1、第一节第一节 随机事件的概率随机事件的概率 【知识重温】【知识重温】 一、必记 4 个知识点 1随机事件和确定事件 (1)在条件 S 下，_的事件，叫做相对于条件 S 的必然事件，简称必然事件 (2)在条件 S 下，_的事件，叫做相对于条件 S 的不可能事件，简称不可能 事件 (3)必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件，简称确定事件 (4)在条件 S 下，_的事件，叫做相对于条件 S 的随机事件， 简称随机事件 2频率与概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出 现的次数 nA为事件 A 出现的频数， 称事件 A
2、出现的比例_为事件 A 出现的频率 (2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的_fn(A)稳 定在某个_上，把这个_记作 P(A)，称为事件 A 的概率，简称为 A 的概率 3事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生， 这时称事件 B_事件 A(或称事件 A 包含于事件 B) _(或 AB) 并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当 A 发生或事件 B 发生，称此事件为事件 A 与事件 B 的 10 _(或和事件) AB(或 AB) 交事件 (积事件) 若某事件发生当且仅当_ 且_发生，则称此事件为事件 A 与事件 B 的
3、交事件 AB(或 AB) 互斥事件 若 AB 为不可能事件，则事件 A 与事件 B 互斥 AB 对立事件 若 AB 为不可能事件，AB 为必然条件，那么称事件 A 与事件 B 互为对 立事件 4.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：_. (2)必然事件的概率 P(E)_. (3)不可能事件的概率 P(F)_. (4)互斥事件概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(AB)_. 若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P(A)_. 二、必明 3 个易误点 1正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件的特殊情况，但互斥事件 不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要
4、不充分条件 2从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此不 相交，事件 A 的对立事件A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含的结果组成的集 合的补集 3需准确理解题意，特留心“至多”，“至少”，“不少于”等语句的含 义 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)事件发生的频率与概率是相同的( ) (2)随机事件和随机试验是一回事( ) (3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值( ) (4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生( ) (5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件( ) (6
5、)两互斥事件的概率和为 1.( ) 二、教材改编 2某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立事件的是 ( ) A至多一次中靶 B两次都中靶 C只有一次中靶 D两次都没有中靶 3从不包含大小王牌的 52 张扑克牌中随机抽取一张，设事件 A“抽到红心”，事件 B “抽到方片”，P(A)P(B)1 4，则 P(“抽到红花色”)_，P(“抽到黑花色”) _. 三、易错易混 4甲、乙两人做出拳(锤子、剪刀、布)游戏，则平局的概率为_；甲赢的概率为 _ 5从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 A抽到一等品，事件 B抽到二等品， 事件 C抽到三等品，且已知 P(A)0.65，P(B)0
6、.2，P(C)0.1，则事件“抽到的产品不 是一等品”的概率为_ 四、走进高考 62019 江苏卷从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是_ 考点一 随机事件关系的判断自主练透型 1把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，则事件 A：“甲分得语文书”，事件 B：“乙分得数学书”，事件 C：“丙分得英语书”，则下列说 法正确的是( ) AA 与 B 是不可能事件 BABC 是必然事件 CA 与 B 不是互斥事件 DB 与 C 既是互斥事件也是对立事件 2在 5 张电话卡中，有 3 张移动卡和
7、2 张联通卡，从中任取 2 张，若事件“2 张全是移 动卡”的概率是 3 10，那么概率是 7 10的事件是( ) A至多有一张移动卡 B恰有一张移动卡 C都不是移动卡 D至少有一张移动卡 3甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件，那么( ) A甲是乙的充分不必要条件 B甲是乙的必要不充分条件 C甲是乙的充要条件 D甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 悟 技法 互斥、对立事件的判别方法 (1)在一次试验中，不可能同时发生的两个事件为互斥事件 (2)两个互斥事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件. 考点二 随机事件的频率与概率互动讲练型 例 1 2020 全国卷甲、乙
8、、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者 与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的 两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空设每场比赛双方获胜的概率都为1 2. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率 悟 技法 计算简单随机事件频率或概率的解题思路 (1)计算所求随机事件出现的频数及总事件的频数 (2)由频率公式得所求，由频率估计概率. 变式练(着眼于举一反三) 1某河流上的一
9、座水力发电站，每年六月份的发电量 Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六 月份的降雨量 X(单位：毫米)有关据统计，当 X70 时，Y460；X 每增加 10，Y 增加 5.已 知近20年X的值为 140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160. (1)完成频率分布表 近 20 年六月份降雨量频率分布表 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 1 20 4 20 2 20 (2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同， 并将频率视为概率， 求今年六月
10、份该水力发电站的发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时的概率 考点三 互斥事件与对立事件的概率 互动讲练型 例 2 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超 市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示 一次购 物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件 及以上 顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间 (分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)确定 x，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； (2)求一位顾客一次购物
11、的结算时间不超过 2 分钟的概率(将频率视为概率) 听课笔记： 悟 技法 (1)求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出 来 (2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一 些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由 P(A)1 P(A )求解当题目涉及“至多”、“至少”时，多考虑间接法. 变式练(着眼于举一反三) 2有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到 城市乙只有两条公路，据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的 200 辆汽车所用时 间的频数
12、分布情况如下表所示， 所用时间(天数) 10 11 12 13 通过公路 1 的频数 20 40 20 20 通过公路 2 的频数 10 40 40 10 假设汽车 A 只能在约定日期(某月某日)的前 11 天出发， 汽车 B 只能在约定日期的前 12 天 出发(将频率视为概率)，为了在各自允许的时间内将货物运至城市乙， 汽车 A 和汽车 B 选择的 最佳路径分别为( ) A公路 1 和公路 2 B公路 2 和公路 1 C公路 2 和公路 2 D公路 1 和公路 1 第十章第十章 概率概率 第一节第一节 随机事件的概率随机事件的概率 【知识重温】【知识重温】 一定会发生 一定不会发生 可能发生
13、也可能不发生 fn(A)nA n 频率 常数 常数 包含 BA 并事件 事件 A 发生 事件 B 0P(A)1 1 0 P(A)P(B) 1P(B) 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2解析：连续射击两次的结果有四种：第一次中靶第二次中靶；第一次中靶第二次 没中靶；第一次没中靶第二次中靶；第一次没有中靶第二次没有中靶，事件“至少一次 中靶”包含，所以事件“至少一次中靶”的对立事件是 D. 答案：D 3解析：因为 A 与 B 不会同时发生，所以 A 与 B 是互斥事件，则 P(“抽到红花色”) P(A)P(B)1 4 1 4 1 2，又事件“抽到黑
14、花色”与“抽到红花色”是对立事件，则 P(“抽到黑 花色”)1P(“抽到红花色”)11 2 1 2. 答案：1 2 1 2 4解析：设平局(用表示)为事件 A，甲赢(用表示)为事件 B，乙赢(用表示)为事件 C，容易得到如图平局含 3 个基本事件(图中的)，P(A)3 9 1 3，甲赢含 3 个基本事件(图中 的)，P(B)3 9 1 3. 答案：1 3 1 3 5解析：事件 A抽到一等品，且 P(A)0.65，事件“抽到的产品不是一等品” 的概率为 P1P(A)10.650.35. 答案：0.35 6解析：从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学共有 C2510 种选法，其中选出的
15、 2 名同学都是男同学的选法有C233种， 则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率P1 3 10 7 10. 答案： 7 10 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析：“A，B，C”都是随机事件，可能发生，也可能不发生，故 A、B 两项错误； “A，B”可能同时发生，故“A”与“B”不互斥，C 项正确；“B”与“C”既不互斥，也不 对立，D 项错误，故选 C. 答案：C 2 解析： “至多有一张移动卡”包含“一张移动卡， 一张联通卡”， “两张全是联通卡” 两个事件，它是“2 张全是移动卡”的对立事件 答案：A 3解析：两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不成立，故甲是乙的必要不充分
16、条件 答案：B 考点二 例 1 解析：(1)甲连胜四场的概率为 1 16. (2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为 1 16； 乙连胜四场的概率为 1 16； 丙上场后连胜三场的概率为1 8. 所以需要进行第五场比赛的概率为 1 1 16 1 16 1 8 3 4. (3)丙最终获胜，有两种情况： 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为1 8； 比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有 三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为 1 16， 1 8， 1 8. 因此丙最终获胜的概率为1
17、8 1 16 1 8 1 8 7 16. 变式练 1解析：(1)在所给数据中，降雨量为 110 毫米的有 3 个，为 160 毫米的有 7 个，为 200 毫米的有 3 个故近 20 年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 1 20 3 20 4 20 7 20 3 20 2 20 (2)由已知可得 YX 2425， 故 P(“发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时”)P(Y530)P(X210)P(X70)P(X110)P(X220) 1 20 3 20 2 20 3 10. 故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490 万千瓦时
18、或超过 530 万千瓦时的概率为 3 10. 考点三 例 2 解析：(1)由已知得 25y1055，x3045，所以 x15，y20.该超市所有顾 客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体 容量为 100 的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估 计值为1151.5302252.520310 100 1.9(分钟) (2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”，A1，A2，A3分别表示事 件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾 客一次购物的结算时间为
19、2 分钟”，将频率视为概率得 P(A1) 15 100 3 20，P(A2) 30 100 3 10，P(A3) 25 100 1 4， 因为 AA1A2A3，且 A1，A2，A3是互斥事件， 所以 P(A)P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3) 3 20 3 10 1 4 7 10. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 7 10. 变式练 2解析：通过公路 1 的频率为 0.2,0.4,0.2,0.2；通过公路 2 的频率为 0.1,0.4,0.4,0.1，设 A1， A2分别表示汽车 A 在约定日期前 11 天出发，选择公路 1,2 将货物运往城市乙B1，B2分别表 示汽车 B 在约定日期前 12 天出发选择公路 1,2 将货物运往城市乙，则 P(A1)0.20.40.6， P(A2)0.10.40.5，P(B1)0.20.40.20.8，P(B2)0.10.40.40.9，所以汽车 A 的 最佳路径为选择公路 1，汽车 B 的最佳路径为选择公路 2. 答案：A
