《第一章 立体几何初步》单元检测卷(含答案)

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1、章末检测试卷(一)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1下列四个命题中,错误的是()A若直线a,b互相平行,则直线a,b确定一个平面B平行于同一条直线的两条直线互相平行C若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线D两条异面直线不可能垂直于同一个平面答案C解析C项,两直线无公共点,这两直线平行或异面2如图是一个几何体的三视图,其中主视图是腰长为2的等腰三角形,俯视图是半径为1的半圆,则该几何体的体积是()A. B. C. D.答案B解析由三视图可知,给定的几何体是一个圆锥的一半,故所求的体积为12.3已知一个四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的

2、四个侧面中,直角三角形的个数是()A4 B3 C2 D1答案A解析由三视图知,该几何体为底面是矩形,有一条侧棱垂直于底面的四棱锥,其中四个侧面全是直角三角形,所以该四棱锥的四个侧面中,直角三角形的个数为4.4一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形,原三角形的面积为()A. B. C. D.答案D解析,S直,S原.5设正方体的表面积为24,那么其外接球的体积是()A. B. C4 D32答案C解析设正方体的棱长为a,由题意可知,6a224,a2.设正方体外接球的半径为R,则a2R,R,V球R34.6如图所示是某几何体的三视图,则这个几何体的体积等于()A4 B6 C8 D12答案A解析

3、由三视图得该几何体为四棱锥,如图记作SABCD,其中SA平面ABCD,SA2,AB2,AD2,CD4,且ABCD为直角梯形,DAB90.VSA(ABCD)AD2(24)24,故选A.7算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“禾盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式VL2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么,近似公式VL2h相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为()A. B. C. D.答案D解析设圆锥的底面半径为r,则圆锥的底面周长L2r,r,

4、Vr2h.令L2h,得,故选D.8若将一个真命题中的“平面”换成“直线”,“直线”换成“平面”后仍是真命题,则该命题称为“可换命题”,下列四个命题:垂直于同一平面的两直线平行;垂直于同一平面的两平面平行;平行于同一直线的两直线平行;平行于同一平面的两直线平行其中是“可换命题”的是()A B C D答案A解析对于,由“垂直于同一直线的两个平面平行”知,是“可换命题”;对于,由“垂直于同一平面的两平面未必平行”知,不是“可换命题”;对于,由“平行于同一平面的两个平面平行”知,是“可换命题”;对于,由“平行于同一平面的两直线未必平行”知,不是“可换命题”综上所述,选A.9如图,在三棱柱ABCA1B1

5、C1中,侧棱AA1底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是()ACC1与B1E是异面直线BAC平面ABB1A1CAE,B1C1为异面直线,且AEB1C1DA1C1平面AB1E答案C解析由已知ACAB,E为BC的中点,得AEBC.又BCB1C1,AEB1C1,C正确10已知直线l平面,直线m平面,有以下四个命题:lm;lm;lm;lm.其中正确的命题是()A B C D答案D解析若,l,则l,又m,所以lm,故正确;若,l,m,则l与m可能异面,所以不正确;若lm,l,则m,又m,则,所以正确;若l,lm,m,则与可能相交,故不正确综上可知,选D.1

6、1.如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF,则下列结论中错误的是()AACBEBEF平面ABCDC三棱锥ABEF的体积为定值DAEF的面积与BEF的面积相等答案D解析对D选项,由图形知,B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等,故SAEFSBEF,所以D错误12如图所示,三棱锥ABCD的底面是等腰直角三角形,AB平面BCD,ABBCBD2,E是棱CD上的任意一点,F,G分别是AC,BC的中点,则在下列命题中:平面ABE平面BCD;平面EFG平面ABD;四面体FECG体积的最大值是,真命题的个数是()A1 B2C3 D0答案B解析正确,因为AB平面

7、BCD,且AB平面ABE,由面面垂直的判定定理可知平面ABE平面BCD;错,若两平面平行,则必有ADEF,而点E是棱CD上任意一点,故该命题为假命题;正确,由已知易得GF平面GCE,且GFAB1,而当E与D重合时,SGCE最大,SGCESBCD1,故VFECGSGCEFG.故正确的命题为,故选B.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.如图,正方形ABCD的边长为1,所对的圆心角CDE90,将图形ABCE绕AE所在直线旋转一周,形成的几何体的表面积为_答案5解析由题意知,形成的几何体是组合体:上面是半球、下面是圆柱,正方形ABCD的边长为1,CDE90,球的半径是1,圆柱的底面

8、半径是1,母线长是1,形成的几何体的表面积S122114125,故答案为5.14已知平面,和直线m,给出条件:m;m;m;.当满足条件_时,有m.答案15.如图,在上、下底面对应边的比为12的三棱台中,过上底面一边作一个平行于棱CC1的平面A1B1EF,这个平面分三棱台成两部分,则_.答案解析设三棱台的上底面面积为S0,则下底面面积为4S0,高为h,则(S04S02S0)hS0h,S0h.设剩余的几何体的体积为V,则VS0hS0hS0h,体积之比为34.16如图,在四面体PABC中,PAPB,平面PAB平面ABC,ABC90,AC8,BC6,则PC_.答案7解析取AB的中点E,连接PE.PAP

9、B,PEAB.又平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABCAB,PE平面PAB,PE平面ABC.连接CE,PECE.ABC90,AC8,BC6,AB2,PE,CE,PC7.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17(10分)某工厂为了制造一个实心工件,先画出了这个工件的三视图(如图),其中主视图与左视图为两个全等的等腰三角形,俯视图为一个圆,三视图尺寸如图所示(单位:厘米)(1)求出这个工件的体积;(2)工件做好后,要给表面喷漆,已知喷漆费用是每平方厘米1元,现要制作10个这样的工件,请计算喷漆总费用(精确到整数部分)解(1)由三视图可知,几何体为圆锥,底面直径为4,母线长l3,设圆锥的高为h

10、,则h,则VShR2h4(立方厘米)(2)圆锥的侧面积S1Rl6,则其表面积为6226410(平方厘米),喷漆总费用为1010100314(元)18(12分)如图,矩形AMND所在平面与直角梯形MBCN所在的平面垂直,MBNC,MNMB.(1)求证:平面AMB平面DNC;(2)若MCCB,求证:BCAC.证明(1)MBNC,MB平面DNC,NC平面DNC,MB平面DNC.AMND是矩形,MADN,又MA平面DNC,DN平面DNC,MA平面DNC,又MAMBM,且MA,MB平面AMB,平面AMB平面DNC.(2)AMND是矩形,AMMN,平面AMND平面MBCN,且平面AMND平面MBCNMN,

11、AM平面MBCN,BC平面MBCN,AMBC,MCBC,MCAMM,BC平面AMC,AC平面AMC,BCAC.19(12分)如图所示的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,下面是它的主视图和左视图(单位:cm)(1)画出该多面体的俯视图;(2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;(3)在所给直观图中连接BC,证明:BC平面EFG.(1)解画俯视图如图(2)解所求多面体的体积VV长方体V三棱锥446(22)2(cm3)(3)证明如图,在长方体ABCDABCD中,连接AD,则ADBC,因为E,G分别为AA,AD的中点,所以ADEG,从而EGBC,又BC平面EFG,EG平面EFG,

12、所以BC平面EFG.20(12分)如图1所示的等边ABC的边长为2a,CD是AB边上的高,E,F分别是AC,BC边的中点现将ABC沿CD折叠,使平面ADC平面BDC,如图2所示(1)试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;(2)求四面体ADBC的外接球体积与四棱锥DABFE的体积之比解(1)E,F分别为AC,BC的中点,ABEF,AB平面DEF,EF平面DEF,AB平面DEF.(2)以DA,DB,DC为棱补成一个长方体,则四面体ADBC的外接球即为长方体的外接球设球的半径为R,则a2a23a2(2R)2,R2a2,于是球的体积V1R3a3.又VADBCSDBCADa3,VEDF

13、CSDFCADa3,.21(12分)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PDPC4,AB6,BC3.(1)证明:BC平面PDA;(2)证明:BCPD;(3)求点C到平面PDA的距离(1)证明因为四边形ABCD是长方形,所以BCAD,因为BC平面PDA,AD平面PDA,所以BC平面PDA.(2)证明因为四边形ABCD是长方形,所以BCCD,因为平面PDC平面ABCD,平面PDC平面ABCDCD,BC平面ABCD,所以BC平面PDC,因为PD平面PDC,所以BCPD.(3)解取CD的中点E,连接AE和PE.因为PDPC,所以PECD,在RtPED中,PE.因为平面PDC平面

14、ABCD,平面PDC平面ABCDCD,PE平面PDC,所以PE平面ABCD,由(2)知,BC平面PDC,由(1)知,BCAD,所以AD平面PDC,因为PD平面PDC,所以ADPD.设点C到平面PDA的距离为h,因为V三棱锥CPDAV三棱锥PACD,所以SPDAhSACDPE,即h,所以点C到平面PDA的距离是.22(12分)如图,在三棱锥PABC中,PA平面ABC,ABAC2,BC2,M,N分别为BC,AB的中点(1)求证:MN平面PAC;(2)求证:平面PBC平面PAM;(3)在AC上是否存在点E,使得ME平面PAC,若存在,求出ME的长;若不存在,请说明理由(1)证明因为M,N分别为BC,AB的中点,所以MNAC.因为MN平面PAC,AC平面PAC,所以MN平面PAC.(2)证明因为PA平面ABC,BC平面ABC,所以PABC,因为ABAC2,M为BC的中点,所以AMBC.因为AMPAA,所以BC平面PAM.因为BC平面PBC,所以平面PBC平面PAM.(3)解存在过点M作MEAC交AC于点E,因为PA平面ABC,ME平面ABC,所以PAME.因为MEAC,ACPAA,所以ME平面PAC.因为在ABC中,ABAC2,BC2,M为BC的中点,所以ME.

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