1、必考部分 第七章第七章 立体几何立体几何 第四讲 直线、平面平行的判定与性质 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 知识点一 直线与平面平行的判定与性质 判定 定义 定理 性质 图形 条件 a a，b，_ _ a，a， _ 结论 a b a _ ab a b ab 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 知识点二 面面平行的判定与性质 判定 定义 定理 性质 图形 条件 _ _ _ _ _ _ ，a 结论 ab a a，b， ab P ， a，b ，a，
2、b 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 1垂直于同一条直线的两个平面平行，即“若a，a，则 ” 2垂直于同一个平面的两条直线平行，即“若a，b，则 ab” 3平行于同一个平面的两个平面平行，即“若，则 ” 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这 个平面 ( ) (2)平行于同一条直线的两个平面平行 ( ) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面 平行 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考
3、） 第七章 立体几何 (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或 异面 ( ) (5)若直线a与平面内无数条直线平行，则a. ( ) (6)若，直线a，则a. ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 题组二 走进教材 2(必修2P58练习T3)设a，b是两条不同的直线，是两个不同的 平面，则的一个充分条件是 ( ) A存在一条直线a，a，a B存在一条直线a，a，a C存在两条平行直线a，b，a，b，a，b D存在两条异面直线a，b，a，b，a，b D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解析 对于选项A，若存在一条直线a
4、，a，a，则或与 相交，若，则存在一条直线a，使得a，a，所以选项A的内 容是的一个必要条件；同理，选项B，C的内容也是的一个必要 条件而不是充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移 到个平面中，成为相交直线，则有，所以选项D的内容是的 一个充分条件故选D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 题组三 走向高考 3(2019 课标全国)设，为两个平面，则的充要条件是 ( ) A内有无数条直线与平行 B内有两条相交直线与平行 C，平行于同一条直线 D，垂直于同一平面 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 4(2017 课标全国)如图，在
5、下列四个正方体中，A，B为正方体 的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ不平行的是 ( ) A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解析 B选项中，ABMQ，且AB平面MNQ，MQ平面MNQ， 则AB平面MNQ；C选项中，ABMQ，且AB平面MNQ，MQ平面 MNQ，则AB平面MNQ；D选项中，ABNQ，且AB平面MNQ，NQ 平面MNQ，则AB平面MNQ.故选A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 5(2017 天津，节选)如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC， BAC90.点D，E，N分别为棱PA
6、，PC，BC的中点，M是线段AD的 中点，PAAC4，AB2. 求证：MN平面BDE. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 证明 解法一：连 PN 交 BE 于 H，连 HD E、N 分别为 PC、BC 的中点， H 为PBC 的重心，PH HN2， 又 D、M 分别为 PA、AD 的中点， PD DM2， PH HN PD DM，DHMN， 又 DH平面 BDE，MN平面 BDE， MN平面 BDE. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解法二：取 EC 的中点 H，连 MH、NH， N 为 BC 的中点，NHBE， 又 NH平面 BDE，BE
7、平面 BDE， NH平面 BDE， 又 E、D、M 分别为 PC、PA、DA 的中点， PE EH PD DM2，DEMH， 又 MH平面 BDE， MH平面 BDE，DE平面 BDE，又 DEBEE， 平面 MNH平面 BDE，MN平面 BDE. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解法三：如图，以 A 为原点，分别以AB ，AC ，AP 方向为 x 轴、y 轴、 z 轴正方向建立空间直角坐标系 依题意可得 A(0,0,0)， B(2,0,0)， C(0,4,0)， P(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)，M(0,0,1)，N(1,2,0) DE (0,
8、2,0)，DB (2,0，2) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 设 n(x，y，z)为平面 BDE 的法向量， 则 n DE 0， n DB 0， 即 2y0， 2x2z0. 不妨设 z1，可得 n(1,0,1) 又MN (1,2，1)，可得MN n0. 因为 MN平面 BDE，所以 MN平面 BDE. 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 考点一 空间平行关系的基本问题自主练透 例例 1 (1)(多选题)(2021 河南名校联盟质检改编)设有不同的直线 a，b 和不同的平面 ，给出下列四个命题中，其中正确的是
9、( ) A若 a，b，则 ab B若 a，a，则 C若 a，b，则 ab D若 a，a，则 CD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)(2021 辽宁省沈阳市质监)下列三个命题在“( )”处都缺少同 一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中 l，m 为直线， 为平 面)，则此条件是_. lm m l； m lm l； lm m l. l 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解析 (1)对于A，若a，b， 则直线a和直线b可以相交也可 以异面，故A错误；对于B，若a，a，则平面a和平面可以相交， 故B错误；对于C，若a，b，则根据线面垂直性
10、质定理，ab，故 C正确；对于D，若a，a，则成立；故选CD (2)lm，ml或l，由ll；l，m， lml；lm，ml或l，由ll.故答案为l. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 变式训练1 (多选题)(2021 吉林省吉林市调研改编)如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为所在棱的中点，则下列各直线、平面 中，与平面ACD1平行的是 ( ) A直线EF B直线GH C平面EHF D平面A1BC1 ABD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解析 首先直线EF、GH、A1B都不在平面ACD1内，由中点及正方 体的性质知E
11、FAC，GHA1C1AC，A1BD1C，直线EF，GH， A1B都与平面ACD1平行，又A1C1AC，由面面平行判定易知平面 A1BC1平面ACD1，由EHAB1，AB1平面ACD1A，EH与平面 ACD1相交，从而平面EHF与平面ACD1相交，C错，故选A、B、D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 考点二 直线与平面平行的判定与性质多维探究 例例 2 角度 1 线面平行的判定 (2021 辽宁抚顺模拟)如图，在四棱锥 PABCD 中，PD 平面 ABCD，底面 ABCD 为梯形，ABCD，BAD60 ，PDADAB 2，CD4，E 为 PC 的中点 (1)证明：BE
12、平面 PAD； (2)求三棱锥 EPBD 的体积 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解析 (1)证法一：如图，取 PD 的中点 F，连接 EF，FA 由题意知 EF 为PDC 的中位线， EFCD，且 EF1 2CD2. 又ABCD，AB2，CD4，ABEF， 四边形 ABEF 为平行四边形，BEAF. 又 AF平面 PAD，BE平面 PAD，BE平面 PAD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 证法二：延长 DA、CB 相交于 H，连 PH， ABCD，AB2，CD4， HB HC AB DC 1 2， 即 B 为 HC 的中点， 又 E 为
13、 PC 的中点，BEPH， 又 BE平面 PAD，PH平面 PAD，BE平面 PAD， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 证法三：取 CD 的中点 H，连 BH，HE， E 为 PC 中点，EHPD， 又 EH平面 PAD，PD平面 PAD， EH平面 PAD， 又由题意知 ABDH，BHAD， 又 AD平面 PAD，BH平面 PAD， BH平面 PAD，又 BHEHH， 平面 BHE平面 PAD，BE平面 PAD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)E 为 PC 的中点，V 三棱锥EPBDV三棱锥EBCD1 2 V 三棱锥PBCD 又A
14、DAB，BAD60 ， ABD 为等边三角形，BDAB2. 又CD4，BDCBAD60 ， BDBCBC CD2BD22 3. PD平面 ABCD， V 三棱锥PBCD1 3PD SBCD 1 32 1 222 3 4 3 3 ， V 三棱锥EPBD2 3 3 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点) (2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba) (3)利用面面平行的性质定理(，aa) (4)利用面面平行的性质(，a，aa) (5)向量法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 注：线面平行的关键是线线平
15、行，证明中常构造三角形中位线或平 行四边形 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 角度2 线面平行的性质 如 图 ， 在 多 面 体 ABCDEF 中 ， DE 平 面 ABCD ， ADBC，平面BCEF平面ADEFEF，BAD60，AB2，DE EF1. (1)求证：BCEF； (2)求三棱锥BDEF的体积 例例 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解析 (1)证明：ADBC，AD平面ADEF， BC平面ADEF，BC平面ADEF. 又BC平面BCEF，平面BCEF平面ADEFEF，BCEF. (2)过点B作BHAD于点H， DE平面ABC
16、D，BH平面ABCD，DEBH. AD平面ADEF， DE平面ADEF，ADDED， BH平面ADEF. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 BH 是三棱锥 BDEF 的高 在 RtABH 中，BAD60 ，AB2，故 BH 3. DE平面 ABCD，AD平面 ABCD，DEAD 由(1)知 BCEF，且 ADBC， ADEF，DEEF. 三棱锥BDEF的体积V1 3SDEFBH 1 3 1 211 3 3 6 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 空间中证明两条直线平行的常用方法 (1)利用线面平行的性质定理，即a，a，bab. (2)利用平
17、行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行 (3)利用垂直于同一平面的两条直线互相平行 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 变式训练2 (1)(角度2)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD 外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAHG交平 面BMD于GH. 求证：PAGH. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)(角度1)(2020 广东佛山质检，节选)如图，四棱锥PABCD的底 面ABCD是平行四边形，E、F分别为AD、PC的中点 求证：EF平面PAB 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第
18、七章 立体几何 (3)(角度 1)(2021 贵州黔东南州二模)在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD 是矩形，平面 PAB平面 ABCD，点 E，F 分别为 BC，AP 的中点 求证：EF平面 PCD； 若 ADAPPB 2 2 AB1.求三棱锥 PDEF 的体积 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解析 (1)证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO， 四边形ABCD是平行四边形， O是AC的中点， 又M是PC的中点，PAMO. 又MO平面BMD，PA平面BMD， PA平面BMD 平面PAHG平面BMDGH，PA平面PAHG， PAGH. 返回导航 高考
19、一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)解法一：取 PB 的中点 H，连 FH、HA， F 为 PC 的中点，FH 1 2BC， 又四边形 ABCD 为平行四边形， BCAD，从而 FH 1 2AD， 又 E 为 AD 的中点，FHEA，EFAH， 又 EF平面 PAB，HA平面 PAB， EF平面 PAB 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解法二：取BC的中点H，连FH，HE， F为PC的中点， FHBP，又FH平面PAB， FH平面PAB，又E为AD的中点， 且四边形ABCD为平行四边形， HEBA，又HE平面PAB， HE平面DAB，又FHEHH，
20、平面EFH平面PAB， EF平面PAB 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解法三：连CE并延长交BA的延长线于H，连PH. E为平行四边形ABCD的边AD的中点， CDEHAE， CEEH，又F为PC的中点， EFPH， 又EF平面PAB，PH平面PAB， EF平面PAB 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (3)证明：如图，取 PD 中点 G，连接 GF，GC 在PAD 中，G，F 分别为 PD，AP 的中点， GF 1 2AD 在矩形 ABCD 中，E 为 BC 的中点， CE 1 2AD，GF EC， 四边形 EFGC 是平行四边形，GC
21、EF. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 GC平面PCD，EF平面PCD， EF平面PCD 四边形ABCD是矩形， ADAB，ADBC 又AD平面PAD，BC平面PAD， BC平面PAD 平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，AD平面 ABCD，AD平面PAB，ADBP，平面PAD平面PAB 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 ADAPPB 2 2 AB1， AB 2，AP2PB2AB2， APBP.ADAPA， BP平面 PADBC平面 PAD， 点 E 到平面 PAD 的距离等于点 B 到平面 PAD 的距离 返回导航 高考一
22、轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 SPDF1 2PF AD 1 2 1 21 1 4， V 三棱锥PDEFV三棱锥EPDF1 3SPDF BP 1 3 1 41 1 12， 三棱锥 PDEF 的体积为 1 12. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 考点三 两个平面平行的判定与性质师生共研 例例 4 如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，E，F，G，H 分别 是 AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： (1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1平面 BCHG. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 证明 (1)因为
23、G，H 分别是 A1B1，A1C1的中点，所以 GHB1C1， 又 B1C1BC， 所以 GHBC，所以 B，C，H，G 四点共面 (2)在ABC 中，E，F 分别为 AB，AC 的中点， 所以 EFBC， 因为 EF平面 BCHG，BC平面 BCHG， 所以 EF平面 BCHG. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 又因为 G，E 分别为 A1B1，AB 的中点， 所以 A1GEB，所以四边形 A1EBG 是平行四边形，所以 A1EGB 因为 A1E平面 BCHG，GB平面 BCHG， 所以 A1E平面 BCHG. 又因为 A1EEFE， 所以平面 EFA1平面 BC
24、HG. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 引申1在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD平面 A1B1BA 证明 如图所示，连接HD，A1B， 因为D为BC1的中点， H为A1C1的中点， 所以HDA1B， 又HD平面A1B1BA， A1B平面A1B1BA， 所以HD平面A1B1BA 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 引申2在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平 面A1BD1平面AC1D 证明 如图所示，连接A1C，AC1交于点M， 因为四边形A1ACC1是平行四边形， 所以M是A1C的中点，连接MD， 因为D为BC
25、的中点，所以A1BDM. 因为A1B平面A1BD1， DM平面A1BD1， 所以DM平面A1BD1. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 又由三棱柱的性质知，D1C1BD， 所以四边形 BDC1D1为平行四边形， 所以 DC1BD1. 又 DC1平面 A1BD1，BD1平面 A1BD1， 所以 DC1平面 A1BD1， 又因为 DC1DMD，DC1，DM平面 AC1D， 所以平面 A1BD1平面 AC1D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 证明面面平行的方法有 (1)面面平行的定义 (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于
26、 另一个平面，那么这两个平面平行 (3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行” (4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化 *(6)向量法：证明两平面的法向量平行 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 变式训练3 (2021 南昌模拟)如图，在四棱锥PABCD中，ABCACD 90，BACCAD60，PA平面ABCD，PA2，AB1.设M， N分别为PD，AD的中点 (1)求证：平面CMN平面PAB； (2)求三棱锥PABM的体积 返回导航
27、 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解析 (1)证明：M，N分别为PD，AD的中点， MNPA，又MN平面PAB，PA平面PAB， MN平面PAB 在RtACD中，CAD60，CNAN， ACN60. 又BAC60，CNAB CN平面PAB，AB平面PAB，CN平面PAB 又CNMNN，CN，MN平面CMN，平面CMN平面PAB 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)由(1)知，平面 CMN平面 PAB， 点 M 到平面 PAB 的距离等于点 C 到平面 PAB 的距离 AB1，ABC90 ，BAC60 ，BC 3， 三棱锥 PABM 的体积 VVM
28、PABVCPABVPABC1 3 1 21 32 3 3 . 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 例例 5 探索性问题求解策略 (2021 安徽皖北联考)如图，在四棱锥 CABED 中，四边形 ABED 是正方形，点 G，F 分别是线段 EC，BD 的中点 (1)求证：GF平面 ABC (2)线段 BC 上是否存在一点 H，使得平面 GFH 平面 ACD？若存在，请找出点 H 并证明；若不存在， 请说明理由 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解析 (1)四边形ABED为正方形，F为BD的中点， E、F、A共线，连
29、AE，又G为EC的中点， GFAC， 又GF平面ABC，AC平面ABC， GF平面ABC 注：本题也可取BE的中点Q，连GQ、FQ，通过证平面GFQ平面 ABC来证；或取BC的中点M，AB的中点N，连GM、MN、NF，通过证四 边形GMNF为平行四边形得GFMN来证 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)当H为BC的中点时，平面GFH平面ACD 证明如下：G、H分别为EC、BC的中点， GHBE，又BEAD， GHAD， 又GH平面ACD，AD平面ACD， GH平面ACD， 又GFAC，GF平面ACD，AC平面ACD， GF平面ACD， 平面GFH平面ACD 返回导
30、航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 引申ED上是否存在一点Q，使平面GFQ平面ACD 解析 当Q为ED的中点时，平面GFQ平面ACD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 平行中的探索性问题 (1)对命题条件的探索常采用以下三种方法： 先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明； 先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充 分性； 把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)对命题结论的探索常采用以下方法： 首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推 理得到了合乎情理的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否 定假设 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 变式训练4 在三棱柱ABCA1B1C1的棱BC上是否存在一点H，使A1B平面 AC1H？并证明 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解析 BC上存在点H(即BC的中点)使A1B平面AC1H. 证明如下：连A1C交AC1于O， 则O为A1C的中点 连HO，又H为BC的中点， HOA1B， 又OH平面AHC1，A1B平面AHC1， A1B平面AC1H. 谢谢观看
