1、必考部分 第七章第七章 立体几何立体几何 第三讲 空间点、直线、平面之间的 位置关系 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 知识点一 平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线在 这个平面内 公理2：过_的三点，有且只有一个平面 公 理 3 ： 如 果 两 个 不 重 合 的 平 面 有 一 个 公 共 点 ， 那 么 它 们 _过该点的公共直线 两点 不共线 有且只有一条 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 知识点二 空间点
2、、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 图形语言 平行 关系 符号语言 ab a 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 直线与直线 直线与平面 平面与平面 图形语言 相交 关系 符号语言 abA aA l 图形语言 独有 关系 符号语言 a，b 是异面直线 a 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 知识点三 异面直线所成角、平行公理及等角定理 (1)异面直线所成的角 定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直线 a a，bb，把 a与 b所成的_叫做异面直线 a 与 b 所 成的角 范围： 0， 2 . 锐角
3、或直角 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)平行公理 平行于同一条直线的两条直线_. (3)等角定理 空 间 中 如 果 两 个 角 的 两 边 分 别 对 应 平 行 ， 那 么 这 两 个 角 _. 平行 相等或互补 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 异面直线的判定定理 过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线 是异面直线 用符号可表示为： 若l，A，B，Bl，则直线AB与l是异面直线(如图) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”
4、) (1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相 交，并记作a. ( ) (2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条 直线 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 ( ) (4)经过两条相交直线，有且只有一个平面 ( ) (5)两两相交的三条直线共面 ( ) (6)若a，b是两条直线，是两个平面，且a，b，则a，b是 异面直线 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 题组二 走进教材 2(必修2P52B组T1)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E
5、，F 分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为 ( ) A30 B45 C60 D90 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解析 连接B1D1，D1C，则B1D1EF，故D1B1C即为所求的 角又B1D1B1CD1C，B1D1C为等边三角形，D1B1C60. 故选C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 3(必修2P45例2)如图，在三棱锥ABCD中， E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA上的点， (1)若AE EB AH HD且 CF FB CG GD，则 E、F、G、H 是否共面_. (2)若 E、F、G、H 分
6、别为棱 AB、BC、CD、DA 的中点，当 AC， BD 满足条件_时，四边形 EFGH 为菱形；当 AC，BD 满足条 件_时，四边形 EFGH 为正方形 共面 ACBD ACBD且ACBD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 题组三 走向高考 4(2019 新课标)如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正 三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则 ( ) ABMEN，且直线BM，EN是相交直线 BBMEN，且直线BM，EN是相交直线 CBMEN，且直线BM，EN是异面直线 DBMEN，且直线BM，EN是异面直线 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（
7、新高考） 第七章 立体几何 解析 点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，M 是 线段 ED 的中点，BM平面 BDE，EN平面 BDE， BM 是BDE 中 DE 边上的中线， EN 是BDE 中 BD 边上的中线， 直线 BM，EN 是相交直线，设 DE a，则 BD 2a， 平面 ECD平面 ABCD， BE 3 4a 25 4a 2 2a， BM 7 2 a，EN 3 4a 21 4a 2a， BMEN，故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 5(2017 新课标)已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC120 ， AB2，BCCC11，
8、则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为 ( ) A 3 2 B 15 5 C 10 5 D 3 3 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解析 解法一：如图所示，补成四棱柱 ABCDA1B1C1D1， 连 DC1、BD，则 DC1AB1， BC1D 即为异面直线 AB1与 BC1所成的角， 由题意知 BC1 2， BD 2212221cos 60 3， C1D 5， BC2 1BD 2C 1D 2，DBC 190 ， cosBC1D 2 5 10 5 .故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解法二：(向量法) 如图建立空间直角坐标
9、系，则 B(0,0,0)，A(2,0,0)， B1(0,0,1)，C1 1 2， 3 2 ，1 ， 从而AB1 (2,0,1)，BC1 1 2， 3 2 ，1 ， 记异面直线 AB1与 BC1所成角为 ， 则 cos |AB1 BC1 | |AB1 | |BC1 | 2 5 2 10 5 ，故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解法三：如图所示，分别延长 CB，C1B1至 D，D1，使 BDBC，B1D1 B1C1，连接 DD1，B1D 由题意知，C1BB1D， 则AB1D 即为异面直线 AB1与 BC1所成的角 连接 AD，在ABD 中，由 AD2AB2BD2
10、2AB BD cosABD， 得 AD 3. 又 B1DBC1 2，AB1 5， cosAB1DAB 2 1B1D 2AD2 2AB1 B1D 523 2 5 2 10 5 . 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 考点一 平面基本性质的应用自主练透 例例 1 如图，在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，G，H 分别在 BC，CD 上， 且 BGGCDHHC12. (1)求证：E，F，G，H 四点共面； (2)设 EG 与 FH 交于点 P，求证：P，A，C 三点 共线 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第
11、七章 立体几何 解析 (1)证明：E，F 分别为 AB，AD 的中点， EFBD 在BCD 中，BG GC DH HC 1 2， GHBD，EFGH. E，F，G，H 四点共面 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)EGFHP，PEG，EG平面ABC， P平面ABC同理P平面ADC P为平面ABC与平面ADC的公共点 又平面ABC平面ADCAC， PAC，P，A，C三点共线 注：本题(2)可改为：求证GE、HF、AC三线共点 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 1证明空间点共线问题的方法 (1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点
12、，再根据 公理3证明这些点都在这两个平面的交线上 (2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在 该直线上 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 2点、线共面的常用判定方法 (1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内 (2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素 确定平面，最后证明平面，重合 3证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点， 再证其他直线经过该点 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 变式训练1 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的 中点求证
13、： (1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解析 (1)如图，连接EF，CD1，A1B 因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EFA1B 又A1BCD1，所以EFCD1， 所以E，C，D1，F四点共面 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)因为EFCD1，EFCD1， 所以CE与D1F必相交， 设交点为P，则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD 同理P平面ADD1A1. 又平面ABCD平面ADD1A1DA， 所以P直线DA 所以CE，D1F，DA三线共点. 返回导航 高
14、考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 考点二 空间两条直线的位置关系师生共研 例例 2 (1)(2019 上海)已知平面 、 两两垂直，直线 a、b、c 满足：a，b，c，则直线 a、b、c 不可能满足以下哪种关系 ( ) A两两垂直 B两两平行 C两两相交 D两两异面 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1， C1C的中点，有以下四个结论： 直线AM与CC1是相交直线； 直线AM与BN是平行直线； 直线BN与MB1是异面直线； 直线AM与DD1是异面直线 其中正确的结论为_(注：把你认
15、为正确的结论序号都填上) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解析 (1)如图1，可得a、b、c可能两两垂直； 如图2，可得a、b、c可能两两相交； 如图3，可得a、b、c可能两两异面；故选B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平 面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故错；取 DD1中点E，连接AE，则BNAE，但AE与AM相交，故错；因为B1与 BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与 MB1是异面直线，故
16、正确；同理正确，故填. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 1异面直线的判定方法 (1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相 交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两 条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到 (2)判定定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过 点B的直线是异面直线 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 2判定平行直线的常用方法 (1)三角形中位线的性质 (2)平行四边形的对边平行 (3)平行线分线段成比例定理 (4)公理：若ab，bc，则ac. 返回导航 高考一轮总复习 数学（
17、新高考） 第七章 立体几何 变式训练2 (1)(2021 甘肃诊断)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB， CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有_对 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)(多选题)(2021 湘潭调研改编)下图中，G，N，M，H分别是正三 棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH，MN是异面直线的图形是 ( ) BD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解析 (1)画出该正方体的直观图如图所示，其中异面直线有(AB， GH)，(AB，GD)，(GH，EB)故共有3对故答案为：3
18、. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)图A中，直线GHMN； 图B中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，NHG，因此直线GH 与MN异面；图C中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面； 图D中，G、M、N共面，但H平面GMN，GMN因此GH与MN异 面，故选B、D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 考点三 异面直线所成的角师生共研 例例 3 (1)(2021 广西玉林模拟)如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中， E，F 分别为 A1B1，CD 的中点，则异面直线 D1E 与 A1F 所成的角的余弦 值为 ( ) A 5 5 B
19、5 6 C 3 3 D 3 6 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)(2021 山东泰安模拟)如图，在三棱锥 ABCD 中，ABACBD CD3，ADBC2，点 M，N 分别为 AD，BC 的中点，则异面直线 AN，CM 所成的角的余弦值是 ( ) A5 8 B 5 8 C7 8 D 7 8 (3)若两条异面直线 a、b 所成角为 60 ，则过空间一点 O 与两异面直 线 a、b 所成角都为 60 的直线有_条 C 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解析 (1)解法一：(平移法) 如图，连接BE，BF、D1F， 由题意知BED1F
20、为平行四边形， D1EBF， 异面直线D1E与A1F所成角为A1F与BF所成锐 角，即A1FB， 连接A1B，设AB2， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 则在A1BF 中，A1B2 2，BF 5， A1F AA2 1AD 2DF23， cosA1FBA 1F 2BF2A 1B 2 2 A1F BF 958 23 5 5 5 . 异面直线 D1E 与 A1F 所成的角的余弦值为 5 5 .故选 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解法二：(向量法) 如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为 2， 异面直线 D1E 与 A1F 所成角为
21、， 则D1E (2,1,0)，A1F (2,1，2)， cos |D1E A1F | |D1E | |A1F | 3 53 5 5 .故选 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)连接 ND，取 ND 的中点 E，连接 ME，则 MEAN， 异面直线 AN，CM 所成的角就是EMC， AN AB2BN22 2， ME 2EN，MC2 2， 又ENNC，EC EN2NC2 3， cosEMCEM 2MC2EC2 2EM MC 283 2 22 2 7 8.故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (3)如图，过 O 分别作 aa，bb，
22、则 a，b所成角为 60 ， 如图易知过 O 与 a、b所成角都为 60 的直线有 3 条， 即与 a，b 所成角都为 60 的直线有 3 条 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 引申1本例(2)中MN与BD所成角的余弦值为_. 解析 取 CD 的中点 H，连 DN，NH，MH，则 NHBD，HNM 为异面直线 MN 与 BD 所成的角，由题意知 AN2 2，从而 MN 7， 又 NH3 2MH，cosHNM 1 2MN NH 7 3 . 7 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 引申2本例(3)中与异面直线a、b所成角都为75的直线有_条 4
23、 注：本例中，若直线与异面直线所成角都为 ，则 (1)0 6时，0 条；(2) 6时，1 条； (3) 6 3时，2 条；(4) 3 2时，4 条； (5) 2时，1 条 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 求异面直线所成角的方法 1平移法 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角 (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角 (3)三求：解三角形，求出所作的角 注：为便于作出异面直线所成角，可用补形法，如将三棱柱补成 四棱柱；注意余弦定理的应用 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 2向量法 建立空间直角坐标系， 利用公式|cos | |
24、m n| |m|n|求出异面直线的方向向 量的夹角若向量夹角是锐角或直角，则该角即为异面直线所成角；若 向量夹角是钝角，则异面直线所成的角为该角的补角 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 变式训练 3 (1)(2021 山西运城调研)如图，等边ABC 为圆锥的轴截面，D 为 AB 的中点，E 为弧 BC 的中点，则直线 DE 与 AC 所成角的余弦值为 ( ) A1 3 B1 2 C 2 2 D3 4 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)(2021 黑龙江师大附中期中)直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC， ABACAA1，则直线A1
25、B与AC1所成角的大小为 ( ) A30 B60 C90 D120 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解析 (1)取 BC 的中点 O，连接 OE，OD， D 为 AB 的中点，ODAC， EDO 即为 DE 与 AC 所成的角， 由 E 为BC 的中点得 OEBC，又平面 ABC平面 BCE， OE平面 ABC，从而 OEOD， 设正ABC 的边长为 2a，则 ODaOE， cosEDOcos 4 2 2 ，故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)解法一：(平移法) 在直三棱柱 ABCA1B1C1中， 连接 A1C， A1CA
26、C1O， 则 O 为 A1C 的中点，取 BC 的中点 H，连接 OH，则 OHA1B，AOH 或其补角 即为直线 A1B 与 AC1所成的角 设 ABACAA11，则 BC 2， 易得 AOAHOH 2 2 ， 三角形 AOH 是正三角形，AOH60 ， 即异面直线所成角为 60 .故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解法二：(向量法) 如图建立空间直角坐标系，不妨设 AB1，A1B 与 AC1所成角为 ， 则A1B (1,0，1)，AC1 (0,1,1)， cos |A1B AC1 | |A1B | |AC1 | 1 2 2 1 2. 60 ，故选 B 返
27、回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 例例 4 空间几何体的截面问题 (原创)E、 F 分别为正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 CC1、 C1D1 的中点，若 AB6，则过 A、E、F 三点的截面的面积为_. 7 153 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解析 作直线 EF 分别与直线 DC、DD1相交于 P、Q， 连 AP 交 BC 于 M，连 AQ 交 A1D1于 N，连接 NF、ME. 则五边形 AMEFN 即为过 A、E、F 三点的截面 由题意易知 APAQ 117，PQ9 2，SAPQ9 153 2
28、 ， 又 MEAQ，且EM AQ 1 3， SMPESQNF1 9SAPQ， SAMEFN7 9SAPQ 7 153 2 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 作出截面的关键是找到截线，作出截线的主要根据有： (1)确定平面的条件； (2)三线共点的条件； (3)面面平行的性质定理 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 变式训练4 (多选题)(2021 百师联盟联考)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2， 用一个平面截这个正方体，把该正方体分为体积相等的两部分，则下 列结论正确的是 ( ) A这两部分的表面积也相等 B截面可以是三角形 C截面可以是五边形 D截面可以是正六边形 AD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解析 平面截这个正方体，把该正方体分为体积相等的两部分， 则平面一定过正方体的中心，所以这两部分的表面积也相等，根据对 称性，截面不会是三角形、五边形，但可以是正六边形(如图)故选 AD 谢谢观看
