1、章末检测试卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.如图所示，ABC是水平放置的ABC的斜二测直观图，其中OCOA2OB，则以下说法正确的是()A.ABC是钝角三角形B.ABC是等腰三角形，但不是直角三角形C.ABC是等腰直角三角形D.ABC是等边三角形答案C2.若两球的体积之和是12，经过两球球心的截面圆周长之和为6，则两球的半径之差为()A.1 B.2 C.3 D.4答案A解析设两球的半径分别为R，r(Rr)，则由题意得解得Rr1.3.在直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(
2、)A.30 B.45 C.60 D.90答案C解析延长CA到D，使得ADAC，连结A1D(图略)，则四边形ADA1C1为平行四边形，故DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1DB为等边三角形，DA1B60.4.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，点E，F分别为AD，DC上的点，且AD3ED，若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于()A. B. C.2 D.3答案B解析因为EF平面AB1C，EF平面ABCD，平面AB1C平面ABCDAC，所以EFAC.又AD3ED，所以EFAC.5.把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线B
3、D和平面ABC所成角的大小为()A.90 B.60 C.45 D.30答案C解析当三棱锥DABC体积最大时，平面DAC平面ABC，取AC的中点O(图略)，则DBO是等腰直角三角形，即DBO45.6.已知平面平面，l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A.ABm B.ACm C.AB D.AC答案D解析m，m，l，ml.ABl，ABm.故A一定正确.ACl，ml，ACm.故B一定正确.A，ABl，l，B.AB，l，AB.故C也正确.ACl，当点C在平面内时，AC成立，当点C不在平面内时，AC不成立.故D不一定成立.7.已知在ABC中，AB2，
4、BC1.5，ABC120，若使其绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是()A. B. C. D.答案A解析所得几何体是大圆锥挖去同底的一个小圆锥，所以所形成几何体的体积VV大圆锥V小圆锥r2(11.51)()21.5.8.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，若ABBC，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论中成立的是()EF与BB1垂直；EF平面BCC1B1；EF与C1D所成的角为45；EF平面A1B1C1D1.A. B. C. D.答案B解析显然正确，错误.9.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为()A
5、.5 B.6 C.20 D.10答案D解析用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为22520，故所求几何体的体积为10.10.如图，在四面体ABCD中，AB1，AD2，BC3，CD2，ABCDCB90，则二面角ABCD的大小为()A.30 B.60C.120 D.150答案B解析在BCD中，BC3，CD2，BCD90，所以BD，在ABC中，AB1，BC3，ABC90，所以AC.又AD2，在ABD中，BD2AB2AD2，所以BAD90，过点B作BECD，使BECD，连结AE，DE，则四边形BEDC为矩形，BE2，因为BCAB，BCBE，所以BC平面ABE，又DEBC，
6、所以DE平面ABE，所以DEAE，所以AE.又在ABE中，AE2AB2BE2，所以BAE90，ABE60，因为ABBC，EBBC，所以ABE为二面角ABCD的平面角，且ABE60，故选B.11.已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A.36 B.64 C.144 D.256答案C解析如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VOABCVCAOBR2RR336，故R6，则球O的表面积为S4R2144，故选C.12.如图，在三棱锥PABC中，已知PA底面ABC，A
7、BBC，E，F分别是线段PB，PC上的动点，则下列说法错误的是()A.当AEPB时，AEF一定为直角三角形B.当AFPC时，AEF一定为直角三角形C.当EF平面ABC时，AEF一定为直角三角形D.当PC平面AEF时，AEF一定为直角三角形答案B解析当AEPB时，PA底面ABC，ABBC，BC平面PAB，AEBC，AE平面PBC，AEEF，AEF一定为直角三角形，A说法正确；当AFPC时，无法得出AEF一定为直角三角形，因此B说法错误；当EF平面ABC时，平面PBC平面ABCBC，EF平面PBC，EFBC，PA底面ABC，ABBC，BC平面PAB，BCAE，EFAE，则AEF一定为直角三角形，故
8、C说法正确；当PC平面AEF时，可得PCAE，易知BCAE，AE平面PBC，AEEF，AEF一定为直角三角形，故D说法正确.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知在ABC中，BAC90，P为平面ABC外一点，且PAPBPC，则平面PBC与平面ABC的位置关系是_.答案垂直解析PAPBPC，P在ABC所在平面上的射影必落在ABC的外心上.又外心在BC上，设为O，则PO平面ABC.又PO平面PBC，平面PBC平面ABC.14.在圆锥VO中，O为底面圆的圆心，A，B为底面圆上两点，且OAOB，OAVO1，则O到平面VAB的距离为_.答案解析由题意，可得三棱锥VAOB的体积为VV
9、AOBSAOBVO.VAB是边长为的等边三角形，其面积为()2.设点O到平面VAB的距离为h，则VOVABSVABhhVVAOB，解得h，即点O到平面VAB的距离为.15.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_.答案解析设新的底面半径为r，则有r24r28524228，解得r.16.在三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，PCA90，ABC是边长为4的正三角形，PC4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为_.答案2解析连结CM，则由题意知PC平面ABC，又
10、CM平面ABC，可得PCCM，所以PM，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在ABC中，当CMAB时CM有最小值，此时有CM42，所以PM的最小值为2.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AB，A1D1的中点，判断MN与平面A1BC1的位置关系，并证明.解直线MN平面A1BC1.证明如下：MD/平面A1BC1，ND/平面A1BC1.MN平面A1BC1.如图，取A1C1的中点O1，连结NO1，BO1.NO1D1C1，NO1D1C1，MBD1C1，MBD1C1，NO1MB，NO1MB，四边形NO1BM为平行四边形，M
11、NBO1.又BO1平面A1BC1，MN平面A1BC1，MN平面A1BC1.18.(12分)如图所示，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PDPC.求证：(1)BC平面PDA；(2)BCPD.证明(1)在长方形ABCD中，BCAD，BC平面PDA，AD平面PDA，BC平面PDA.(2)取CD的中点H，连结PH.PDPC，PHCD.又平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCDCD，PH平面PDC，PH平面ABCD.又BC平面ABCD，PHBC.在长方形ABCD中，BCCD，PHCDH，BC平面PDC.又PD平面PDC，BCPD.19.(12分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐
12、(供融化高速公路上的积雪用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变).(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的侧面积；(3)哪个方案更经济些？解(1)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，则仓库的体积V1Sh824(m3)；如果按方案二，仓库的高变成8 m，则仓库的体积V2Sh62896(m3).(2)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m，圆锥的母线长为l4(m)，则仓库的侧面积S1
13、8432(m2)；如果按方案二，仓库的高变成8 m.圆锥的母线长为l10(m)，则仓库的侧面积S261060(m2).(3)因为V2V1，S2S1，所以方案二比方案一经济.20.(12分)如图所示，在ABC中，ACBCAB，四边形ABED是边长为1的正方形，平面ABED底面ABC，G，F分别是EC，BD的中点.(1)求证：GF平面ABC；(2)求证：AC平面EBC；(3)求该五面体的体积.(1)证明连结AE.四边形ADEB为正方形，AEBDF，且F是AE的中点，G是EC的中点，GFAC.又AC平面ABC，GF平面ABC，GF平面ABC.(2)证明四边形ADEB为正方形，EBAB.又平面ABED
14、平面ABC，平面ABED平面ABCAB，BE平面ABED，BE平面ABC，BEAC.CA2CB2AB2，ACBC.又BCBEB，BC，BE平面EBC，AC平面EBC.(3)解取AB的中点N，连结CN.ACBC，CNAB.又平面ABED平面ABC，平面ABED平面ABCAB，CN平面ABC，CN平面ABED.ABC是等腰直角三角形，CNAB.五面体CABED是四棱锥，V四棱锥CABEDS四边形ABEDCN1.21.(12分)已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，边长为a，PBa，PDa，PAPCa，且PD是四棱锥的高.(1)在四棱锥内放入一球，求球的最大半径；(2)求四棱锥外接球的半径.
15、解(1)当所放的球与四棱锥各面都相切时，球的半径最大，即球心到各面的距离均相等，设球的半径为R，球心为S，如图，连结SA，SB，SC，SD，SP.因为最大球与四棱锥各面都相切，所以三棱锥SPAB，SPBC，SPCD，SPAD与四棱锥SABCD的高都为R，且它们恰好组合成四棱锥PABCD.因为PD为四棱锥PABCD的高，PDADBCa，四边形ABCD为正方形，又因为PAPCa，PBa，所以PB2PA2AB2PC2BC2，所以PAB，PCB为直角三角形且全等，所以SPABSPCBaaa2，SPDASPDCa2，S正方形ABCDa2，所以VPABCDa2aa3，VSPABVSPBCa2Ra2R.VS
16、PADVSPDCa2Ra2R，VSABCDa2Ra2R.因为VPABCDVSPABVSPBCVSPADVSPDCVSABCD，所以a3a2Ra2Ra2R，即(2)Ra，所以Ra，即球的最大半径为a.(2)四棱锥外接球的球心到P，A，B，C，D五点的距离均为球的半径，只要找出球心位置即可，由(1)知PAB，PCB为直角三角形，若M为斜边PB的中点，则MAMBMPMC.连结BD，因为PDa，PBa，BDa，所以PB2PD2BD2，即PDB为直角三角形，PB为斜边，所以MDMBMP，所以M为四棱锥PABCD外接球的球心，所以外接球半径RPBa.22.(12分)如图所示，在长方形ABCD中，AB2，A
17、D1，E为CD的中点，以AE为折痕，把DAE折起到DAE的位置，且平面DAE平面ABCE.(1)求证：ADBE；(2)求四棱锥DABCE的体积；(3)在棱ED上是否存在一点P，使得DB平面PAC，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.(1)证明根据题意可知，在长方形ABCD中，DAE和CBE为等腰直角三角形，DEACEB45，AEB90，即BEAE.平面DAE平面ABCE，且平面DAE平面ABCEAE，BE平面ABCE，BE平面DAE，AD平面DAE，ADBE.(2)解取AE的中点F，连结DF，则DFAE.平面DAE平面ABCE，且平面DAE平面ABCEAE，DF平面DAE，DF平面ABCE，VDABCES四边形ABCEDF(12)1.(3)解如图所示，连结AC交BE于Q，假设在DE上存在点P，使得DB平面PAC，连结PQ.DB平面DBE，平面DBE平面PACPQ，DBPQ，在EBD中，.在梯形ABCE中，即EPED，在棱ED上存在一点P，且EPED，使得DB平面PAC.
