1、第四节第四节 用单摆测量重力加速度用单摆测量重力加速度 【学习目标】 1.会设计用单摆测重力加速度的实验方案。 2.学会正确使用实验器材获取数据， 对数据进行分析后得出结论。3.会分析误差，用物理语言准确描述实验结论。 一、实验原理 由单摆的振动周期公式 T2 L g，可得 g 42L T2 ，通过实验的方法测出摆长 L 和周期 T，即 可计算得到当地的重力加速度。 二、实验器材 用长约 1 m 的细丝线、 球心开有小孔的金属小球、 带有铁夹的铁架台、 长约 1 m 的毫米刻度尺、 秒表、游标卡尺。 三、实验步骤 1.将细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆。
2、2.将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在桌边，使铁夹伸出桌面，把单摆上端固定在铁夹上， 使摆线自由下垂。 3.用刻度尺量出悬线长 L0(准确到 mm)，用游标卡尺测量摆球的直径 d，则摆长为 LL0d 2。 4.把单摆拉开一个角度(小于 5 )，然后由静止释放摆球使摆球在坚直平面内摆动。用秒表测出 单摆完成 3050 次全振动的时间 t(注意全振动次数时，以摆线通过平衡位置处的标记为准， 设全振动次数为 n)，计算出平均完成一次全振动所用的时间，即为单摆的振动周期 T t n。 四、数据处理 1.公式法：用公式 g4 2L T2 算出当地的重力加速度，改变摆长，重做几次实验，可得一系列重 力加速
3、度的值，最后算出其平均值。设计如下所示实验表格： 实验次数 摆线 长度 L0/m 摆球 直径 d/m 摆长 L/m 全振 动次 数 n 振动 时间 t/s 振动 周期 T1 n 重力 加速 度 g 重力 加速 度的 平均 值g 1 n(g1 g2 gn) 1 2 3 4 5 2.图像法： 以 L 为横坐标， 以 T2为纵坐标建立坐标系， 由函数关系 T24 2 g L， 作出 T2L 图像， 其斜率 k4 2 g ，最后求出本地的重力加速度 g4 2 k 。 五、注意事项 1.摆线细且弹性小；摆球用密度和质量较大的小球，直径应较小。 2.单摆的上端不要卷在夹子上，而要用夹子夹紧，以免单摆摆动时
4、摆线滑动引起摆长变化。 3.摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小。 4.摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。 5.计算单摆的周期时，应从摆球通过最低位置时开始计时，要测多次全振动的时间。 探究 1 实验探究之方案设计 【例 1】 (2021 枣庄市三中高二月考)在做“用单摆测定重力加速度”的实验时。 (1)下列给出的材料中应选择_作为摆球与摆线，组成单摆。 A.木球 B.铁球 C.柔软不易伸长的丝线 D.粗棉线 (2)在测定单摆摆长时，下列的各项操作正确的是_。 A.装好单摆，抓住摆球，用力拉紧，测出摆线悬点到摆球球心之间距离 B.让单摆自由下垂，测出摆线长度再加上摆球直径
5、C.取下摆线，测出摆线长度后再加上摆球半径 D.测出小球直径，把单摆固定后，让小球自然下垂，用刻度尺量出摆线的长度，再加上小球的 半径 (3)实验测得重力加速度的值较当地重力加速度的值偏大，可能的原因是_。 A.摆球的质量偏大 B.单摆振动的振幅偏小 C.计算摆长时没有加上摆球的半径 D.将实际振动次数 n 次误记成(n1)次 (4)用摆长 L 和周期 T 计算重力加速度的公式是 g_。 答案 (1)BC (2)D (3)D (4)4 2L T2 解析 (1)为减小空气阻力对实验的影响，应选用密度大而体积小的球作为摆球，A 错误，B 正 确；摆线应选长度不易发生变化的线作为摆线，D 错误，C
6、正确。 (2)单摆摆长等于摆球半径与摆线长度之和，应先测出摆球直径，然后把单摆悬挂好，再测出 摆线长度，摆球半径与摆线长度之和是单摆摆长。故选 D。 (3)由单摆周期公式 T2 L g，解得 g 42L T2 ；重力加速度与摆球质量无关，A 错误；重力加 速度与振幅无关，B 错误；计算摆长时没有加上摆球的半径，摆长偏小，重力加速度的测量值 偏小，C 错误； 将实际振动次数 n 次误记成(n1)次，根据 T t n，所测周期 T 偏小，重力加 速度的测量值偏大，D 正确。 (4)由单摆周期公式 T2 L g，解得 g 42L T2 。 【训练 1】 某同学利用单摆测量重力加速度。 (1)(多选)
7、为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是( ) A.组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球 B.组装单摆须选用轻质且不易伸长的细线 C.实验时须使摆球在同一竖直面内摆动 D.摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大 (2)如图所示， 在支架的竖直立柱上固定有摆长约 1 m 的单摆。 实验时， 由于仅有量程为 20 cm、 精度为 1 mm 的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端处于同一 水平面的位置做一标记点，测出单摆的周期 T1；然后保持悬点位置不变，设法将摆长缩短一 些，再次使摆球自然下垂，用同样方法在竖直立柱上做另一标记点，并测出单摆的周期 T2； 最后用钢板刻度尺量出竖直立
8、柱上两标记点之间的距离 L。用上述测量结果，写出重力加速 度的表达式 g_。 答案 (1)BC (2) 42L T21T22 解析 (1)在利用单摆测定重力加速度实验中，为了使测量误差尽量小，须选用密度大、直径 小的摆球和不易伸长的细线，摆球须在同一竖直面内摆动，摆长一定时，振幅尽量小些，以使 其满足简谐运动的条件，故选 B、C。 (2)设第一次摆长为 L，第二次摆长为 LL，则 T12 L g，T22 LL g ，联立解得 g 42L T21T22。 探究 2 实验探究之数据处理与误差分析 【例 2】 (2021 山东潍坊期末)某实验小组利用单摆测量当地重力加速度。 (1)(多选)除铁架台、
9、小钢球和细线外，下列实验器材中还必须选用的是_。 (2)实验时多次改变悬点到摆球顶部的距离 L，分别测出摆球做简谐运动的周期 T 后，作出的 T2L 图像如图所示，由图像可求： 小钢球的半径 r_ cm； 重力加速度 g_ m/s2(取 29.86) (3)如果该小组测得的重力加速度数值偏大，可能的原因是_。 A.开始计时时，秒表过早按下 B.实验中误将 49 次全振动记为 50 次 C.测摆线长时，摆线拉得过紧 D.摆线上端未固定好，振动中出现松动，使摆线长度增加了 答案 (1)CD (2)1.00 9.86 (3)BC 解析 (1)除铁架台、 小钢球和细线外， 实验器材中还必须选用的是刻度
10、尺和秒表； 故选 C、 D。 (2)由 T2 Lr g 解得 T24 2 g L4 2 g r 当 T20 时 Lr，由图像可知小钢球的半径 r1.00 cm T2L 图像的斜率等于4 2 g 4.0 1 解得 g29.86 m/s2。 (3)如果该小组测得的重力加速度数值偏大，根据 g4 2L T2 可能的原因是开始计时时，秒表过 早按下，则测得的 T 偏大，则 g 偏小，选项 A 错误；实验中误将 49 次全振动记为 50 次，则 测得的 T 偏小，则 g 偏大，选项 B 正确；测摆线长时，摆线拉得过紧，则摆长 L 测量值偏大， g 偏大，选项 C 正确；摆线上端未固定好，振动中出现松动，
11、使摆线长度增加了，则周期 T 变 大，则 g 偏小，选项 D 错误。 【训练 2】 某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中， (1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图甲所示，则该摆球的直径为_ cm。 (2)测得摆线长为 89.2 cm，然后用秒表记录了单摆振动 30 次全振动所用的时间如图乙中秒表 所示，则：该单摆的摆长为_ cm，秒表所示读数为_ s。 (3)为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长 L，测出相应的周期 T，从而得出一组对应的 L 与 T 的数值，再以 L 为横坐标，T2为纵坐标，将所得数据连成直线如图丙所示，则测得的重 力加速度 g_ m/s2。( 取 3.1
12、4，计算结果保留三位有效数字) 答案 (1)0.97 (2)89.685 57.0 (3)9.86 解析 (1)主尺示数为 9 mm，游标尺示数为 0.17 mm0.7 mm，故小球的直径为 9.7 mm，即 0.97 cm。 (2)单摆摆长为绳长加小球半径，因此摆长为(89.20.485)cm89.685 cm；秒表不需要估读， 由图可知示数为 57.0 s。 (3)由单摆周期公式可得 T24 2 g L，斜率为4 2 g 4，解得 g9.86 m/s2。 探究 3 实验探究之拓展与创新 【例 3】 (2021 山东莒县高二期中)在“用单摆测重力加速度”的实验中，某同学在细线下悬 挂一个注射
13、器，注射器内装满墨水，做成单摆，如图甲所示。 (1)单摆摆动时是不是在做简谐运动？最简单的方法是看它的回复力是否满足 Fkx 的条件。 若测得摆线长为 l，装满墨水的注射器质量为 m。重力加速度用字母 g 表示，在偏角很小的情 况下，推导出 k_，从而证明单摆做简谐运动。 (2)拔掉注射器的柱塞，注射器向下喷出细细的一束墨水，如图乙所示。用电动玩具小车沿着 与摆动方向垂直的方向匀速拖动一张白纸，白纸上出现如图丙所示的图像。已知电动玩具小车 的速度为 v，白纸上沿着运动方向测得一段距离 d，则注射器摆动的周期 T_。 (3)根据前面测得的物理量，可知当地的重力加速度 g_。 (4)随着注射器中墨
14、水的喷出，注射器的质量减小，导致重力加速度的测量值_(填“偏 大”“偏小”或“不变”)；注射器的重心降低，导致重力加速度的测量值_(填“偏 大”“偏小”或“不变”)。 答案 (1)mg l (2)2d 3v (3) 92Lv2 d2 (4)不变 偏小 解析 (1)以平衡位置 O 点为坐标原点，沿水平向右为正方向，设当偏角为 时，位移为 x；重 力垂直绳方向的分力提供回复力，方向与位移方向相反 Fmgsin 当 很小时 sin x l可得 F mg l x 所以 kmg l 。 (2)由丙图可知3T 2 d v 解得 T 2d 3v。 (3)根据 T2 l g可得 g 42l T2 9 2Lv2
15、 d2 。 (4) 随着注射器中墨水的喷出，注射器的质量减小，因单摆的周期与质量无关，可知单摆周期 不变，则测得的重力加速度的测量值不变；注射器的重心降低，则摆长增加，周期变大，则根 据 g4 2l T2 可知导致重力加速度的测量值偏小。 【训练 3】 某小组在做“用单摆测量重力加速度”实验后，为进一步探究，将单摆的轻质细 线改为刚性重杆。 通过查资料得知， 这样做成的“复摆”做简谐运动的周期 T2 Icmr2 mgr ， 式中 Ic为由该摆决定的常量，m 为摆的质量，g 为重力加速度，r 为转轴到重心 C 的距离。如 图甲，实验时在杆上不同位置打上多个小孔，将其中一个小孔穿在光滑水平轴 O
16、上，使杆做 简谐运动，测量并记录 r 和相应的运动周期 T；然后将不同位置的孔穿在轴上重复实验，实验 数据见表，并测得摆的质量 m0.50 kg。 r/m 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 T/s 2.11 2.14 2.20 2.30 2.43 2.64 (1)由实验数据得出图乙所示的拟合直线，图中纵轴表示_。 (2)Ic的国际单位为_，由拟合直线得到 Ic的值为_(保留到小数点后两位)。 (3)若摆的质量测量值偏大，重力加速度 g 的测量值_(选填“偏大”“偏小”或“不 变”)。 答案 (1)T2r (2)kg m2 0.17 (3)不变 解析 (1)由 T2 I
17、cmr2 mgr ， 可得 T2r4 2Ic mg 4 2 g r2， 所以图中纵轴表示 T2r。 (2)Ic单位与 mr2单位一致，因为 mr2的国际单位为 kg m2，所以 Ic的国际单位为 kg m2； 结合 T2r4 2Ic mg 4 2 g r2和题图中的截距和斜率，解得 Ic的值约为 0.17。 (3)重力加速度 g 的测量值是通过求斜率4 2 g 得到的， 与质量无关， 所以若摆的质量测量值偏大， 重力加速度 g 的测量值不变。 1.用单摆测定重力加速度，根据的原理是( ) A.由 g4 2L T2 看出，T 一定时，g 与 L 成正比 B.由 g4 2L T2 看出，L 一定时
18、，g 与 T2成正比 C.由于单摆的振动周期 T 和摆长 L 可用实验测定，利用 g4 2L T2 可算出当地的重力加速度 D.同一地区单摆的周期不变，不同地区的重力加速度与周期的平方成反比 答案 C 解析 由单摆做简谐运动的周期 T2 L g得 g 42L T2 ， 但 g 与 L、 T 无关， 取决于所处的位置， 故 A、B、D 错误，C 正确。 2.某同学在做“用单摆测重力加速度”的实验，步骤如下，请帮助该同学将步骤补充完整。 甲 (1)让细线的一端穿过摆球的小孔，然后打一个比小孔大的线结，制成一个单摆。线的另一端 悬挂在铁架台上，如图甲所示有两种不同的悬挂方式，最好选_(填“A”或“B
19、”)。 (2)把铁架台放在实验桌边，使悬挂点伸到桌面以外，让摆球自由下垂。用米尺量出悬线长度 L0，用游标卡尺测出摆球的直径 d，如图乙所示，则 d_ mm。 (3)单摆的摆长为_(用字母 L0和 d 表示)。 (4)把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度(不超过 5 )后释放， 使摆球只在一个竖直平面内摆动， 此时单摆做简谐运动，当摆球通过平衡位置时，按下秒表并从“1”开始计数，摆球通过平衡位 置的次数为 n 时，记下所用的时间 t，则单摆的周期 T_。 (5)改变摆长，重做几次实验，由几组周期的平方和摆长做出 T2L 图像如图丙所示，若图像 的斜率为 k，则重力加速度 g_。 答案 (1)B
20、(2)4.40 (3)L0d 2 (4) 2t n1 (5) 42 k 解析 (1)方法 A 中当摆球摆动时摆长会发生变化，则如图甲所示的两种不同的悬挂方式中， 最好选 B。 (2)摆球直径 d4 mm0.05 mm84.40 mm。 (3)单摆的摆长为 LL0d 2。 (4)单摆的周期 T t n1 2 2t n1。 (5)根据单摆周期公式 T2 L g 可得 T24 2 g L 则4 2 g k 解得 g4 2 k 。 3.(2021 江苏常熟中学高二月考)甲、乙两个学习小组分别利用单摆测当地重力加速度。 (1)甲组同学采用如图所示的实验装置。 由于没有游标卡尺，无法测小球的直径 d，实验
21、中将悬点到小球最低点的距离作为摆长 L， 测得多组周期 T 和 L 的数据，作出 LT2图像，如图所示。 A.实验得到的 LT2图像是_； B.小球的直径是_cm； 在测量摆长后，测量周期时，摆球摆动过程中悬点 O 处摆线的固定点出现松动，摆长略微 变长，这将会导致所测重力加速度的数值_(选填“偏大”“偏小”或 “不变”)。 (2)乙组同学在图示装置的基础上再增加一个速度传感器，如图甲所示。将摆球拉开一个小角 度使其做简谐运动， 速度传感器记录了摆球在摆动过程中速度随时间变化的关系， 如图乙所示。 由图乙可知，该单摆的周期 T_s； 改变摆线长度 L 后，多次测量，根据实验数据，利用计算机作出
22、 T2L 图线(L 为摆线长)， 并根据图线拟合得到方程 T2(4.04L0.024)s2.由此可以得出当地的重力加速度 g_ m/s2。(取 29.86，结果保留 3 位有效数字) 答案 (1)c 1.2 偏小 (2)2.0 9.76 解析 (1)单摆的周期 T2 Ld 2 g 所以 L g 42T 2d 2 则 LT2图像为直线，其斜率 k g 42 纵截距 bd 20 所以图像为 c，由图像可知 bd 20.6 得 d1.2 cm。 测量周期时，摆球摆动过程中悬点 O 处摆线的固定点出现松动，摆长略微变长，则摆长的测 量值偏小，测得的重力加速度偏小。 (2)根据简谐运动的图线知，单摆的周
23、期 T2.0 s 根据 T2 Ld 2 g 得 T24 2 g L2 2d g 对比图线方程，可知图线的斜率 k4 2 g 4.04 解得 g9.76 m/s2。 4.将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为 h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分置于筒外)， 如图甲所示， 将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆摆动过程中悬线不会碰到 筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离 L，并通过改变 L 而测出对应的摆动周期 T，再以 T2为纵轴、L 为横轴作出函数关系图像，那么就可以通过此图 像得出小筒的深度 h 和当地的重力加速度 g。 (1)测量单摆的周期时，某同
24、学在摆球某次通过最低点时，按下停表开始计时，同时数“1”，当 摆球第二次通过最低点时数“2”，依此法往下数，当他数到“59”时，按表停止计时，读出这段 时间 t，则该单摆的周期为( ) A. t 29 B. t 29.5 C. t 30 D. t 59 (2)如果实验中所得到的 T2L 关系图线如图乙所示，那么真正的图线应该是 a、b、c 中的 _。 (3)由图线可知，小筒的深度 h_ m；当地重力加速度 g_ m/s2。 答案 (1)A (2)a (3)0.3 9.86 解析 (1)数到 59 时经历了 29 个周期，该单摆的周期为 t 29，选项 A 正确。 (2)摆线在筒内部分的长度为
25、h， 由 T2 Lh g 得 T24 2 g L4 2 g h， 可知 T2L 关系图线为 a。 (3)将 T20，L30 cm 代入关系式可得 h30 cm0.3 m 将 T21.20 s2，L0 代入关系式可求得 g29.86 m/s2。 5.(2021 浙江镇海中学月考)某探究小组探究单摆的装置如图甲所示，细线端拴一个球，另一端 连接力传感器，固定在天花板上，将球拉开一个很小的角度静止释放，传感器可绘制出球在摆 动过程中细线拉力周期性变化的图像，如图乙。 (1)用游标卡尺测出小球直径 d 如图丙所示，读数为_ mm。 (2)现求得该单摆的摆长为 L，则当地的重力加速度为_(用题中的字母表
26、示，包括图乙 中)。 (3)若科学探险队员在珠穆朗玛峰山脚与山顶利用该装置分别作了实验。在山脚处，他作出了 单摆 T2L 图像为如图丁中直线 c。当他成功攀登到山顶后，他又重复了在山脚做的实验。则 利用山顶实验数据作出的图线可能是图丁中的直线_。 丁 答案 (1)18.50 (2)4 2L t22 (3)a 解析 (1)游标卡尺主尺的读数为 1.8 cm，游标尺是 20 分度的，分度值为 0.05 mm，游标尺第 10 格与主尺刻度对齐，游标尺读数为 100.05 mm0.50 mm，因此游标卡尺的读数为 1.8 cm 0.50 mm18.50 mm。 (2)由图乙中图像可知，单摆的周期为 t2，由单摆周期公式 T2 L g，可得 g 42L t22 。 (3)由单摆周期公式 T2 L g，可得 T 24 2 g L，单摆 T2L 图像为一条过原点的直线，b、d 错误；在山脚处，他作出了单摆 T2L 图像为如图丁中直线 c，由于山顶上重力加速度 g 小于 山脚下的重力加速度g， 因此山顶上单摆T2L图像的斜率比山脚下单摆T2L图像的斜率大， e 错误，a 正确。
