1、5.5 5.5 应用应用二元一次方程组二元一次方程组里程碑上的数里程碑上的数/ / 5.5 5.5 应用应用二元一次方程组二元一次方程组 里程碑上的数里程碑上的数 北师北师大大版版 数学数学 八年级八年级 上册上册 5.5 5.5 应用应用二元一次方程组二元一次方程组里程碑上的数里程碑上的数/ / 悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟. . 归时四分行六百，风速多少才称雄？归时四分行六百，风速多少才称雄？ 导入新知导入新知 5.5 5.5 应用应用二元一次方程组二元一次方程组里程碑上的数里程碑上的数/ / 1. 利用二元一次方程解决利用二元一次方程解决数字问题数字问题和
2、行程问题和行程问题. 2. 进一步进一步经历和体验经历和体验列方程组解决实际问题列方程组解决实际问题 的过程的过程. 素养目标素养目标 3. 能分析能分析复杂问题复杂问题中的数量关系，建立方程组中的数量关系，建立方程组 解决问题解决问题. 5.5 5.5 应用应用二元一次方程组二元一次方程组里程碑上的数里程碑上的数/ / 小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是 小明每隔小明每隔1小时看到的里程情况你能确定小明在小时看到的里程情况你能确定小明在12:00时看到时看到 的里程碑上的数吗？的里程碑上的数吗？ 是一个两是一个两位数，位数，
3、它的两个数字它的两个数字 之和为之和为7 十位与个位数字十位与个位数字 与与12:00时所看时所看 到的到的正好互换正好互换 了了 比比12:00时看时看 到的两位数中到的两位数中 间多了个间多了个0 知识点 1 列二元一次方程组解答数字问题列二元一次方程组解答数字问题 探究新知探究新知 5.5 5.5 应用应用二元一次方程组二元一次方程组里程碑上的数里程碑上的数/ / 是一个两是一个两位数，位数， 它的两个数字之它的两个数字之 和为和为7 十位与个位数字十位与个位数字 与与12:00时所看到时所看到 的的正好正好互换互换了了 比比12:00时看到时看到 的两位数中间的两位数中间 多了个多了个
4、0 10 x + y x + y = 7 （1）12:00时时小小明看到的数可表示为明看到的数可表示为 ， 根据两个数字和是根据两个数字和是7，可列出方程，可列出方程 . 探究新知探究新知 如果如果设小明在设小明在12:00时看到的数的十位数字是时看到的数的十位数字是x，个位数字，个位数字 是是y，那么，那么 5.5 5.5 应用应用二元一次方程组二元一次方程组里程碑上的数里程碑上的数/ / 是一个两是一个两位数，位数， 它的两个数字它的两个数字 之和为之和为7 十位与个位数字十位与个位数字 与与12:00时所看到时所看到 的的正好互换了正好互换了 比比12:00时看到时看到 的两位数中间的两
5、位数中间 多了个多了个0 10y + x （10y +x）- （10 x +y） （2）13:00时时小小明看到的数可表示为明看到的数可表示为 , , 12:0013:00间摩托车行驶的路程是间摩托车行驶的路程是 . . 探究新知探究新知 如果如果设小明在设小明在12:00时看到的数的十位数字是时看到的数的十位数字是x，个位数字，个位数字 是是y，那么，那么 5.5 5.5 应用应用二元一次方程组二元一次方程组里程碑上的数里程碑上的数/ / 是一个两是一个两位数，位数， 它的两个数字之它的两个数字之 和为和为7 十位与个位数字十位与个位数字 与与12:00时所看到时所看到 的的正好互换了正好互
6、换了 比比12:00时看到时看到 的两位数中间的两位数中间 多了个多了个0 100 x + y （100 x +y ）- （10y +x ） （3）14:00时时小小明看到的数可表示为明看到的数可表示为 , , 13:0014:00间摩托车行驶的路程是间摩托车行驶的路程是 . . 探究新知探究新知 如果如果设小明在设小明在12:00时看到的数的十位数字是时看到的数的十位数字是x，个位数字，个位数字 是是y，那么，那么 5.5 5.5 应用应用二元一次方程组二元一次方程组里程碑上的数里程碑上的数/ / 是一个两是一个两位数，位数， 它的两个数字之它的两个数字之 和为和为7 十位与个位数字十位与个
7、位数字 与与12:00时所看到时所看到 的的正好互换了正好互换了 比比12:00时看到时看到 的两位数中间的两位数中间 多了个多了个0 （4）12:0013:00与与13:0014:00两段时间内摩托车的行驶路程两段时间内摩托车的行驶路程 有什么关系？你能列出相应的方程吗？有什么关系？你能列出相应的方程吗？ 探究新知探究新知 如果如果设小明在设小明在12:00时看到的数的十位数字是时看到的数的十位数字是x，个位数字，个位数字 是是y，那么，那么 5.5 5.5 应用应用二元一次方程组二元一次方程组里程碑上的数里程碑上的数/ / 是一个两是一个两位数，位数， 它的两个数字它的两个数字 之和为之和
8、为7 十位与个位数字十位与个位数字 与与12:00时所看到时所看到 的的正好互换了正好互换了 比比12:00时看时看 到的两位数中到的两位数中 间多了个间多了个0 解：解：如果设小明在如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是时看到的数的十位数字是x，个位数字是，个位数字是y， 那么根据以上分析，得方程组：那么根据以上分析，得方程组： 答：答：小明在小明在12:00时看到的里程碑上的数是时看到的里程碑上的数是16 探究新知探究新知 x+y=7 (100 x+y)-(10y+x)=(10y+x)-(10 x+y) 解这个方程组，得解这个方程组，得 ,x y 1 6 5.5 5.5 应用应用二元
9、一次方程组二元一次方程组里程碑上的数里程碑上的数/ / 12：00是是一个两位数，它的两个数字之和一个两位数，它的两个数字之和为为7； 13：00十位十位与个位数字与个位数字与与12：00所所看到的看到的正好互换了正好互换了； 14： 00比比12：00时时看到的两位数中间多了看到的两位数中间多了个个0 分析：分析：设小明设小明在在12：00看到看到的数十位数字是的数十位数字是x，个位数字是，个位数字是y,那么那么 时刻时刻 百位数字百位数字 十位数字十位数字 个位数字个位数字 表达式表达式 12：00 13：00 14：00 x y 10 x y y x 10 y x x 0 y 100 x
10、 y 相等关系：相等关系： 12：00看到看到的数，两个数字之和的数，两个数字之和是是7 路程路程差相等差相等 探究新知探究新知 表格分析数量关系表格分析数量关系 5.5 5.5 应用应用二元一次方程组二元一次方程组里程碑上的数里程碑上的数/ / 小结：小结：对较复杂的问题可以通过列表格的方法疏理题对较复杂的问题可以通过列表格的方法疏理题 中的未知量，已知量以及等量关系，使其条理清楚，中的未知量，已知量以及等量关系，使其条理清楚， 将复杂问题转化为简单问题将复杂问题转化为简单问题. . 解：解：如果设小明在如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是时看到的数的十位数字是x， 个位数字是个位数
11、字是y，那么根据以上分析，得方程组：，那么根据以上分析，得方程组： , ()()()(). xy xyyxyxxy 7 100101010 解得解得 答：答：小明在小明在12:00时看到的里程碑上的数是时看到的里程碑上的数是16. . 探究新知探究新知 6 , 1 y x 整理得整理得 06 7 yx yx 5.5 5.5 应用应用二元一次方程组二元一次方程组里程碑上的数里程碑上的数/ / 解：解：设较大的两位数为设较大的两位数为x，较小的两位数为，较小的两位数为y，根据题意，得：，根据题意，得： 解这个方程组解这个方程组, ,得得: : 答答: :这两个两位数分别是这两个两位数分别是45和和
12、23. . x+y=68 (100 x+y)-(100y+x)=2178 x=45 y=23 探究新知探究新知 两两个两位数的和为个两位数的和为68, ,在较大的两位数的右边接着写较小的在较大的两位数的右边接着写较小的 两位数两位数, ,得到一个四位数得到一个四位数; ; 在较大的两位数的左边写上较小的在较大的两位数的左边写上较小的 两位数两位数, ,也得到一个四位数也得到一个四位数. .已知前一个四位数比后一个四位数已知前一个四位数比后一个四位数 大大2178, , 求这两个两位数求这两个两位数. . 例例 素养考点素养考点 1 列二元一次方程组解答数字问题列二元一次方程组解答数字问题 5.
13、5 5.5 应用应用二元一次方程组二元一次方程组里程碑上的数里程碑上的数/ / 一一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是11，如，如 果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的两位果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的两位 数比原两位数大数比原两位数大9，求原来的两位数，求原来的两位数 分析分析: : 用二元一次方程组解决问题的关键是找到两个合用二元一次方程组解决问题的关键是找到两个合 适的等量关系由于十位数字和个位数字都是未知的，适的等量关系由于十位数字和个位数字都是未知的， 所以不能直接设所求的两位数本题中两个等量关系为：所以不能
14、直接设所求的两位数本题中两个等量关系为： 十位数字个位数字十位数字个位数字11，(十位数字十位数字10个位数字个位数字) 9个位数字个位数字10十位数字根据这两个等量关系可列十位数字根据这两个等量关系可列 出方程组出方程组 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 5.5 5.5 应用应用二元一次方程组二元一次方程组里程碑上的数里程碑上的数/ / 归纳小结归纳小结: : 在求两位数或三位数时，一般是不能直接设在求两位数或三位数时，一般是不能直接设 这个两位数或三位数的，而是把它各个数位上的数字设这个两位数或三位数的，而是把它各个数位上的数字设 为未知数解题的关键是弄清题意，根据题意找出合适为未知数解
15、题的关键是弄清题意，根据题意找出合适 的等量关系，列出方程组，再进行求解的等量关系，列出方程组，再进行求解 解：解：设个位上的数字为设个位上的数字为x，十位上的数字为，十位上的数字为y. . 解这个方程组得解这个方程组得: : 10yx56. 答：答：原来的两位数为原来的两位数为56. . 巩固练习巩固练习 , . x y 6 5 , , xy xyyx 11 10109 根据题意，得根据题意，得 5.5 5.5 应用应用二元一次方程组二元一次方程组里程碑上的数里程碑上的数/ / 小小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路. 假设他假设他 始终保持平路
16、每分钟走始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走，下坡路每分钟走80m，上坡路每，上坡路每 分钟走分钟走40m，则他从家里到学校需，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需，从学校到家里需 15min.问小华家离学校多远？问小华家离学校多远？ 知识点 2 列二元一次方程组解答复杂行程问题列二元一次方程组解答复杂行程问题 探究新知探究新知 5.5 5.5 应用应用二元一次方程组二元一次方程组里程碑上的数里程碑上的数/ / 分析：分析：小华到学校的路分成两段，一段为平路，一段为小华到学校的路分成两段，一段为平路，一段为 下坡路下坡路. . 平路平路：60 m/min 走平路的时间走平路的时间
17、+ +走下坡路的时间走下坡路的时间=_， 走上坡路的时间走上坡路的时间+ +走平路的时间走平路的时间= _ 路程路程= =平均速度时间平均速度时间 10 15 探究新知探究新知 5.5 5.5 应用应用二元一次方程组二元一次方程组里程碑上的数里程碑上的数/ / 方法一方法一（直接设元法）（直接设元法） 平路平路 时间时间 坡路坡路 时间时间 总总 时时 间间 上学上学 放学放学 解：解：设设小华家到学校平路长小华家到学校平路长x m，下坡，下坡路路长长y m. 60 x 60 x 80 y 40 y 10 15 根据题意，可列方程组：根据题意，可列方程组： 10 60 80 15. 60 40
18、 xy xy 解方程组，得解方程组，得 300 400 x y 所所以小以小明家到学校的距离为明家到学校的距离为700m. 探究新知探究新知 5.5 5.5 应用应用二元一次方程组二元一次方程组里程碑上的数里程碑上的数/ / 方法二方法二（间接设元法）（间接设元法） 平路平路 距离距离 坡路坡路 距离距离 上学上学 放学放学 解：解：设小华下坡路设小华下坡路所花时间为所花时间为xmin,上坡路所花上坡路所花时间为时间为ymin. 60(10) x 80 x 40y 根据题意，可列方程组：根据题意，可列方程组： 60(10) 60(15) 8040 xy xy 解方程组，得解方程组，得 5 10
19、 x y 所所以小以小明明家到学校的距离为家到学校的距离为700m. 故平故平路距离：路距离：60（10-5）=300（m） 坡路距离：坡路距离：805=400（m） 60(15) y 探究新知探究新知 5.5 5.5 应用应用二元一次方程组二元一次方程组里程碑上的数里程碑上的数/ / 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 列二元一次方程组解答复杂行程问题列二元一次方程组解答复杂行程问题 例例 张张强与李毅二人分别从相距强与李毅二人分别从相距 20 千米的两地出发，相向而千米的两地出发，相向而 行行.若若张强比李毅早出发张强比李毅早出发 30 分钟，那么在李毅出发后分钟，那么在李毅出发后 2
20、 小时，小时， 他们相遇；如果他们同时出发，那么他们相遇；如果他们同时出发，那么 1 小时后两人还相距小时后两人还相距 11 千千米米.求求张强、李毅每小时各走多少千米？张强、李毅每小时各走多少千米？ 思考：思考：题目中给题目中给了了哪哪些些相关的量相关的量？ 5.5 5.5 应用应用二元一次方程组二元一次方程组里程碑上的数里程碑上的数/ / 2y千米千米 张强张强2.5小时走的路程小时走的路程 李毅李毅2小时走的路程小时走的路程 11千米千米 0.5x千米千米 2x千米千米 ( (1) ) A B x千米千米 y千米千米 ( (2) ) A B 解：解：设张强、李毅每设张强、李毅每小时各走小
21、时各走x, y千米，由千米，由题意得题意得 4 5 x y 解解得得 答答：张张强、李毅每小时各走强、李毅每小时各走4, 5千千米米. 分析分析：如下图（如下图（1）、（）、（2）所示）所示 探究新知探究新知 0.52220 1120 xxy xy 方程组方程组 5.5 5.5 应用应用二元一次方程组二元一次方程组里程碑上的数里程碑上的数/ / 巴巴广高速公路在广高速公路在5月月10日正式通车，从巴中到广元全长约日正式通车，从巴中到广元全长约126 km，一辆小汽车、一辆货车同时从巴中、广元两地相向开出，一辆小汽车、一辆货车同时从巴中、广元两地相向开出， 经过经过45分钟相遇，相遇时小汽车比货
22、车多行分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行6 km，设小汽车，设小汽车 和货车的速度分别为和货车的速度分别为x km/h、y km/h，则下列方程组正确的，则下列方程组正确的 是（是（ ） 巩固练习巩固练习 A. B. C. D. D 45()126, 45()6. xy xy 3 ()126, 4 6. xy xy 3 ()126, 4 3 ()6. 4 xy xy 3 ()126, 4 45()6. xy xy 变式训练变式训练 5.5 5.5 应用应用二元一次方程组二元一次方程组里程碑上的数里程碑上的数/ / 我国古代数学著作我国古代数学著作九章算术中记载：九章算术中记载：“今有大器五小器一
23、今有大器五小器一 容三斛，大器一小器五容二斛问大小器各容几何容三斛，大器一小器五容二斛问大小器各容几何”其大意其大意 为：有大小两种盛酒的桶，已知为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上个大桶加上1个小桶可以盛酒个小桶可以盛酒3 斛（斛，音斛（斛，音huhu，是古代的一种容量单位），是古代的一种容量单位）1个大桶加上个大桶加上5个小个小 桶可以盛酒桶可以盛酒2斛，问斛，问1个大桶、一个小桶分别可以盛酒多少斛？个大桶、一个小桶分别可以盛酒多少斛？ 若设若设1个大桶可以盛酒个大桶可以盛酒x斛，斛，1个小桶可以盛酒个小桶可以盛酒y斛，根据题意，斛，根据题意， 可列方程组为可列方程组为_ 连接中考连接
24、中考 xy xy 53 52 5.5 5.5 应用应用二元一次方程组二元一次方程组里程碑上的数里程碑上的数/ / 1.小小颖家离学校颖家离学校4800 m，其中有一段为上坡路，其中有一段为上坡路 ，另一段为，另一段为 下坡路，她跑步去学校共用了下坡路，她跑步去学校共用了30 min .已知小颖在上坡时的已知小颖在上坡时的 平均速度是平均速度是 6 km/h，下坡时的平均速度是，下坡时的平均速度是12 km/h.问小问小颖颖 上、下坡的路程分别是（上、下坡的路程分别是（ ） A1.2 km，3.6 km； B1.8 km，3 km； C1.6 km，3.2 km D3.2 km，1.6 km A
25、 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 5.5 5.5 应用应用二元一次方程组二元一次方程组里程碑上的数里程碑上的数/ / 2.有大小两个两位数，在大数的右边写上一个有大小两个两位数，在大数的右边写上一个0之后再写上小之后再写上小 的数，得到一个五位数的数，得到一个五位数; ;在小数的右边写上大数，然后再写上在小数的右边写上大数，然后再写上 一个一个0，也得到一个五位数，第一个五位数除以第二个五位数，也得到一个五位数，第一个五位数除以第二个五位数 得到的商为得到的商为2，余数为，余数为590此外，二倍大数与三倍小数的和此外，二倍大数与三倍小数的和 是是72，求这两个两位数，求
26、这两个两位数 解：解：设大的两位数是设大的两位数是x，小的两位数是，小的两位数是y，则第一个五位数是，则第一个五位数是 1000 x+y，第二个五位数是，第二个五位数是1000y+10 x，由题意，由题意，得：得： 所以所以这两个两位数分别为这两个两位数分别为21和和10. . 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 1000 x+y=2(1000y+10 x)+590 2x+3y=72 解解得：得： x21 y10 5.5 5.5 应用应用二元一次方程组二元一次方程组里程碑上的数里程碑上的数/ / 解：解：设的甲速度为设的甲速度为x千米千米/ /小时，乙的速度为小时，乙的速度
27、为y千米千米/ /小时小时， 3. A,B两地相距两地相距36千米，甲从千米，甲从A地步行到地步行到B地，乙从地，乙从B地步行地步行 到到A地，两人同时相向出发，地，两人同时相向出发，4小时后两人相遇，小时后两人相遇，6小时后，小时后， 甲剩余的路程是乙剩余路程的甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍，求二人的速度？倍，求二人的速度？ 答：答：甲速度为甲速度为4千米千米/ /小时，乙的速度为小时，乙的速度为5千米千米/ /小时小时. . 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 4(x+y)=36 36-6x=2(36-6y) 根据题意得：根据题意得： x=4 y=5 解解得：得： 5.
28、5 5.5 应用应用二元一次方程组二元一次方程组里程碑上的数里程碑上的数/ / 汽车汽车在上坡时速度为在上坡时速度为28km/h，下坡时速度，下坡时速度42km/h，从甲，从甲 地到乙地用了地到乙地用了4小时小时30分，返回时用了分，返回时用了4小时小时40分，从甲地到分，从甲地到 乙地上、下坡路各是多少千米？（只列方程组）乙地上、下坡路各是多少千米？（只列方程组） 分析：分析：从甲地到乙地的上坡路和下坡路分别是从乙地到甲地从甲地到乙地的上坡路和下坡路分别是从乙地到甲地 的下坡路和上坡路的下坡路和上坡路. . 解：解：设从甲地到乙地上坡路是设从甲地到乙地上坡路是x千米，下坡路是千米，下坡路是y
29、千米千米. .根据题根据题 意得意得 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 xy xy 1 4 28422 2 4 42283 5.5 5.5 应用应用二元一次方程组二元一次方程组里程碑上的数里程碑上的数/ / 李李大叔大叔销售牛肉干，销售牛肉干，已知甲客户购买了已知甲客户购买了12包五香味的和包五香味的和10包包 原味的共花了原味的共花了146元，乙客户购买了元，乙客户购买了6包五香味的和包五香味的和8包原味的共包原味的共 花了花了88元元. . （1）现在老师带了）现在老师带了200元，能否买到元，能否买到10包五香味牛肉干和包五香味牛肉干和20包包 原味牛肉干？原味牛肉
30、干？ 解解：设五香味每包设五香味每包x元，原味每包元，原味每包y元元. . 依题意，可列方程组：依题意，可列方程组： 1210146, 6888. xy xy 解得：解得： 8, 5. x y 102010 8 20 5 180 xy 元 所以老师带所以老师带200元能买到所需牛肉干元能买到所需牛肉干. . 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 课堂检测课堂检测 5.5 5.5 应用应用二元一次方程组二元一次方程组里程碑上的数里程碑上的数/ / 解解：设刚好买五香味设刚好买五香味x包，原味包，原味y包包. . 25, 0 x y ； 85200 xy元 （2）现在老师想刚好用完这）现在老师想刚
31、好用完这200元钱，你能想出哪些牛肉干元钱，你能想出哪些牛肉干 的包数组合形式？的包数组合形式？ 200 55 25 88 y xy 因因为为x，y为非负整数为非负整数 20, 8 x y ； 10, 24 x y ； 15, 16 x y ； 5, 32 x y ； 0, 40 x y ； 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 课堂检测课堂检测 5.5 5.5 应用应用二元一次方程组二元一次方程组里程碑上的数里程碑上的数/ / 1.在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们 往往可以往往可以借助列方程组借助列方程组的方法来处理这些问题的方法来处理这些问题. 3.要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的， 应根据具体问题灵活选用应根据具体问题灵活选用. 通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握： 2.这种处理问题的过程可以进一步概括为：这种处理问题的过程可以进一步概括为： 课堂小结课堂小结 5.5 5.5 应用应用二元一次方程组二元一次方程组里程碑上的数里程碑上的数/ / 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
