1、5.3 5.3 应用应用二元一次方程二元一次方程组组鸡鸡兔同笼兔同笼/ / 5.3 5.3 应用二元一次方程组应用二元一次方程组 鸡兔同笼鸡兔同笼 北师北师大大版版 数学数学 八年级八年级 上册上册 5.3 5.3 应用应用二元一次方程二元一次方程组组鸡鸡兔同笼兔同笼/ / 孙子算经孙子算经是我国是我国 古代一部较为普及的算书古代一部较为普及的算书, , 许多问题浅显有趣许多问题浅显有趣, ,其中其中 下卷下卷第第31题“雉题“雉兔兔同笼”同笼” 流传尤为广泛流传尤为广泛, ,飘洋过海飘洋过海 流传到了日本等国流传到了日本等国. . 导入新知导入新知 5.3 5.3 应用应用二元一次方程二元一
2、次方程组组鸡鸡兔同笼兔同笼/ / 今有鸡兔同笼今有鸡兔同笼, , 上有三十五头上有三十五头, , 下有九十四足下有九十四足, , 问鸡兔各几何问鸡兔各几何? ? 你有哪些方法来解决它呢？你有哪些方法来解决它呢？ 导入新知导入新知 5.3 5.3 应用应用二元一次方程二元一次方程组组鸡鸡兔同笼兔同笼/ / 1. 通过小组合作，分析“鸡兔同笼”等简单问题中通过小组合作，分析“鸡兔同笼”等简单问题中 的的数量关系数量关系，学生能准确找出，学生能准确找出等量关系等量关系. 2. 掌握列二元一次方程组掌握列二元一次方程组解决实际问题解决实际问题的一般步骤的一般步骤. 素养目标素养目标 3. 通过交流，体
3、会我国古代数学的光辉成就，体验古通过交流，体会我国古代数学的光辉成就，体验古 代数学的趣味性，激发学生对数学的代数学的趣味性，激发学生对数学的好奇心和求知欲好奇心和求知欲. 5.3 5.3 应用应用二元一次方程二元一次方程组组鸡鸡兔同笼兔同笼/ / “鸡兔同笼”题为鸡兔同笼”题为: : “今“今有雉有雉( (鸡鸡) )兔同笼兔同笼, , 上有三十五头上有三十五头, , 下有九十四足下有九十四足, , 问雉兔各几何问雉兔各几何?”?” （1） “上有三十五头”的意思是什么上有三十五头”的意思是什么? ? “下有九十四足”的意思是什么下有九十四足”的意思是什么? ? （2）题）题中有哪些等量关系中
4、有哪些等量关系? ? （3）你）你能解决这个有趣的问题吗能解决这个有趣的问题吗? ? 探究新知探究新知 探究讨论探究讨论 知识点 列二元一次方程组解答实际问题列二元一次方程组解答实际问题 5.3 5.3 应用应用二元一次方程二元一次方程组组鸡鸡兔同笼兔同笼/ / 35 94 足足 头头 总数总数 鸡头鸡头+兔头兔头=35, 鸡脚鸡脚+兔脚兔脚=94. x+y=35， 2x+4y=94. 等量关系：等量关系： 得到得到方程组：方程组： 你你能根据（能根据（1）得出怎样的等量关系？你能用方程组）得出怎样的等量关系？你能用方程组 解决这个问题吗？解决这个问题吗？ 探究新知探究新知 x y 4y 2x
5、 5.3 5.3 应用应用二元一次方程二元一次方程组组鸡鸡兔同笼兔同笼/ / 设鸡为设鸡为x只只, ,兔为兔为y只只. .则则 解法一解法一: : ( (加减消元法加减消元法) ) 2 得：得： 2x+2y=70 - -得：得：2y=24， y=12. 把把 y=12 代入代入，得：得：x=23 所以有鸡所以有鸡23只，兔只，兔12只只. . x+y=35 2x+4y=94 原方程组的解是原方程组的解是 x=23 y=12 探究新知探究新知 解：解： 5.3 5.3 应用应用二元一次方程二元一次方程组组鸡鸡兔同笼兔同笼/ / 解法二解法二: : （代入消元法）代入消元法） 由由得，得，x =3
6、5- y 把把代入代入，得，得2（35- y）+4y=94, y=12. 把把y=12代入代入，得，得x=23 所以鸡有所以鸡有23只，兔子有只，兔子有12只只 所以原方程组的解为所以原方程组的解为 x=23 y=12 探究新知探究新知 解：解： 设鸡为设鸡为x只只, ,兔为兔为y 只只. .则则 x+y=35 2x+4y=94 5.3 5.3 应用应用二元一次方程二元一次方程组组鸡鸡兔同笼兔同笼/ / 河源市正德中学河源市正德中学 归纳归纳： 审：审：弄清题意和题目中的数量关系，找出题目中的等量关系；弄清题意和题目中的数量关系，找出题目中的等量关系； 设：设：用字母表示题目中的两个未知数；用
7、字母表示题目中的两个未知数； 列：列：根据找出的等量关系列出方程组；根据找出的等量关系列出方程组； 解：解：解方程组，求得未知数的值；解方程组，求得未知数的值； 验：验：检验所得的解是否是方程组的解，并且要检验其是否符检验所得的解是否是方程组的解，并且要检验其是否符 合实际问题的意义，不符合要舍去；合实际问题的意义，不符合要舍去； 答：答：写出答案，包括单位名称写出答案，包括单位名称. . 探究新知探究新知 5.3 5.3 应用应用二元一次方程二元一次方程组组鸡鸡兔同笼兔同笼/ / 以以绳测井绳测井. . 若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳三折测之，绳多五尺； 若将绳四折测之，绳多一尺若将绳四折
8、测之，绳多一尺. . 绳长、井深各几何？绳长、井深各几何？ 例例1 题意：题意：用绳子测量水井的深度用绳子测量水井的深度. 如果将绳子折成三等份，一份如果将绳子折成三等份，一份 绳长比井深多绳长比井深多5尺；如果将绳子尺；如果将绳子 折成四等份，一份绳长比井深折成四等份，一份绳长比井深 多多1尺尺.绳长、井深各是多少尺？绳长、井深各是多少尺？ 探究新知探究新知 列二元一次方程组解答较简单问题列二元一次方程组解答较简单问题 素养考点素养考点 1 5.3 5.3 应用应用二元一次方程二元一次方程组组鸡鸡兔同笼兔同笼/ / 解：解：设绳长设绳长x尺，井深尺，井深y尺，则由题意得尺，则由题意得 解解得
9、得x = 48 将将x = 48代入代入 得得 y = 11 答答：绳长绳长48尺，井深尺，井深11尺尺. . 探究新知探究新知 解 法 一 解 法 一 等量关系：等量关系： 绳长的绳长的 井深井深 = 5 绳长的绳长的 井深井深 = 1 1 3 1 4 xy xy 1 5 3 1 1 4 由由-得得 4 43 xx 5.3 5.3 应用应用二元一次方程二元一次方程组组鸡鸡兔同笼兔同笼/ / 等量关系：等量关系： （井深（井深+5） 3 = = 绳长绳长 （井深（井深+1） 4 = = 绳长绳长 解：解：设绳长设绳长x尺，井深尺，井深y尺，则由题意得尺，则由题意得 3 (y+5) = x 4
10、(y+1) = x 答：答：绳长绳长48尺，井深尺，井深11尺尺. . 解 法 二 解 法 二 探究新知探究新知 解解得：得： x = 48 y = 11 5.3 5.3 应用应用二元一次方程二元一次方程组组鸡鸡兔同笼兔同笼/ / 等量等量关系：关系： 绳长绳长 井深的井深的3倍倍= = 3 5 绳长绳长 井深的井深的4倍倍= = 4 1 解解：设绳长设绳长x尺，井深尺，井深y尺，则由题意得尺，则由题意得 x - 3y = 3 5 x - 4y = 4 1 答答：绳长绳长48尺，井深尺，井深11尺尺. . 探究新知探究新知 解 法 三 解 法 三 解解得：得： x = 48 y = 11 5.
11、3 5.3 应用应用二元一次方程二元一次方程组组鸡鸡兔同笼兔同笼/ / 养养牛场原有牛场原有30只大牛和只大牛和15只小牛，只小牛，1天约用饲料天约用饲料675 kg；一；一 周后又购进周后又购进12只大牛和只大牛和5只小牛，这时只小牛，这时1天约用饲料天约用饲料940 kg.饲饲 养员李大叔估计每只大牛养员李大叔估计每只大牛1天约需饲料天约需饲料18到到20 kg，每只小牛，每只小牛 1天约需饲料天约需饲料7到到8 kg.你认为李大叔估计的准确吗？你认为李大叔估计的准确吗？ 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 5.3 5.3 应用应用二元一次方程二元一次方程组组鸡鸡兔同笼兔同笼/ / 分析分
12、析1： 题中有哪些未知量，你如何设未知数？题中有哪些未知量，你如何设未知数？ 未知量未知量: :每头大牛每头大牛1天需用的饲料天需用的饲料; ;每头小牛每头小牛1天需用天需用的的饲料饲料. . 分析分析2：题中有哪些等量关系？题中有哪些等量关系？ ( (1) )30只大牛和只大牛和15只小牛一天需用饲料为只小牛一天需用饲料为675kg; ; ( (2) )(30+12)只大牛和只大牛和(15+5)只小牛一天需用饲料为只小牛一天需用饲料为940kg. . 设未知数：设未知数：设每设每头头大牛和每大牛和每头头小牛平均小牛平均1天各需用饲料为天各需用饲料为 xkg和和ykg. . 巩固练习巩固练习
13、5.3 5.3 应用应用二元一次方程二元一次方程组组鸡鸡兔同笼兔同笼/ / 解解: :设每设每头头大牛和小牛大牛和小牛平均平均1天天各需用饲料为各需用饲料为xkg和和ykg， 根据等量关系，列方程组：根据等量关系，列方程组： 答答: :每每头头大牛和每大牛和每头头小牛小牛1天各需用饲料为天各需用饲料为20kg和和5kg， 饲养员李大叔估计每天大牛需用饲料饲养员李大叔估计每天大牛需用饲料18到到20千克，每千克，每头头 小牛一天需用小牛一天需用7到到8千克与计算有一定的出入千克与计算有一定的出入. . + = 675, + = 940. 30 x 15y 42x 20y 巩固练习巩固练习 x=
14、, y= . 20 5 解方程组：解方程组： 5.3 5.3 应用应用二元一次方程二元一次方程组组鸡鸡兔同笼兔同笼/ / 据据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比1:2现现 要把一块长要把一块长200m、宽、宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土的长方形土地，分为两块小长方形土 地，分别种植这两种作物怎样划分这块土地，使甲、乙两种作地，分别种植这两种作物怎样划分这块土地，使甲、乙两种作 物的总产量的比是物的总产量的比是3:4？ 请提取数学信息请提取数学信息 探究新知探究新知 列二元一次方程组解答几何问题列二元一次方程组解答几何问题 转换成数学
15、语言转换成数学语言： 已知：长方形已知：长方形ABCD， AB=CD=200m， AD=BC=100m，长方形长方形ABCD分割为两个小长方形，分割为两个小长方形， 长方形长方形1和长方形和长方形2分别种甲、乙作物，甲、乙单位分别种甲、乙作物，甲、乙单位 面积产量的比是面积产量的比是1:2. A D C B 素养考点素养考点 2 例例2 5.3 5.3 应用应用二元一次方程二元一次方程组组鸡鸡兔同笼兔同笼/ / 这里研究的实际上是什么问这里研究的实际上是什么问题？题？ 把一个长方形分成两个小长方形有把一个长方形分成两个小长方形有 哪些分割方式？哪些分割方式？ 方法方法1 竖着画，把长分成两段，
16、则宽不变竖着画，把长分成两段，则宽不变 方法方法2 横着画，把宽分成两段，则长不变横着画，把宽分成两段，则长不变 长方形的面积分割长方形的面积分割 我们可以画出示意图来帮助分析我们可以画出示意图来帮助分析 动手试着画一画动手试着画一画 探究新知探究新知 目标：目标： 甲、甲、 乙两乙两 种作种作 物的物的 总产总产 量的量的 比是比是 3:4 问题分析问题分析 5.3 5.3 应用应用二元一次方程二元一次方程组组鸡鸡兔同笼兔同笼/ / 竖着画，把长分成两段，则宽不变竖着画，把长分成两段，则宽不变 A D C F B E 1.大长方形的长大长方形的长=200m 2.甲、乙两种作物总产量比甲、乙两
17、种作物总产量比=3:4 等量关系式有等量关系式有 几个？几个？ 探究新知探究新知 方法方法1 5.3 5.3 应用应用二元一次方程二元一次方程组组鸡鸡兔同笼兔同笼/ / 竖着画，把长分成两段，则宽不变竖着画，把长分成两段，则宽不变 A D C F B E 1.大长方形的长大长方形的长=200m 2.甲、乙两种作物总产量比甲、乙两种作物总产量比=3:4 设设AExm，BEym. 先求出两种作物的面积先求出两种作物的面积 SAEFD=100 x SEFCB=100y 再写出两种作物的总产量再写出两种作物的总产量 甲：甲：100 x1 乙：乙：100y2 则列方程为则列方程为 100 x:200y=
18、3:4 总产量总产量= ？ 1 : 2 x y 200m 100 如何设未知数呢如何设未知数呢？ 则列方程为则列方程为 x+y=200 单位面积产量单位面积产量面积面积 探究新知探究新知 方法方法1 5.3 5.3 应用应用二元一次方程二元一次方程组组鸡鸡兔同笼兔同笼/ / 竖着画，把长分成两段，则宽不变竖着画，把长分成两段，则宽不变 A D C F B E 根据题意列方程组为根据题意列方程组为 100 x:200y=3:4 x y 200m 100m x+y=200 解得解得 x=120 y=80 你觉得该如何答题你觉得该如何答题 比较完整呢？比较完整呢？ 甲种作物甲种作物 乙种乙种 作物作
19、物 解解： 过点过点E作作EFAB，交，交CD于点于点F. 设设AExm，BEym. 答：答：将这块土将这块土地分为长地分为长120m,宽宽100m和长和长100m,宽宽80m的的 两个小长方形分别种植甲、乙两种作物两个小长方形分别种植甲、乙两种作物. 探究新知探究新知 方法方法1 解解 法法 一一 5.3 5.3 应用应用二元一次方程二元一次方程组组鸡鸡兔同笼兔同笼/ / 横着画，把宽分成两段，则长不变横着画，把宽分成两段，则长不变 A D C B E x y F x+y=100 乙种作物乙种作物 甲种作物甲种作物 解解：过点过点E作作EFBC，交，交BC 于点于点F. 设设DExm，AEy
20、m. 200 x:400y=3:4 200y 200 x x=60 y=40 解得解得 根据题意列方程组为根据题意列方程组为 200m 100m 答答：将这块将这块土地分为长土地分为长200m,宽宽60m和长和长200m,宽宽40m的的 两个小长方形分别种植甲、乙两种作物两个小长方形分别种植甲、乙两种作物. 探究新知探究新知 方法方法2 解解 法法 二二 5.3 5.3 应用应用二元一次方程二元一次方程组组鸡鸡兔同笼兔同笼/ / 8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形 地砖的长和宽分别是多少地砖的长和宽分别是多少?（单位（单位cm
21、） 60 x+y=60 x=3y 解解: :设小长方形地砖设小长方形地砖的长为的长为x, 宽为宽为y, 由题意由题意, ,得得 解此方程组得：解此方程组得： x =45, y=15. 答答: :小小长方形地砖的长为长方形地砖的长为45cm, 宽为宽为15cm. 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 5.3 5.3 应用应用二元一次方程二元一次方程组组鸡鸡兔同笼兔同笼/ / 中国清代算书中国清代算书御制数理精蕴中有这样一题御制数理精蕴中有这样一题：“马四匹、牛六马四匹、牛六 头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共 价三十八两
22、问马、牛各价几何？价三十八两问马、牛各价几何？”设马每匹设马每匹x两，牛每头两，牛每头y两，两， 根据题意可列方程组为（根据题意可列方程组为（ ） A B C D D 4853 3864 yx yx 3853 4864 xy xy 3835 4864 yx yx 3853 4864 yx yx 连接中考连接中考 5.3 5.3 应用应用二元一次方程二元一次方程组组鸡鸡兔同笼兔同笼/ / 1.某校春季运动会比赛中，八年级（某校春季运动会比赛中，八年级（1）班、（）班、（5）班的竞技实）班的竞技实 力相当，关于比赛结果，甲同学说：（力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（）班与（5）班得分比）
23、班得分比 为为6:5；乙同学说：（；乙同学说：（1）班得分比（）班得分比（5）班得分的）班得分的2倍少倍少40分分 若若设（设（1）班得）班得x分，（分，（5）班得）班得y分，根据题意所列的方程组应分，根据题意所列的方程组应 为（为（ ） 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 A. B. C. D. 65 240 xy xy 65 240 xy xy 56 240 xy xy 56 240 xy xy D 5.3 5.3 应用应用二元一次方程二元一次方程组组鸡鸡兔同笼兔同笼/ / 2.一只蛐蛐一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共
24、 10只，共有只，共有68条腿，若设蛐蛐有条腿，若设蛐蛐有x只，蜘蛛有只，蜘蛛有y只，则列只，则列 出方程组为出方程组为_ x+y=10 6x+8y=68 解析解析: :根据蛐蛐和蜘蛛共根据蛐蛐和蜘蛛共10只，可得只，可得xy10; 蛐蛐和蜘蛛共蛐蛐和蜘蛛共 有有68条腿，可条腿，可得得6x8y68. 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 5.3 5.3 应用应用二元一次方程二元一次方程组组鸡鸡兔同笼兔同笼/ / 3.某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若 购进电脑机箱购进电脑机箱10台和液晶显示器台和液晶显示
25、器8台，共需资金台，共需资金7 000元；若购元；若购 进电脑机箱进电脑机箱2台和液晶显示器台和液晶显示器5台，共需资金台，共需资金4 120元则每台电元则每台电 脑机箱和液晶显示器的进价各多少元？脑机箱和液晶显示器的进价各多少元？ 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 解解：设每台电脑机箱和液晶显示器的进价分别为设每台电脑机箱和液晶显示器的进价分别为x元和元和y元元， 答答：每台电脑机箱和液晶显示器的进价分别是每台电脑机箱和液晶显示器的进价分别是60元、元、800元元 解得解得 则则 5.3 5.3 应用应用二元一次方程二元一次方程组组鸡鸡兔同笼兔同笼/ / 某某校现有校舍
26、校现有校舍20000m2计划拆除部分旧校舍，改建新校舍，计划拆除部分旧校舍，改建新校舍，使使 校舍校舍总面积增加总面积增加30%.若建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积若建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积 的的4倍，那么应该拆除多少旧校舍，建造多少新校舍？（单位为倍，那么应该拆除多少旧校舍，建造多少新校舍？（单位为m2 ） 解解：设应拆设应拆除旧校舍除旧校舍xm2，建造新校舍，建造新校舍ym2 ， 拆拆 20000m2 新建新建 由题意得：由题意得： 解得：解得： 答答：应该拆除应该拆除2000m2旧校舍，旧校舍， 建造建造8000m2新校新校舍舍. 4 2000020000(1 30%)
27、yx xy 2000 8000 x y 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 课堂检测课堂检测 5.3 5.3 应用应用二元一次方程二元一次方程组组鸡鸡兔同笼兔同笼/ / 100匹马恰好拉了匹马恰好拉了100片瓦，已知一匹大马能拉片瓦，已知一匹大马能拉3片瓦，片瓦， 3匹小马能拉一片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马匹小马能拉一片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？ 解解: :设有设有x匹大马匹大马, , y匹小马匹小马, , 根据题意根据题意, ,得得 解此方程组得：解此方程组得： x =25, y=75. 答：答：有有25匹大马，匹大马，75匹小马匹小马. 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓
28、广 探 索 题 100 3 1 3 100 yx yx 5.3 5.3 应用应用二元一次方程二元一次方程组组鸡鸡兔同笼兔同笼/ / 二元二元 一次一次 方程方程 组的组的 应用应用 应应 用用 步步 骤骤 简单实际问题简单实际问题 审题：审题：弄清题意和题目中的弄清题意和题目中的 设元：设元：用用_ _ 表示表示题目中的未知数题目中的未知数 列方程组列方程组:根据根据_个等量关系列出方程组个等量关系列出方程组 解解方程组方程组 检验检验作答作答 数量关系数量关系 字母字母 2 代入法；代入法； 加减法加减法. 几何问题几何问题 课堂小结课堂小结 5.3 5.3 应用应用二元一次方程二元一次方程组组鸡鸡兔同笼兔同笼/ / 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
