1、专练 02 三角形中的数量和位置关系 1.如图 1，ACCH 于点 C ， 点 B 是射线 CH 上一动点，将 ABC 绕点 A 逆时针旋转 60 得到 ADE(点 D 对应点 C) (1)延长 ED 交 CH 于点 F ， 求证：FA 平分CFE； (2)如图 2，当CAB60 时，点 M 为 AB 的中点，连接 DM ， 请判断 DM 与 DA、DE 的数量关系，并 证明 【答案】 (1)如图 1 中， ADE 由 ABC 旋转得到， ACAD，ACFADEADF90 ，AF=AF (HL)， ， FA 平分CFE； (2)结论： ， 理由如下：如图 2 中，延长 AD 交 BC 于 F，
2、连接 CD， ACAD，CAD60 ， ACD 为等边三角形， ADCDAC， ACF90 ，CAF60 ， AFC30 ， ADAC AF， ADDF， D 为 AF 的中点， 又M 为 AB 的中点， DM FB，即 FB=2DM 在 Rt AFC 中，FC AC= AD， ， 2.在 中， ， (与点 ， 不重合)为 边上一动点，连接 ，以 为直角 边，在 的右侧作等腰直角三角形 ，直线 与 相交于点 ，连接 (1)如图 1，如果 直线 与 之间的位置关系是_； 线段 ， ， ， 的数量关系是_ (2)如图 2，如果 ，(1)中的结论是否还成立，为什么？ (3)若 ， ，求 的长 【答案
3、】 (1)解：CE 与 BD 位置关系是垂直； 证明如下： AB=AC，ACB=45 ， ABC=45 由等腰直角三角形 得 AD=AE，AED=45 DAE=BAC=90 ， DAB=EAC， DABEAC(SAS)， ACE=ABC=45 BCE=ACB+ACE=90 即 CEBD线段 ， ， ， 的数量关系是 理由：AED=ACB=45 ，AFE=DFC AFEDFC (2)解：(1)中的结论还成立， 理由：过点 A 作 AGAC 交 BC 于点 G， AC=AG，AGC=45 ， 即 ACG 是等腰直角三角形， GAD+DAC=90 =CAE+DAC， GAD=CAE， 又DA=EA，
4、 GADCAE， ACE=AGD=45 ， BCE=ACB+ACE=90 ， 即 CEBD AED=ACB=45 ，AFE=DFC AFEDFC (3)解：过 A 作 AMBC 于 M, ACB=45 ， AMC 是等腰直角三角形， CD=CM-DM= AFEDFC ； 3.回答下列问题 (1)(问题提出) 如图 1， 与 均是顶角为 的等腰三角形， ， 分别是底边，求证： ； 图 1 (2)(类比延伸) 如图 2， 与 均为等边三角形，点 A，D，E 在同一直线上，连接 填空： 的度数为_，线段 与 之间的数量关系为_ 图 2 (3)(拓展研究) 如图 3， 与 均为等腰直角三角形， ， 点
5、 A， D， E 在同一直线上， 于点 M，连接 请求出 的度数及线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由 图 3 【答案】 (1)解： ， ， 即 在 和 中， ， (2) ， ； 和 均为等边三角形， ， ， ， ， 即 ， 在 和 中， ， ， ， ， 点 A，D，E 在同一直线上， ， ； (3)解： 和 均为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 即 ， 在 和 中， ， ， ， ， 点 A，D，E 在同一直线上， ， ， ， ， ， ， ， 即线段 ， ， 之间的数量关系为 4.八年级数学课上，老师出示了如图框中的题目 如图， 在等边三角形 中， 点 E 在 上， 点 D 在 的延长
6、线上， 且 ， 试确定线段 与 的大小关系，并说明理由 小华与同桌 小明讨论后，进行了如下解答 (1)特殊情况入手探索： 当点 E 为 的中点时， 如图 1， 确定线段 与 的大小关系 请你直接写出结论： _ (填“ ”，“ ”或“ ”) (2)一般情况进行论证： 对原题中的一般情形，二人讨论后得出(1)中的结论仍然成立，并且可以通过构造一个三角形与 全等 来证明以下是他们的部分证明过程： 证明：如图 2，过点 E 作 ，交 于点 F(请完成余下的证明过程) (3)应用结论解决问题： 在边长为 的等边三角形 中， 点 E 在直线 上， 且 ， 点 D 在直线 上， 则 _(直接写出结果) 【答
7、案】 (1)当点 E 为 AB 的中点时，如图 1，结论：AE=DB， 理由：ABC 是等边三角形，点 E 为 AB 的中点， BCE=30 ， ED=EC， D=BCE=30 ， ABC=60 ， D=BED=30 ， BD=BE， AE=BE， AE=DB； (2)解：题目中，AE 与 DB 的大小关系是：AE=DB， 理由如下：如图 2，过点 E 作 EFBC，交 AC 于点 F AEF=ABC，AFE=ACB，BCE=CEF， ABC=ACB=60 ， AEF=AFE=60 ， AEF 是等边三角形， AE=EF， DE=CE， D=BCE， D=CEF， ABC=AFE=60 ， D
8、BE=EFC=120 ， 在 DBE 和 EFC 中， ， DBE EFC(AAS)， EF=DB， AE=DB； (3) ， 的边长为 ， 点可能在线段 上，也可能在 的延长线上， 当点 E 在 时，由(2)可知 ，则 ， 当点 E 在 的延长线上时，如图 3，过点 E 作 ，交 的延长线于点 F， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， 在 和 中， 5.如图，在四边形 中， 的角平分线与边 交于点 E， 的角平分线交直线 于点 O. (1)若点 O 在四边形 的内部， 如图，若 ， ， ，则 ( )； 如图，试探索 、 、 之间的数量关系，并将你的探索过程写下来. (2)如图
9、，若点 O 是四边形 的外部，请你直接写出 、 、 之间的数量关系. 【答案】 (1)ADBC，B=40 ，C=70 ， BAD=140 ，ADC=110 ， AE、DO 分别平分BAD、CDA， BAE=70 ，ODC=55 ， AEC=110 ， DOE=360 -110 -70 -55 =125 ； 故答案为 125； 平分 平分 . (2) 6.如图 1， 在四边形 中， ， ， 它的两边分别交 、 点 且 (1)求证： (2)如图 2，当 的两边分别交 的延长线于点 ，其余条件均不变时，(1)中的结论是否成 立？如果成立，请证明如果不成立，线段 又有怎样的数量关系？并证明你的结论 【
10、答案】 (1)证明：延长 到 ，使 ，连接 ，如图所示： ， ， 在 和 中 ， ， ， ， ， ， 在 和 中 ， ， ； (2)解：不成立，AE=CF+EF，理由如下： 在 AE 上截取 AH=CF，连接 BH，如图所示： ， ， AB=CB， ABHCBF(SAS)， BH=BF，ABH=CBF， ，EBF=CBF+CBE，ABC=CBE+EBH+ABH， EBF=EBH， EB=EB， EBFEBH(SAS)， CF=AH，EF=EH， AE=AH+HE， AE=CF+EF 7.如图, 已知 ABC 中, BAC=90 , AB=AC, AE 是过 A 的一条直线, 且 B、C 在 A
11、E 的异侧, BDAE 于 D, CEAE 于 E. (1)求证: BD=DE+CE. (2)若直线 AE 绕 A 点旋转到图位置时(BDCE), 其余条件不变, 问 BD 与 DE、CE 的数量关系如何? 请直 接写出结果, 不需证明. (4)根据以上的讨论，请用简洁的语言表达 BD 与 DE,CE 的数量关系 【答案】 (1)证明：BDAE，CEAE ADB=CEA=90 ABD+BAD=90 又BAC=90 EAC+BAD=90 ABD=CAE 在 ABD 与 ACE ABDACE BD=AE,AD=EC BD=DE+CE (2)解：BDAE，CEAE ADB=CEA=90 ABD+BA
12、D=90 又BAC=90 EAC+BAD=90 ABD=CAE 在 ABD 与 ACE ABDACE BD=AE,AD=EC BD=DECE (3)解：同理：BD=DECE (4)解：归纳：由(1)(2)(3)可知：当 B,C 在 AE 的同侧时，BD =DE CE；当 B,C 在 AE 的异侧时， BD=DE+CE 8.综合与实践 如图 1 所示，已知 A、B 为直线 l 上两点，点 C 为直线 l 上方一动点，连接 AC、BC，分别以 AC、BC 为边 向 ABC 外部作等腰直角 CAD 和等腰直角 CBE，CADCBE90 ，过点 D 作 DFl 于点 F，过 点 E 作 EGl 于点
13、G (1)如图 2，当点 E 恰好在直线 l 上时(此时 G 与 E 重合)，试证明：DF=AB； (2)在图 1 中，当 D、E 两点都在直线 l 的上方时，试探求三条线段 DF、EG、AB 之间的数量关系，并说明 理由； (3)如图 3，当点 E 在直线 l 的下方时，请直接写出三条线段 DF、EG、AB 之间的数量关系(不需要证明) 【答案】 (1)证明：DACCBE90 ， ABC180 CBE90 ， DAFCAB180 DAC90 ，ACBCAB90 ， DAFACB， DFAB， DFAABC90 ， ADAC， DFAABC， DFAB； (2)解：ABDFEG； 证明：过 C
14、 作 CMAB 于 M， DFAB， DFAAMC90 ，又CAD90 ADFDAF=90 ，CAMDAF90 ， ADFCAM， ADAC，DFAAMC90 ， DFAAMC， DFAM， 同理： CMBBGE，可得 BMEG， ABAMBMDFEG； (3)ABDFEG 理由为： 如图 3，过点 C 作 CH直线 l 于 H， DFAAHC90 ，又CAD90 ADFDAF=90 ，CAHDAF90 ， ADFCAH， ADAC，DFAAHC90 ， DFAAHC， DFAH， 同理：BHEG， ABAHBHDFEG 9.请阅读下列材料： 问题：在四边形 ABCD 中，M 是 BC 边的中
15、点，且AMD=90 (1)如图 1，若 AB 与 CD 不平行，试判断 AB+CD 与 AD 之间的数量关系； 小雪同学的思路是：延长 DM 至 E 使 DM=ME，连接 AE，BE，构造全等三角形，经过推理使问题得到解 决请你参考小雪的思路，在图 1 中把图形补充完整，并直接写出上面问题 AB+CD 与 AD 之间的数量关系： (2)如图 2，若在原条件的基础上，增加 AM 平分BAD，(1)中结论还成立吗？若不成立，写出 AB+CD 与 AD 之间的数量关系，并证明 【答案】 (1)解： AB 与 CD 不平行 根据题意,延长 DM 使 DM=EM，连接 BE，AE，EC，BD 由于 M
16、是 BC 的中点，故 BM=MC 四边形 BECE 是平行四边形 CD=BE 又 EM=DM，且AMD=90 是等腰三角形 AD=AB 在 中， (2)解：若在原条件的基础上，增加 AM 平分BAD 则(1)的结论不成立 关系为： 证明：由于 M 是 BC 的中点，故 BM=MC 四边形 BECE 是平行四边形 CD=BE 又 EM=DM,且AMD=90 是等腰三角形 AD=AE 又 AM 平分BAD 点 A.B.E 必然共线 10.已知四边形 ABCD 中，ABAD ， BCCD ， AB=BC ， ABC=120，MBN=60，MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD ， DC(或它们
17、的延长线)于 E ， F (1)当MBN 绕 B 点旋转到 AE=CF 时(如图 1)， 试猜想线段 AE、 CF、 EF 之间存在的数量关系为_ (不 需要证明)； (2)当MBN 绕 B 点旋转到 AECF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予 证明；若不成立，线段 AE、CF、EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明 【答案】(1)如图 1，AE+CF=EF，理由如下： ABAD，BCCD， A=C=90 ， AB=BC，AE=CF， ABECBF(SAS)， ABE=CBF，BE=BF， ABC=120 ，MBN=60 ， ABE=CBF=3
18、0 ， ， MBN=60 ，BE=BF， BEF 是等边三角形， ， 故答案为 AE+CF=EF； (2)解：如图 2，(1)中结论成立；理由如下： 延长 FC 到 H，使 CH=AE，连接 BH， ABAD，BCCD， A=BCH=90 ， BCHBAE(SAS)， BH=BE，CBH=ABE， ABC=120 ，MBN=60 ， ABE+CBF=120 -60 =60 ， HBC+CBF=60 ， HBF=MBN=60 ， HBF=EBF， HBFEBF(SAS)， HF=EF， HF=HC+CF=AE+CF， EF=AE+CF， 如图 3，(1)中的结论不成立，为 AE=EF+CF，理由
19、如下： 在在 AE 上截取 AQ=CF，连接 BQ， ABAD，BCCD， A=BCF=90 ， AB=BC， BCFBAQ(SAS)， BF=BQ，CBF=ABQ， MBN=60 =CBF+CBE， CBE+ABQ=60 ， ABC=120 ， QBE=120 -60 =60 =MBN， FBE=QBE， FBEQBE(SAS)， EF=QE， AE=QE+AQ=EF+CE， AE=EF+CF 11.在 ABC 中，AB=AC，点 D 是射线 CB 上的一动点(不与点 B、C 重合)，以 AD 为一边在 AD 的右侧作 ADE，使 AD=AE，DAE=BAC，连接 CE (1)如图 1，当点
20、 D 在线段 CB 上，且BAC=90 时，那么DCE=度； (2)设BAC=，DCE= 如图 2，当点 D 在线段 CB 上，BAC90时，请你探究 与 之间的数量关系，并证明你的结论； 如图 3，当点 D 在线段 CB 的延长线上，BAC90时，请将图 3 补充完整，并直接 写出此时 与 之 间的数量关系(不需证明) 【答案】 (1)解：BAC=DAE，BAC-DAC=DAE-DAC，即BAD=CAE， 又 AB=AC，AD=AE，BADCAE，ABD=ACE， DCE=DCA+ACE=DCA+ABD=180 -BAC=180 -90 =90 ， 故答案为 90； (2)解： 与 之间的数
21、量关系是 =180 -，证明如下： 与(1)类似有 BADCAE，ABD=ACE， =DCE=DCA+ACE=DCA+ABD=180 -BAC=180 -； 由已知，可把图 3 补充如下： 则此时有 =. 由已知，可把图 3 补充如下： 则此时有 =，理由如下： 与(1)类似仍有 BADCAE，ABD=ACE， DCE=ACE-DCA=ABD-DCA=BAC，即 = 12.如图 1 所示，在 Rt ABC 中，C = 90 ，D 是线段 CA 延长线上一点，且 AD = AB，F 是线段 AB 上一 点，连结 DF，以 DF 为斜边作等腰直角三角形 DFE，连结 EA，EA 满足条件 EAAB
22、. (1)若AEF = 20 ，ADE = 50 ，BC = 2，求 AB 的长度. (2)求证:AE = AF + BC. (3)如图 2 所示，F 是线段 BA 延长线上一点，其他条件不变，探究 AE，AF，BC 之间的数量关系，并证明 你的结论. 【答案】 (1)解：如答图 1 所示, 在等腰直角三角形 DEF 中,DEF=90 ， 1=20 2=DEF-1=70 . EDA2+3=180 , 3=60 .EAAB, EAB=90 . 3EABL4=180 , 4=30 . C=90 , AB=2BC=4. (2)证明：如答图 1 所示,过点 D 作 DMAE 于点 M,则在 DEM 中
23、,25=90 . 21=90 , 1=5 在 DEM 和 EFA 中， DEM EFAAF=EM. 4B=90 ,3EAB4=180 3 十4=90 3=B. 在 DAM 和 ABC 中, DAM ABC BC=AM AE=EMAM=AFBC. (3)解：AE 十 AF=BC. 证明:如答图 2 所示 过点 D 作 DMAE 交 AE 的延长线于点 M. C=9o , 1+B=90 . 2MAB1=180 , MAB=90 ， 21=90 2=B. 在 ADM 和 BAC 中， ADM BAC BC=AM. EF=DE,DEF=90 ,3+DEF4=180 , 34=90 . 35=90 , 4=5. 在 MED 和 AFE 中, :.AE 十 AF=AE 十 ME=AM=BC, 即 AE 十 AF=BC.
