1、专练 05 三角形中的最值问题 1.几何探究题 (1)发现：在平面内，若 ， ，其中 当点 A 在线段 BC 上时，线段 AC 的长取得最小值，最小值为_； 当点 A 在线段 CB 延长线上时，线段 AC 的长取得最大值，最大值为_ (2)应用：点 A 为线段 BC 外一动点，如图 2，分别以 AB、AC 为边，作等边 ABD 和等边 ACE ， 连接 CD、BE 证明： ； 若 ， ，则线段 BE 长度的最大值为_ (3)拓展：如图 3，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 ， ，点 B 的坐标为 ， ，点 P 为线 AB 外 一动点，且 ， ， 请直接写出线段 AM 长的最大值及此时点 P
2、 的坐标 【答案】(1)当点 A 在线段 BC 上时，线段 AC 的长取得最小值，最小值为 BC-AB， BC=b，AB=a， BC-AB=b-a， 当点 A 在线段 CB 延长线上时，线段 AC 的长取得最大值，最大值为 BC+AB， BC=b，AB=a， BC+AB=b+a， 故答案为：b-a，b+a； （2）解：CD=BE， 理由：ABD 与 ACE 是等边三角形， AD=AB，AC=AE， BAD=CAE=60 ， BAD+BAC=CAE+BAC， 即CAD=EAB， 在 CAD 与 EAB 中， ， CADEAB(SAS)， CD=BE；7 线段 BE 长的最大值=线段 CD 的最大
3、值， 由(1)知，当线段 CD 的长取得最大值时，点 D 在 CB 的延长线上， 最大值为 BE=CD=BD+BC=AB+BC=5+2=7； 故答案为：7 (3)解：最大值为 5+2 ； P(2- ， ) 如图 1，连接 BM， 将 APM 绕着点 P 顺时针旋转 90 得到 PBN，连接 AN，则 APN 是等腰直角三角形， PN=PA=2，BN=AM， A 的坐标为(2，0)，点 B 的坐标为(7，0)， AO=2，OB=7， AB=5， 线段 AM 长的最大值=线段 BN 长的最大值， 当 N 在线段 BA 的延长线时，线段 BN 取得最大值， 最大值=AB+AN， AN= AP=2 ，
4、 最大值为 5+2 ； 如图 2，过 P 作 PEx 轴于 E， APN 是等腰直角三角形， PE=AE= ， OE=OA-AE=2- ， P(2- ， ) 2.阅读下列材料，解决提出的问题： 【最短路径问题】 如图(1)，点 A，B 分别是直线 l 异侧的两个点，如何在直线 l 上找到一个点 C，使得点 C 到点 A，点 B 的距 离和最短？我们只需连接 AB，与直线 l 相交于一点，可知这个交点即为所求. 如图(2)，如果点 A，B 分别是直线 l 同侧的两个点，如何在 l 上找到一个点 C，使得这个点到点 A、点 B 的 距离和最短？我们可以利用轴对称的性质，作出点 B 关于的对称点 B
5、，这时对于直线 l 上的任一点 C，都 保持 CBCB，从而把问题(2)变为问题(1).因此，线段 AB与直线 l 的交点 C 的位置即为所求. 为了说明点 C 的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点 C，连接 AC，BC，BC. 因为 ABAC+CB ， AC+CBAC+CB，即 AC+BC 最小. (1)【数学思考】 材料中划线部分的依据是_. (2)材料中解决图(2)所示问题体现的数学思想是 .(填字母代号即可) A.转化思想 B.分类讨论思想 C.整体思想 (3)【迁移应用】 如图 3，在 Rt ABC 中，C90 ，BAC15 ，点 P 为 C 边上的动点，点 D 为 AB 边
6、上的动点，若 AB 6cm，求 BP+DP 的最小值. 【答案】 (1)两点之间线段最短或者三角形任何两边的和大于第三边 (2)A (3)解：如图，作点 B 关于点 C 的对称点 B，连接 AB.作 BHAB于 H. 作点 D 关于 AC 的对称点 D，则 PDPD， PB+PDPB+PD， 根据垂线段最短可知，当点 D与 H 重合，B，P，D共线时，PB+PD 的最小值线段 BH 的长， BCCB，ACBB， ABAB， BACCAB15 ， BAH30 ， 在 Rt ABH 中，AB3cm，BAH30 ， BH AB3cm， PB+PD 的最小值为 3cm 3.如图 (1)性质：角平分线上
7、的点到角两边的距离相等，如图 1：OP 平分MON，PCOM 于 C，PBON 于 B， 则 PB_PC(填“ ”“ ”或“=”)； (2)探索：如图 2，小明发现，在 ABC 中，AD 是BAC 的平分线，则 ，请帮小明说明原因. (3)应用：如图 3，在小区三条交叉的道路 AB，BC，CA 上各建一个菜鸟驿站 D，P，E，工作人员每天来回 的路径为 PDEP， 问点 P 应选在 BC 的何处时，才能使 PD+DE+PE 最小？ 若BAC=30 ，S ABC=10，BC=5，则 PD+DE+PE 的最小值是多少？ 【答案】(1)OP 平分MON，PCOM 于 C，PBON 于 B， PB=P
8、C (2)解：理由：过点 D 作 DEAB 于 E，DFAC 于 F AD 是BAC 的平分线， DE=DF ； (3)解：过点 A 作 APBC 于 P，分别作点 P 关于 AB、AC 的对称点 P1、P2 ， 连接 P1P2 分别交 AB、 AC 于 D、E，连接 PD、PE、AP1、AP2 ， 由对称的性质可得 AP1=AP=AP2 ， DP1=DP，EP2=EP， PD+DE+PE= DP1+DE+ EP2= P1P2 ， 根据两点之间，线段最短和垂线段最短，即可得出此时 PD+DE+PE 最小，即 P1P2 的长 即当 APBC 于 P 时，PD+DE+PE 最小； S ABC=10
9、，BC=5， BC AP=10 解得：AP=4 由对称的性质可得 AP1=AP=AP2=4，DP1=DP，EP2=EP，DAP1=DAP，EAP2=EAP DAP1EAP2=DAPEAP=DAE=30 P1AP2=60 P1AP2 是等边三角形 P1P2= AP1=4 即 PD+DE+PE 的最小值是 4. 4.如图 (1)探索 1：如图 1，点 A 是线段 BC 外一动点，若 AB2，BC4，填空：当点 A 位于_线段 AC 长取得最大值，且最大值为_； (2)探索 2：如图 2，点 A 是线段 BC 外一动点，且 AB1，BC3，分别以 AB、BC 为直角边作等腰 直角三角形 ABD 和等
10、腰直角三角形 CBE，连接 AC、DE. 请找出图中与 AC 相等的线段，并说明理由； 直接写出线段 DE 长的最大值； (3)如图 3，在平面直角坐标系中，已知点 A(2，0)、B(5，0)，点 P、M 是线段 AB 外的两个动点，且 PA 2，PMPB，BPM90 ，求线段 AM 长的最大值及此时点 P 的坐标. (提示：在图 4 中作 PNPA，PN=PA，连接 BN 后，利用探索 1 和探索 2 中的结论，可以解决这个问 题) 【答案】(1)点 A 为线段 BC 外一动点，且 AB=2，BC=4， 当点 A 位于 CB 的延长线上时，线段 AC 的长取最大值，最大值为 ， 故答案是：C
11、B 的延长线上，6； (2)解： 和 是等腰直角三角形， ， ， ， ，即 ， 在 和 中， ， ， ； 由(1)知 AC 的最大值是 AB+BC=4， ， DE 长的最大值是 4； 类比应用： (3)解：如图，过点 P 作 PNPA，PN=PA，连接 BN， 根据(2)中的方法，同理可以证明 ， AM=BN， 当点 N 在线段 BA 的延长线上时，线段 BN 取最大值，也就是线段 AM 取最大值，最大值是 ， ， ， AB=3， 是等腰直角三角形， ， 最大值是 ， 如图，过点 P 作 轴于点 E， 是等腰直角三角形， ， ， ， 如图，点 P 也有可能在 x 轴下方，与刚刚的点 P 关于
12、x 轴对称， ， 综上：点 P 的坐标是 或 . 5.在等腰 Rt ABC 中，BAC=90 ，AB=AC=6 ，D 是射线 CB 上的动点，过点 A 作 AFAD(AF始终 在 AD 上方)，且 AF=AD，连接 BF (1)如图 1，当点 D 在线段 BC 上时，BF 与 DC 的关系是_. (2)如图 2，若 D、E 为线段 BC 上的两个动点，且DAE=45 ，连接 EF，DC=3，求 ED 的长. (3)若在点 D 的运动过程中，BD=3，则 AF=_. (4)如图 3，若 M 为 AB 中点，连接 MF，在点 D 的运动过程中，当 BD=_时，MF 的长最小？最小 值是_. 【答案
13、】(1)当点 D 在线段 BC 上时， ， ， (2)解： ， ，AF=AD， ( 3 )BD=3，设 AG 为 BC 边上的高，G 为垂足， 在等腰 Rt ABC 中，G 为 BC 的中点， ( 4 )点F的轨迹是过点B，且垂直于BC的射线，根据垂线段最短的性质，当 时，线段MF最短， 又因为 ， ， 为等腰直角三角形， BD=BC-DC=12-3=9 此时 MF=3. 6. (1)发现 如图所示，点 A 为线段 BC 外的一个动点，且 BCa，ABb.填空：当点 A 位于_时， 线段 AC 的长取得最大值，且最大值为_(用含 a、b 的式子表示). (2)应用 点 A 为线段 BC 外一个
14、动点，且 BC=4，AB=1.如图所示，分别以 AB，AC 为边，作等边三角形 ABD 和 等边三角形 ACE，连接 CD，BE. 找出图中与 BE 相等的线段，并说明理由； 直接写出线段 BE 长的最大值_ . (3)拓展 如图所示，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(2，0)，点 B 的坐标为(6，0)，点 P 为线段 AB 外一个动 点，且 PA=2，PM=PB，BPM=90 .请直接写出线段 AM 的最大值_及此时点 P 的坐标_. 【答案】(1)点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC=a，AB=b， 当点 A 位于 CB 的延长线上时，线段 AC 的长取得最大值，且最大值为 BC
15、+AB=a+b， 故答案为：CB 的延长线上；a+b； (2)解：CD=BE； 理由： ABD 与 ACE 是等边三角形， AD=AB，AC=AE，BAD=CAE=60 ， BAD+BAC=CAE+BAC， 即CAD=EAB， 在 CAD 与 EAB 中， ， CADEAB， 线段 BE 长的最大值=线段 CD 的最大值， 由(1)知，当线段 CD 的长取得最大值时，点 D 在 CB 的延长线上， 最大值为 BD+BC=AB+BC=5 故答案为：5； ( 3 )将 APM 绕着点 P 顺时针旋转 90 得到 PBN，连接 AN， 则 APN 是等腰直角三角形， PN=PA=2，BN=AM， A
16、 的坐标为(2，0)，点 B 的坐标为(6，0)， OA=2，OB=6， AB=4， 线段 AM 长的最大值=线段 BN 长的最大值， 当 N 在线段 BA 的延长线时，线段 BN 取得最大值，最大值=AB+AN， AN= AP=2 ， AM 长的最大值为 2 +4； 如图 2，当点 P 在第一象限时，过 P 作 PEx 轴于 E， APN 是等腰直角三角形， PE=AE= ， OE=OA-AE=2- ， P(2- ， )； 如图 3，当点 P 在第四象限时， 根据对称性可知，P(2- ，- )也符合题意 综上：点 P 的坐标为(2- ， )或(2- ，- ) 故答案为：2 +4；(2- ，
17、)或(2- ，- ). 7.在等腰 中， ， ， 是射线 上的动点，过点 作 ( 始终在 上方)，且 ，连接 . (1)如图 1，当点 在线段 上时， 与 的关系是_； (2)如图 2，若点 ， 为线段 上的两个动点，且 ，连接 ， ，求 的长； (3)若在点 的运动过程中， ，则 _； (4)如图 3，若 为 中点，连接 ，在点 的运动过程中，当 _时， 的长最 小？最小值是_. 【答案】 (1)长度相等 (2)5 (3) (4)9；3 【解析】(1) CAD=BAC-BAD=DAF-BAD=BAF 即CAD =BAF ， ADCAFB， = 故答案为：长度相等； (2)由(1)可知 ADC
18、AFB， ， CAD+BAE=45 CAD =BAF BAF +BAE=45 FAE=45 = AD=AF,AE=AE AEDAEF，得到 EF=DE，设 DE=x， ， ， BC= ,C=ABC=45 ， ABF=C=45 FBE=90 BEF 是直角三角形， EF=DE =x，CD=3 BE=9-x,BF=CD=3 在 Rt BEF 中，EF2=BF2+BE2, 即 x2=32+(9-x)2, 解得 x=5 即 DE 的长为 5； (3)如图，过 A 点作 AHBC 于 H 点， ABC 为的等腰直角三角形 AH 是 ABC 的中线， AH= BC=6 BD=3， DH=BH-BD=3 A
19、D= AF= 故答案为： ； (4)如图，取 AC 中点 M，故 BM=CM FBM=C，BF=CD FBMDCM MF=MD， 故当 MD 最短时，则 MF 最短， 作 MDBC 于 D点， 则 CDM是等腰直角三角形，MC= 设 CD=DM=a 解得 a=3(负值舍去) CD=3 故此时 BD=12-3=9,MF=DM=3 故答案为：9；3. 8.如图 1，已知直线 l 的同侧有两个点 A，B，在直线 l 上找一点 P，使 P 点到 A，B 两点的距离之和最短的 问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线 l 的对称点，对称点与另一点的连线与直线 l 的交 点就是所要找的点，通过这
20、种方法可以求解很多问题 (1)如图2，在平面直角坐标系内，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(5，4)，动点P在x轴上，求PA+PB 的最小值； (2)如图 3，在锐角三角形 ABC 中，AB=8，BAC=45 ，BAC 的角平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值为_ (3)如图4，AOB=30 ，OC=4，OD=10，点E，F分别是射线OA，OB上的动点，则CF+EF+DE 的最小值 为_。 【答案】 (1)解：如图 2：作点 A 关于 x 轴的对称点 ，连 交 x 轴于点 P， PA+PB 的最小值就是 的长， 点 B 的坐标为 ，
21、， PA+PB 的最小值为 ； (2)AD 平分BAC， CAD=BAD， 直线 AB 与直线 AC 关于直线 AD 对称， 如图 3，作点 N 关于直线 AD 的对称点 ，连接 ， ， 当点 B，点 M，点 三点共线，且 BM 垂直 AC 时，BM+MN 的值最小， 此时， ， 由 (负根舍去) 所以此时： BM+MN 的最小值为 ， 故答案为 ； ( 3 )如图 4，过作点 C 关于 OB 的对称点 ，作点 D 关于 OA 的对称点 ，连接 交 OA 于点 E， 交 OB 于点 F， 由两点之间，线段最短，可得 CF+EF+DE 的最小值为 ， 连接 交 OB 于点 G，连接 交 OA 于
22、点 N， 过点 作 于 P，作 于点 H， AOB=30 ，OC=4，OD=10， ， ODN=60 ， 所以 CF+EF+DE 的最小值为 故答案为： 9.发现规律： (1)如图， 与 都是等边三角形，直线 交于点 F直线 ， 交于点 H求 的度数 (2)已知： 与 的位置如图所示，直线 交于点 F直线 ， 交于点 H若 ， ，求 的度数 (3)如图，在平面直角坐标系中，点 O 的坐标为 ，点 M 的坐标为 ，N 为 y 轴上一动点，连 接 将线段 绕点 M 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， ，求线段 长度的 最小值 【答案】 (1)解： 与 是等边三角形 AB=AC，AD=AE， ； (2
23、)解： ， ， ， ； 应用结论： (3)解：将线段 MN 绕点 M 逆时针旋转 得到线段 MK ， 是等边三角形 ， 如下图，将 绕点 M 顺时针旋转 ，得到 ，连接 OQ ， OK=NQ，MO=MQ 是等边三角形 OK=NQ 当 NQ 为最小值时，OK 有最小值，由垂线段最短可得当 轴时，NQ 有最小值 点 的坐标为 轴， 线段 OK 长度的最小值为 10.如图 1，在等腰三角形 中， 点 、 分别在边 、 上， 连接 点 、 、 分别为 、 、 的中点 (1)观察猜想 图 1 中，线段 、 的数量关系是_， 的大小为_； (2)探究证明 把 绕点A 顺时针方向旋转到如图 2所示的位置，连
24、接 、 、 判断 的形状，并说 明理由； (3)拓展延伸 把 绕点 A 在平面内自由旋转，若 ，请求出 面积的最大值 【答案】(1)由题意知：AB=AC，AD=AE，且点 、 、 分别为 、 、 的中点， BD=CE，MN BD，NP CE，MN= BD，NP= EC MN=NP 又MN BD，NP CE，A= ，AB=AC， MNE=DBE，NPB=C，ABC=C= 根据三角形外角和定理， 得ENP=NBP+NPB MNP=MNE+ENP，ENP=NBP+NPB， NPB=C，MNE=DBE， MNP=DBE+NBP+C =ABC+C = (2)解： 是等边三角形 理由如下： 如图，由旋转可
25、得 在 ABD 和 ACE 中 ， 点 、 分别为 、 的中点， 是 的中位线， 且 同理可证 且 ， 在 中 MNP= ，MN=PN 是等边三角形 (3)解：根据题意得: 即 ，从而 的面积 面积的最大值为 11.在平面直角坐标系 中，等腰直角 的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A ， B在x轴上， 且 ，抛物线经过 A ， B ， C 三点，如图 1 所示 (1)求抛物线所表示的二次函数表达式 (2)过原点任作直线 l 交抛物线于 M ， N 两点，如图 2 所示 求 面积的最小值 已知 是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点 P ， 使得点 P 与点 Q 关于直线 l 对称，若 存在，求出
26、点 P 的坐标及直线 l 的一次函数表达式；若不存在，请说明理由 【答案】 (1)解：设抛物线的解析式为 ， 在等腰 中， 垂直平分 ，且 ， ， 解得： 抛物线的解析式为 (2)解：设直线 l 的解析式为 ，交点 ， 由 ， 可得 ， ， ， 当 时， 取最小值 4 的最小值是 4 假设抛物线上存在点 ，使得点 P 与点 Q 关于直线 l 对称， ，即 解得： ， ， ， ， ，(不合题意，舍去) 当 时，点 ，线段 的中点为 ， 直线 l 的表达式为： 当 时，点 ，线段 的中点为 ， 直线 l 的表达式为： 综上：点 ， 或点 ， 12.如图，在平面直角坐标系中， 的顶点 O 是坐标原点
27、，点 A 的坐标为 ， ，点 B 的坐标为 ， ，动点P从O开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运动的时间为t秒( )， 过点 P 作 轴，分别交 于点 M，N. (1)填空： 的长为_， 的长为_ (2)当 时，求点 N 的坐标： (3)请直接写出 的长为_(用含 t 的代数式表示)； (4)点 是线段 上一动点(点 E 不与点 重合)， 和 的面积分别表示为 和 ，当 时，请直接写出 (即 与 的积)的最大值为_. 【答案】(1)点 A 的坐标为 ， ，点 B 的坐标为 ， ， ， ， 故答案为： ， ； (2)解：设直线 AB 的解析式为 ，将 ， 代入得： ，解得 ， ，
28、由题意可知点 N 的纵坐标为 1， 令 得 ，解得 ， ； ( 3 )动点 P 从 O 开始以每秒 1 个单位长度的速度沿 y 轴正方向运动，运动的时间为 t 秒， 到 OB 的距离为 t， 的高为 ， 与 的高之比为 ， ， ， ，即 ； ( 4 )当 时， ， ， ， 故答案为：16. 13.如图 ，在等腰直角三角形 中， 点 是 的中点，以 为边作 正方形 ，连接 将正方形 绕点 顺时针旋转，旋转角为 (1)如图 ，在旋转过程中， 判断 与 是否全等，并说明理由； 当 时， 与 交于点 ，求 的长 (2)如图 ，延长 交直线 于点 求证： ； 在旋转过程中，线段 的长度是否存在最大值？若
29、存在，求出最大值；若不存在，请说明理由 【答案】 (1)全等，理由如下： 在等腰直角三角形 中，AD=CD， ， 在正方形 中，GD=ED， ， 又 ， ， 在 和 中， ， (SAS)； 如解图 2，过 A 点作 AMGD，垂足为 M，交 FE 与 N， 点 是 的中点， 在正方形 中，DE=GD=GF=EF=2， 由得 ， ， 又 ， ， AMGD， ， 又 ， 四边形 GMNF 是矩形， ， 在 中， ， ， ， (2)由得 ， ， 又 ， ， ，即： ； ， ， 当 最大时，PC 最大， DAC=45 ，是定值， 最大时， 最大，PC 最大， AD=4，GD=2， 当 GDAG， 最大，如解图 3， 此时 ， 又 ， ， F 点与 P 点重合， CEFP 四点共线， CP=CE+EF=AG+EF= ， 线段 得最大值为：
