1、第一章第一章 集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语 章末复习课章末复习课 一、集合的基本概念 1理解集合的概念、集合的特点、常用数集的表示、元素与集合的表示方法、元素与集合之 间的关系，针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，能根 据具体问题选择不同的表示方法，能在不同的表示方法之间进行转换 2掌握集合的基本概念，提升逻辑推理和数学抽象素养 例 1 已知集合 A0,1,2，则集合 Bxy|xA，yA中元素的个数是( ) A1 B3 C5 D9 答案 C 解析 当 x0 时，y0,1,2，此时 xy 的值分别为 0，1，2； 当 x1 时，y0,1,2，此时 xy 的值
2、分别为 1,0，1； 当 x2 时，y0,1,2，此时 xy 的值分别为 2,1,0. 综上可知，xy 的可能取值为2，1,0,1,2，共 5 个 反思感悟 解决集合的概念问题应关注两点 (1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法 表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么 (2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性 跟踪训练1 (多选)已知集合A0， m， m23m2， 且2A， 则实数m的取值不可以为( ) A2 B3 C0 D2 答案 ACD 解析 由 2A 可知，若 m2，则 m23m20，这与 m23m20 相矛盾；
3、若 m23m 22， 则 m0 或 m3， 当 m0 时， 与 m0 相矛盾， 当 m3 时， 此时集合 A0,3,2， 符合题意；当 m2 时，m23m212，此时集合 A0，2,12，不符合题意 二、集合间的基本关系 1集合间的基本关系包括包含、真包含、相等能从实例中抽象并识别出子集、真子集、空 集的概念，能根据集合间的关系，会利用数形结合和分类讨论的思想求参数的值或范围 2掌握集合间的基本关系，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养 例 2 已知集合 Ax|x1 或 x1，Bx|2axa1，a1，若 BA，则实数 a 的取值 范围为_ 答案 a2 或1 2a1 解析 因为 a1，所以 2a
4、a1，所以 B. 画数轴如图所示 由 BA 知，a11 或 2a1. 即 a2 或 a1 2. 由已知 a1，所以 a2 或1 2a1， 即所求 a 的取值范围是 a2 或1 2a1. 反思感悟 处理集合间关系问题的关键点 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为 参数满足的关系 解决这类问题常常需要合理利用数轴、 Venn 图帮助分析 同时还要注意“空 集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，要分类讨论，讨论时要不重不漏 跟踪训练 2 已知集合 Ax|3x4，Bx|1x1，则 1m4. 综上可知 m4. 三、集合的基本运算 1集合的运算主要包括交
5、集、并集和补集运算这也是高考对集合部分的主要考查点对于 较抽象的集合问题，解题时需借助 Venn 图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、形象化， 进而能使问题简捷、准确地获解 2掌握集合的概念与运算，重点提升逻辑推理和数学运算素养 例 3 (多选)已知集合 Ax|x0，则( ) AAB x x3 2 BA(RB) x 3 2x2 CAB x x3 2 D(RA)BR 答案 AB 解析 因为 Ax|x0 x x3 2 ，RAx|x2，RB x x3 2 ， 所以 AB x x3 2 ， A(RB) x 3 2x2 ，ABx|x2， (RA)B x x3 2或x2 . 反思感悟 (1)定义法或 V
6、enn 图法：集合是用列举法给出的，运算时可直接借助定义求解， 或把元素在 Venn 图中表示出来，借助 Venn 图观察求解； (2)数轴法：集合是用不等式(组)给出的，运算时可先将不等式在数轴中表示出来，然后借助 数轴求解 跟踪训练 3 已知集合 M(x， y)|y3x2， N(x， y)|y5x， 则 MN 中的元素个数为( ) A0 B1 C2 D3 答案 C 解析 联立 y3x2， y5x， 解得 x0， y0 或 x5 3， y25 3 ， 因此 MN 中的元素个数为 2. 四、充分条件与必要条件 1若 pq，且 qp，则 p 是 q 的充分不必要条件，同时 q 是 p 的必要不充
7、分条件； 若 pq，则 p 是 q 的充要条件，同时 q 是 p 的充要条件 2掌握充要条件的判断和证明，提升逻辑推理和数学运算素养 例 4 设集合 Ax|1x3，集合 Bx|2ax2a (1)若 a2，求 AB 和 AB； (2)设命题 p：xA，命题 q：xB，若 p 是 q 成立的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围 解 (1)Ax|1x3 因为 a2，所以 Bx|0 x4， 所以 ABx|1x4，ABx|0 x3 (2)因为 p 是 q 成立的必要不充分条件，所以 BA， 当 B时，2a2a，得 a0； 当 B时， 2a2a， 2a1， 2a3， 等号不能同时取到 得 0a1， 所以
8、实数 a 的取值范围是 a1. 反思感悟 充分、必要、充要条件的常用判断方法 (1)定义法：直接判断若 p 则 q，若 q 则 p 的真假 (2)利用集合间的包含关系判断： 设命题 p 对应的集合为 A， 命题 q 对应的集合为 B， 若 AB， 则 p 是 q 的充分条件或 q 是 p 的必要条件；若 AB，则 p 是 q 的充分不必要条件或 q 是 p 的必要不充分条件；若 AB，则 p 是 q 的充要条件 跟踪训练 4 已知集合 Ax|m1xm21，Bx|2x2 (1)当 m2 时，求 AB，AB； (2)若“xA”是“xB”成立的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围 解 (1)Bx|
9、2x2， 当 m2 时，Ax|1x5， 所以 ABx|1x2，ABx|2x5 (2)由题意，可得集合 A 是集合 B 的真子集， 因为 m1m21 恒成立，所以集合 A 非空 所以 m12， m212， 解得1m1， 经检验 m1 不符合题意， 所以1m1. 五、全称量词与存在量词 1全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量词命题的否定一定是全称量词命题对 含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题进行否定时，首先改变量词，把全称量词改为 存在量词，把存在量词改为全称量词，然后对结论进行否定 2 通过含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数范围等， 培养逻辑推理和数学运算素 养 例 5 命
10、题：“xR，x2x”的否定是( ) AxR，x2x BxR，x2x CxR，x2x DxR，x2x 答案 D 解析 先将“”改为“”，再否定结论，可得命题的否定为xR，x2x. 反思感悟 全称量词命题与存在量词命题问题的关注点 (1)对全称量词命题和存在量词命题进行否定，一要改变量词，二要否定结论 (2)根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围，一般把问题转化为函数、不 等式或集合问题解决 跟踪训练 5 命题“至少有一个正实数 x 满足方程 x22(a1)x2a60”的否定是 _ _. 答案 所有正实数 x 都不满足方程 x22(a1)x2a60 解析 把“至少有一个”改为“所有”
11、，“满足”改为“都不满足”得命题的否定 1已知集合 U1,2,3,4,5,6,7，A2,3,4,5，B2,3,6,7，则 BUA 等于( ) A1,6 B1,7 C6,7 D1,6,7 答案 C 解析 U1,2,3,4,5,6,7，A2,3,4,5， UA1,6,7 又 B2,3,6,7，BUA6,7 2已知集合 Ax|1x1，则 AB 等于( ) Ax|1x1 Bx|1x1 Dx|x1 答案 C 解析 将集合 A，B 在数轴上表示出来，如图所示 由图可得 ABx|x1 3设 aR，则“a1”是“a21”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 a1a21，a21a1 或 a1”是“a21”的充分不必要条件 4已知命题 p：nN*，n21 2n1，则命题 p 的否定綈 p 为( ) AnN*，n21 2n1 BnN*，n21 2n1 CnN*，n21 2n1 DnN*，n21 2n1 答案 C
