1、第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 章末复习章末复习 一、选择题 1在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体，则截去 8 个三棱锥后，剩下的几何体的体积是( ) A2 3 B7 6 C4 5 D5 6 2. 已知水平放置的ABC， 按“斜二测画法”得到如图所示的直观图， 其中 BOCO1， AO 3 2 ，那么原三角形 ABC 的面积是( ) A 3 B2 2 C 3 2 D 3 4 3用 m，n 表示两条不同的直线， 表示平面，则下列命题正确的是( ) A若 mn，n，则 m B若 m，n，则 mn C若 mn，n，则 m D若 m，n，则 mn 4在正方体
2、 ABCDA1B1C1D1中，下面说法正确的是( ) AA1C1AD BD1C1AB CAC1与 DC 成 45 角 DA1C1与 B1C 成 60 角 5. 如图， 在三棱锥 SABC 中， ABC 是边长为 6 的正三角形， SASBSC15， 平面 DEFH 分别与 AB，BC，SC，SA 交于点 D，E，F，H，且 D，E 分别是 AB，BC 的中点，如果直线 SB平面 DEFH，那么四边形 DEFH 的面积为( ) A45 2 B45 3 2 C45 D45 3 6在梯形 ABCD 中，ABC 2，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在 的直线旋转一周而形成的
3、曲面所围成的几何体的体积为( ) A2 3 B4 3 C5 3 D2 7已知 S，A，B，C 是球 O 表面上的不同点，SA平面 ABC，ABBC，AB1，BC 2， 若球 O 的表面积为 4，则 SA( ) A 2 2 B1 C 2 D3 2 8PA，PB，PC 是从 P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为 60 ，那么直线 PC 与平 面 PAB 所成角的余弦值是 ( ) A1 2 B 2 2 C 3 3 D 6 3 二、选择题 9下列命题正确的是( ) A若一个平面内两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行 B若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直 C垂直于同一
4、直线的两条直线相互平行 D若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 10已知平面 平面 ，l，点 A，Al，若直线 ABl，直线 ACl，直线 m， m，则( ) AABm BACm CAB DAC 11. 如图，四边形 ABCD 是圆柱的轴截面，E 是底面圆周上异于 A，B 的一点，则下面结论 中正确的是( ) AAECE BBEDE CDE平面 CEB D平面 ADE平面 BCE 12 已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC2，则( ) A三棱锥 SABC 的体积为 2 6
5、 B三棱锥 SABC 的体积为 2 3 C三棱锥 OABC 的体积为 2 12 D三棱锥 OABC 的体积为2 2 3 三、填空题 13. 如图所示， 等边三角形 ABC 的边长为 4， D 为 BC 的中点， 沿 AD 把ADC 折叠到ADC 处，使二面角 BADC为 60 ，则折叠后二面角 ABCD 的正切值为_. 14在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 A1B1，CD 的中点，则点 B 到 截面 AEC1F 的距离为_，四棱锥 BAEC1F 的体积为_. 15如图(1)所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为 1 cm 和半径为 3 cm 的两
6、个圆柱组成的简单几何体当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为 20 cm；当这 个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为 28 cm，则这个简单几何体的总高度为_cm. 16将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 ABDC.给出如下结论： AB 与平面 BCD 所成的角的大小为 60 ； ACD 是等边三角形； AB 与 CD 所成的角为 60 ； ACBD； 二面角 BACD 的平面角为 120 . 其中正确的为_(填序号) 四、解答题 17有一根长为 3 cm，底面半径为 1 cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕 2 圈， 并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，
7、求铁丝的最短长度 18. 如图所示，四边形 ABCD 是直角梯形(单位：cm)，求图中阴影部分绕 AB 所在直线旋转 一周所成几何体的表面积和体积 19. 如图，已知四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1平面 ABCD，DAB60 ， ADAA1，F 为棱 AA1的中点，M 为线段 BD1的中点 求证：(1)MF平面 ABCD； (2)MF平面 BDD1B1. 20. 如图， 在正三棱柱(底面为正三角形， 侧棱垂直底面)ABCA1B1C1中， F， F1分别是 AC， A1C1的中点求证： (1)平面 AB1F1平面 C1BF； (2)平面 AB1F1平面 ACC1A1. 21如
8、图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，BAD 2，ABBC 1 2ADa，E 是 AD 的 中点，O 是 AC 与 BE 的交点将ABE 沿 BE 折起到图中A1BE 的位置，得到四棱锥 A1 BCDE. (1)证明：CD平面 A1OC； (2)当平面 A1BE平面 BCDE 时，四棱锥 A1BCDE 的体积为 36 2，求 a 的值 22. 如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD 3，PAD 是等边 三角形，F 为 AD 的中点，PDBF. (1)求证：ADPB； (2)若 E 在线段 BC 上， 且 EC1 4BC， 能否在棱 PC 上找到一点 G，
9、使平面 DEG平面 ABCD？ 若存在，求出三棱锥 DCEG 的体积；若不存在，请说明理由 参考答案 一、选择题 1 【答案】D 【解析】棱长为 1 的正方体的体积为 1,8 个三棱锥的体积为 8 1 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 6，所以剩下的 几何体的体积为 11 6 5 6. 2. 【答案】A 【解析】由斜二测画法的原则可得，BCBC2，AO2AO2 3 2 3，由图易得 AO BC，S ABC 1 2 2 3 3，故选 A. 3 【答案】D 【解析】若 mn，n，则 m 或 m，故排除 A；若 m，n，则 mn 或 m，n 异 面，故排除 B；若 mn，n，则不能得出 m，例
10、如，mn，n，m，则 m 与 不 垂直，故排除 C.故选 D. 4 【答案】D 【解析】如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，异面直线 A1C1与 AD 所成的角为 45 ；直线 D1C1与直线AB平行； 异面直线AC1与DC所成的角的大小为C1AB的大小， 其正切值为BC1 AB 21，所以异面直线 AC1与 DC 所成的角不是 45 ；连接 A1D，DC1，因为 A1DB1C，所 以异面直线 A1C1与 B1C 所成的角就是直线 A1C1与直线 A1D 所成的角而A1DC1是等边三 角形，所以C1A1D60 ，即 A1C1与 B1C 所成的角为 60 .所以选 D. 5. 【答案】A
11、 【解析】取 AC 的中点 G，连接 SG，BG.易知 SGAC，BGAC，故 AC平面 SGB，所以 ACSB.因为 SB平面 DEFH，SB平面 SAB，平面 SAB平面 DEFHHD，所以 SBHD. 同理 SBFE.又 D，E 分别为 AB，BC 的中点，则 H，F 也分别为 AS，SC 的中点，从而得 HF 1 2AC DE，所以四边形 DEFH 为平行四边形又 ACSB，SBHD，DEAC，所 以 DEHD，所以四边形 DEFH 为矩形，其面积 SHF HD 1 2AC 1 2SB 45 2 . 6 【答案】C 【解析】过点 C 作 CE 垂直 AD 所在直线于点 E，梯形 ABC
12、D 绕 AD 所在直线旋转一周而形 成的旋转体是由以线段 AB 的长为底面圆的半径，线段 BC 为母线的圆柱挖去以线段 CE 的 长为底面圆的半径， ED为高的圆锥， 如图所示， 该几何体的体积为VV圆柱V圆锥AB2 BC 1 3CE 2 DE12 21 31 2 15 3 ，故选 C. 7 【答案】B 【解析】根据已知把 SABC 补成如图所示的长方体因为球 O 的表面积为 4，所以球 O 的半径 R1,2R SA2122，解得 SA1，故选 B. 8 【答案】C 【解析】构造正方体如图所示，连接 AB，过点 C 作 CO平面 PAB，垂足为 O，易知 O 是 正三角形 ABP 的中心，连接
13、 PO 并延长交 AB 于 D，于是CPO 为直线 PC 与平面 PAB 所 成的角设 PCa，则 PD 3 2 a，故 PO2 3PD 3 3 a，故 cosCPOPO PC 3 3 .故选 C. 二、选择题 9 【答案】BD 【解析】 当两个平面相交时， 一个平面内的两条平行于它们交线的直线就平行于另一个平面， 故 A 不正确；由平面与平面垂直的判定定理知 B 正确；空间中垂直于同一条直线的两条直 线可能平行、相交或异面，故 C 不正确；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交 线垂直的直线才与另一个平面垂直，故 D 正确 10 【答案】ABC 【解析】因为 m，m，l，所以 ml，又
14、ABl，所以 ABm，故 A 正确；因 为 ACl， ml， 所以 ACm， 故 B 正确； 因为 A， ABl， l， 所以 B， 所以 AB， 又 l，所以 AB，故 C 正确；因为 ACl，当点 C 在 内时，AC 成立，当点 C 不 在 内时，AC 不成立，故 D 不正确 11. 【答案】ABD 【解析】由 AB 是底面圆的直径，知AEB90 ，即 AEEB.四边形 ABCD 是圆柱的轴截 面，AD底面 AEB，BC底面 AEB.ADBE，又 ADAEA，AD，AE平面 ADE， BE平面 ADE，DE平面 ADE，BEDE.同理可得 AECE.又 BE平面 BCE，平 面 BCE平面
15、 ADE.可得 A，B，D 正确若 DE平面 CEB，则 DEBC，显然不成立，故 C 错误 12 【答案】AC 【解析】由于三棱锥 SABC 与三棱锥 OABC 的底面都是ABC，O 是 SC 的中点，因此 三棱锥 SABC 的高是三棱锥 OABC 高的 2 倍， 所以三棱锥 SABC 的体积也是三棱锥 O ABC 体积的 2 倍，在三棱锥 OABC 中，其棱长都为 1，如图，S ABC 3 4 ，高 OD 12 3 3 2 6 3 ，则 VOABC1 3 3 4 6 3 2 12，VSABC2VOABC 2 6 . 三、填空题 13.【答案 2 【解析】易知BDC即为二面角 BADC的平面
16、角，则BDC60 ，所以BDC为等边 三角形取 BC的中点 M，连接 DM，AM，易知 DMBC，AMBC，所以二面角 ABC D 的平面角为AMD.在等边三角形 ABC 中，易知 AD2 3，在等边三角形 BDC中，易 知 DM 3，所以 tanAMDAD DM2. 14 【答案】 6 3 1 3 【解析】 设点B到截面AEC1F的距离为d， 则三棱锥EAFB的体积V1 3S AEF d1 3S ABF 1， AEEC1C1FFA，四边形 AEC1F 为菱形，S AEF 1 2 1 2 AC1 EF 1 4 3 2 6 4 ， 又 S ABF 1 2， 6 4 d1 2 1，d 6 3 .
17、VBAEC1F1 3 1 2 AC1 EF d 1 3 1 2 3 2 6 3 1 3. 15 【答案】29 【解析】 设上、下圆柱的半径分别是 r cm，R cm，高分别是 h cm，H cm.由水的体积不变 得 R2Hr2(20H)r2hR2(28h)，又 r1，R3，故 Hh29.即这个简单几何体 的总高度为 29 cm. 16 【答案】 【解析】设正方形边长为 a.如图，取 BD 的中点 E，连接 AE，EC，易得AEC 为此直二面 角的平面角 对于， AB 与平面 BCD 所成的角是ABE45 ， 故不正确； 对于， 在AEC 中，AEEC 2 2 a，AEEC，所以 AC AE2E
18、C2a，所以 ACADCD，故ACD 是 等边三角形，正确；对于，取 AD 的中点 F，AC 的中点 H，连接 EF，EH，FH，则 EF AB，HFCD，故EFH 或其补角为异面直线 AB 与 CD 所成的角，又 EFFH1 2a，EH 1 2AC 1 2a，故EFH 是等边三角形，所以EFH60 ，即 AB 与 CD 所成的角为 60 ， 正确；对于，因为 BDAE，BDEC，AEECE，所以 BD平面 AEC，故 ACBD， 正确；对于，连接 BH，HD，则 BHAC，DHAC，则BHD 为二面角 BACD 的 平面角，又 BHDH 3 2 a，BD 2a，所以 cosBHD1 3，故二
19、面角 BACD 的平 面角不是 120 ，不正确 四、解答题 17解：把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形 ABCD(如图所示)，由题意 知 BC3 cm，AB4 cm，点 A、点 C 分别是铁丝的起、止位置，故线段 AC 的长度即为 铁丝的最短长度AC AB2BC25 cm，故铁丝的最短长度为 5 cm. 18. 解： 由题意知， 所成几何体的表面积圆台下底面面积圆台的侧面积半球面的面积 又 S半球面1 242 28(cm2)， S圆台侧(25) 24235(cm2)， S圆台下底5225(cm2)， 所以所得几何体的表面积为 S半球面S圆台侧S圆台下底 8352568(cm2)
20、 又 V圆台 3 (2 22 552) 452(cm3)， V半球1 2 4 3 2316 3 (cm3)， 所以所得几何体的体积为 V圆台V半球5216 3 140 3 (cm3) 19. (1)证明：如图，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 MO， O，M 分别为 BD 和 BD1的中点， OM 1 2DD1. 又 DD1A1A，OM 1 2A1A. 又 AF1 2A1A，OM AF， 四边形 MOAF 是平行四边形，MFCA. 又 CA平面 ABCD，MF平面 ABCD， MF平面 ABCD. (2)解：底面 ABCD 是菱形，ACBD. 又 B1B平面 ABCD，AC平面 ABCD，
21、 ACB1B，而 BDB1BB，AC平面 BDD1B1. 又 MFAC，MF平面 BDD1B1. 20. 证明：(1)如图所示，连接 FF1，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，A1C1AC，BB1CC1. F，F1分别是 AC，A1C1的中点， C1F1AF 1 2AC， FF1CC1BB1， 四边形 AFC1F1和四边形 BFF1B1均为平行四边形， B1F1BF，AF1C1F. B1F1平面 C1BF，BF平面 C1BF， B1F1平面 C1BF. 同理 AF1平面 C1BF，又 B1F1AF1F1， 平面 AB1F1平面 C1BF. (2)解：在正三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面
22、 A1B1C1， 又 B1F1平面 A1B1C1，B1F1AA1. 又 B1F1A1C1，A1C1AA1A1， B1F1平面 ACC1A1，而 B1F1平面 AB1F1， 平面 AB1F1平面 ACC1A1. 21(1)证明：在图中，因为 ABBC1 2ADa，E 是 AD 的中点，BAD 2， 所以 BEAC. 即在图中，BEA1O，BEOC，又 A1OOCO，从而 BE平面 A1OC. 因为 BC 1 2AD ED，所以四边形 BCDE 为平行四边形， 所以 CDBE，所以 CD平面 A1OC. (2)由已知，平面 A1BE平面 BCDE， 且平面 A1BE平面 BCDEBE， 又由(1)
23、可得 A1OBE，所以 A1O平面 BCDE. 即 A1O 是四棱锥 A1BCDE 的高 由图知，A1O 2 2 AB 2 2 a，平行四边形 BCDE 的面积 SBC ABa2， 从而四棱锥 A1BCDE 的体积为 V1 3S A1O 1 3 a 2 2 2 a 2 6 a3. 由 2 6 a336 2，得 a6. 22. 如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD 3，PAD 是等边 三角形，F 为 AD 的中点，PDBF. (1)求证：ADPB； (2)若 E 在线段 BC 上， 且 EC1 4BC， 能否在棱 PC 上找到一点 G， 使平面 DEG平面
24、ABCD？ 若存在，求出三棱锥 DCEG 的体积；若不存在，请说明理由 (1)证明：连接 PF，PAD 是等边三角形， PFAD. 底面 ABCD 是菱形，BAD 3，BFAD. 又 PFBFF，AD平面 BFP， 又 PB平面 BFP，ADPB. (2)解：能在棱 PC 上找到一点 G，使平面 DEG平面 ABCD. 由(1)知 ADBF， PDBF，ADPDD， BF平面 PAD. 又 BF平面 ABCD，平面 ABCD平面 PAD， 又平面 ABCD平面 PADAD，且 PFAD， PF平面 ABCD. 连接 CF 交 DE 于点 H，过 H 作 HGPF 交 PC 于 G，连接 DG，EG. GH平面 ABCD. 又 GH平面 DEG，平面 DEG平面 ABCD. ADBC，DFHECH， CH HF CE DF 1 2， CG GP CH HF 1 2， GH1 3PF 3 3 ， VDCEGVGCDE1 3SCDE GH 1 3 1 2DC CE sin 3 GH 1 12.
