1、必考部分 第七章第七章 立体几何立体几何 第五讲 直线、平面垂直的判定与性质 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 知识点一 直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直 定义：若直线l与平面内的_一条直线都垂直，则直线l与 平面垂直 任意 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 判定定理：一条直线与一个平面内的两条_直线都垂直， 则该直线与此平面垂直(线线垂直线面垂直)即：a，_， la，lb，abPl. 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_.即：a， b_.
2、 相交 b 平行 ab 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_，叫做 这条斜线和这个平面所成的角 若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为_，若 直线与平面垂直，直线与平面所成角为_. 线面角 的范围： 0， 2 . 锐角 0 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 知识点二 平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 二面角：从一条直线出发的_所组成的图形叫做二 面角 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平 面内分别作与棱_的射线，则两射线所成的角叫做
3、二面角的平面 角 二面角的范围：0， 两个半平面 垂直 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)平面与平面垂直 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是_， 就说这两个平面互相垂直 判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂 直即：a，a_. 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于_的直线 与另一个平面垂直即：，a，b，ab_. 直二面角 交线 a 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 1若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这 个平面 2若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一 条直线(证明线线垂直的
4、一个重要方法) 3垂直于同一条直线的两个平面平行 4一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平 面也垂直 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l. ( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行 ( ) (3)若直线a，b，则ab. ( ) (4)若，a，则a. ( ) (5)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直 ( ) (6)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则. ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 题组二
5、走进教材 2(多选题)(必修2P73T1)下列命题中正确的是 ( ) A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于 平面 C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面 D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 ABC 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解析 对于D，若平面平面，则平面内的直线可能不垂直于 平面，即与平面的关系还可以是斜交、平行或在平面内，其他选项 均是正确的 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 题组三 走向高考 3(2017 课标全国)在正方体ABCDA1B1C1D1
6、中，E为棱CD的中 点，则 ( ) AA1EDC1 BA1EBD CA1EBC1 DA1EAC 解析 A1B1平面BCC1B1，BC1平面BCC1B1， A1B1BC1，又BC1B1C，且B1CA1B1B1， BC1平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD， BC1A1E.故选C C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 4(2019 北京)已知l，m是平面外的两条不同直线给出下列三个 论断： lm；m；l. 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个 正确的命题：_. 解析 由l，m是平面外的两条不同直线，及线面平行的判定定理 得：若l，lm，则m，若
7、l，m，则由线面垂直的性质和线 面平行的性质得lm，若l，m，则lm，故答案为：若l， lm，则m.(或若l，m，则lm) 若l，lm，则m.(或若l，m，则lm) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 5(2020 全国(节选)如图，已知三棱 柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧面 BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中 点，P为AM上一点过B1C1和P的平面交AB于 E，交AC于F. 证明：AA1MN，且平面A1AMN平面 EB1C1F. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 证明 M，N分别为BC，B1C1的中点，MNBB1 又
8、AA1BB1，MNAA1 在等边ABC中，M为BC中点，则BCAM. 又侧面BB1C1C为矩形，BCBB1 MNBB1，MNBC 由MNAMM，MN，AM平面A1AMN BC平面A1AMN 又B1C1BC，且B1C1平面ABC， BC平面ABC， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 B1C1平面ABC 又B1C1平面EB1C1F， 且平面EB1C1F平面ABCEF B1C1EF，EFBC 又BC平面A1AMN EF平面A1AMN EF平面EB1C1F 平面EB1C1F平面A1AMN. 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体
9、几何 考点一 空间垂直关系的基本问题自主练透 例例 1 (1)(2021 河北保定七校联考)设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，p：mn，若 p 是 q 的必要条件，则 q 可能是 ( ) Aq：m，n， Bq：m，n， Cq：m，n， Dq：m，n， B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)(2019 陕西汉中质检一)已知l，m表示两条不同的直线，表示 两个不同的平面，l，m，则有下面四个命题：若，则 lm，若，则lm；若lm，则；若lm，则.其中 所有正确的命题是 ( ) A B C D A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章
10、 立体几何 (3)(多选题)(2021 四川成都诊断改编)已知，是空间中两个不同的 平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法错误的是 ( ) A若m，n，且，则mn B若m，n，且，则mn C若m，n，且，则mn D若m，n，且，则mn ABD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解析 (1)由题知q能推出p：mn.对A，当mn时仍然可以有 m，n，.故A错误对B，n，则n，又m，则 mn.故B正确对C，m，则m，又n，故mn.故C错 误对D，当且相交于m时，若nm，也满足m，n.故D错 误 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 2l l m
11、 lm，对； lm l m m ，对； 由图可知错故选 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (3)由m，n，且，得mn或m与n相交，或m与n异面，故 A错误；由m，n，且，得mn或m与n相交或m与n异面，故B 错误；由m，得m，又n，则mn，故C正确；由 m，n且，得mn或m与n相交或m与n异面，故D错误，故选 A、B、D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解决空间中线面、面面垂直的问题有以下三种方法：(1)依据相关定 理得出结论(2)结合符合题意的模型(如构造正方体、长方体)作出判 断，或借助笔、纸、桌面进行演示，注意能平移或旋转的线，让
12、其动动 再判断(3)否定命题时只需举一个反例即可 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 变式训练1 (1)(2021 东北三省三校模拟)已知，是不重合的平面，m，n是不重 合的直线，则m的一个充分条件是 ( ) Amn，n Bm， Cn，n，m Dn，mn C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)(2021 福建福州调研)已知两条直线m，n和两个平面，下列命 题正确的是 ( ) A若m，n，且mn，则 B若m，n，且mn，则 C若m，n，且mn，则 D若m，n，且mn，则 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解析
13、(1)对于答案 A：mn，n，得出 m 与 是相交的或是垂 直的，或 m，故 A 错；答案 B：m，得出 m 与 是相交的、 平行的都可，故 B 错；答案 C：n，n，得出 ，再 m 得出 m，故 C 正确 2m mn n 或 n.若 n，又 n，；若 n，则 存在 l 且 ln，又 n，l，故 A 正确；事实上，在 B 中条件下，、 可能相交；在 C 中条件下，、 可能平行；在 D 的条 件下，故选 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 考点二 直线与平面垂直的判定与性质多维探究 例例 2 角度 1 线、面垂直的判定 如图所示，已知 PA矩形 ABCD 所在平面，M
14、，N 分别是 AB，PC 的中点 (1)求证：MNCD； (2)若PDA45 ，求证：MN平面 PCD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 证明 解法一：(1)连接 AC，AN ，BN， PA平面 ABCD， PAAC，在 RtPAC 中，N 为 PC 中点 AN1 2PC PA平面 ABCD，PABC 又 BCAB ，PAABA， BC平面 PAB，BCPB 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 从而在 RtPBC 中，BN 为斜边 PC 上的中线， BN1 2PCANBN， ABN 为等腰三角形 又 M 为底边 AB 的中点， MNAB，又 A
15、BCD，MNCD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)PA平面ABCD，PAAD 又PDA45，APAD 四边形ABCD为矩形，ADBC，PABC 连接PM，CM，又M为AB的中点，AMBM. 而PAMCBM90，RtPAMRtCBM. PMCM，又N为PC的中点，MNPC 由知MNCD，PCCDC，MN平面PCD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解法二：PA平面 ABCD， PAAD，PAAB，又 ABAD， PA、AB、AD 两两垂直，如图建立空间直角坐标系， 不妨设 C(a，b,0)，P(0,0，c)，则 D(0，b,0)，M a
16、 2，0，0 ，N a 2， b 2， c 2 ， (1)由MN 0，b 2， c 2 ，CD (a,0,0)， MN CD 0，MNCD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)PDA45 ，bc， 又PC (a，b，b)， MN PC 0，b 2， b 2 (a，b，b)0， MNPC，又 MNCD， MN平面 PCD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 角度2 线、面垂直的性质 (2021 河北“五个一联盟”联考，节选)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，B1C1平面AA1C1C，D是AA1的中点，ACD是边长为 1的等边三角形证明：C
17、DB1D 例例 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 证明 ACD是边长为1的等边三角形， ADC60，DA1C1120. D是AA1的中点，ACD的边长为1， ADA1DA1C11，即A1C1D是等腰三角形， A1DC130，从而CDC190，即CDC1D B1C1平面AA1C1C，且CD平面AA1C1C，B1C1CD B1C1C1DC1，B1C1平面B1C1D，C1D平面B1C1D， CD平面B1C1D B1D平面B1C1D，CDB1D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 1证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊图形中的垂直关系 (2)利用
18、等腰三角形底边中线的性质 (3)利用勾股定理的逆定理 (4)利用直线与平面垂直的性质 (5)向量法：aba b0. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 2证明线面垂直的常用方法 (1)利用判定定理，它是最常用的思路 (2)利用线面垂直的性质：若两平行线之一垂直于平面，则另一条线 必垂直于该平面 (3)利用面面垂直的性质： 两平面互相垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平 面 若两相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个 平面 (4)向量法：证明直线的方向向量与平面的法向量平行 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 变式训练2 (
19、1)(角度1)(2020 河南六市一模)在如图所示的几何体中，ABC A1B1C1为三棱柱，且AA1平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD 2CDADC60，若AA1AC，求证：AC1平面A1B1CD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)(角度 2)(2021 湖南炎德英才大联考，节选)如图，圆柱 OQ 的上， 下底面圆的圆心分别为 Q，O，四边形 ABCD 是圆柱 OQ 的轴截面，点 P 在圆柱 OQ 的下底面圆周上，G 是 DP 的中点，圆柱 OQ 的底面圆的直径 AB4，母线 ADAP2 3.求证：AGBD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第
20、七章 立体几何 证明 (1)证法1：AD2CD，ADC 60， DCAC，又AA1平面ABC，AA1DC DC平面AA1C1C，又AC1平面AA1C1C， DCAC1， AA1AC，四边形AA1C1C为菱形，AC1A1C， 而DCA1CC，AC1平面A1B1CD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 证法 2：AD2CD，ADC60 ， ACD90 ，则 CD，CA，CC1两两垂直 如图，建立空间直角坐标系 Cxyz. 不妨设 CD1，则 C(0,0,0)，D(1,0,0)， A(0， 3，0)，C1(0,0， 3)，A1(0， 3， 3) AC1 (0， 3， 3)，C
21、D (1,0,0)， CA1 (0， 3， 3) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 易得AC1 CD 0，AC1 CA1 0. AC1CD，AC1CA1，又CDCA1C， AC1平面 A1B1CD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)证法 1：ADAP，又 G 是 DP 的中点， AGDP. AB 为圆 O 的直径，APBP， 易知 DA底面 ABP，DABP，而 ADAPA， BP平面 ADP， 又 AG平面 ADP，BPAG， 由可知：AG平面 BDP，又 BD平面 BDP， AGBD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章
22、 立体几何 证法 2： AB 为O 的直径， PAPB， 如图建立空间直角坐标系， 由题意知 P(0,0,0)，A(0,2 3，0)，B(2,0,0)， D(0,2 3，2 3)，G(0， 3， 3)， AG (0， 3， 3)，BD (2,2 3，2 3)， AG BD 0，即 AGBD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 考点三 两个平面垂直的判定与性质师生共研 例例 4 (2020 四川成都二诊)如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中， AB4，AA16，E，F 分别为 BB1，AC 的中点 (1)求证：平面 A1EC平面 ACC1A1； (2)求几何体 AA1E
23、BC 的体积 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解析 (1)证明：如图，连接 AC1交 A1C 于点 O，连接 OE，OF， 在正三棱柱 ABCA1B1C1中，四边形 ACC1A1为矩形，所以 OAOC1. 又因为 F 为 AC 的中点， 所以 OFCC1且 OF1 2CC1. 因为 E 为 BB1的中点，所以 BECC1且 BE1 2CC1. 所以 BEOF 且 BEOF. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 所以四边形BEOF是平行四边形，所以BFOE. 因为ABCB，F为AC的中点， 所以BFAC，所以OEAC 因为AA1底面ABC，所以
24、AA1BF，所以OEAA1. 又AA1，AC平面ACC1A1，且AA1ACA， 所以OE平面ACC1A1. 因为OE平面A1EC，所以平面A1EC平面ACC1A1. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)四棱锥 A1EB1C1C 的高为 h4sin 60 2 3， 底面为直角梯形，面积为 S1 2(36)418， 得 VA1EB1C1C1 32 31812 3， 故几何体 AA1EBC 的体积为 VAA1EBCVABCA1B1C1VA1EB1C1C1 244 3 2 612 3 12 3. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2021 黑龙
25、江大庆市质检)在四棱锥PABCD中，平面 PAD平面ABCD，PAPD2，四边形ABCD是边长为2的菱形，DAB 60，E是AD的中点 (1)求证：BE平面PAD； (2)求点E到平面PAB的距离 例例 5 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解析 (1)连接BD，在PAD中，PAPD2，E是AD的中点， PEAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD AD，PE平面ABCD，PEBE， 又四边形ABCD是边长为2的菱形，DAB60， ABD为等边三角形，BEAD， 又PEADE，PE平面PAD， AD平面PAD，BE平面PAD 返回导航 高考一轮总复习 数学
26、（新高考） 第七章 立体几何 (2)在PAB 中，PAAB2，PB 6，则 SPAB 15 2 ， 在ABE 中，AB2，AE1，BE 3，则 SABE 3 2 ， 由 PE面 ABCD，PE 3，得 VPABE1 3 3 1 21 3 1 2， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 由 VPABEVEPAB，设点 E 到平面 PAB 的距离为 h， 则1 3 15 2 h1 3 3 2 3，则 h 15 5 ， 即点 E 到平面 PAB 的距离为 15 5 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (1)判定面面垂直的方法 面面垂直的定义；面面垂直
27、的判定定理(a，a) (2)在已知面面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内 作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直 (3) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 变式训练 3 (1)(2020 湖南娄底模拟)如图所示， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD 是菱形， DAB 3， 侧面 PAD 是等边三角形， 且平面 PAD平面 ABCD， E 为棱 PC 上一点，若平面 EBD平面 ABCD，则PE EC_. 1 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)(2021 云南玉海一中期中)已知三棱锥 PABC(如图 1)的
28、展开图如 图 2，其中四边形 ABCD 为边长等于 2的正方形，ABE 和BCF 均为 正三角形 证明：平面 PAC平面 ABC 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解析 (1)取 AD 的中点 O，连接 OC 交 BD 于 F 点，连接 EF， PAD 是等边三角形，POAD， ODBC，BC2OD，FC2OF. 又平面 PAD平面 ABCD，POAD， PO平面 ABCD， 又平面 BDE平面 ABCD，PO平面 BDE. OPEF，PE EC OF FC 1 2.故答案为： 1 2. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 (2)证明：如图取
29、AC 的中点 O，连接 BO，PO.由题意可知 PAPBPC 2，PO1， AOBOCO1， 在PAC 中，PAPC，O 为 AC 的中点， POAC 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 在POB 中，PO1，OB1，PB 2， PO2OB2PB2，POOB ACOBO，AC，OB平面 ABC， PO平面 ABC， PO平面 PAC， 平面 PAC平面 ABC 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 例例 6 立体几何中的轨迹问题 (多选题)(2021 山东青岛模拟)在如图所示的棱长为 1 的正方 体 ABCDA1B1
30、C1D1中，点 P 在侧面 BCC1B1所在的平面上运动，则下列 命题中正确的为 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 A若点 P 总满足 PABD1，则动点 P 的轨迹是一条直线 B若点 P 到点 A 的距离为 2，则动点 P 的轨迹是一个周长为 2 的 圆 C若点 P 到直线 AB 的距离与到点 C 的距离之和为 1，则动点 P 的 轨迹是椭圆 D若点 P 到直线 AD 与直线 CC1的距离相等，则动点 P 的轨迹是 双曲线 答案 ABD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 解析 APABD1，P在过A且与BD1垂 直的平面ACB1上，
31、又P平面BCC1B，P的轨迹是 平面ACB1与平面BCC1B1的交线B1C，故A正确； B点 P 的轨迹是以 A 为球心，半径为 2的球面与平面 BCC1B1的交线， 即点 P 的轨迹为小圆，设小圆的半径为 r，球心 A 到平面 BCC1B1的距离 为 1，则 r 2211，所以小圆周长 l2r2，故 B 正确； 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 C点P到直线AB的距离就是点P到点B的距离，即平面BCC1B1内的 点P满足|PB|PC|1|BC|，即满足条件的点P的轨迹就是线段BC，不 是椭圆，故C不正确；D如图，过P分别作PMBC于点M，PECC1于 点E，则PM平
32、面ABCD，所以PMAD，过M作MNAD，连接PN， PMMNM，所以AD平面PMN，所以PNAD， 如图建立平面直角坐标系，设P(x，y)，PMy， 则PN21y2，PE2(1x)2，即1y2(1x)2， 整理为：(x1)2y21，则动点P的轨迹是双曲线， 故D正确故选ABD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 引申(1)本例中， 若点P到直线AB的距离与到直线CC1的距离相等， 则点 P 的轨迹为_. (2)本例中，若点 P 到直线 AB 的距离与到直线 AD 的距离相等，则 点 P 的轨迹为_. 以B为焦点、CC1为准线的抛物线 与BC距离为1的两条平行线 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 立体几何中的轨迹面是常转化为两面的交线，或在某面内建立坐标 系通过求轨迹方程求解 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章 立体几何 变式训练 4 (2021 安徽蚌埠质检)平面 的一条斜线 AP 交平面 于 P 点， 过定点 A 的直线 l 与 AP 垂直，且交平面 于 M 点，则 M 点的轨迹是 ( ) A一条直线 B一个圆 C两条平行直线 D两个同心圆 A 解析 由题意知 M 在过 A 且与 PA 垂直的平面 内，点 M 的轨 迹为平面 与 的交线，故选 A 谢谢观看
