，则从 1，4，5，6 中任选两数，能与 2 组成
3、“V 数”的概率是（ ）A B C D9（3 分）若不等式 的解集为2x3，则 a 的取值范围是（ ）Aa2 Ba Ca2 Da10（3 分）如图，是由 6 个棱长为 1 个单位的正方体摆放而成的，将正方体 A 向右平移2 个单位，向后平移 1 个单位后，所得几何体的视图（ ）A主视图改变，俯视图改变B主视图不变，俯视图不变C主视图不变，俯视图改变D主视图改变，俯视图不变11（3 分）小亮的妈妈用 28 元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克 4 元，乙种水果每千克 6 元，且乙种水果比甲种水果少买了 2 千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果 x 千克，乙种水果 y
4、千克，则可列方程组为（ ）A BC D12（3 分）如图，点 A 是反比例函数 y （x0）的图象上任意一点， ABx 轴交反比例函数 y 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中 C、D 在 x 轴上，则 S 平行四边形 ABCD 为（ ）A2 B3 C4 D513（3 分）如图 AB 是O 的直径，弦 CDAB，CDB30，CD4 ，则阴影部分图形的面积为（ ）A B C4 D814（3 分）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用 50 分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇已知货车的速度为
5、60 千米/时，两车之间的距离 y（千米）与货车行驶时间 x（小时）之间的函数图象如图所示，现有以下 4 个结论：快递车从甲地到乙地的速度为 90 千米/时；甲、乙两地之间的距离为 120 千米；图中点 B 的坐标为（ 4 ， 70）；快递车从乙地返回时的速度为 80 千米/时以上 4 个结论中正确的是（ ）A B C D二、填空题：（本大题共 5 个小题.每小题 3 分，共 15 分）把答案填在题中横线上.15（3 分）分解因式 mn2 8mn+16m 16（3 分）某种商品的进价为 320 元，为了吸引顾客，按标价的八折出售，这时仍可盈利至少 25%，则这种商品的标价最少是 元17（3 分
6、）在菱形 ABCD 中，E 是 BC 边上的点，连接 AE 交 BD 于点 F，若EC2BE ，EF2，则 AE 的值是 18（3 分）如图，两同心圆的圆心为 A，大圆的弦 AB 切小圆于 P，两圆的半径分别为 2和 1若用阴影部分围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 19（3 分）对于函数 yx n+xm，我们定义 ynx n1 +mxm1 （m 、n 为常数）例如 yx 4+x2，则 y4x 3+2x已知：y +（m1）x 2+m2x若方程 y0 有两个相等实数根，则 m 的值为 三、解答题（本大题共 7 个小题，共 63 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20（7 分）21（7
7、分）在一次社会调查活动中，小李收集到某“健步走运动”团队 20 名成员一天行走的步数，记录如下：5640 6430 6520 6798 73258430 8215 7453 7446 67547638 6834 7326 6830 86488753 9450 9865 7290 7850对这 20 个数据按组距 1000 进行分组，并统计整理（1）请完成下面频数分布统计表；组别 步数分组 频数A 5500x 6500 B 6500x 7500 C 7500x 8500 D 8500x 9500 E 9500x 10500 （2）在上图中请画出频数分布直方图；（3）若该团队共有 200 人，请估
8、计其中一天行走步数少于 8500 步的人数22（7 分）如图，上午 9：00 时，甲、乙两船分别在 A、B 两处，乙船在甲船的正东方向，且两船之间的距离为 33 海里甲船以 30 海里/时的速度沿北偏东 45方向匀速航行，乙船同时沿北偏东 30方向匀速航行上午 11：00 时，甲船航行到 C 处，乙船航行到D 处，此时乙船仍在甲船的正东方向求两船之间的距离（结果精确到 1 海里）（参考数据： 1.41， 1.73， 2.45）23（9 分）如图，ABC 内接于O，弦 ADAB 交 BC 于点 E，过点 B 作 O 的切线交DA 的延长线于点 F，且ABF ABC （1）求证：ABAC；（2）若
9、 AD4，cosABF ，求 DE 的长24（9 分）某商场对某种商品进行销售，第 x 天的销售单价为 m 元/件，日销售量为 n 件，其中 m，n 分别是 x（1 x30，且 x 为整数）的一次函数，销售情况如表：销售第 x 天 第 1 天 第 2 天 第 3 天 第 4 天 第 30 天销售单价 m（元/件） 49 48 47 46 20日销售量 n（件） 45 50 55 60 190（1）观察表中数据，分别直接写出 m 与 x，n 与 x 的函数关系式： ， ；（2）求商场销售该商品第几天时该商品的日销售额恰好为 3600 元？（3）销售商品的第 15 天为儿童节，请问：在儿童节前（不
10、包括儿童节当天）销售该商品第几天时该商品的日销售额最多？商场决定将这天该商品的日销售额捐献给儿童福利院，试求出商场可捐款多少元？25（11 分）已知在菱形 ABCD 中，ABC60，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 是线段 BD 上一动点（不与点 B，D 重合），连接 AE，以 AE 为边在 AE 的右侧作菱形AEFG，且 AEF60（1）如图 1，若点 F 落在线段 BD 上，请判断：线段 EF 与线段 DF 的数量关系是 （2）如图 2，若点 F 不在线段 BD 上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请给出判断并予以证明；（3）若点 C，E，G 三点在同一直线上，其它条件不
11、变，请直接写出线段 BE 与线段BD 的数量关系26（13 分）如图，抛物线 yax 22x +c（a0）与 x 轴交于 A，C 两点，与直线yx1 交于 A，B 两点，且 OC3OA ，直线 AB 与抛物线的对称轴交于点 E（1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 在直线 AB 上方的抛物线上运动点 P 在什么位置时， ABP 的面积最大，求出此时点 P 的坐标；当点 P 与点 C 重合时，连结 PE，将PEB 补成矩形，使 PEB 上的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，求出矩形未知顶点的坐标2019 年山东省临沂市蒙阴县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选
12、择题（本大题共 14 小题，每小题 3 分，共 42 分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（3 分）计算35 结果正确的是（ ）A8 B2 C2 D8【分析】根据有理数的减法计算解答即可【解答】解：358，故选：A【点评】此题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键2（3 分）如图，直线 ab，直角三角形如图放置，DCB90，若1+B65，则2 的度数为（ ）A20 B25 C30 D35【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得31+B，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解【解答】解：由三角形的外角性质可得，31+B65，ab，DCB
13、90，2180390180659025故选：B【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键3（3 分）下列计算正确的是（ ）Aa 5+a5a 10 Ba 7aa 6 Ca 3a2a 6 D（a 3） 2a 6【分析】利用同底数幂的乘法和除法法则以及合并同类项的法则运算即可【解答】解：Aa 5+a52a 5，所以此选项错误；Ba 7aa 6，所以此选项正确；Ca 3a2a 5，所以此选项错误；D（a 3） 2a 6，所以此选项错误；故选：B【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法、除法、幂的乘方及合并同类项等，关键是熟记，同底数幂
14、的除法法则：底数不变，指数相减；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘4（3 分）如果 a2+2a10，那么代数式（a ） 的值是（ ）A3 B1 C1 D3【分析】根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后对 a2+2a10 变形即可解答本题【解答】解：（a ）a（a+2）a 2+2a，a 2+2a10，a 2+2a1，原式1，故选：C【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法5（3 分）计算 3 6 + 的结果是（ ）A B 5 C3 D 【分析】先把各
15、根式化为最简二次根式，再合并同类项即可【解答】解：原式 3 +2 故选：A【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键6（3 分）方程 x22x 3 可以化简为（ ）A（x3）（x+1）0 B（x+3）（x1）0C（x 1） 2 2 D（x1） 2+40【分析】先移项，再分解因式，即可得出选项【解答】解：x 22x 3，x22x30，（x3）（x+1）0，故选：A【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确分解因式，题目比较好，难度不是很大7（3 分
16、）世界因爱而美好，在今年我校的“献爱心”捐款活动中，九年级三班 50 名学生积极加献爱心捐款活动，班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图，根据图中提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是（ ）A20、20 B30、20 C30、30 D20、30【分析】由表提供的信息可知，一组数据的众数是这组数中出现次数最多的数，而中位数则是将这组数据从小到大（或从大到小）依次排列时，处在最中间位置的数，据此可知这组数据的众数，中位数【解答】解：根据右图提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是 30，30故选：C【点评】本题考查了条形统计图、众数和中位数的概念解答这类题学生常常对中位数的计算方法掌握不好而
17、错选8（3 分）定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V 数”如“729”就是一个“V 数”若十位上的数字为 2，则从 1，4，5，6 中任选两数，能与 2 组成“V 数”的概率是（ ）A B C D【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能与 2 组成“V 数”的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：画树状图得：共有 12 种等可能的结果，能与 2 组成“V 数”的有 6 种情况，能与 2 组成“V 数”的概率是： 故选：B【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合
18、于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比9（3 分）若不等式 的解集为2x3，则 a 的取值范围是（ ）Aa2 Ba Ca2 Da【分析】先把 a 当作已知条件求出不等式组的解集，再与已知解集相比较即可得出 a 的值【解答】解： ，由 得，x 2a+2 ，由得，x3，故此不等式组的解集为：2a+2x3，已知不等式组的解集为2x3，2a+22，解得 a2故选：A【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键10（3 分）如图，是由 6 个棱长为 1 个单位的正方体摆
19、放而成的，将正方体 A 向右平移2 个单位，向后平移 1 个单位后，所得几何体的视图（ ）A主视图改变，俯视图改变B主视图不变，俯视图不变C主视图不变，俯视图改变D主视图改变，俯视图不变【分析】主视图是从正面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，结合图形即可作出判断【解答】解：根据图形可得，图及图 的主视图一样，俯视图不一样，即主视图不变，俯视图改变故选：C【点评】此题考查了简单组合体的三视图，掌握主视图及俯视图的观察方法是解答本题的关键，难度一般11（3 分）小亮的妈妈用 28 元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克 4 元，乙种水果每千克 6 元，且乙种水果比甲种水果少买了 2 千
20、克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果 x 千克，乙种水果 y 千克，则可列方程组为（ ）A BC D【分析】设小亮妈妈买了甲种水果 x 千克，乙种水果 y 千克，根据两种水果共花去 28元，乙种水果比甲种水果少买了 2 千克，据此列方程组【解答】解：设小亮妈妈买了甲种水果 x 千克，乙种水果 y 千克，由题意得 故选：A【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组12（3 分）如图，点 A 是反比例函数 y （x0）的图象上任意一点， ABx 轴交反比例函数 y 的图象于点 B，以 AB 为边作平行
21、四边形 ABCD，其中 C、D 在 x 轴上，则 S 平行四边形 ABCD 为（ ）A2 B3 C4 D5【分析】连结 OA、OB，AB 交 y 轴于 E，由于 ABy 轴，根据反比例函数y （k0）系数 k 的几何意义得到 SOEA 与 SOBE ，则四边形 ABCD 为平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到 S 平行四边形 ABCD2S OAB 5【解答】解：连结 OA、OB，AB 交 y 轴于 E，如图，ABx 轴，ABy 轴，S OEA 3 ，S OBE 21，S OAB 1+ ，四边形 ABCD 为平行四边形，S 平行四边形 ABCD2S OAB 5故选：D【点评】本题考查反比例函
22、数系数 k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k |本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注13（3 分）如图 AB 是O 的直径，弦 CDAB，CDB30，CD4 ，则阴影部分图形的面积为（ ）A B C4 D8【分析】首先证明 OE OC OB，则可以证得OEC BED，则 S 阴影 S 扇形OCB，利用扇形的面积公式即可求解【解答】解：COB2CDB60，又CDAB ，OCB30，CEDE，OE OC OB2 ，OC 4OEBE，则在OEC 和BED 中，OECBED，S 阴影 S 扇形 OCB 故选：B【点评】本题考查了扇形的面积公
23、式，证明OECBED，得到 S 阴影 S 扇形 OCB 是本题的关键14（3 分）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用 50 分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇已知货车的速度为 60 千米/时，两车之间的距离 y（千米）与货车行驶时间 x（小时）之间的函数图象如图所示，现有以下 4 个结论：快递车从甲地到乙地的速度为 90 千米/时；甲、乙两地之间的距离为 120 千米；图中点 B 的坐标为（ 4 ， 70）；快递车从乙地返回时的速度为 80 千米/时以上 4 个结论中正确的是（ ）A B C D【分析】要解
24、答本题需要熟悉一次函数的图象特征，再根据一次函数的性质和图象结合实际问题对每一项进行分析即可得出答案【解答】解：设快递车从甲地到乙地的速度为 x 千米/时，则4（x60）120，x90故正确；因为 120 千米是快递车到达乙地后两车之间的距离，不是甲、乙两地之间的距离，故错误；因为快递车到达乙地后缷完物品再另装货物共用 50 分钟，所以图中点 B 的横坐标为 4+ 4 ，纵坐标为 12060 70，即 B 点的坐标为（4 ，70）故正确；设快递车从乙地返回时的速度为 y 千米/时，则返回时与货车共同行驶的时间为（5 4 ）小时，此时两车还相距 70 千米，由题意，得（y+60）（5 4 ）70
25、，解得 y80故正确其中正确的是：故选：C【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题，关键是根据一次函数的性质和图象结合实际问题判断出每一结论是否正确二、填空题：（本大题共 5 个小题.每小题 3 分，共 15 分）把答案填在题中横线上.15（3 分）分解因式 mn2 8mn+16m m（n4） 2 【分析】先提取公因式 m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解【解答】解：mn 28mn+16mm（n 28n+16 ）m（n4） 2故答案为：m（n4） 2【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行
26、因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止16（3 分）某种商品的进价为 320 元，为了吸引顾客，按标价的八折出售，这时仍可盈利至少 25%，则这种商品的标价最少是 500 元【分析】首先设这种商品的标价是 x 元，根据题意可得不等关系：售价进价利润，根据不等关系列出不等式即可【解答】解：设这种商品的标价是 x 元，由题意得：x80%32025%320，解得：x500，则这种商品的标价最少是 500 元，故答案为：500【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系，列出不等式17（3 分）在菱形 ABCD 中，E 是 BC 边上的点，连接 AE 交
27、 BD 于点 F，若EC2BE ，EF2，则 AE 的值是 8 【分析】利用菱形的性质以及相似三角形的判定与性质得出 ，进而求出即可【解答】解：在菱形 ABCD 中，BEAD ，ADBC，BEF DAF， ，EC2BE，EF2， ，解得：AF6，故 AE8故答案为：8【点评】此题主要考查了菱形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出BEFDAF 是解题关键18（3 分）如图，两同心圆的圆心为 A，大圆的弦 AB 切小圆于 P，两圆的半径分别为 2和 1若用阴影部分围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 【分析】利用垂径定理根据勾股定理即可求得弦 AB 的长；利用相应的三角函数可求得AOB 的度数，进
28、而可求优弧 AB 的长度，除以 2即为圆锥的底面半径【解答】解：连接 OP，则 OPAB，AB 2AP，AB2AP2 ，sinAOP ，AOP60，AOB2AOP 120，优弧 AB 的长为： ，圆锥的底面半径为： 故答案为： 【点评】本题综合考查了垂径定理，勾股定理，相应的三角函数，圆锥的弧长等于底面周长等知识点综合利用定理解题是关键19（3 分）对于函数 yx n+xm，我们定义 ynx n1 +mxm1 （m 、n 为常数）例如 yx 4+x2，则 y4x 3+2x已知：y +（m1）x 2+m2x若方程 y0 有两个相等实数根，则 m 的值为 【分析】根据给定的新定义可找出 yx 2+
29、2（m 1）x+m 2，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于 m 的一元一次方程，解之即可得出 m 的值【解答】解：y +（m 1）x 2+m2x，yx 2+2（m 1）x+ m2方程 y0 有两个相等实数根，2（m1） 24m 20，解得：m 故答案为： 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当0 时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键三、解答题（本大题共 7 个小题，共 63 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20（7 分）【分析】先根据零指数幂和特殊角的三角函数值计算，然后根据二次根式的乘法法则计算【解答】解：原式 2 （ 1）+12 +1+142 【点评】本题
30、考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍21（7 分）在一次社会调查活动中，小李收集到某“健步走运动”团队 20 名成员一天行走的步数，记录如下：5640 6430 6520 6798 73258430 8215 7453 7446 67547638 6834 7326 6830 86488753 9450 9865 7290 7850对这 20 个数据按组距 1000 进行分组，并统计整理（1）请完成下面频数分布统计表；组别 步数分组 频数A 5500x
31、 6500 2 B 6500x 7500 10 C 7500x 8500 4 D 8500x 9500 3 E 9500x 10500 1 （2）在上图中请画出频数分布直方图；（3）若该团队共有 200 人，请估计其中一天行走步数少于 8500 步的人数【分析】（1）根据题目中的数据即可直接确定 m 和 n 的值；（2）根据（1）的结果即可直接补全直方图；（3）利用总人数乘以对应的比例即可求解【解答】解：（1）补全频数分布表如下：组别 步数分组 频数A 5500x 6500 2B 6500x 7500 10C 7500x 8500 4D 8500x 9500 3E 9500x 10500 1（
32、2）频数分布直方图如下：（3）根据题意得：200 160（人），则估计一天行走的步数少于 8500 步的人数约为 160 人【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题22（7 分）如图，上午 9：00 时，甲、乙两船分别在 A、B 两处，乙船在甲船的正东方向，且两船之间的距离为 33 海里甲船以 30 海里/时的速度沿北偏东 45方向匀速航行，乙船同时沿北偏东 30方向匀速航行上午 11：00 时，甲船航行到 C 处，乙船航行到D 处，此时乙船仍在甲船的正东方向求两船之间的距离（结果精确到
33、1 海里）（参考数据： 1.41， 1.73， 2.45）【分析】过点 C 作 CAB，垂足为 E，过点 D 作 DFAB，垂足为点 F，构造直角三角形 ACE 和 BDF，利用直角三角形中特殊角所对应的边角关系，求出 AE、BF，进而求得 BE、EF，由 CDEF 求得即可【解答】解：过点 C 作 CEAB，垂足为点 E过点 D 作 DFAB，垂足为 D 点 F甲船的速度为 30 海里/小时，时间为 2 小时，AC30260 海里，又CAE45，AE EC 海里，在BDF 中，DF CE ，DBF60，BF 10，又BEAEAB 339.3，EFBFBE10 9.3 102.459.315.
34、2 海里，CDEF 15.215（海里）答：行至上午 11：00 时，两船之间的距离约为 15 海里【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值及直角三角形的性质解答23（9 分）如图，ABC 内接于O，弦 ADAB 交 BC 于点 E，过点 B 作 O 的切线交DA 的延长线于点 F，且ABF ABC （1）求证：ABAC；（2）若 AD4，cosABF ，求 DE 的长【分析】（1）由 BF 是O 的切线，利用弦切角定理，可得1C ，又由ABF ABC，可证得2 C ，即可得 ABAC；（2）首先连接 BD，在 RtABD 中，解直角三角形求出
35、AB 的长度；然后在 RtABE中，解直角三角形求出 AE 的长度；最后利用 DEAD AE 求得结果【解答】（1）证明：BF 是 O 的切线，1C，ABF ABC，即12，2C，ABAC；（2）解：如图，连接 BD，在 RtADB 中，BAD90，cosADB ，BD 5，AB3在 Rt ABE 中，BAE90，cosABE ，BE ，AE ，DEAD AE4 【点评】此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用24（9 分）某商场对某种商品进行销售，第 x 天的销售单价为 m 元/件，日销售量为 n 件，
36、其中 m，n 分别是 x（1 x30，且 x 为整数）的一次函数，销售情况如表：销售第 x 天 第 1 天 第 2 天 第 3 天 第 4 天 第 30 天销售单价 m（元/件） 49 48 47 46 20日销售量 n（件） 45 50 55 60 190（1）观察表中数据，分别直接写出 m 与 x，n 与 x 的函数关系式： m x+50 ， n5x+40 ；（2）求商场销售该商品第几天时该商品的日销售额恰好为 3600 元？（3）销售商品的第 15 天为儿童节，请问：在儿童节前（不包括儿童节当天）销售该商品第几天时该商品的日销售额最多？商场决定将这天该商品的日销售额捐献给儿童福利院，试求
37、出商场可捐款多少元？【分析】（1）由表格中数据的变化，用含 x 的代数式表示出 m、n 即可；（2）根据总价单价数量即可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出 x 的值，由 1x30 可确定 x 的值；（3）设日销售额为 w 元，根据总价单价 数量即可找出 w 关于 x 的函数关系式，根据二次函数的性质即可解决最值问题【解答】解：（1）观察表中数据可知：每过一天，销售单价降低 1 元/件、销量增加 5件，m49（x1）x+50，n45+5（x1）5x+40故答案为：mx+50 ；n 5x+40（2）根据题意得：（x+50）（5x+40）3600，整理得：x 242x +3200，解得：x
38、110，x 2323230，x32 舍去答：第 10 天的日销售额为 3600 元（3）设日销售额为 w 元，根据题意得：w（x +50）（ 5x+40）5x 2+210x+20005（x21） 2+4205a50，抛物线开口向下又对称轴为直线 x21，当 1x14 时，w 随 x 的增大而增大，当 x14 时，w 取最大值，最大值为 3960答：在儿童节前（不包括儿童节当天）销售该商品第 14 天时该商品的日销售额最多，商场可捐款 3960 元【点评】本题考查了二次函数的应用、二次函数的性质以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据表中数据的变化找出 m、n 与 x 的函数关系式；（
39、2）根据总价单价数量列出关于 x 的一元二次方程；（3）根据总价单价数量找出 w 关于 x 的函数关系式25（11 分）已知在菱形 ABCD 中，ABC60，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 是线段 BD 上一动点（不与点 B，D 重合），连接 AE，以 AE 为边在 AE 的右侧作菱形AEFG，且AEF 60（1）如图 1，若点 F 落在线段 BD 上，请判断：线段 EF 与线段 DF 的数量关系是 EFDF （2）如图 2，若点 F 不在线段 BD 上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请给出判断并予以证明；（3）若点 C，E，G 三点在同一直线上，其它条件不变，请直接写出
40、线段 BE 与线段BD 的数量关系【分析】（1）先利用菱形的性质得出ABOADO30，ACBD，即可求出FAD30即可得出结论；（2）先判断出ACD 和AEF 是等边三角形，进而得出CAEDAF，即可判断出ACEADF，即可得出结论；（3）先求出CAE15，进而判断出 BEAB，再找出 OB 与 AB 的关键，代换即可得出结论【解答】解：（1）如图 1，连接 AF，四边形 ABCD 是菱形，ACBD，ABO ABC30，OAEOAF30，DAF30ADO ，AFFD ，AFEF，EFFD ；AEF 60，BAE 30ABO，AEBE，（2）成立，如图 3，连接 CE，AF，四边形 ABCD 是
41、菱形，四边形 AEFG 是菱形，ADCD，AEEF ，BD 垂直平分 AC，ABCADC60，ADCAEF60，ACD 和AEF 是等边三角形，ACAD，AE AFEF， CADEAF 60，CAEDAF，在ACE 和ADF 中， ，ACEADF，ECDF，BD 垂直平分 AC，ECAE，DFAEEF（3）如图 2，AECE，ACECAE，点 C，E，G 在同一条直线上，AEG2CAE 30，CAE15，BAO60，BAE 75，ABO ABC30，AEB 75BAE ，BEAB，在 Rt AOB 中，ABO30，cosABO ，OB AB BE，BD2OB BE【点评】此题是四边形综合题，主
42、要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，解（1）的关键是判断出 AFFD，解（2）的关键是判断出ACEADF，解（3）的关键是判断出 BEAB，是一道中等难度的中考常考题26（13 分）如图，抛物线 yax 22x +c（a0）与 x 轴交于 A，C 两点，与直线yx1 交于 A，B 两点，且 OC3OA ，直线 AB 与抛物线的对称轴交于点 E（1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 在直线 AB 上方的抛物线上运动点 P 在什么位置时， ABP 的面积最大，求出此时点 P 的坐标；当点 P 与点 C 重合时，连结 PE，将PEB 补成矩形，使 PEB
43、 上的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，求出矩形未知顶点的坐标【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先确定出点 B 的坐标，设点 P（m，m 22m +3），得出 PGm 23m+4，利用三角形的面积公式建立函数关系式即可得出结论；先确定出点 E 的坐标，进而判断出BPE 是直角三角形，即可作出图形，利用两直线的交点坐标的求法即可得出结论【解答】解：（1）yx 1 与 x 轴交于点 A，令 y0，则 x10x 1A（1，0）OC3OA，C（3，0）把点 A（1，0）和 C（3， 0）分别代入 yax 22x+c（a0）得： 解得： 即 yx 22x
44、+3（2）解方程组 得B（4，5）设 P（m， m22m+3 ）如图 1，过点 P 作 PGy 轴交 AB 于 G，则 G 点的坐标是（m，m 1）PGm 22m+3（m1）m 23m +4S PAB S PBG +SPAG 5（m 23m +4） （m+ ） 2+ 0，当 m 时， ABP 的面积最大当 m 时， y +2 +3 （ ， ）P（3，0）对称轴为 x1，当 x1，y112，E（1，2）P（3，0），E（1，2），B（4，5），PE2 ，BE3 ，PB PEB 90（i）以 BP 为对角线，点 E 为矩形的顶点时，如图 2 所示，易求得直线 PD 的解析式为yx+3，直线 BD 的解析式为 yx9由 得此时 D（6，3）（ii）以 BP 为边，点 E 在 BP 对边上时，如图 2 所示，过点 B 作 y 轴的平行线交 x 轴于点 N，过点 M 作 MTBNS 矩形 PBMF2S PBE ，BM 由BTMPNB，得 BT ，MT M（ ， ）过点 F 作 FKx 轴于点 K，由FKPPNB ，得 FK ，PK
