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《第1章 立体几何初步 章末检测试卷(含答案)

1、章末检测试卷(一)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.如图所示,ABC是水平放置的ABC的斜二测直观图,其中OCOA2OB,则以下说法正确的是()A.ABC是钝角三角形B.ABC是等腰三角形,但不是直角三角形C.ABC是等腰直角三角形D.ABC是等边三角形答案C2.若两球的体积之和是12,经过两球球心的截面圆周长之和为6,则两球的半径之差为()A.1 B.2 C.3 D.4答案A解析设两球的半径分别为R,r(Rr),则由题意得解得Rr1.3.在直三棱柱ABCA1B1C1中,若BAC90,ABACAA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于(

2、)A.30 B.45 C.60 D.90答案C解析延长CA到D,使得ADAC,连结A1D(图略),则四边形ADA1C1为平行四边形,故DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角,又A1DB为等边三角形,DA1B60.4.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,AB3,点E,F分别为AD,DC上的点,且AD3ED,若EF平面AB1C,则线段EF的长度等于()A. B. C.2 D.3答案B解析因为EF平面AB1C,EF平面ABCD,平面AB1C平面ABCDAC,所以EFAC.又AD3ED,所以EFAC.5.把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线B

3、D和平面ABC所成角的大小为()A.90 B.60 C.45 D.30答案C解析当三棱锥DABC体积最大时,平面DAC平面ABC,取AC的中点O(图略),则DBO是等腰直角三角形,即DBO45.6.已知平面平面,l,点A,Al,直线ABl,直线ACl,直线m,m,则下列四种位置关系中,不一定成立的是()A.ABm B.ACm C.AB D.AC答案D解析m,m,l,ml.ABl,ABm.故A一定正确.ACl,ml,ACm.故B一定正确.A,ABl,l,B.AB,l,AB.故C也正确.ACl,当点C在平面内时,AC成立,当点C不在平面内时,AC不成立.故D不一定成立.7.已知在ABC中,AB2,

4、BC1.5,ABC120,若使其绕直线BC旋转一周,则所形成的几何体的体积是()A. B. C. D.答案A解析所得几何体是大圆锥挖去同底的一个小圆锥,所以所形成几何体的体积VV大圆锥V小圆锥r2(11.51)()21.5.8.如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,若ABBC,E,F分别是AB1,BC1的中点,则下列结论中成立的是()EF与BB1垂直;EF平面BCC1B1;EF与C1D所成的角为45;EF平面A1B1C1D1.A. B. C. D.答案B解析显然正确,错误.9.如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3,则该几何体的体积为()A

5、.5 B.6 C.20 D.10答案D解析用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱,如图,则圆柱的体积为22520,故所求几何体的体积为10.10.如图,在四面体ABCD中,AB1,AD2,BC3,CD2,ABCDCB90,则二面角ABCD的大小为()A.30 B.60C.120 D.150答案B解析在BCD中,BC3,CD2,BCD90,所以BD,在ABC中,AB1,BC3,ABC90,所以AC.又AD2,在ABD中,BD2AB2AD2,所以BAD90,过点B作BECD,使BECD,连结AE,DE,则四边形BEDC为矩形,BE2,因为BCAB,BCBE,所以BC平面ABE,又DEBC,

6、所以DE平面ABE,所以DEAE,所以AE.又在ABE中,AE2AB2BE2,所以BAE90,ABE60,因为ABBC,EBBC,所以ABE为二面角ABCD的平面角,且ABE60,故选B.11.已知A,B是球O的球面上两点,AOB90,C为该球面上的动点,若三棱锥OABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36 B.64 C.144 D.256答案C解析如图所示,当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O ABC的体积最大,设球O的半径为R,此时VOABCVCAOBR2RR336,故R6,则球O的表面积为S4R2144,故选C.12.如图,在三棱锥PABC中,已知PA底面ABC,A

7、BBC,E,F分别是线段PB,PC上的动点,则下列说法错误的是()A.当AEPB时,AEF一定为直角三角形B.当AFPC时,AEF一定为直角三角形C.当EF平面ABC时,AEF一定为直角三角形D.当PC平面AEF时,AEF一定为直角三角形答案B解析当AEPB时,PA底面ABC,ABBC,BC平面PAB,AEBC,AE平面PBC,AEEF,AEF一定为直角三角形,A说法正确;当AFPC时,无法得出AEF一定为直角三角形,因此B说法错误;当EF平面ABC时,平面PBC平面ABCBC,EF平面PBC,EFBC,PA底面ABC,ABBC,BC平面PAB,BCAE,EFAE,则AEF一定为直角三角形,故

8、C说法正确;当PC平面AEF时,可得PCAE,易知BCAE,AE平面PBC,AEEF,AEF一定为直角三角形,故D说法正确.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知在ABC中,BAC90,P为平面ABC外一点,且PAPBPC,则平面PBC与平面ABC的位置关系是_.答案垂直解析PAPBPC,P在ABC所在平面上的射影必落在ABC的外心上.又外心在BC上,设为O,则PO平面ABC.又PO平面PBC,平面PBC平面ABC.14.在圆锥VO中,O为底面圆的圆心,A,B为底面圆上两点,且OAOB,OAVO1,则O到平面VAB的距离为_.答案解析由题意,可得三棱锥VAOB的体积为VV

9、AOBSAOBVO.VAB是边长为的等边三角形,其面积为()2.设点O到平面VAB的距离为h,则VOVABSVABhhVVAOB,解得h,即点O到平面VAB的距离为.15.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为_.答案解析设新的底面半径为r,则有r24r28524228,解得r.16.在三棱锥PABC中,平面PAC平面ABC,PCA90,ABC是边长为4的正三角形,PC4,M是AB边上的一动点,则PM的最小值为_.答案2解析连结CM,则由题意知PC平面ABC,又

10、CM平面ABC,可得PCCM,所以PM,要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可,在ABC中,当CMAB时CM有最小值,此时有CM42,所以PM的最小值为2.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为AB,A1D1的中点,判断MN与平面A1BC1的位置关系,并证明.解直线MN平面A1BC1.证明如下:MD/平面A1BC1,ND/平面A1BC1.MN平面A1BC1.如图,取A1C1的中点O1,连结NO1,BO1.NO1D1C1,NO1D1C1,MBD1C1,MBD1C1,NO1MB,NO1MB,四边形NO1BM为平行四边形,M

11、NBO1.又BO1平面A1BC1,MN平面A1BC1,MN平面A1BC1.18.(12分)如图所示,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PDPC.求证:(1)BC平面PDA;(2)BCPD.证明(1)在长方形ABCD中,BCAD,BC平面PDA,AD平面PDA,BC平面PDA.(2)取CD的中点H,连结PH.PDPC,PHCD.又平面PDC平面ABCD,平面PDC平面ABCDCD,PH平面PDC,PH平面ABCD.又BC平面ABCD,PHBC.在长方形ABCD中,BCCD,PHCDH,BC平面PDC.又PD平面PDC,BCPD.19.(12分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐

12、(供融化高速公路上的积雪用),已建的仓库的底面直径为12 m,高4 m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐,现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变);二是高度增加4 m(底面直径不变).(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的侧面积;(3)哪个方案更经济些?解(1)如果按方案一,仓库的底面直径变成16 m,则仓库的体积V1Sh824(m3);如果按方案二,仓库的高变成8 m,则仓库的体积V2Sh62896(m3).(2)如果按方案一,仓库的底面直径变成16 m,半径为8 m,圆锥的母线长为l4(m),则仓库的侧面积S1

13、8432(m2);如果按方案二,仓库的高变成8 m.圆锥的母线长为l10(m),则仓库的侧面积S261060(m2).(3)因为V2V1,S2S1,所以方案二比方案一经济.20.(12分)如图所示,在ABC中,ACBCAB,四边形ABED是边长为1的正方形,平面ABED底面ABC,G,F分别是EC,BD的中点.(1)求证:GF平面ABC;(2)求证:AC平面EBC;(3)求该五面体的体积.(1)证明连结AE.四边形ADEB为正方形,AEBDF,且F是AE的中点,G是EC的中点,GFAC.又AC平面ABC,GF平面ABC,GF平面ABC.(2)证明四边形ADEB为正方形,EBAB.又平面ABED

14、平面ABC,平面ABED平面ABCAB,BE平面ABED,BE平面ABC,BEAC.CA2CB2AB2,ACBC.又BCBEB,BC,BE平面EBC,AC平面EBC.(3)解取AB的中点N,连结CN.ACBC,CNAB.又平面ABED平面ABC,平面ABED平面ABCAB,CN平面ABC,CN平面ABED.ABC是等腰直角三角形,CNAB.五面体CABED是四棱锥,V四棱锥CABEDS四边形ABEDCN1.21.(12分)已知四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,边长为a,PBa,PDa,PAPCa,且PD是四棱锥的高.(1)在四棱锥内放入一球,求球的最大半径;(2)求四棱锥外接球的半径.

15、解(1)当所放的球与四棱锥各面都相切时,球的半径最大,即球心到各面的距离均相等,设球的半径为R,球心为S,如图,连结SA,SB,SC,SD,SP.因为最大球与四棱锥各面都相切,所以三棱锥SPAB,SPBC,SPCD,SPAD与四棱锥SABCD的高都为R,且它们恰好组合成四棱锥PABCD.因为PD为四棱锥PABCD的高,PDADBCa,四边形ABCD为正方形,又因为PAPCa,PBa,所以PB2PA2AB2PC2BC2,所以PAB,PCB为直角三角形且全等,所以SPABSPCBaaa2,SPDASPDCa2,S正方形ABCDa2,所以VPABCDa2aa3,VSPABVSPBCa2Ra2R.VS

16、PADVSPDCa2Ra2R,VSABCDa2Ra2R.因为VPABCDVSPABVSPBCVSPADVSPDCVSABCD,所以a3a2Ra2Ra2R,即(2)Ra,所以Ra,即球的最大半径为a.(2)四棱锥外接球的球心到P,A,B,C,D五点的距离均为球的半径,只要找出球心位置即可,由(1)知PAB,PCB为直角三角形,若M为斜边PB的中点,则MAMBMPMC.连结BD,因为PDa,PBa,BDa,所以PB2PD2BD2,即PDB为直角三角形,PB为斜边,所以MDMBMP,所以M为四棱锥PABCD外接球的球心,所以外接球半径RPBa.22.(12分)如图所示,在长方形ABCD中,AB2,A

17、D1,E为CD的中点,以AE为折痕,把DAE折起到DAE的位置,且平面DAE平面ABCE.(1)求证:ADBE;(2)求四棱锥DABCE的体积;(3)在棱ED上是否存在一点P,使得DB平面PAC,若存在,求出点P的位置,若不存在,请说明理由.(1)证明根据题意可知,在长方形ABCD中,DAE和CBE为等腰直角三角形,DEACEB45,AEB90,即BEAE.平面DAE平面ABCE,且平面DAE平面ABCEAE,BE平面ABCE,BE平面DAE,AD平面DAE,ADBE.(2)解取AE的中点F,连结DF,则DFAE.平面DAE平面ABCE,且平面DAE平面ABCEAE,DF平面DAE,DF平面ABCE,VDABCES四边形ABCEDF(12)1.(3)解如图所示,连结AC交BE于Q,假设在DE上存在点P,使得DB平面PAC,连结PQ.DB平面DBE,平面DBE平面PACPQ,DBPQ,在EBD中,.在梯形ABCE中,即EPED,在棱ED上存在一点P,且EPED,使得DB平面PAC.