1、专练 04 三角形中的比值问题 1.请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题 (1)如图(1)，将角尺放在正方形 上，使角尺的直角顶点 与正方形 的顶点 重合，角尺的 一边交 于点 ，另一边交 的延长线于点 求证： (2)如图(2)，移动角尺，使角尺的顶点 始终在正方形 的对角线 上，其余条件不变，请你思 考后直接回答 和 的数量关系： _ (用“”或“”填空) (3)运用(1)、 (2)解答中所积累的活动经验和数学知识， 完成下题： 如图(3)， 将(2)中的“正方形 ”改成“矩 形 ”，使角尺的一边经过点 (即点 、 重合)，其余条件不变，若 ， ，求 的值 【答案】 (1)证明：
2、， ， 又 ， ， (ASA) (2)EF=EG ， 理由如下： 如图， 过点 作 于点 ，作 于点 ， 则 ， ， 又 ， (3)解：如图，过点 作 于点 ，作 于点 ， 则 ， ， ， 又 ， ， 2.阅读下面材料： 小昊遇到这样一个问题： 如图 1， 在 ABC 中， ACB=90 ， BE 是 AC 边上的中线， 点 D 在 BC 边上， CD： BD=1：2，AD 与 BE 相交于点 P，求 的值 小昊发现，过点 A 作 AFBC，交 BE 的延长线于点 F，通过构造 AEF，经过推理和计算能够使问题得到 解决(如图 2)请回答： 的值为 参考小昊思考问题的方法，解决问题： 如图 3
3、， 在 ABC 中， ACB=90 ， 点 D 在 BC 的延长线上， AD 与 AC 边上的中线 BE 的延长线交于点 P， DC：BC：AC=1：2：3 (1)求 的值； (2)若 CD=2，则 BP=_ 【答案】 (1)过点 A 作 AFDB，交 BE 的延长线于点 F，如图，设 DC=k，由 DC：BC=1：2 得 BC=2k， DB=DC+BC=3k E 是 AC 中点，AE=CEAFDB，F=1在 AEF 和 CEB 中，F=1，2=3， AE=CE，AEFCEB，EF=BE，AF=BC=2kAFDB，AFPDBP， = = = = ， 的值为 (2)当 CD=2 时，BC=4，A
4、C=6，EC= AC=3，EB= =5，EF=BE=5，BF=10 = (已证)， = ，BP= BF= 10=6故答案为 6 3.已知点 E 在 ABC 内，ABCEBD，ACBEDB60 ，AEB150 ，BEC90 . (1)当 60 时(如图 1)， 判断 ABC 的形状，并说明理由； 求证：BD AE； (2)当 90 时(如图 2)，求 的值. 【答案】 (1)解：判断： ABC 是等边三角形. 理由：ABC=ACB=60 BAC=180 -ABC-ACB=60 =ABC=ACB ABC 是等边三角形 证明：同理 EBD 也是等边三角形 连接 DC， 则 AB=BC，BE=BD，A
5、BE=60 -EBC=CBD ABECBD AE=CD，AEB=CDB=150 EDC=150 -BDE=90 CED=BEC-BED=90 -60 =30 在 Rt EDC 中， ， ,即 BD= AE. (2)解：连接 DC， ABC=EBD=90 ，ACB=EDB=60 ABCEBD ，即 又ABE=90 -EBC=CBD ABECBD，AEB=CDB=150 ， EDC=150 -BDE=90 CED=BEC-BED=90 -(90 -BDE)=60 设 BD=x 在 Rt EBD 中 DE=2x，BE= 在 Rt EDC 中 CD=DE tan60 =2 ， 即 . 4.据图回答问题
6、： 如图 如图 如图 (1)如图， 在 中， 点 D 为边 延长线上的点，若 ，过点 D 作 交 延长 线于点 E，若 ，求 的长 (2)(探究)如图， 在 中， 点 D 时边 上的点， 点 E 是边 的中点， 连结 、 交 于点 F， ，小明尝试探究 的值，在图中，小明过点 D 作 交 于点 M，易证 ， 则 ， 从而得到 的值为_； 易证 ， 则 ， 从而得到 的值为_；从而得到 的值为_ (3)(应用)如图， 在 中， 点 D 是边 上的点， E 为边 延长线上的点， 连结 ， 延长 ， 交 于点 F，若 ， 且 的面积为 1，则 的面积为_ 【答案】 (1)解： ， D=B，E=C，
7、ADEABC， ， BC=2DE， DE=5， BC=10 (2)【探究】过点 D 作 交 于点 M， DFMCFE， ， E 为 AC 的中点， AE=CE, ， ， DBMABE， ， ， ， 设 EF=3x，则 MF=2x， ME=5x，BM=10 x， BF=BM+MF=12x， 故答案为 ， ， ； (3)【应用】如图，过点 D 作 MNEC 交 BE 于 M，交 BC 于 N，过点 F 作 FGEC 交 AB 于点 G,设 ABC 以 AC 为底的高为 H ， ， BD=2AD，AC=3AE， ，EC=4AE， FGEC， BFGBEA， ， DM= AE， ， ， ， ， S 梯
8、形 AEHD ， S 四边形 AEFD S 梯形 AEHD ， ， AE H=2， S 四边形 AEFD ， S 四边形 AEFD 5.如图，等腰 Rt ACB 中，ACB=90 ，AC=BC ， E 点为射线 CB 上一动点，连接 AE ， 作 AFAE 且 AF=AE (1)如图 1，过 F 点作 FGAC 交 AC 于 G 点，求证： AGFECA； (2)如图 2，连接 BF 交 AC 于 G 点，若 AC=BC=4，AG=3，求证：E 点为 BC 中点； (3)如图 3，当 E 点在 CB 的延长线上时，连接 BF 与 AC 的延长线交于 D 点，若 ，求 的值 【答案】 (1)证明
9、：AFAE， FAG+CAE=90 ， CAE+CEA=90 ， FAG=CEA， 在 AGF 和 ACE 中， ) ， AGFECA (AAS). (2)证明：如图，作 FHAC， 由(1)知 AHFACE， FH=AC，AH=CE， BC=AC， FH=BC， 在 FHG 和 BCG 中， ) ， FHGBCG(AAS)， CG=HG， CG=AC-AG=4-3=1， HG=1， AH=AC-CG-HG=4-1-1=2， CE=AH=2， BC=4， E 为 BC 的中点. (3)解：如图，作 FHAC，交 AC 的延长线于一点 H， 由(1)知 AHFECH， AH=CE， 设 BC=4
10、，BE=3， CE=BC+BE=7， AH=7， AC=BC=4， CH=AH-AC=7-4=3， 由题(2)知 FHDBCD， CD=DH= ， AD=AC+CD=4+ = ， AD：CD= ： =11:3. 6.如图 1， 为等腰三角形， ，点 在线段 上(不与 、 重合)，以 为腰长 作等腰直角 ， 于 . (1)求证： ； (2)连接 交 于 ，若 ，求 的值. (3)如图 2， 过 作 于 的延长线于点 ， 过 点作 交 于 ， 连接 ， 当点 在线段 上运动时(不与 重合)，式子 的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化， 请说明理由. 【答案】 (1)证明：ACB 为等腰三角形，A
11、BC=90 ，点 P 在线段 BC 上(不与 B，C 重合)，以 AP 为 腰长作等腰直角 PAQ，QEAB 于 E. AP=AQ，ABQ=QEA=90 ，QAE+BAP=BAP+APB=90 ， QAE=APB， 在 PAB 和 AQE 中， PABAQE(AAS) (2)解： PABAQE， AE=PB， AB=CB， QE=CB. 在 QEM 和 CBM 中， QEMCBM(AAS)， ME=MB， AB=CB，AE=PB，PC=2PB， BE=PC， PC=2PB， PC=2MB， (3)解：式子 的值不会变化. 如下图所示：作 HAAC 交 QF 于点 H， QAAP，HAAC，AP
12、PD， QAH+HAP=HAP+PAD=90 ，AQH=APD=90 ， QAH=PAD， PAQ 为等腰直角三角形， AQ=AP， 在 AQH 和 APD 中， AQHAPD(ASA)， AH=AD，QH=PD， HAAC，BAC=45 ， HAF=DAF， 在 AHF 和 ADF 中， AHFADF(SAS)， HF=DF， 7.如图，在 中， ，M 是 AC 边上的一点，连接 BM，作 于点 P，过点 C 作 AC 的垂线交 AP 的延长线于点 E. (1)如图 1，求证： ； (2)如图 2，以 为邻边作 ，连接 GE 交 BC 于点 N，连接 AN，求 的值； (3)如图 3，若 M
13、 是 AC 的中点，以 为邻边作 ，连接 GE 交 BC 于点 M，连接 AN，经探 究发现 ，请直接写出 的值. 【答案】 (1)解：证明 ， (2)解：过点 E 作 CE 的垂线交 BC 于点 F 四边形 是平行四边形 由(1)得 . . (3)解：如图，延长 GM 交 BC 于 F，连接 AF 在 中，AB GM， ， ， ， ， ， ， ， , ，设 CN=x，则 BC=8x，AF=FC=4x，FN=3x, 在 中， , 在 中 ， ， ， ， ， 由(1)知 ， ， 在 中，EG= ， . 8.如图 1， ABC 中，点 D，E，F 分别在边 AB，BC，AC 上，BE=CE，点 G
14、 在线段 CD 上，CG=CA， GF=DE，AFG=CDE。 (1)填空：与CAG 相等的角是_。 (2)用等式表示线段 AD 与 BD 的数量关系，并证明； (3)若BAC=90 ，ABC=2ACD(如图 2)，求 的值。 【答案】(1)CACG， CAGCGA， 故答案为：CGA； (2)解：AD BD，理由是： 如图， 在 CG 上取点 M，使 GMAF，连接 AM，EM， CAGCGA，AGGA， AGMGAF(SAS)， AMGF，AFGAMG， GFDE，AFGCDE， AMDE，AMGCDE， AMDE， 四边形 AMED 为平行四边形， ADEM，ADEM， BECE，即点
15、E 为 BC 中点， ME 为 BCD 的中位线， ADME BD； (3)解：延长 BA 至点 N，使 ADAN，连接 CN， BACNAC90 ， AC 垂直平分 DN， CDCN， ACDACN， 设ACDACN，则ABC2， 则ANC90， BCN1802(90)90， BNBC，即 BCN 为等腰三角形， 设 AD1，则 AN1，BD2， BCBN4，AB3， AC ， . 9.如图，在 中， ， ， 绕点 C 按顺时针方向旋转得到 ， 与 交于点 D (1)如图，当 时，过点 B 作 ，垂足为 E ， 连接 求证： ； 求 的值； (2)如图， 当 时， 过点 D 作 ， 交 于点
16、 N ， 交 的延长线于点 M ， 求 的 值 【答案】 (1) 绕点 C 按顺时针方向旋转得到 ， A=A ， ACA =A ， ACA =A， AD=CD， ACD+BCD=90 ，A+ABC=90 BCD=ABC BD=CD AD=BD， BCD=ABC=CEM，ACB=BEC=EMC=90 ACBBECCME，BC=2，AC=4 设 CE=x，在 Rt CEB 中，BE=2x，BC=2， 则 解得 即 ，BE= 同理可得：EM= S BEC= S ACE= S ABC= S ABE= S ABC-S ACE-S BEC = (2)在 Rt ABC 中，BC=2，AC=4， 则 AB=
17、解得：CD= A=BCD，ADC=BDC ADCBDC CD2=BD AD 即 - 解得：AD= DMA B A =CDM，A CB =DAN CDNCA B ，即 ADC=A CB =90 CNAB 10.已知： 的高 所在直线与高 所在直线相交于点 F (1)如图 1，若 为锐角三角形，且 ， ，过点 F 作 ，交直线 于 点 G，请直接写出 、 、 之间的数量关系：_； (2)如图 2，若 ，过点 F 作 ，交直线 于点 G，探究 、 、 之间满 足的数量关系并加以证明； (3)在(2)的条件下，将一个 角的顶点与点 B 重合并绕点 B 旋转，这个角的两边分别交线段 于 M、 N 两点(
18、如图 3)，连接 ，线段 分别与线段 、线段 、线段 相交于 P、Q、H 三点 探究 ， ， 之间数量关系并加以证明； 求证： 【答案】(1)结论：FG+DC=AD 理由：如图 1 ADB=90 ，ABD=45 ， ADC=BDF=90 ，BAD=45 ， AD=BD， C+DBF=90 ，C+DAC=90 ， DBF=DAC， (ASA)， DF=DC， FGBD， AFG=ADB=90 ， AGF=ABD=45 ， FG=AF， FG+DC=AF+DF=AD， 故答案为：FG+CD=AD (2)解：结论：FG=DC+BD； 理由如下： 如图 2 所示： ADB=90 ， FGBD， ABD
19、 和 AGF 都是等腰直角三角形， AD=BD，AF=FG， ACBF， CEB=90 ， C+CBE=90 ， C+DAC=90 ，CBE=DBF， DAC=DBF， (ASA)， DC=DF， AF=DF+AD=DC+AD， FG=DC+AD (3)解：解：结论：ACD=FBM+NBG 理由：如图 3 中， 过点 B 作 BTFG 于 T BTG=90 ， G=45 ， TBG=45 ， MBN=45 ， MBT+NBT=NBT+GBN=45 ， MBT=GBN， FBM+GBN=FBM+MBT=FBT， BCFG， FBD=BFT， ECB+EBC=90 ，BFT+FBT=90 ， EC
20、B=FBT， ACD=FBM+NBG 证明： 中，CD，FE 是三角形的高， AHCF， 11.如图， ACB 为等腰三角形，ABC=90 ，点 P 在线段 BC 上(不与 B，C 重合)，以 AP 为腰长作 等腰 直角 PAQ，PAQ=90 ，QEAB 于 E. (1)求证： PABAQE； (2)连接 CQ 交 AB 于 M，若 PC=2PB，求 的值； 【答案】 (1)证明：ACB 为等腰三角形，ABC90 ，点 P 在线段 BC 上(不与 B，C 重合)，以 AP 为 腰长作等腰直角 PAQ，QEAB 于 E. APAQ，ABPQEA90 ，QAEBAPBAPAPB90 ， QAEAP
21、B， 在 PAB 和 AQE 中， ， PABAQE(AAS)； (2)解：由(1)知， PABAQE， AEPB， ABCB， QECB. 在 QEM 和 CBM 中， ， QEMCBM(AAS)， MEMB， ABCB，AEPB，PC2PB， BEPC， PC2PB， PC2MB， 2. 12.已知 ， ， ，D 是 边上一点，连接 ，E 是 上一点，且 (1)如图 1，若 ， 求证： 平分 ； 求 的值； (2)如图 2，连接 ，若 ，求 的值 【答案】 (1)解：证明： ， ， ， ， ， ， ， 即 ， 平分 解：过点 D 作 于点 F， ， 又 平分 ， ， 在 中， ， ， (2)解：证法一：过点 A 作 交 的延长线于点 G，连接 ， 又 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， 在 中， 证法二： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 中， ， ， ， 在 中，
