1、第一章 一元二次方程 单元检测卷总分：150分 难度：中一、单选题(每题3分，共24分)1一元二次方程的根的情况是（ ）A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C只有一个实数根D没有实数根2某超市一月份的营业额为3万元，第一季度的营业额共为15万元，如果每个月的平均增长率为，则由题意可列方程为（ ）ABCD3若关于x的一元二次方程有实数根，则字母k的取值范围是（ ）AB且CD且4一元二次方程和这两个方程的所有实数根之和为（ ）ABCD5若x=0是关于x的一元二次方程（a+2）x2- x+a2+a-6=0的一个根，则a的值是（ ）Aa 2Ba=2Ca=-3Da=-3或a=26若，则的值是（ ）
2、A3B-1C3或1D3或-17若关于x的方程0只有一个实数根，则实数a的所有可能取值的和为（ ）A7B15C31D以上选项均不对8定义新运算“”：对于任意实数a，b，都有，例如若（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）A有一个实数根B有两个相等的实数根C有两个不相等的实数根D没有实数根二、填空题(每题3分，共30分)9三角形的两条边长分别为4和6，第三条边长的长度是方程的根，则这个三角形的周长为_10据美国约翰斯霍普金斯大学发布的全球新冠肺炎数据统计系统，截至美国东部时间3月28日晚6时，全美共报告新冠肺炎确诊人数超过3025万，死亡超过54.9万，已知有一人患了新冠肺炎，经过两轮传
3、染后，共有144人患了新冠肺炎，每轮传染中平均每人传染了_人11若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_12若关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a0）的解是x=-1，则2021-a+b的值是_13已知是一元二次方程的两实根，且，则k的值是_14设下列三个一元二次方程：；至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是_15关于的方程，无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为_16设，且，则代数式的值为_17如图，把矩形纸片（）沿折痕折叠，点落在对角线上的点处；展开后再沿折痕折叠，点落在上的点处；沿折痕折叠，点落在上的点处若，则_18将关于x的一元
4、二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式根据“降次法”，已知：，且x0，则的值为_ 三、解答题(共96分)19(本题10分)解方程： （1）； （2） （3）20(本题10分)关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，（1）求实数m的取值范围；（2）是否存在实数m，使得成立？如果存在，求出m的值：如果不存在，请说明理由 21(本题10分)2020年年末，大丰迈入高铁时代，建设部门打算对高铁站广场前一块长为20m，宽为8m的矩形空地进行绿化，计划在其中间修建两块相同的矩形绿地（图中阴影部分）
5、，若它们的面积之和为102m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，问人行通道的宽度是多少米？ 22(本题10分)关于x的一元二次方程(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一根小于3，求k的取值范围 23(本题10分)年春节期间，新型冠状病毒肆虐，突如其来的疫情让大多数人不能外出，网络销售成为这个时期最重要的一种销售方式某乡镇贸易公司因此开设了一家网店，销售当地某种农产品已知该农产品成本为每千克元调查发现，每天销售量与销售单价(元)满足如图所示的函数关系(其中)写出与之间的函数关系式当销售单价为多少元时，每天的销售利润可达到元？24(本题10分)苏州某工厂生产一批小家电，2019
6、年的出厂价是144元，2020年、2021年连续两年改进技术降低成本，2021年出厂价调整为100元（1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降的百分率（精确到0.01%）（2）某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1250元，销售单价应为多少元？ 25(本题12分)在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长25m的墙AB建造面积为450m2的长方形区域来养一些家禽，该单位给贫困户提供65m长的篱笆（全部用于建造长方形区域），并提供如图所示的两种方案：（1）如图1
7、，若选取墙AB的一部分作为长方形的一边，其他三边用篱笆围成，则在墙AB上借用的CF的长度为多少？（2）如图2，若将墙AB全部借用，并在墙AB的延长线上拓展BF，构成长方形ADEF，BF，FE，ED和DA都由篱笆构成，求BF的长 26(本题12分)如图所示，ABC中，B90，AB6cm，BC8cm（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使PBQ的面积等于8cm2？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动如果P，Q分别从A，B
8、同时出发，线段PQ能否将ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，PBQ的面积为1cm2？27(本题12分)解某些高次方程或具有一定结构特点方程时，我们可以通过整体换元的方法，把方程转化为一元二次方程进行求解，从而达到降次或变复杂为简单的目的例如：解方程（x23）25（3x2）+20，如果设x23y，x23y，3x2y，用y表示x后代入（x23）25（3x2）+20得：y2+5y+20应用：请用换元法解下列各题（1）已知（x2+y2+1）
9、（x2+y2+3）8，则x2+y2的值；（2）解方程：；（3）已知a2+abb20（ab0），求的值 参考答案与试题解析1B【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出=40，进而可找出该方程有两个不相等的实数根【详解】解：，该方程有两个不相等的实数根故选B【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键2D【分析】由题意，先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=15，把相关数值代入即可【详解】解：一月份的营业额为3万元，平均每月增长率为x，二月份的营业额为，三月份的营业额为，可列方程为故选：D3D【分
10、析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k0且=（-2）2-4k(-3)0，然后求出两不等式的公共部分即可【详解】解：根据题意得k0且=（-2）2-4k(-3)0，解得且k0故选：D4D【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，即可求解【详解】解：设一元二次方程的两个根为：x1和x2，x1+x2=1， 中，=，该方程无解，这两个方程的所有实数根之和为1，故选D5B【分析】将x=0代入方程中，可得关于a的一元二次方程方程，然后解方程即可，注意a2这一隐含条件【详解】解：将x=0代入（a+2）x2- x+a2+a-6=0中，得： a2+a-6=0，解得：a1=3，a2=2，a+
11、20且a20，即a2，a=2，故选：B6A【分析】用，解出关于a的方程，取正值即为的值是【详解】解：令，则，即，即，解得，又因为，所以故的值是3，故选：A7C【分析】给分式方程两边同时乘以2x（x2）化为整式方程，分类讨论方程只有一个实数根时a的值即可求解【详解】解：由题意，x2，x0，去分母，得：，整理得：，（1）若方程有两个相等的实数根，则有=1616（8a）=0，解得：a=7，当a=7时，方程为，解得：，满足2x（x2）0，（2）若x=2是方程的根，则168a+8=0，解得：a=16，当a=16时，方程为，解得另一个根为x=1满足2x（x2）0，（3）若x=0是方程的根，则a=8，此时方
12、程为，解得另一个根为x=1，满足2x（x2）0，综上，符合条件的a值有7、16和8，其总和为7+16+8=31，故选：C8C【分析】根据新定义，得，转化成一元二次方程，利用根的判别式判断即可【详解】，变形为，0，原方程有两个不相等的实数根，故选C913【详解】解：解得或当时，此时不能构成三角形当时，此时能构成三角形三角形的周长=3+4+6=13故答案为：13.1011【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人，然后由题意可得，进而求解即可【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，由题意得：，解得：（不符合题意，舍去），每轮传染中平均每人传染了11人；故答案为1111【分析】先根据根的情况得出不等
13、式，再解不等式即可【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 故答案为：122022【分析】把x=-1代入方程可以得到-a+b的值，从而得到所求答案【详解】解：x=-1，a-b+1=0，-a+b=1，2021-a+b=2022，故答案为2022 13【分析】由根与系数的关系，可知，再利用完全平方式变形求值，即可求出k的值，再利用原一元二次方程有两个不相等的实数根，即，验证k是否符合即可【详解】由韦达定理得：，又，或，根据题意一元二次方程有两个不相等的实数根，而，故应舍去，故答案为：14a或a【分析】本题研究的三个方程至少有一个有实根，此类题求解时通常转化为求其对立面，研究三个方程都没
14、有实根时实数a的取值集合，其补集即是所求的实数a的取值范围【详解】解：不妨假设三个方程都没有实数根，则有，解得，故三个方程x2+4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0，x2+2ax-2a=0至少有一个方程有实根时，实数a的取值范围为a或a，故答案为：a或a15【分析】先根据一元二次方程的根的判别式可得，从而可得m应该小于的最小值，再根据偶次方的非负性求解即可得【详解】原方程可化为，当该方程总有两个不相等的实数根时，则其根的判别式，解得，无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，即无论实数取何值，不等式恒成立，小于的最小值，由偶次方的非负性得：，的最小值为1，故答案为：167【分
15、析】由a2+13a，b2+13b，且ab，可以设a、b为方程设x23x+10的两个根，则a+b3，ab1，由此整理整体代入即可【详解】解：a2+13a，b2+13b，且ab，设a、b为方程x23x+10的两个根，a+b3，ab1，7故答案为：71713【分析】由折叠的性质可得CD=PD，AD=DR，BC=BQ，由勾股定理可得（CD+7+CD4）2=（CD+7）2+CD2，可求CD=5，由勾股定理可求解【详解】解：四边形ABCD是矩形，AD=BC，C=90，由折叠的性质可得：CD=PD，AD=DR，BC=BQ，PQ=4，PR=7，PQ=BQ-（BD-PD）=BCBD+CD=4，PR=ADPD=B
16、CCD=7，BD=BC+CD4，BC=CD+7，BD2=BC2+CD2，（CD+7+CD4）2=（CD+7）2+CD2，CD1=5，CD2=4（舍去），BC=12，BD=，故答案为：1318【分析】先利用得到，再利用的一次式表示出和，则化为，然后解方程得，从而得到的值【详解】解：，,解得，故答案为：19（1）;（2）；（3）【分析】（1）根据直接开平方法解方程；（2）利用配方法解方程；（3）根据分式方程的步骤化简为整式方程，再解一元二次方程【详解】（1）解得（2）解得：（3）去分母得：解得：当时，当时，原方程的根为20（1）m1；（2）m=-1【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，那么0，
17、即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系即可得出x1+x2=-2（m-1），x1x2=m2-1，由条件可得出关于m的方程，解之即可得出m的值【详解】解：（1）方程x2+2（m-1）x+m2-1=0有两个不相等的实数根x1，x2=4（m-1）2-4（m2-1）=-8m+80，m1；（2）原方程的两个实数根为x1、x2，x1+x2=-2（m-1），x1x2=m2-1x12+x22=16+x1x2(x1+x2)216+3x1x2，4（m-1）2=16+3（m2-1），解得：m1=-1，m2=9，m1，m2=9舍去，即m=-1211【分析】根据矩形的面积和为1
18、02平方米列出一元二次方程求解即可【详解】解：设人行通道的宽度为x米，根据题意得，（203x）（82x）102，解得：x11，x2（不合题意，舍去）答：人行通道的宽度为1米22（1）见解析；（2）【分析】（1）利用根的判别式，求出大于等于0恒成立，就可以证明；（2）利用公式法得到该方程的两个根，一个是2，一个是，根据方程有一根小于3，求出k的取值范围【详解】解：（1），方程总有两个实数根；（2）根据求根公式得该方程的解是，即，方程有一根小于3，解得23（1）；（2）当销售单价为元时，每天的销售利润可达到元【分析】（1）设函数解析式为，根据题意：销售单价为10元时，销售量为600kg，销售单价为
19、40元时，销售量为150kg，代入熟知求得k、b的值即可求得解析式；（2）每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以销售量列式求解【详解】解：（1）根据题意：销售单价为10元时，销售量为600kg，销售单价为40元时，销售量为150kg，设与之间的函数关系式为：，则可得：，解得：，与之间的函数关系式为：；（2）根据题意可知每天的销售利润为： 解得：；答：当销售单价为元时，每天的销售利润可达到元24（1）16.67%；（2）125元【分析】（1）设平均下降的百分率为x，根据2021年的出厂价=2019年的出厂价（1-下降率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论；（2）设销售
20、单价应为y元，则每台的销售利润为（y-100）元，每天的销售量为（300-2y）台，根据每天盈利=每台的利润每天的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论【详解】解：（1）设平均下降的百分率为x，依题意得：144（1-x）2=100，解得：x1=16.67%，x2=（不合题意，舍去）答：平均下降的百分率约为16.67%（2）设销售单价应为y元，则每台的销售利润为（y-100）元，每天的销售量为20+=（300-2y）台，依题意得：（y-100）（300-2y）=1250，整理得：y2-250y+15625=0，解得：y1=y2=125答：销售单价应为125元25（1）在墙AB上借
21、用的CF的长度为20m；（2）BF的长为5m【分析】（1）设CF的长度为x m，则CD=m，由长方形的面积为450m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙AB的长为25m，即可确定x的值；（2）设BF的长为y m，则AD=（20-y）m，由长方形的面积为450m2，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【详解】解：（1）设CF的长度为xm，则CDm，依题意得：x450，解得：x120，x245墙AB的长为25m，x45不合题意，舍去，CF20答：在墙AB上借用的CF的长度为20m（2）设BF的长为ym，则AD（20y）m，依题意得：（25+y）（20y）
22、450，解得：y15，y210（不合题意，舍去），BF5m答：BF的长为5m26（1）经过2秒或4秒，PBQ的面积等于8cm2；（2）线段PQ不能否将ABC分成面积相等的两部分，见解析；（3）经过（5）秒，5秒，（5+）秒后，PBQ的面积为1cm2【分析】（1）设经过x秒，使PBQ的面积等于8cm2，根据等量关系：PBQ的面积等于8cm2，列出方程求解即可；（2）设经过y秒，线段PQ能否将ABC分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；（3）分三种情况：点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0x4）；点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4x6）；点P在射线AB上，点Q在射线C
23、B上（x6）；进行讨论即可求解.【详解】解：（1）设经过x秒，使PBQ的面积等于8cm2，依题意有（6x）2x8，解得x12，x24，经检验，x1，x2均符合题意.故经过2秒或4秒，PBQ的面积等于8cm2；（2）设经过y秒，线段PQ能否将ABC分成面积相等的两部分，依题意有ABC的面积6824，（6y）2y12，y26y+120，b24ac36412120，此方程无实数根，线段PQ不能否将ABC分成面积相等的两部分；（3）点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0x4），设经过m秒，依题意有（6m）（82m）1，m210m+230，解得m15+，m25，经检验，m15+不符合题意，舍去，m5；点
24、P在线段AB上，点Q在射线CB上（4x6），设经过n秒，依题意有（6n）（2n8）1，n210n+250，解得n1n25，经检验，n5符合题意.点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x6），设经过k秒，依题意有（k6）（2k8）1，k210k+230，解得k15+，k25，经检验，k15不符合题意，舍去，k5+；综上所述，经过（5）秒，5秒，（5+）秒后，PBQ的面积为1cm2.27（1）1；（2）；（3）或【分析】（1）令可得，求解一元二次方程即可；（2）令，则，原方程可化为，求得，即可求解；（3）因为所以，方程两边同时除以，可得，令，方程可化简为，求解方程即可【详解】解：（1）令，则，原方程可化为即，解得或又所以，x2+y2的值为1（2）令，则原方程可化为即，解得或当时，即，即解得当时，判别式，方程无解综上所述，的解为（3），两边同时除可得：令，可化为，解得，或
