1、第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 章末复习课章末复习课 一、几何体的表面积与体积 1主要考查多面体、旋转体的表面积，旋转体的侧面展开图，柱体、锥体、台体的体积，球 的表面积和体积，不规则几何体常用转换法、分割法、补形法等进行求解 2利用公式求解表面积、体积，提高数学运算素养 例1 如图所示(单位： cm)， 求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积 解 由题意知，所求几何体的表面积由三部分组成： 圆台下底面、侧面和一半球面， S半球8 cm2，S圆台侧35 cm2，S圆台底25 cm2， 故所求几何体的表面积为 68 cm2. 由 V圆台1 32 2 225252452(
2、cm3)， V 半球4 32 31 2 16 3 (cm3)， 所以所求几何体的体积为 V圆台V半球5216 3 140 3 (cm3) 反思感悟 关于空间几何体的体积、表面积 首先要准确确定几何体的基本量，如球的半径，几何体的高、棱长等，其次是准确代入相关 的公式计算 跟踪训练 1 如图所示，已知直三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长均为 1，则三棱锥 B1ABC1 的体积为( ) A. 3 12 B. 3 4 C. 6 12 D. 6 4 答案 A 解析 11 BABC V 锥 三棱 1 1 1 ABCABC V 三棱柱 1 1 1 AABC V 锥 三棱 1 CABC V 锥 三棱 3
3、4 3 12 3 12 3 12. 二、空间中的平行关系 1空间中的平行主要有线线平行、线面平行、面面平行，主要考查在空间几何体中证明线面 平行、面面平行以及线线平行 2通过线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化，提升逻辑推理和直观想象素养 例 2 已知 M，N 分别是底面为平行四边形的四棱锥 PABCD 的棱 AB，PC 的中点，平面 CMN 与平面 PAD 交于 PE，求证： (1)MN平面 PAD； (2)MNPE. 证明 (1)如图，取 DC 的中点 Q，连接 MQ，NQ. NQ 是PDC 的中位线， NQPD. NQ平面 PAD，PD平面 PAD， NQ平面 PAD. M 是 A
4、B 的中点，四边形 ABCD 是平行四边形， MQAD. MQ平面 PAD，AD平面 PAD， MQ平面 PAD. MQNQQ，平面 MNQ平面 PAD. MN平面 MNQ，MN平面 PAD. (2)平面 MNQ平面 PAD，平面 PEC平面 MNQMN，平面 PEC平面 PADPE， MNPE. 反思感悟 线线平行、线面平行、面面平行相互间的关系 线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的，可以进行任意转化，相互间的转 化关系如下： 跟踪训练 2 如图所示， 四边形 ABCD 是平行四边形， PB平面 ABCD， MAPB， PB2MA. 在线段 PB 上是否存在一点 F，使平面 A
5、FC平面 PMD？若存在，请确定点 F 的位置；若不 存在，请说明理由 解 当点 F 是 PB 的中点时，平面 AFC平面 PMD，证明如下：如图连接 BD 与 AC 交于点 O，连接 FO，则 PF1 2PB. 四边形 ABCD 是平行四边形， O 是 BD 的中点，OFPD. 又 OF平面 PMD，PD平面 PMD， OF平面 PMD. 又 MAPB 且 MA1 2PB， PFMA 且 PFMA， 四边形 AFPM 是平行四边形，AFPM. 又 AF平面 PMD，PM平面 PMD， AF平面 PMD. 又 AFOFF，AF平面 AFC，OF平面 AFC， 平面 AFC平面 PMD. 三、空
6、间中的垂直关系 1主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，以及线线垂直、线面垂直、 面面垂直三者之间的联系与转化 2通过线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的转化，提升直观想象和逻辑推理素养 例 3 如图， 在四棱锥 PABCD 中， ABCD， ABAD， CD2AB， 平面 PAD底面 ABCD， PAAD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，求证： (1)PA底面 ABCD； (2)BE平面 PAD； (3)平面 BEF平面 PCD. 证明 (1)因为平面PAD底面ABCD， 平面PAD底面ABCDAD， PA平面PAD， PAAD， 所以 PA底面 ABCD. (
7、2)因为 ABCD，CD2AB，E 为 CD 的中点， 所以 ABDE，且 ABDE. 所以四边形 ABED 为平行四边形，所以 BEAD. 又因为 BE平面 PAD，AD平面 PAD， 所以 BE平面 PAD. (3)因为 ABAD，且四边形 ABED 为平行四边形， 所以 BECD，ADCD. 由(1)知 PA底面 ABCD，所以 APCD. 又因为 APADA，AP，AD平面 PAD， 所以 CD平面 PAD，所以 CDPD. 因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点， 所以 PDEF，所以 CDEF. 又因为 CDBE，EFBEE，EF，BE平面 BEF， 所以 CD平面 BE
8、F.又 CD平面 PCD， 所以平面 BEF平面 PCD. 反思感悟 线线垂直、线面垂直、面面垂直相互间的转化 跟踪训练 3 如图所示，已知 AF平面 ABCD，四边形 ABEF 为矩形，四边形 ABCD 为直角 梯形，DAB90 ，ABCD，ADAFCD2，AB4. (1)求证：AC平面 BCE； (2)求证：ADAE. 证明 (1)在直角梯形 ABCD 中，ADCD2，AB4， 所以 ACBC2 2， 所以 AC2BC2AB2，所以 ACBC. 因为 AF平面 ABCD，AFBE， 所以 BE平面 ABCD，AC平面 ABCD， 所以 BEAC. 又 BE平面 BCE，BC平面 BCE，B
9、EBCB， 所以 AC平面 BCE. (2)因为 AF平面 ABCD，AD平面 ABCD， 所以 AFAD. 又DAB90 ，所以 ABAD. 又 AF平面 ABEF，AB平面 ABEF，AFABA， 所以 AD平面 ABEF. 又 AE平面 ABEF，所以 ADAE. 四、空间角的求法 1空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角，主要考查空间角的定义及求法，求角时 要先找角，再证角，最后在三角形中求角 2通过找角，证角，求角，提升逻辑推理与数学运算素养 例 4 如图，正方体的棱长为 1，BCBCO，求： (1)AO 与 AC所成角的大小； (2)AO 与平面 ABCD 所成角的正切值； (
10、3)平面 AOB 与平面 AOC 所成角的大小 解 (1)ACAC， AO 与 AC所成的角就是OAC. AB平面 BC，OC平面 BC， OCAB， 又 OCBO，ABBOB，AB，BO平面 ABO， OC平面 ABO. 又 OA平面 ABO，OCOA. 在 RtAOC 中，OC 2 2 ，AC 2， sinOACOC AC 1 2， OAC30 . 即 AO 与 AC所成角为 30 . (2)如图，作 OEBC 于 E，连接 AE. 平面 BC平面 ABCD，平面 BC平面 ABCDBC，OE平面 BC， OE平面 ABCD， OAE 为 OA 与平面 ABCD 所成的角 在 RtOAE
11、中，OE1 2，AE 12 1 2 2 5 2 ， tanOAEOE AE 5 5 . 即 AO 与平面 ABCD 所成角的正切值为 5 5 . (3)由(1)可知 OC平面 AOB. 又OC平面 AOC，平面 AOB平面 AOC. 即平面 AOB 与平面 AOC 所成的角为 90 . 反思感悟 (1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角) (2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影) (3)二面角的平面角的作法常有三种：定义法；三垂线法；垂面法 跟踪训练 4 (1)在直三棱柱 ABCA1B1C1中，CACB4，AB2 7，CC12 5，E，F 分 别为 AC
12、，CC1的中点，则直线 EF 与平面 AA1B1B 所成的角是( ) A30 B45 C60 D90 答案 A 解析 如图，连接 AC1，取 A1B1的中点记为 O，连接 C1O，AO， C1A1C1B1，O 为中点， C1OA1B1， 又 AA1平面 A1B1C1， AA1C1O， 又 AA1A1B1A1， C1O平面 AA1B1B， 又 EFAC1， EF 与平面 AA1B1B 所成的角即为C1AO， 在 RtC1AO 中，C1OA90 ， C1O42 723，AC1422 526， sinC1AOC1O AC1 1 2， C1AO30 . (2)如图， 在四棱锥 PABCD 中， PA底
13、面 ABCD， 底面 ABCD 为直角梯形， ABCD， ABAD. 若 ABAD，直线 PB 与 CD 所成的角为 45 ，求二面角 PCDB 的大小 解 ABAD，CDAB，CDAD， 又 PA底面 ABCD，CD平面 ABCD，PACD. 又 PAADA，PA，AD平面 PAD， CD平面 PAD， 又 PD平面 PAD，CDPD， PDA 是二面角 PCDB 的平面角 又直线 PB 与 CD 所成的角为 45 ， PBA45 ，PAAB. 在 RtPAD 中，PAAD，PDA45 ， 即二面角 PCDB 的大小为 45 . 1(2019 全国)设 ， 为两个平面，则 的充要条件是( )
14、 A 内有无数条直线与 平行 B 内有两条相交直线与 平行 C， 平行于同一条直线 D， 垂直于同一平面 答案 B 解析 对于 A， 内有无数条直线与 平行，当这无数条直线互相平行时， 与 可能相交， 所以 A 不正确；对于 B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B 正确；对于 C，平行于同 一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以 C 不正确；对于 D，垂直于同一平面的两 个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的， 所以 D 不正确，综上可知选 B. 2 (2020 全国)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一， 它的形状可视为一个正四棱锥 以 该四棱
15、锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底 边上的高与底面正方形的边长的比值为( ) A. 51 4 B. 51 2 C. 51 4 D. 51 2 答案 C 解析 设正四棱锥的底面正方形的边长为 a，高为 h， 侧面三角形底边上的高(斜高)为 h， 则由已知得 h21 2ah. 如图，设 O 为正四棱锥 SABCD 底面的中心，E 为 BC 的中点， 则在 RtSOE 中，h2h2 a 2 2， h21 2ah 1 4a 2， h a 21 2 h a 1 40， 解得h a 51 4 (负值舍去) 3(2020 全国) 已知ABC 是面积为9 3 4 的等边
16、三角形，且其顶点都在球 O 的球面上若 球 O 的表面积为 16，则 O 到平面 ABC 的距离为( ) A. 3 B.3 2 C1 D. 3 2 答案 C 解析 如图所示，过球心 O 作 OO1平面 ABC， 则 O1为等边三角形 ABC 的外心 设ABC 的边长为 a， 则 3 4 a29 3 4 ，解得 a3， O1A2 3 3 2 3 3. 设球 O 的半径为 r，则由 4r216，得 r2，即 OA2. 在 RtOO1A 中，OO1 OA2O1A21， 即 O 到平面 ABC 的距离为 1. 4(2019 全国)如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 EC
17、D平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则( ) ABMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 CBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 DBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 答案 B 解析 取 CD 的中点 O， 连接 ON， EO， 因为ECD 为正三角形， 所以 EOCD， 又平面 ECD 平面 ABCD，平面 ECD平面 ABCDCD，所以 EO平面 ABCD.设正方形 ABCD 的边长为 2， 则 EO 3， ON1， 所以 EN2EO2ON24， 得 EN2.过 M 作 CD 的垂线， 垂足为 P， 连接 BP，则 MP 3 2
18、 ，CP3 2，所以 BM 2MP2BP2 3 2 2 3 2 2227，得 BM 7， 所以 BMEN.连接 BD，BE，因为四边形 ABCD 为正方形，所以 N 为 BD 的中点，即 EN， MB 均在平面 BDE 内，所以直线 BM，EN 是相交直线 5.(2019 全国)学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型如图，该模型为长方体 ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥 OEFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F， G，H 分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14 cm,3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3. 不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g. 答案 118.8 解析 由题意得长方体 ABCDA1B1C1D1的体积为 664144(cm3)，四边形 EFGH 为平 行四边形，如图所示，连接 GE，HF，易知四边形 EFGH 的面积为矩形 BCC1B1面积的一半， 即1 26412(cm 2)，所以 V 四棱锥OEFGH1 331212(cm 3)，所以该模型的体积为 14412 132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为 1320.9118.8(g)
