1、第一章一元二次方程 单元检测卷总分：150分 难度：难一、单选题(每题3分，共24分)1若实数a（a0）满足ab3，a+b+10，则方程ax2+bx+10根的情况是（ ）A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C无实数根D有两个实数根2方程的解是（ ）A2或0B2或0C2D2或03要使关于x的一元二次方程有两个实数根，且使关于x的分式方程的解为非负数的所有整数的个数为（ ）A5个B6个C7个D8个4一个容器盛满纯药液千克，第一次倒出一部分药液后加满水，第二次又倒出同样多的药液，再加满水，此时容器内的纯药液利下千克，那么每次倒出的药液是（ ）A千克B千克C千克D千克5若，是方程的两个实数根，则
2、的值为 A2015BC2016D20196已知，则m2+n2的值是（）A3B3或-2C2或-3D27如图，在ABC中，ABBE，BDBC，DEBE，设BEa，ABb，AEc，则以AD和AC的长为根的一元二次方程是（）Ax22cx+b20Bx2cx+b20Cx22cx+b0Dx2cx+b08规定：如果关于x的一元二次方程ax2bxc0（a0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论：方程x22x80是倍根方程；若关于x的方程x2ax20是倍根方程，则a3；若（x3）（mxn）0是倍根方程，则n6m或3n2m；若点（m，n）在反比例函数y的图象上，则关于
3、x的方程mx23xn0是倍根方程上述结论中正确的有（ ）ABCD二、填空题(每题3分，共30分)9在实数范围内因式分解3x-4xy-2y2=_.10设整数使得关于的一元二次方程的两个根都是整数，则 的值是_11已知，则的值等于_12三角形两边的长分别是8cm和6cm，第三边的长是方程x212x+200的一个实数根，则三角形的面积是_13已知a，b是一元二次方程x2+x10的两根，则3a2b的值是_14已知a、b、c满足，则_15近年来，网红北京迎来了无数中外游客除了游故宫、登长城、吃烤鸭以外，稻香村的传统糕点成为了炙手可热的伴手礼根据消费者的喜好，现推出A、B两种伴手礼礼盒，A礼盒装有2个福字
4、饼，2个禄字饼：B礼盒装有1个福字饼，2个禄字饼，3个寿字饼，A、B两种礼盒每盒成本价分别为盒中福禄寿三种糕点的成本价之和已知A种礼盒每盒的售价为96元，利润率为20%，每个禄字饼的成本价是寿字饼的成本价的3倍国庆期间，由于客流量大，一天就卖出A、B两种礼盒共计78盒，工作人员在核算当日卖出礼盒总成本的时候把福字饼和禄字饼的成本看反了，后面发现如果不看反，那么当日卖出礼盒的实际总成本比核算时的总成本少500元，则当日卖出礼盒的实际总成本为_元16设，是方程的两根，则_；_17如图，在等边三角形中，D是的中点，P是边上的一个动点，过点P作，交于点E，连接若是等腰三角形，则的长是_18在平面直角坐
5、标系xOy中，当m，n满足mnk（k为常数，且m0，n0）时，就称点（m，n）为“等积点”若直线yx+b（b0）与x轴、y轴分别交于点A和点B，并且该直线上有且只有一个“等积点”，过点A与y轴平行的直线和过点B与x轴平行的直线交于点C，点E是直线AC上的“等积点”，点F是直线BC上的“等积点”，若OEF的面积为，则OE=_三、解答题(共96分)19(本题10分)用适当的方法解下列一元二次方程：（1）2x24x10； （2）(y2)2(3y1)20. 20(本题10分)已知关于的方程：（）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个相异实根（）若这个方程的两个实数根、满足，求的值及相应的、 21(本
6、题10分)关于的一元二次方程的一个根是2，另一个根（1）若直线经过点，求直线的解析式；（2）在平面直角坐标系中画出直线的图象，是轴上一动点，是否存在点，使是直角三角形，若存在，直接写出点坐标，若不存在，说明理由 22(本题10分)阅读下列材料，回答问题.关于x的方程的解是；的解是；的解是；(即)的解是.(1)请观察上述方程与其解的特征，x的方程与上述方程有什么关系？猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证.(2)由上述的观察、比较、猜想、验证，可得到以下结论：如果方程的左边是一个未知数倒数的a倍与这个未知数的的和等于2，那么这个方程的解是x=a.请用这个结论解关于x的方程：. 23(
7、本题10分)如图，某工程队在工地上利用互相垂直的两墙AE、AF，另两边用铁栅栏围成一个长方形场地ABCD，中间再用栅栏分割成两个长方形铁栅栏总长180米，已知墙AE长90米，墙AF长60米（1）设BC长为x米，长方形ABCD的面积为y，请写出y与x的函数关系，并写出x的取值范围；（2）当BC的值为多少时，长方形ABCD的面积最大？（3）若长方形ABCD的面积不能小于4000，请直接写出BC边长x（米）的取值范围 . 24(本题10分)某网店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个120元的价格进货（1）经过市场调查发现，当每个背包的售价为140元时，月均销量为980个，售价每增长10元，月
8、均销量就相应减少30个，若使这种背包的月均销量不低于800个，每个背包售价应不高于多少元？（2）在实际销售过程中，由于原材料涨价和生产成本增加的原因，每个背包的进价为150元，而每个背包的售价比（1）中最高售价减少了a%（a0），月均销量比（1）中最低月均销量800个增加了5a%，结果该店销售该背包的月均利润达到了40000元，求在实际销售过程中每个背包售价为多少元？ 25(本题12分)阅读下面的解题过程，求的最小值解：=，而，即最小值是0；的最小值是5依照上面解答过程，（1）求的最小值；（2）求的最大值 26(本题12分)如图，矩形中，点从点出发沿向点移动（不与点、重合），一直到达点为止；同
9、时，点从点出发沿向点移动（不与点、重合）（1）若点、均以的速度移动，经过多长时间四边形为菱形？（2）若点为的速度移动，点以的速度移动，经过多长时间为直角三角形？ 27(本题12分)换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化换元的实质是转化，关键是构造元和设元例如解方程组，设m，n，则原方程组可化为，解之得，即所以原方程组的解为运用以上知识解决下列问题：（1）求值： （2）方程组的解为 （3）分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1 （4）解方程组（5）已知
10、关于x、y的方程组的解是，求关于x、y的方程组的解 参考答案与试题解析1B【分析】先求出根的判别式，再根据已知条件判断正负，即可判断选项【详解】解：在方程ax2+bx+10中，=b24a，ab3，a3+b，代入a+b+10和b24a得，b2，b24（3+b）= b24b12= (b+2)(b6)b+20， b-60，(b+2)(b-6) 0，所以，原方程有有两个不相等的实数根；故选：B2B【分析】首先提公因式，再根据平方差公式分解因式，即可得出结论【详解】解：，或或，故选：B3B【分析】根据一元二次方程根的情况得到且解得：且，再把分式方程化简求值得：，因为解为非负数，且即且，所以且，即可得出满
11、足题意的整数解【详解】解：关于x的一元二次方程有两个实数根则且关于x的分式方程去分母得：解得：分式方程的解为非负数且即且且满足题意的整数的值为故答案为：B4B【分析】设每次倒出药液升，根据倒出两次后容器内的纯药液剩下28千克，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论【详解】解：设每次倒出药液升，第一次倒出后剩升药液，第二次倒出后还剩升药液，即列方程为:，解得：，（不合题意，舍去）故选：5C【解析】【分析】根据方程的解得概念可得，由根与系数的关系可得，再代入即可得出结论【详解】是方程的两个实数根，即，则故选C6A【详解】解：，或（舍去）故选A7A【分析】根据题意，先要表示出AD、AC的长，A
12、D=AE-DE，然后利用等腰三角形的性质证出DE=BE=CE，则AC=AE+CE，求出AD、AC之后，根据韦达定理判断以它们的长为根的一元二次方程【详解】解：ABBE，BDBC，ABEDBC90，在RtABE中，a2+b2c2，DEBEa，EBDEDB，EBD+EBC90，EDB+C90，EBCC，CEBEa，ACAE+CEc+a，AD+ACca+c+a2c，ADAC（ca）（c+a）c2a2b2，以AD和AC的长为根的一元二次方程可为x22cx+b20故选：A8D【分析】先用十字相乘法解一元二次方程，然后再验证即可；先根据两根之积等于2，分两种情况讨论均符合“倍根方程”的条件；分两种情况讨论
13、，结合倍根方程的条件可得m和n的关系；根据反比例函数式，求出m和n的关系，再利用一元二次方程根与系数的关系列式整理即可确定两根之间的关系【详解】解：x22x8（x4）（x2）0，x14，x22，x12x2，不是倍根方程，错误；由题意得：2x122，x11，x11，x22，x11，x22，则ax1x23，正确； x13，x2，当x12x2时，3m2n，当x22x1时，n6m，错误；由题意得：n，mx23x0，x1x2，x1x2， 整理得：2x125x1x22x220，（x12x2）（2x1x2）0，x12x2， 或x22x1，正确；综上，正确的是 故答案为D9【分析】令，用含y的代数式表示方程的
14、解x；再写成因式分解即可.【详解】解： 1018【分析】首先将方程左右乘5得，再分解因式根据39为两个整数的乘积，令两个因式分别等于39分解的整因数讨论求值验证即可得到结果【详解】解：，都是整数，故、都分别为整数，而只存在或或或四种情况，当、，x不为整数，不合题意，当、，联立解得，当、，联立解得，当、，x不为整数，不合题意，当、，x不为整数，不合题意，当、，x不为整数，不合题意，当、，x不为整数，不合题意，当、，x不为整数，不合题意，当时，方程为两根为13、故答案为：1811【分析】利用配方法将已知等式转化为的形式，由非负数的性质求得的值，然后代入求值即可【详解】解：，则，所以，所以故答案是：
15、1224cm2【解析】试题分析：把方程左边因式分解得到（x10）（x2）=0，再把方程化为两个一元一次方程x10=0或x2=0，解得x1=10，x2=2，根据三角形三边的关系得到三角形第三边的长为10，然后计算三角形的周长=68=24cm2点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题时先根据因式分解法解方程，求出两个根，然后根据三角形的三边关系判断其构成三角形，由此即可求出三角形的面积.138【分析】由根与系数的关系及根的定义可知a+b1，ab1，a2+a1，据此对3a2b进行变形计算可得结果.【详解】解：由题意可知：a+b1，ab1，a2+a1，原式3（1a）b+33ab+32a（a+b）+
16、32a+1+42a+4+4+4+48，故答案为：8143【分析】题中三个等式左右两边分别相加后再移项，可以通过配方法得到三个平方数的和为0.然后根据非负数的性质可以得到a、b、c的值，从而求得a+b+c的值【详解】解：题中三个等式左右两边分别相加可得：，即，a=3,b=-1,c=1，a+b+c=3-1+1=3，故答案为3155740【分析】根据题意可得A礼盒的成本价格，进而可求出1个福字饼和1个禄字饼的成本和为40元，再设一个福字饼成本x元，一个禄字饼成本（40x）元，A种礼盒m袋，B种礼盒n袋，列出方程得到xn20n+250，最后求出每日卖出礼盒的实际总成本即可【详解】解：设A礼盒成本价格a
17、元，根据题意，得96a20%a，解得a80，A礼盒装有2个福字饼，2个禄字饼，2个福字饼和2个禄字饼的成本价格为80元，1个福字饼和1个禄字饼的成本价格为40元，设个福字饼成本价x元，1个禄字饼成本价（40x）元，则1个寿字饼成本价为（40x）元，A种礼盒m袋，B种礼盒n袋，根据题意，得m+n7880m+nx+2（40x）+3（40x）+50080m+n（40x+2x+3（40x）xn20n+250设A、B两种礼盒实际成本为w元，则有w80m+xn+2n（40x）+n（40x）80（m+n）50080785005740故答案为：574016 【解析】【分析】根据一元二次方程的定义及根与系数的关
18、系可得、m+n=1，mn=-2，变形得、=、，再整体代入求值即可.【详解】，是方程的两根，即，=，21=2；，是方程的两根，m+n=1，mn=-2，即；m+2+n+mn=2+1-2=1故答案为2；1.17或或【分析】过点D作DGAB，DFBC，垂足分别为G、F，根据PDE是等腰三角形，分三种情况讨论，利用勾股定理列出方程即可【详解】解：过点D作DGAB，DFBC，垂足分别为G、F，AB=8，A=60，D是的中点，AG= ，同理，CF=2，设BP为 x，同理可得，BE=2x，PE=，PG=6-x，EF=6-2x，当DP=PE时，解得，（舍去），；当DP=DE时，解得，（舍去），；当DE=PE时，
19、解得，（舍去），；故答案为：或或18【分析】由题意“等积点”在反比例函数的图象上，直线yxb（b0）与x轴、y轴分别交于点A和点B，并且直线有且只有一个“等积点”，可得B（0，），A（，0），E（，），F（，），“等积点”M的坐标为（，），根据OEF的面积S正方形AOBC2SAOESEFC，列方程求出k即可解决问题【详解】解：如图，由题意，“等积点”在反比例函数的图象上，直线yxb（b0）与x轴、y轴分别交于点A和点B，并且直线上有且只有一个“等积点”，方程即有两个相等的实数根，即，B（0，），A（，0），E（，），F（，），“等积点”M的坐标为（，），OEF的面积S正方形AOBC2SAOES
20、EFC，解得：k2或（舍弃），E（，），OE，故答案为：19（1）x11，x21；（2）y1，y2.【解析】试题分析：（1）根据方程的特点，利用公式法解一元二次方程即可；（2）根据因式分解法，利用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.试题解析：（1）a=2，b=4，c=-1=b2-4ac=16+8=240x= x11，x21（2）(y2)2(3y1)20(y+2)+(3y-1) (y+2)-(3y-1)=0即4y+1=0或-2y+3=0解得y1，y2.20（）证明见解析（），【解析】试题分析：（1）求出b2-4ac0，即可判断方程总有两个实数根；（2）根据根与系数的关系求
21、得，即可得、异号或有个为再根据，分，和，两种情况求的值及相应的、试题解析：（） 无论取何值，方程有两个异根（），、异号或有个为，即，21（1）；（2）存在，点P的坐标为或【分析】（1）将x=2代入方程求出k=8，根据根与系数的关系求出=4，设直线AB的解析式为y=kx+b（），利用待定系数法求出解析式；（2）分情况求解：第一种：AB是斜边，APB90，得到点P与原点O重合；第二种：设AB是直角边，点B为直角顶点，即ABP90，设P的坐标为（x，0），根据， ， 解得x=-8，求出点P的坐标；第三种：设AB是直角边，点A为直角顶点，即BAP90，由点P是x轴上的动点，得到BAP90，情况不存在.
22、【详解】（1）当x=2时，方程为，解得k=8，2+=6，一元二次方程为的另一个根=4.设直线AB的解析式为y=kx+b（），直线AB经过点A（2，0），B（0，4），解得k=-2，b=4，直线AB的解析式：y=-2x+4；（2）第一种：AB是斜边，APB90，AOB90，当点P与原点O重合时，APB90，当点P的坐标为（0，0），ABP是直角三角形.第二种：设AB是直角边，点B为直角顶点，即ABP90，线段AB在第一象限，这时点P在x轴负半轴.设P的坐标为（x，0），A（2，0）， B（0，4），OA2，OB4，OP-x， ，.， ， 解得x=-8，当点P的坐标为（8，0），ABP是直角三角形
23、.第三种：设AB是直角边，点A为直角顶点，即BAP90.点A在x轴上，点P是x轴上的动点，BAP90，BAP90的情况不存在当点P的坐标为（8，0）或（0，0）时，ABP是直角三角形.22(1)普遍形式，(2).【分析】观察一系列方程的解得出一般性规律，即可得到所求方程的解；方程变形后，利用得出的规律即可求出解【详解】解：（1）由已知中，的解是，的解是，的解是，的解是归纳可得方程的解是，将代入得：左边，故是方程的解， （2）可化为：，由（1）中结论可得，即，23（1） ，（）（2）证明见详解.（3）【分析】（1）根据题目的已知条件可以直接得到函数关系式和x的取值范围.（2）利用分解因式可以得到
24、函数：，所以当 时长方形ABCD的面积最大.（3）利用函数关系式和面积不能小于4000，可以得到：，求解后再根据x的取值范围即可得到答案.【详解】解（1）依题意得： ，（ ）.（2）由（1）可知：当 时长方形ABCD的面积最大.（3）依题意，得：，整理，得：，解得：，又，24(1) 200元;(2) 190元【分析】（1）设每个售价应为x元，根据月销量=980-30，结合月销量不低于800个，即可得出关于x的一元一次不等式；（2）根据总利润=每个利润销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【详解】（1）设使背包的月销量不低于800个，每个售价是x元，98030800，解
25、得x200，故要使背包的月销量不低于800个，每个售价应不高于200元（2）由题意可得：200（1a%）150800（1+5a%）40000，整理，得：a%20 （a%）20，解得：a15，a20（不合题意，舍去）故200（1a%）190（元）答：在实际销售过程中每个背包售价为190元25（1）2019；（2）5【分析】(1)利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可；（2）利用完全平方公式把原式变形，利用非负数的性质解答即可；【详解】（1），的最小值为2019；（2），的最大值是5.26(1) 经过秒四边形是菱形；（2）经过2秒、秒 、秒时为直角三角形【分析】（1）根据矩形性质可
26、得，由P、Q两点速度大小相同得到平行四边形，只需，四边形是菱形，设经过x秒四边形是菱形，将BP、DP表示出来，建立一元二次方程即可得解；（2）由分为两种情况讨论：对，过Q作于M，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，即可得解；对，则，由此可得关于x的一元一次方程，即可得解【详解】解：（1）由题可知,由于P、Q两点速度大小相同， 是平行四边形，当时，四边形是菱形；设经过了x秒四边形是菱形，则有：，由勾股定理得： 解得： 故经过秒四边形是菱形；（2） P、A两点不重合 为直角三角形有两种情况：当时过Q作于M，可知为矩形，如图所示，则有：， 解得：， ；当时，所以，解得 ；综上可知：经过2秒、秒
27、 、秒时为直角三角形27（1）；（2）；（3）；（4）；（5），【分析】（1）设，代入原式化简即可得出结论；（2）设，将原方程组变形，求得，进而求出原方程组的解；（3）设，展开后因式分解，再将代入即可得出结论；（4）将原方程组变形为，设，解关于，的方程组，进而求得的值；（5）将关于、的方程组，变为，利用关于、的方程组的解是，可得：，解这个方程组可得原方程组的解【详解】解：（1）设，原式故答案为：（2）设，原方程组变为：解得：解得：经检验，是原方程组的解故答案为：（3）设，原式故答案为：（4）原方程组变形为：，设，则解得：（5）将关于、的方程组整理得：关于、的方程组的解是，即：解这个方程组得：，原方程组的解为：，
