1、2021 年山东省淄博市淄川区中考数学一模试卷年山东省淄博市淄川区中考数学一模试卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 个是符合题目要求的. 1.全国脱贫攻坚总结表彰大会于 2021 年 2 月 25 日上午在北京人民大会堂隆重举行 我国脱贫攻坚战取得了 全面胜利，现行标准下 9899 万农村贫困人口全部脱贫数据“9899 万”用科学记数法表示为（ ） A9.899103 B9.899107 C0.9899108 D9899104 2 某超市出售的三种品牌月饼袋上，分别标有质量为（5005）g， （50010）g， （50020）g
2、 的字样，从 中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（ ） A10g B20g C30g D40g 3 下列运算中，计算结果正确的是（ ） A2a3+3a35a6 B12a3（3a3）4a3（a0） C （3x3y）26x6y2 D3x24x312x5 4 方程+3 的解为（ ） Ax Bx3 Cx Dx 5 从3，0，1，2 这四个数中任取一个数作为一元二次方程 ax2+3x10 的系数 a 的值，能使该方程有实 数根的概率是（ ） A B C D 6 图中序号、对应的四个三角形，都是ABC 进行了一次变换之后得到的，其中为通过轴对称 得到的是（ ） A B C D 7 已知 A 组四人的成绩分
3、别为 90、60、90、60，B 组四人的成绩分别为 70、80、80、70，用下列哪个统计 知识分析区别两组成绩更恰当（ ） A平均数 B中位数 C众数 D方差 8 若点 A （1， m） 与点 B （mn， n） 是正比例函数 ykx （k0） 图象上关于原点的对称点， 则 k 的值为 （ ） A B C1 D1 9 如图，在O 中，弦 ABCD，OPCD，OMMN，AB18，CD12，则O 的半径为（ ） A4 B4 C4 D4 10 如图所示，根据你的观察，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（ ） A B C D 11 如图，在 RtABC 中，C90，AB5，BC4点 P
4、是边 AC 上一动点，过点 P 作 PQAB 交 BC 于点 Q，D 为线段 PQ 的中点，当 BD 平分ABC 时，AP 的长度为（ ） A B C D 12 如图，抛物线 y1a（x+1）25 与抛物线 y2a（x1）2+5（a0）交于点 A（2，4） ，B（m，4） ， 若无论 x 取任何值，y 总取 y1，y2中的最小值，则 y 的最大值是（ ） A4 B5 C2 D1 二、填空题：本大题共 5 小题，满分 20 分.只要求填写最后结果，每小题填对得 4 分. 13 已知 x，则（4x+y）2（4xy）2的值为 14 分解因式： （x+5） （x5）+7（x+1） 15 已知 x1，x
5、2是关于 x 的方程 x2+bx30 的两根，且满足 x1+x23x1x25，那么 b 的值为 16 如图，在锐角ABC 中，cosBAC，ABAC，AE 平分BAC 交 BC 于点 E，CDAB 于点 D， AE，CD 交于点 F，连接 DE则 17 已知一个等腰三角形纸板的顶角为 120，腰长为 20cm采用先把它剪开成两个部分，再利用所得的两 个部分重新拼接出三角形纸板的方法，将其改造成一个新的三角形纸板（不重不折） 在利用这个方法所 得到的新的三角形纸板中，周长的最大值为 cm 三、解答题：本大题共 7 小题，共 70 分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18 先化简，
6、后计算：a（1）（1） ，其中 a 是一元二次方程 x2+x30 的实数根 19 如图，正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为 BC 延长线上一点，CECF （1）求证：BCEDCF； （2）若BEC60，求EFD 的度数 20 某校九年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行 了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知 B，E 两组发言人数的比为 5： 2 发言次数 n A 0n3 B 3n6 C 6n9 D 9n12 E 12n15 F 15n18 请结合图、表中相关数据解决下列问题： （1）写出本次调查的总人数，
7、并补全发言人数直方图； （2）该年级共有学生 500 人，请估计全年级在这天里发言次数不少于 12 次的人数； （3）已知 A 组发言的学生中恰有 1 位女生，E 组发言的学生中有 2 位男生现从 A 组与 E 组中分别抽 一位学生写报告，直接写出所抽的两位学生恰好是一男一女的概率 21 果园要将一批水果运往某地，打算租用一汽车公司的甲乙两种货车，过去两次租用这两种货车的信息如 表所示 第一次 第二次 甲种货车车辆数/辆 2 5 乙种货车车辆数/辆 3 6 累计运货量/吨 15.5 35 现打算租用该公司 3 辆甲种货车和 5 辆乙种货车，可一次刚好运完这批水果，如果每吨运费为 30 元，果
8、园应付运费多少元？ 22 如图，直线 y1x+b（b0）与双曲线 y2（x0）交于点 A，与 x 轴交于点 B，OA 与 x 轴的正半轴 的夹角为 （090） ，且 OA2OB26，tan3 （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）在第一象限内，直接写出当 1y2y1时，自变量 x 的取值范围 23 如图，四边形 ABCD 中，AB90，AD2，AB5，BC3 （1）如图，P 为 AB 上的一个动点，以 PD，PC 为边作PCQD 请问四边形 PCQD 能否成为矩形？若能，求出 AP 的长；若不能，请说明理由 填空：当 AP 时，四边形 PCQD 为菱形； 填空：当 AP 时，四边形 P
9、CQD 有四条对称轴 （2）如图，若 P 为 AB 上的一点，以 PD，PC 为边作PCQD，请问对角线 PQ 的长是否存在最小值？ 若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由 24 如图，在直角坐标系中，已知抛物线 yax2+2ax+c（其中 a，c 为常数，且 a0）与 x 轴的一个交点为 A （3，0） ，与 y 轴交于点 B，此抛物线顶点 C 到 x 轴的距离为 4 （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接 AB，BC，判断 AB 与 BC 之间的数量关系，并加以证明； （3）如果点 P 是抛物线上的一点，且ABPCAO，试求点 P 的坐标 2021 年山东省淄博市淄川区中考数学一模试
10、卷年山东省淄博市淄川区中考数学一模试卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 个是符合题目要求的. 1.全国脱贫攻坚总结表彰大会于 2021 年 2 月 25 日上午在北京人民大会堂隆重举行 我国脱贫攻坚战取得了 全面胜利，现行标准下 9899 万农村贫困人口全部脱贫数据“9899 万”用科学记数法表示为（ ） A9.899103 B9.899107 C0.9899108 D9899104 【考点】科学记数法表示较大的数 【专题】实数；数感 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定
11、 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：9899 万989900009.899107， 故选：B 2 某超市出售的三种品牌月饼袋上，分别标有质量为（5005）g， （50010）g， （50020）g 的字样，从 中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（ ） A10g B20g C30g D40g 【考点】正数和负数 【专题】计算题 【答案】D 【分析】求出质量的最大值（500+20）和最小值（50020） ，相减即可得出答案 【解答】解：根据题意得：质量最多相
12、差的值（500+20）（50020）40 故选：D 3 下列运算中，计算结果正确的是（ ） A2a3+3a35a6 B12a3（3a3）4a3（a0） C （3x3y）26x6y2 D3x24x312x5 【考点】整式的混合运算 【专题】整式；运算能力 【答案】D 【分析】根据整式乘法运算法则以及除法运算法则即可求出答案 【解答】解：A、原式5a3，故 A 不符题意 B、原式4，故 B 不符题意 C、原式9x3y2，故 C 不符题意 D、原式12x5，故 D 符合题意 故选：D 4 方程+3 的解为（ ） Ax Bx3 Cx Dx 【考点】解分式方程 【专题】分式；运算能力 【答案】C 【分析
13、】方程两边都乘以 x1 得出 2（x+2）3（x1） ，求出方程的解，再进行检验即可 【解答】解：+3， 方程两边都乘以 x1，得 2（x+2）3（x1） ， 解得：x， 检验：当 x时，x10， 所以 x是原方程的解， 即原方程的解是 x， 故选：C 5 从3，0，1，2 这四个数中任取一个数作为一元二次方程 ax2+3x10 的系数 a 的值，能使该方程有实 数根的概率是（ ） A B C D 【考点】解一元二次方程公式法；根的判别式；概率公式 【专题】概率及其应用；数据分析观念 【答案】A 【分析】首先确定使得一元二次方程 ax2+3x10 有实数根的 a 的取值范围，然后利用概率公式求
14、解即 可 【解答】解：一元二次方程 ax2+3x10 有实数根时，b24ac0， 即：324a（1）0， 解得：a， 从3，0，1，2 这四个数中任取一个数作为一元二次方程 ax2+3x10 的系数 a 的值时只有 0，1，2 适合， 能使该方程有实数根的概率是， 故选：A 6 图中序号、对应的四个三角形，都是ABC 进行了一次变换之后得到的，其中为通过轴对称 得到的是（ ） A B C D 【考点】轴对称的性质；轴对称图形 【专题】平移、旋转与对称；几何直观 【答案】A 【分析】轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，据此判断出通过轴对称得到的是哪个图形即可 【解答】解：轴对称是沿着某条直线翻转
15、得到新图形， 通过轴对称得到的是 故选：A 7 已知 A 组四人的成绩分别为 90、60、90、60，B 组四人的成绩分别为 70、80、80、70，用下列哪个统计 知识分析区别两组成绩更恰当（ ） A平均数 B中位数 C众数 D方差 【考点】统计量的选择 【答案】D 【分析】根据平均数、中位数、众数以及方差的意义进行选择即可 【解答】解：75，75； 甲的中位数为 75，乙的中位数为 75； 甲的众数为 90，60，乙的众数为 80，70； 通过平均数、中位数、众数不能区别两组成绩， 应通过方差区别两组成绩更恰当， 故选：D 8 若点 A （1， m） 与点 B （mn， n） 是正比例函数
16、 ykx （k0） 图象上关于原点的对称点， 则 k 的值为 （ ） A B C1 D1 【考点】一次函数图象上点的坐标特征 【专题】函数及其图象；应用意识 【答案】B 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，列出方程组求得 m、n 的值后，再利用函数解析式即可求 得 k 的值 【解答】解：点 A（1，m）与点 B（mn，n）关于原点对称， ， 解得， A（1，） ，B（1，） ， 点 A（1，）在正比例函数 ykx（k0）的图象上， k， 故选：B 9 如图，在O 中，弦 ABCD，OPCD，OMMN，AB18，CD12，则O 的半径为（ ） A4 B4 C4 D4 【考点】勾股定理；垂径定
17、理 【专题】与圆有关的计算；推理能力 【答案】C 【分析】如图，连接 OA，OC设 OAOCr，OMMNa，构建方程组求出 r 即可 【解答】解：如图，连接 OA，OC OPCD，CDAB， OPAB， CNDN6，AMMB9， 设 OAOCr，OMMNa， 则有， 解得，r4， 故选：C 10 如图所示，根据你的观察，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（ ） A B C D 【考点】规律型：图形的变化类 【专题】规律型；应用意识 【答案】C 【分析】根据图形的变化规律可以看出，每行每列的总点数都是 10，根据此规律即可得出结论 【解答】解：根据图形的变化规律可得，每行每列的总点数都
18、是 10， 故选：C 11 如图，在 RtABC 中，C90，AB5，BC4点 P 是边 AC 上一动点，过点 P 作 PQAB 交 BC 于点 Q，D 为线段 PQ 的中点，当 BD 平分ABC 时，AP 的长度为（ ） A B C D 【考点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质 【专题】图形的相似 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出 AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到QBDBDQ，得到 QB QD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可 【解答】解：C90，AB5，BC4， AC3， PQAB， ABDBDQ，又ABDQBD， QBDBDQ， QBQD，
19、QP2QB， PQAB， CPQCAB， ，即， 解得，CP， APCACP， 故选：B 12 如图，抛物线 y1a（x+1）25 与抛物线 y2a（x1）2+5（a0）交于点 A（2，4） ，B（m，4） ， 若无论 x 取任何值，y 总取 y1，y2中的最小值，则 y 的最大值是（ ） A4 B5 C2 D1 【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值 【专题】二次函数图象及其性质；模型思想 【答案】A 【分析】观察函数图象找出函数 y 图象的最高点，由此即可得出 y 的最大值，此题得解 【解答】解：由题意可知：y 的函数图象如图所示： 观察函数图象可知：点 A 为函数 y 的图象
20、的最高点， y 的最大值为 4 故选：A 二、填空题：本大题共 5 小题，满分 20 分.只要求填写最后结果，每小题填对得 4 分. 13 已知 x，则（4x+y）2（4xy）2的值为 【考点】完全平方公式 【专题】整式；运算能力 【答案】4 【分析】利用完全平方公式化简，计算即可求出所求 【解答】解：因为 x， 所以（4x+y）2（4xy）2 （4x）2+24xy+y2（4x）2+24xyy2 44xy 44y 4 故答案为：4 14 分解因式： （x+5） （x5）+7（x+1） 【考点】因式分解十字相乘法等 【专题】整式；运算能力 【答案】 （x+9） （x2） 【分析】先（x+5） （
21、x5）+7（x+1）变形 x2+7x18，再因式分解 【解答】解： （x+5） （x5）+7（x+1） x225+7x+7 x2+7x18 （x+9） （x2） 故答案为： （x+9） （x2） 15 已知 x1，x2是关于 x 的方程 x2+bx30 的两根，且满足 x1+x23x1x25，那么 b 的值为 【考点】根与系数的关系 【专题】一元二次方程及应用；运算能力 【答案】4 【分析】根据根与系数的关系得到 x1+x2b，x1x23，代入求值 【解答】解：根据题意得：x1+x2b，x1x23， x1+x23x1x25， b3（3）5， 解得 b4 故答案是：4 16 如图，在锐角ABC
22、中，cosBAC，ABAC，AE 平分BAC 交 BC 于点 E，CDAB 于点 D， AE，CD 交于点 F，连接 DE则 【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形 【专题】解直角三角形及其应用；推理能力 【答案】 【分析】如图，在 AE 上取一点 M，使得 AMMC设 ECm想办法用 m 表示出 AD，再证明CEF ADF，推出，可得结论 【解答】解：如图，在 AE 上取一点 M，使得 AMMC设 ECm cosBAC， BAC45， ABAC，AE 平分BAC， AEBC，EACBAC22.5， MAMC， MACMCA22.5， CMEMAC+MCA45， ECEMm，AMCMm，
23、AEm+m， ACm， ADACcos45m， CEFADF90，EFCAFD， CEFADF， ， 故答案为： 17 已知一个等腰三角形纸板的顶角为 120，腰长为 20cm采用先把它剪开成两个部分，再利用所得的两 个部分重新拼接出三角形纸板的方法，将其改造成一个新的三角形纸板（不重不折） 在利用这个方法所 得到的新的三角形纸板中，周长的最大值为 cm 【考点】等腰三角形的性质；含 30 度角的直角三角形；图形的剪拼 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力 【答案】20（1+） 【分析】已知一个顶角为 120、腰长为 20cm 的等腰三角形纸板，
24、把它剪开成两个部分，再重新拼接成 一个新的三角形纸板（不重叠） ，则这个新的三角形纸板周长的最大值为 【解答】解：取 AC 的中点 R，连接 BR过点 A 作 ATBC 交 BR 的延长线于 T，过点 T 作 THBA 交 BA 的延长线于 H则ARTCRB，此时ABT 的周长最大 ABAC20cm，BAC120， ABCC30， ATBC2ABcos3020（cm） ， ATBC， HATABC30， HTAT10（cm） ，AHTH30（cm） ， BHAB+AH50（cm） ， BT20（cm） ， ABT 的周长为 20（1+）cm 故答案为：20（1+） 三、解答题：本大题共 7 小
25、题，共 70 分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18 先化简，后计算：a（1）（1） ，其中 a 是一元二次方程 x2+x30 的实数根 【考点】分式的化简求值；一元二次方程的解 【专题】分式；一元二次方程及应用；运算能力 【答案】，1 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由方程的解的概念得出 a23a，继而代 入化简即可 【解答】解：原式a （a3） ， a 是一元二次方程 x2+x30 的实数根， a2+a30，即 a23a， 原式1 19 如图，正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为 BC 延长线上一点，CECF （1）求证：BCEDCF；
26、 （2）若BEC60，求EFD 的度数 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质 【专题】几何综合题 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）根据正方形的性质及全等三角形的判定方法即可证明BCEDCF； （2）由两个三角形全等的性质得出CFD 的度数，再用等腰三角形的性质求EFD 的度数 【解答】 （1）证明：ABCD 是正方形， DCBC，DCBFCE， CECF， DCFBCE； （2）解：BCEDCF， DFCBEC60， CECF， CFE45， EFD15 20 某校九年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行 了统计，其结果如下表，并绘
27、制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知 B，E 两组发言人数的比为 5： 2 发言次数 n A 0n3 B 3n6 C 6n9 D 9n12 E 12n15 F 15n18 请结合图、表中相关数据解决下列问题： （1）写出本次调查的总人数，并补全发言人数直方图； （2）该年级共有学生 500 人，请估计全年级在这天里发言次数不少于 12 次的人数； （3）已知 A 组发言的学生中恰有 1 位女生，E 组发言的学生中有 2 位男生现从 A 组与 E 组中分别抽 一 位 学 生 写 报 告 ， 直 接 写 出 所 抽 的 两 位 学 生 恰 好 是 一 男 一 女 的 概 率 【考点】用样本估计总
28、体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；扇形统计图；列表法与树状图 法 【专题】统计的应用；概率及其应用；应用意识 【答案】 （1）抽查的学生人数为 50 人，直方图见解答； （2）90； （3） 【分析】 （1）求得 B 组所占的百分比，然后根据 B 组有 10 人即可求得总人数，即样本容量，然后求得 C 组的人数，从而补全直方图； （2）利用总人数乘以对应的百分比即可求解； （3）分别求出 A、E 两组的人数，确定出各组的男女生人数，然后列表或画树状图，再根据概率公式计 算即可得解 【解答】解： （1）B、E 两组发言人数的比为 5：2，E 组发言人数占 8%， B 组发言的人数占 2
29、0%， 由直方图可知 B 组人数为 10 人， 所以，被抽查的学生人数为：1020%50（人） ， F 组人数为：50（16%20%30%26%8%） 50（190%） 5010%， 5（人） ， C 组人数为：5030%15（人） ， E 组人数为：508%4 人 补全的直方图如图； （2）F 组发言的人数所占的百分比为：10%， 所以，估计全年级在这天里发言次数不少于 12 次的人数为：500（8%+10%）90（人） ； （3）A 组发言的学生为：506%3 人，有 1 位女生， A 组发言的有 2 位男生， E 组发言的学生：4 人， 有 2 位女生，2 位男生 由题意可画树状图为：
30、共有 12 种情况，所抽的两位学生恰是一男一女的情况有 4 种， 所抽的两位学生恰好是男一男一女的概率为 21 果园要将一批水果运往某地，打算租用一汽车公司的甲乙两种货车，过去两次租用这两种货车的信息如 表所示 第一次 第二次 甲种货车车辆数/辆 2 5 乙种货车车辆数/辆 3 6 累计运货量/吨 15.5 35 现打算租用该公司 3 辆甲种货车和 5 辆乙种货车，可一次刚好运完这批水果，如果每吨运费为 30 元，果 园应付运费多少元？ 【考点】二元一次方程组的应用 【专题】一次方程（组）及应用 【答案】见试题解答内容 【分析】等量关系为：2 辆甲种货车运货吨数+3 辆乙种货车运货吨数15.5
31、；5 辆甲种货车运货吨数+6 辆乙种货车运货吨数35 【解答】解：设甲种货车每辆每次运货 x（t） ，乙种货车每辆每次运货 y（t） 则有， 解得：， 30（3x+5y）30（34+52.5）735（元） 答：果园应付运费 735 元 22 如图，直线 y1x+b（b0）与双曲线 y2（x0）交于点 A，与 x 轴交于点 B，OA 与 x 轴的正半轴 的夹角为 （090） ，且 OA2OB26，tan3 （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）在第一象限内，直接写出当 1y2y1时，自变量 x 的取值范围 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应
32、用；几何直观；运算能力 【答案】 （1）反比例函数的解析式为 y2；一次函数的解析式为 y1x+2； （2）1x3 【分析】 （1）根据题意解直角三角形求出点 A 坐标、B 坐标，即可根据待定系数法求得一次函数和反比 例函数的解析式 （2）把 y1 代入 y2求得 x3，根据图象即可求得 【解答】解： （1）作 ADx 轴于 D， tan3， 3， 设 A（a，3a） ， 由线 y1x+b（b0）可知ABO45， ABD 是等腰直角三角形， ADBD3a， BO2a， OA2OB26，OA2AD2+OD2a2+（3a）210a2， 10a2（2a）26， 解得 a1 或1（舍去） ， A（1，
33、3） ，B（2，0） ， 双曲线 y2（x0）经过点 A， k133， 反比例函数的解析式为 y2； 把 B（2，0）代入 y1x+b 求得 b2， 一次函数的解析式为 y1x+2； （2）把 y1 代入 y2得 x3， 由图象可知，当 1y2y1时，自变量 x 的取值范围是 1x3 23 如图，四边形 ABCD 中，AB90，AD2，AB5，BC3 （1）如图，P 为 AB 上的一个动点，以 PD，PC 为边作PCQD 请问四边形 PCQD 能否成为矩形？若能，求出 AP 的长；若不能，请说明理由 填空：当 AP 时，四边形 PCQD 为菱形； 填空：当 AP 时，四边形 PCQD 有四条对
34、称轴 （2）如图，若 P 为 AB 上的一点，以 PD，PC 为边作PCQD，请问对角线 PQ 的长是否存在最小值？ 若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由 【考点】四边形综合题 【专题】几何综合题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方 形；图形的相似；运算能力；推理能力 【答案】 （1）2 或 3；3；3； （2）PQ 的长存在最小值，为 5，理由见解析 【分析】 （1）证APDBCP，得，设 APx，则 BP5x，得，求解即可； 四边形 PCQD 为菱形时，则 DPCP，由勾股定理得 AD2+AP2BC2+BP2，即 22+AP232+（5AP） 2
35、，求解即可； 四边形 PCQD 是正方形时，满足条件，即可求解； （2）过 Q 作 QHBC，交 BC 的延长线于 H，证ADPHCQ（AAS） ，进而求得 BH 的长，即可求得 答案 【解答】解： （1）四边形 PCQD 能成为矩形，AP 的长为 2 或 3，理由如下： 四边形 PCQD 是平行四边形，假设四边形 PCQD 是矩形， 则DPC90， APD+BPC90， 在ADP 中，A90， APD+ADP90， ADPBPC， AB， APDBCP， ， AD2，AB5，BC3， 设 APx，则 BP5x， ， 解得：x12，x23， 当 AP 的长为 2 或 3 时，四边形 PCQD
36、是矩形； 四边形 PCQD 为菱形时，DPCP， AB90， AD2+AP2BC2+BP2， 即 22+AP232+（5AP）2， 解得：AP3， 故答案为：3； 当四边形 PCQD 为正方形时，有四条对称轴， 同时满足的四边形 PCQD 为正方形， AP3， 故答案为：3； （2）存在，理由如下： 过 Q 作 QHBC，交 BC 的延长线于 H，如图所示： B90， ABQH， APQHQP， APD+DPQPQC+CQH， 四边形 PCQD 是平行四边形， PDQC，PDQC， DPQCQP， APDCQH， 在ADP 和HCQ 中， ， ADPHCQ（AAS） ， ADCH2， BHBC
37、+CH3+25， 当 PQAB 时，PQ 的长最小， 此时，PQBH5， PQ 的长存在最小值，为 5 24 如图，在直角坐标系中，已知抛物线 yax2+2ax+c（其中 a，c 为常数，且 a0）与 x 轴的一个交点为 A （3，0） ，与 y 轴交于点 B，此抛物线顶点 C 到 x 轴的距离为 4 （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接 AB，BC，判断 AB 与 BC 之间的数量关系，并加以证明； （ 3 ） 如 果 点P是 抛 物 线 上 的 一 点 ， 且 ABP CAO ， 试 求 点P的 坐 标 【考点】二次函数综合题 【专题】二次函数的应用；应用意识 【答案】 （1）抛物线的
38、解析式为 yx2x+3； （2）AB3BC，证明见解析； （3）点 P 的坐标为（1， 0）或（，） 【分析】 （1）求出顶点坐标，用顶点式求解析式即可； （2）过点 C 作 CDy 轴于点 D，求出 AB、BC 长即可； （3）当点 P 在 AB 下方时，过点 P 作 PMy 轴于点 M，由（2）得，当点 P 在 AB 上方时，如 图 3 所示，过点 B 作 y 轴的垂线，过点 P 作 x 轴的垂线，两条垂线相交于点 N，可得；过点 P 的坐标为（x，x2x+3） ，列出方程即可 【解答】解： （1）抛物线的对称轴为 x1， a0， 抛物线开口向下， 又抛物线与 x 轴有交点， C 在 x
39、轴的上方， 抛物线的顶点坐标为（1，4） ， 设抛物线的解析式为 ya（x+1）2+4，把 A（3，0）代入， 得 4a+40， a1， 抛物线的解析式为 yx2x+3； （2）AB3BC， 理由如下： 将 x0 代入抛物线的解析式，得 y3， B（0，3） ， 过点 C 作 CDy 轴于点 D， 如图 1， C（1，4） ， D（0，4） ， B（0，3） ，A（3，0） ， BDCD1，AOBO3， AOB 和BDC 都是等腰直角三角形， ABOCBD45，BC，AB3， AB3BC； （3）过点 P 的坐标为（x，x2x+3） ， 当点 P 在 AB 下方时，如图 2 所示： CAOCAB+BAPCAB+45，ABPOBP+ABOOBP+45， 又ABPCAO， OBPCAB， 过点 P 作 PMy 轴于点 M，有， BM3PM， 3（x2x+3）3x， x1 或 x0（舍去） ， P（1，0） ； 当点 P 在 AB 上方时，如图 3 所示， 过点 B 作 y 轴的垂线，过点 P 作 x 轴的垂线， 两条垂线相交于点 N，同可得PBNCAB， ， ， x或 x0（舍去） ， P（，） ， 综上所述，点 P 的坐标为（1，0）或（，）
