1、拓展提升课二拓展提升课二 动量守恒定律的应用动量守恒定律的应用 【学习目标要求】 1.会处理多过程的动量守恒问题。 2.能分析动量守恒和图像相 结合的综合问题。3.会分析动量守恒的临界问题。 拓展点拓展点 1 多物体和多过程的动量守恒多物体和多过程的动量守恒 1多个物体组成系统的动量守恒 对于两个以上的物体组成的系统，由于物体较多，相互作用的情况也不尽相同， 作用过程较为复杂，虽然仍可对初、末状态建立动量守恒关系式，但因未知条件 过多而无法求解，这时往往要根据作用过程中的不同阶段，建立多个动量守恒方 程，或将系统内的物体按作用的关系分成几个小系统，分别建立动量守恒方程。 求解这类问题时应注意：
2、 (1)正确分析作用过程中各物体状态的变化情况，建立运动模型。 (2)分析作用过程中的不同阶段，并找出联系各阶段的状态量。 (3)合理选取研究对象，既要符合动量守恒的条件，又要方便解题。 2多过程的动量守恒 两个物体相互作用后分离，由于某种原因，其中一个或两个物体的速度方向发生 变化，导致这两个物体再次发生作用，每一次发生作用时系统的动量都守恒，但 是后一次作用与前一次作用时的动量并不相等。导致动量发生变化的原因一般是 物体与固定物体(挡板或墙)发生碰撞，碰撞后物体的速度变化会在题目中给出说 明，要善于捕捉相关信息，并特别注意动量的矢量性。 【例 1】 如图所示，一轻质弹簧两端连着物体 A 和
3、 B，放在光滑的水平面上，物 体 A 被水平速度为 v0的子弹射中并且子弹嵌在其中。已知物体 A 的质量 mA是物 体 B 的质量 mB的3 4，子弹的质量 m 是物体 B 的质量的 1 4，弹簧压缩到最短时 B 的 速度为( ) A.v0 2 B.v0 4 C.v0 8 D.v0 3 答案 C 解析 弹簧压缩到最短时，A、B 和子弹具有共同的速度 v1，对 A、B 和子弹组成 的系统，从子弹开始射入物体 A 一直到弹簧被压缩到最短的过程中，系统所受外 力(重力、支持力)之和始终为零，整个过程系统的动量守恒，由动量守恒定律得 mv0(mmAmB)v1，又 m1 4mB，mA 3 4mB，解得
4、v1 v0 8 ，即弹簧压缩到最短时 B 的速度为v0 8 ，故 C 正确。 【针对训练 1】 如图所示，质量为 M 的盒子放在光滑的水平面上，盒子内表面 不光滑， 盒内放有一块质量为 m 的物块。 从某一时刻起给 m 一个水平向右的初速 度 v0，那么在物块与盒子前后壁多次往复碰撞后( ) A两者的速度均为零 B两者的速度总不会相等 C物块的最终速度为mv0 M ，向右 D物块的最终速度为 mv0 Mm，向右 答案 D 解析 物块与盒子组成的系统所受合外力为零，物块与盒子前后壁多次往复碰撞 后，以速度 v 共同运动，由动量守恒定律得 mv0(Mm)v，故 v mv0 Mm，方向 水平向右。
5、拓展点拓展点 2 动量守恒与图像的综合动量守恒与图像的综合 1通过图像给出相关信息 根据图 2 的 st 图像，可求得碰后 A 的速度、碰后 B 的速度。可根据动量守恒求 A 或 B 的质量。根据图 4 判断 2 s 末 m 滑离 M，根据动量守恒和能量守恒求木板 的长度；根据图 6 中的几个特殊点的坐标，运用动量守恒和机械能守恒可求某状 态下弹簧的弹性势能。 2应用图像分析物理过程 若一个物体在另一个物体上滑动或子弹打木块类问题。可在同一个坐标系中画出 两物体的 vt 图像，从而进行动力学分析。 【例 2】 (多选)(2021 南昌市八一中学期末)在冰壶比赛中，红壶以一定速度与静 止在大本营
6、中心的蓝壶发生对心碰撞，碰撞时间极短，如甲图所示。碰后运动员 用冰壶刷摩擦蓝壶前进方向的冰面，来减小阻力。碰撞前后两壶运动的 vt 图像 如乙图中实线所示，其中红壶碰撞前后的图线平行。已知两冰壶质量相等，由图 像可得( ) A碰撞过程红、蓝两壶的机械能守恒 B碰撞后，蓝壶的瞬时速度为 0.8 m/s C碰撞后，红、蓝两壶运动的时间之比为 16 D碰撞后，红、蓝两壶与冰面间的动摩擦因数之比为 54 答案 BD 解析 设碰后蓝壶的速度为 v，碰前红壶的速度 v01.0 m/s，碰后速度为 v00.2 m/s，碰撞过程系统动量守恒，由动量守恒定律得 mv0mv0mv，代入数据解得 v0.8 m/s，
7、碰撞过程两壶损失的动能为 Ek1 2mv 2 01 2mv0 21 2mv 20.16m0， 所以红蓝两壶碰撞过程机械能不守恒，A 错误，B 正确；设碰撞后，蓝壶经过 t s 时间停止运动，根据三角形相似法知，1.21.0 1.0 1 t，解得蓝壶运动时间 t5 s， 由图示图线可知，红壶的加速度大小 a红v t 1.21.0 1 m/s20.2 m/s2，碰撞后 红壶的运动时间 t红v0 a红 0.2 0.2 s1 s，则碰撞后红、蓝壶运动时间之比为 15， C 错误；蓝壶的加速度大小 a蓝v t 0.8 5 m/s20.16 m/s2，由牛顿第二定律得 a g， 解得动摩擦因数 a g，
8、则红、 蓝壶与冰面间的动摩擦因数之比 红 蓝 a红 a蓝 0.2 0.16 5 4，D 正确。 【针对训练 2】 a、b 两个小球在一直线上发生碰撞，它们在碰撞前后的 st 图 像如图所示。若 a 球的质量 ma1 kg，则 b 球的质量 mb等于多少？ 答案 2.5 kg 解析 由题图知 va4 m/s，va1 m/s，vb0，vb2 m/s，根据动量守恒定律 有 mavamavambvb，代入数据解得 mb2.5 kg。 拓展点拓展点 3 动量守恒的临界问题动量守恒的临界问题 在动量守恒定律的应用中常常会遇到相互作用的两物体相距最近、避免相碰和 物体开始反向运动等临界问题。 分析临界问题的
9、关键是寻找临界状态、临界条件，临界条件往往表现为某个(或某 些)物理量的特定取值。在与动量相关的临界问题中，临界条件常常表现为两物体 的相对速度关系与相对位移关系，这些特定关系的判断是求解这类问题的关键。 (1)涉及弹簧的临界问题：对于由弹簧组成的系统，在物体间发生相互作用的过程 中，当弹簧被压缩到最短时，弹簧两端的两个物体的速度必相等。 (2)涉及最大高度的临界问题： 在物体滑上斜面(斜面放在光滑水平面上)的过程中， 由于弹力的作用，斜面在水平方向将做加速运动。物体滑到斜面上最高点的临界 条件是物体与斜面沿水平方向具有共同的速度， 物体在竖直方向的分速度等于零。 (3)涉及子弹打木块的临界问
10、题：子弹打木块是一种常见的模型。子弹刚好击穿木 块的临界条件为子弹穿出时的速度与木块的速度相同。 (4)解决临界问题，分析速度、位移关系式时，应注意题中给出的速度、位移是相 对同一参考系的速度、位移(通常以地面为参考系)，还是相对其他物体的速度、 位移。应用动量守恒定律列式时，式中的速度必须是相对同一参考系的速度。 【例 3】 如图，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑 板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上。 某时刻小孩将冰块以相对冰面 3 m/s 的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为 h 0.3 m(h 小于斜面体的高度)。已知小孩与滑板
11、的总质量为 m130 kg，冰块的质 量为 m210 kg，小孩与滑板始终无相对运动。取重力加速度的大小 g10 m/s2。 (1)求斜面体的质量； (2)通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？ 答案 (1)20 kg (2)不能 解析 (1)规定向右的方向为速度正方向。冰块在斜面体上运动到最大高度时两 者达到共同速度，设此共同速度为 v，斜面体的质量为 m3。由水平方向动量守恒 和机械能守恒定律得 m2v0(m2m3)v 1 2m2v 2 01 2(m2m3)v 2m2gh 式中 v03 m/s 为冰块推出时的速度。联立两式并代入题给数据得 m320 kg。 (2)设小孩推出冰块后的
12、速度为 v1，由动量守恒定律有 m1v1m2v00，代入数据得 v11 m/s 设冰块与斜面体分离后的速度分别为 v2和 v3， 由水平方向动量守恒和机械能守恒 定律有 m2v0m2v2m3v3 1 2m2v 2 01 2m2v 2 21 2m3v 2 3 联立两式并代入数据得 v21 m/s 由于冰块与斜面体分离后的速度与小孩推出冰块后的速度相同且处在后方，故冰 块不能追上小孩。 【针对训练 3】 如图所示，甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏，甲和 他的冰车总质量为 M30 kg，乙和他的冰车总质量也是 30 kg。游戏时，甲推着 一个质量为 m15 kg 的箱子和他一起以 v02 m
13、/s 的速度滑行，乙以同样大小的 速度迎面滑来，为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处，乙 迅速抓住。不计冰面摩擦。 (1)若甲将箱子以速度 v 推出，甲的速度变为多少？(用字母表示) (2)设乙抓住迎面滑来的速度为 v 的箱子后反向运动，乙抓住箱子后的速度变为多 少？(用字母表示) (3)若甲、乙最后不相撞，甲、乙的速度应满足什么条件？箱子被推出的速度至少 多大？ 答案 (1)（Mm）v 0mv M (2)mvMv 0 mM (3)v1v2 5.2 m/s 解析 (1)甲将箱子推出的过程，甲和箱子组成的系统动量守恒，由动量守恒定律 得(Mm)v0mvMv1 解得 v1（Mm）v
14、 0mv M 。 (2)箱子和乙作用的过程动量守恒，以箱子的速度方向为正方向，由动量守恒定律 得 mvMv0(mM)v2 解得 v2mvMv 0 mM 。 (3)甲、乙不相撞的条件是 v1v2 其中 v1v2为甲、乙恰好不相撞的条件。 联立三式，并代入数据得 v5.2 m/s。 【题目示例】 如图所示，在光滑水平面上，有一质量为 M 的静止平板车，其上有质量皆为 m 的甲乙两人，两人都相对地以速度 v 向后跳下，试求下列情况下车速大小？ (1)甲、乙两人同时跳下； (2)甲先跳，乙后跳。 【模型分析】 反冲模型 无阻力情况下，人与车(船)组成的系统水平方向动量守恒，人的动量与车的动量 等大反向
15、。两个质量均为 m 的人以对地速度 v 同时跳出，人的动量为 2mv，车获 得的动量大小也是 2mv；两个质量均为 m 的人先后以对地速度 v 水平跳出，人的 动量同样为 2mv，车获得的动量大小也是 2mv，“先后跳”与“同时跳”效果相 同。 【示例解答】 (1)车与两人组成的系统，水平方向上不受外力，满足动量守恒定律的适用条件。 取人跳的速度方向为正方向。 设两人同时跳下时，车对地速度为 v1，由动量守恒定律得： 02mvMv1 v12mv M 负号表示车与人跳的速度方向相反。 (2)设甲先跳下时， 乙跟车对地的共同速度为 v2， 乙再跳下时， 车对地的速度为 v3， 由动量守恒定律得：
16、甲先跳下时：0mv(Mm)v2 乙再跳下时：(Mm)v2mvMv3 解式得：v32mv M 比较 v1、v3，知 v1v3，即甲乙两人“先后跳下”与“同时跳下”效果相同。 【方法感悟】 在应用动量守恒定律解题时，常遇到多个物体的相互作用，这多个物体的作用可 能是同时作用一次完成的，也可能是作用有先有后，分段完成的，人跳出时的水 平速度选择地面，“先后作用”与“同时作用”是等效的。可以把“先后作用” 的问题视为“同时作用”一次完成的情况来研究，把分过程需列的多个动量守恒 方程简化为只列一个方程就可求解，使求解过程大为简化。 1(多物体和多过程的动量守恒)一弹簧枪对准以 6 m/s 的速度沿光滑桌
17、面迎面滑 来的木块发射一颗铅弹，射出速度为 10 m/s，铅弹射入木块后未穿出，木块继续 向前运动，速度变为 5 m/s。如果想让木块停止运动，并假定铅弹射入木块后都不 会穿出，则应再向木块迎面射入的铅弹数为( ) A5 颗 B6 颗 C7 颗 D8 颗 答案 D 解析 设木块质量为 m1，铅弹质量为 m2，第一颗铅弹射入，有 m1v0m2v(m1 m2)v1，代入数据可得m1 m215，设再射入 n 颗铅弹木块停止运动，有(m1m2)v1 nm2v0，解得 n8。 2(动量守恒与图像结合)(2021 福建三明期末)A、B 两物块沿同一直线运动，发 生碰撞后结合在一起，碰撞前后的 st 图像如
18、图所示。其中 a、b 分别为 A、B 碰 撞前的图像，c 为 A、B 碰撞后的图像。则 A、B 两物块的质量之比为( ) A23 B14 C32 D43 答案 C 解析 由题图可知，碰撞前，A 的速度 vA410 2 m/s3 m/s，B 的速度为 vB 4 2 m/s2 m/s， 碰撞后， A、 B 的速度相等， 为 vAvBv 24 42 m/s1 m/s， 碰撞过程中，A、B 组成的系统动量守恒，以碰撞前 B 的速度方向为正方向，由 动量守恒定律得 mAvAmBvB(mAmB)v，代入数据解得mA mB 3 2，选项 C 正确。 3(动量守恒与图像结合)(多选)(2021 周口市中英文学
19、校期中)如图(a)所示，光滑 平台上，物体 A 以初速度 v0滑到上表面粗糙的水平小车上，车与水平面间的摩擦 不计；(b)图为物体 A 与小车 B 的 vt 图像，由此可计算出( ) A小车上表面长度 B物体 A 与小车 B 的质量之比 C物体 A 与小车 B 上表面之间的动摩擦因数 D小车 B 获得的动能 答案 BC 解析 由图像可知， 物体 A 与小车 B 最终以共同速度 v1匀速运动， 但由于题给条 件不足，不能确定小车上表面的长度，A 错误；由动量守恒定律得 mAv0(mA mB)v1，解得mA mB v1 v0v1，可以确定物体 A 与小车 B 的质量之比，B 正确；由图像 可以知道
20、，物体 A 相对小车 B 的位移 s1 2v0t1，根据能量守恒定律得 mAgs 1 2mAv 2 01 2(mAmB)v 2 1，根据求得的物体 A 与小车 B 的质量关系，可以解出物体 A 与小车 B 上表面之间的动摩擦因数，C 正确；由于小车 B 的质量未知，故不能确 定小车 B 获得的动能，D 错误。 4.(动量守恒的临界问题)如图所示，甲、乙两船的总质量(包括船、人和货物)分别 为 10m、12m，两船沿同一直线同一方向运动，速度分别为 2v0、v0。为避免两船 相撞，乙船上的人将一质量为 m 的货物沿水平方向抛向甲船，甲船上的人将货物 接住，则抛出货物的最小速度为( ) Av0 B2v0 C4v0 D6v0 答案 C 解析 设乙船上的人抛出货物的最小速度大小为 vmin，抛出货物后乙船的速度为 v1，甲船上的人接到货物后甲船的速度为 v2， 由动量守恒定律得 12m v011m v1m vmin 10m2v0m vmin11m v2 为避免两船相撞应满足 v1v2 联立式得 vmin4v0。
