1、专练 19 函数中的三角形存在问题 1.如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于 A(1，0)、B(3，0)两点，与 y 轴交于点 C(0，3) (1)求出该抛物线的解析式； (2)点 D 为抛物线在第四象限内图象上一个动点，设点 D 的横坐标求为 x，四边形 ABDC 的面积为 y1 求四边形 ABDC 的面积 y1关于 x 的解析式； 求出使得四边形 ABDC 的面积 y1最大的点 D 的坐标； (3)在抛物线 yax2+bx+c 上求点 Q，使 BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形 【答案】 (1)解：设抛物线解析式为 y=a(x+1)(x 3)， 抛物线过点 C(0， 3)
2、， 3=a(0+1)(0 3)， a=1， 抛物线解析式为 y=(x+1)(x 3)； ； (2)解：如图，过点 D 作 DHx 轴， 设 D(x，x2-2x-3)， OH=x，DH=2x+3-x2 ， HB=3-x S 四边形 ABDC=S AOC+S 四边形 OCDH+S HDB + + = ； ， 根据二次函数的性质， 当 时， 的最大值为 ； D( ， ) (3)解：如图 过点 B 作 BQ1BC，交抛物线于点 Q1、交 y 轴于点 E，连接 Q1C CO=BO=3， CBO=45 ， EBO=45 ，BO=OE=3 点 E 的坐标为(0，3) 将(0，3)，(3，0)代入 y=kx+
3、b 得： ， 解得： ， 直线 BE 的解析式为 y= x+3， 由 ， 解得： ， ， Q1(-2,5) 如图，过点 C 作 CFCB，交抛物线于点 Q2、交 x 轴于点 F，连接 BQ2 CBO=45 ， CFB=45 ，OF=OC=3 点 F 的坐标为(-3，0) 直线 CF 的解析式为 y=-x-3 由 ， 解得： ， ， 点 Q2 的坐标为(1， 4) 综上，在抛物线上存在点Q1( 2，5)、Q2(1， 4)，使 BCQ1、 BCQ2是以BC为直角边的直角三角 形 2.在直角坐标系 xOy 中，定义点 C(a，b)为抛物线 L：y=ax2+bx(a0)的特征点坐标 (1)已知抛物线
4、L 经过点 A(2，2)、B(4，0)，求出它的特征点坐标； (2)若抛物线 L1：y=ax2+bx 的位置如图所示： 抛物线 L1：y=ax2+bx 关于原点 O 对称的抛物线 L2的解析式为_； 若抛物线 L1的特征点 C 在抛物线 L2的对称轴上，试求 a、b 之间的关系式； 在的条件下，已知抛物线 L1、L2与 x 轴有两个不同的交点 M、N，当一点 C、M、N 为顶点构成的三 角形是等腰三角形时，求 a 的值 【答案】 (1)解：将点 A(2，2)、B(4，0)代入到抛物线解析式中，得 ，解得： 抛物线 L 的解析式为 ， 它的特征点为( ，2) (2)y=ax2+bx；解：抛物线
5、L2 的对称轴为直线：x= 当抛物线 L1 的特征点 C(a，b) 在抛物线 L2 的对称轴上时，有 a= ，a 与 b 的关系式为 b=2a2 抛物线 L1、L2 与 x 轴有两个 不同的交点 M、N，在抛物线 L1：y=ax2+bx 中，令 y=0，即 ax2+bx=0，解得：x1= ，x2=0(舍去)， 即点 M( ，0)；在抛物线 L2：y=ax2+bx 中，令 y=0，即ax2+bx=0，解得：x1= ，x2=0(舍去)， 即点N( ，0)b=2a2 ， 点M(2a，0)，点N(2a，0)，点C(a，2a2)MN=2a(2a)=4a，MC= ，NC= 因此以点C、M、N为顶点的三角形
6、是等腰三角形时，有 以下三种可能：(1)MC=MN，此时有： =4a，即 9a2+4a4=16a2 ， 解得：a=0，或 a= ，a0，a= ；(2)NC=MN，此时有： =4a，即 a2+4a4=16a2 ， 解得： a=0，或 a= ，a0，a= ；(3)MC=NC，此时有： = ，即9a2=a2 ， 解得：a=0，又a0，此情况不存在综上所述：当以点C、M、N 为顶点的三角形是等腰三角形时，a 的值为 或 【解析】 (2)解：抛物线 L1：y=ax2+bx 与抛物线 L2 关于原点 O 对称，抛物线 L2 的解析式为y=a( x)2+b(x)，即 y=ax2+bx故答案为 y=ax2+b
7、x 3.在平面直角坐标系中，已知抛物线 . (1)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“方点”.试求拋物线 的 “方点”的坐标； (2)如图，若将该抛物线向左平移 1 个单位长度，新抛物线与 轴相交于 、 两点( 在 左侧)， 与 轴相交于点 ，连接 .若点 是直线 上方抛物线上的一点，求 的面积的最大值； (3)第(2)问中平移后的抛物线上是否存在点 ，使 是以 为直角边的直角三角形？若存在，直 接写出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】 (1)解：由题意得： 解得 ， 抛物线的方点坐标是 ， . (2)解：过 点作 轴的平行线交 于点 . 易得平移后
8、抛物线的表达式为 ，直线 的解析式为 . 设 ，则 . 当 时， 的面积最大，最大值为 . (3)解：如图所示，过点 C 作 交 x 轴于点 M，作 交 y 轴于点 N 由已知条件得出点 B 的坐标为 B(3,0)，C 的坐标为 C(0,3)， COB 是等腰直角三角形， 可得出 M、N 的坐标分别为：M(-3,0)，N(0,-3) 直线 CM 的解析式为：y=x+3 直线 BN 的解析式为：y=x-3 由此可得出： 或 解方程组得出： 或 或 4.如图，抛物线 y=ax2+bx+c(a0)与直线 y=x+1 相交于 A(-1，0)，B(4，m)两点，且抛物线经过点 C(5，0). (1)求抛
9、物线的解析式； (2)点P 是抛物线上的一个动点(不与点A、点B重合)，过点P 作直线PDx轴于点D，交直线AB 于点E， 设点 P 的横坐标为 m. 当 PE=2ED 时，求 P 点坐标； 是否存在点 P 使 为等腰三角形？若存在，请直接写出 m 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】 (1)解：由题意，抛物线 的解析式可化为 ， 将点 代入直线 得： ， 将点 代入 得： ， 解得 ， 则抛物线的解析式为 ， 即 ； (2)解： 点 P 的横坐标为 ， 点 P 的纵坐标为 ， 即 ， 由题意，点 E 的横坐标与点 P 的横坐标相同，即为 ， 则点 E 的纵坐标为 ， 即 ， 由题意，分以下
10、两种情况： ()当点 P 在点 E 的上方，即 时， 则 ， ， 因此有 ， 解得 或 (不符题意，舍去)， 则 ， 此时点 P 的坐标为 ； ()当点 P 在点 E 的下方，即 或 时， 则 ， ， 因此有 ， 解得 或 (不符题意，舍去)， 则 ， 此时点 P 的坐标为 ， 综上，点 P 的坐标为 或 ； 存在，求解过程如下： ， ， ， ， 由等腰三角形的定义，分以下三种情况： ()当 时， 为等腰三角形， 则 ，即 ， 解得 或 ； ()当 时， 为等腰三角形， 则 ，即 ， 解得 或 (此时点 P 与点 B 重合，不符题意，舍去)； ()当 时， 为等腰三角形， 则 ，即 ， 解得
11、； 综上，m 的值为 或 或 或 . 5.已知抛物线 与x轴的两个交点分别为A(1，0)、B(3，0)，与y轴的交点为点D， 顶点为 C， (1)求出该抛物线的对称轴； (2)当点 C 变化，使 60ACB90时，求出 的取值范围； (3)作直线CD 交 x轴于点E，问：在 y轴上是否存在点 F，使得 CEF是一个等腰直角三角形？若存在，请 求出 a 的值，若不存在，请说明理由。 【答案】 (1)解：抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A(1，0)、B(3，0)， 抛物线的对称轴为直线 . (2)解：当ACB = 60 时, ABC 为等边三角形，C(1,-2 ) 设 y = a(x+1)(x-
12、3)，C 点代入得 a = 当ACB=90 时， ABC 为等腰直角三角形，即 C (1，-2) 同理可得,a= 所以 (3)解：由于 C(1,-4a)，D(0,-3a) ycp=-ax-3a =-a(x+3)，故 E(-3,0) 两种情况讨论: 如图 1 可证明 EHF FKC 得 CK=HF=3 4a+1=3 a= 如图 2 可证明 EHF FKC、得 EK=HF=3 4a =3 a= 综上 a= 和 a= 6.如图，平面直角坐标系中，四边形 OABC 为矩形，点 A、B 的坐标分别为(3，0)，(3，4).动点 M、N 分别 从 O、B 同时出发，以每秒 1 个单位的速度运动.其中点 M
13、 沿 OA 向终点 A 运动，点 N 沿 BC 向终点 C 运 动.过点 N 作 NPBC，交 AC 于 P，连接 MP，已知动点运动了 x 秒. (1)求点 P 的坐标(用含 x 的代数式表示). (2)试求 MPA 面积的最大值，并求此时 x 的值. (3)请你探索：当 x 为何值时， MPA 是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的探索结果. 【答案】 (1)解：延长 NP 交 x 轴于点 G，则有 PGOA BN=x， GA=x，CN=3x， OG=3x， ， PG= x， P 点的坐标为(3x, x)； (2)解：设 MPA 的面积为 S, 在 MPA 中,MA=3-x,MA 边
14、上的高为 x ，其中 0 x3 S= S 的最大值为 ，此时，x= (3)解：有三种情况： 若 MP=PA, PGMA， MG=GA=x 3x=3, 即 x=1； 若 MP=PA,则 MG=3-2x,PG= ,PM=MA=3-x, 在 Rt PMG 中， PM2=MG2+PG2 ， 若 PA=AM, PA= ，AM=3-x, , x= 综上所述，x=1 或 x= 或 x= 7.如图，抛物线 yx2+2x+3 与 x 轴交于点 A，点 B，与 y 轴交于点 C，点 D 与点 C 关于 x 轴对称，点 P 是抛物线上的一个动点. (1)求直线 BD 的解析式； (2)当点 P 在第一象限时，求四边
15、形 BOCP 面积的最大值，并求出此时 P 点的坐标； (3)在点 P 的运动过程中，是否存在点 P，使 BDP 是以 BD 为直角边的直角三角形？若存在，求出点 P 的 坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】 (1)解：对于 yx2+2x+3，令 x0，则 y3，令 yx2+2x+30，解得 x1 或 3， 故点 A、B、C 的坐标分别为(1，0)、(3，0)、(0，3)， 点 D 与点 C 关于 x 轴对称，故点 D(0，3)， 设直线 BD 的表达式为 ykx+b，则 ，解得 ， 故直线 BD 的表达式为 yx3； (2)解：连接 BC，过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H，
16、由点 B、C 的坐标，同理可得，直线 BC 的表达式为 yx+3， 设点 P(x，x2+2x+3)，则点 H(x，x+3)， 则四边形 BOCP 面积S OBC+S PHC+S PHB OBOC+ PH OB 3 3+ 3 ( x2+2x+3+x3) x2+ x+ ， 0，故四边形 BOCP 面积存在最大值，当 x 时，四边形 BOCP 面积最大值为 ，此时点 P( ， )； (3)解：存在，理由： 当PBD 为直角时，如上图所示，此时点 P 与点 C 重合，过点 P 的坐标为(0，3)； 当PDB 为直角时，由 BD 的表达式知，直线 BD 与 x 轴的倾斜角为 45 ， 当PDB 为直角时
17、，即 PDBD，则直线 PD 与 x 轴负半轴的夹角为 45 ， 故设直线 PD 的表达式为 yx+t， 将点 D 的坐标代入上式得，30+t，解得 t3， 故直线 PD 的表达式为 yx3 ， 联立并解得：x ， 故点 P 的坐标为( ， )或( ， )， 综上，点 P 的坐标为( ， )或( ， )或(0，3). 8.如图，抛物线与 轴交于 ， 两点，点 在点 的左边，与 轴交于点 ，点 是抛物线的 顶点，且 ， ， ， (1)求抛物线的解析式； (2)点 是直线 下方的抛物线上一动点，不与点 ， 重合，过点 作 轴的垂线交 于点 ，求 面积的最大值及此时 点坐标； (3)在抛物线的对称轴
18、上是否存在点 ，使得 为直角三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存 在，请说明理由 【答案】 (1)解：设抛物线的解析式是 ya(x2)28，把 A(6，0)代入得a(62)280，解得 a ， y (x2)28 x22x6 (2)解：当 x0 时，y6，C(0，6)， 设点 P(m， m22m6)， 设直线 AC 的解析式是 ykxb， 把 A(6，0)，C(0，6)代入得 ，解得 直线 AC 的解析式是 yx6， PEx 轴交 AC 于 E， E(m，m6)， PEm6( m22m6) m23m(6m0)， S ACPS AEPS CEP = , 当 m3 时，S ACP 有最大值，最大值
19、为 ， 此时点 P 的坐标是(3， ) (3)解：存在，抛物线的对称轴是直线 x2，设 M(2，t) 直线 x2 交 x 轴于 H， 在 Rt AOC 中，OAOC，OACOCA45 . 当CAM90 时，如图 1，MAO90 OAC45 ， AHMH4， M(2，4)； 当ACM90 时，如图 2，过点 M 作 MGy 轴于 G， 则MCG180 ACMACO45 ， MGCG2， OGOCCG8， M(2，8)； 当AMC90 时，如图 3， 设 M(-2，t)， AM2CM2AC2 ， (26)2t2(2)2(t6)272，解得 t3 ， M(2，3 )或(2，3 )， 综上所述，M 的
20、坐标是(2，4)或(2，8)或(2，3 )或(2，3 ). 9.在平面直角坐标系中，抛物线 y=-x2-2x+3 与 x 轴交于 A，B 两点(A 在 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C，顶点 为 D. (1)请直接写出点 A，C，D 的坐标； (2)如图(1)，在 x 轴上找一点 E，使得 CDE 的周长最小，求点 E 的坐标； (3)如图(2)，F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得 AFP为等腰直角三角形？若存在，求 出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】 (1)A(3，0)，B(1，0)，D(1，4) (2)解：作点 C 关于 x 轴对称的点 C，连接 CD 交
21、 x 轴于点 E，此时 CDE 的周长最小，如图 1 所示 C(0，3)， C(0，3) 设直线 CD 的解析式为 ykxb， ) 解之： ) 直线 CD 的解析式为 y7x3， 当 y=0 时7x3=0 解之 x ， 当 CDE 的周长最小，点 E 的坐标为( ， 0)； (3)解：设直线 AC 的解析式为 yaxc，根据题意得 ) 解之： ) 直线 AC 的解析式为 yx3 假设存在，设点 F(m，m3)， AFP 为等腰直角三角形分三种情况(如图 2 所示)： 当PAF90 时，P(m，m3)， 点 P 在抛物线 yx22x3 上， m3m22m3， 解之：m13(舍去)，m22， 此时
22、点 P 的坐标为(2，5)； 当AFP90 时，P(2m3，0) 点 P 在抛物线 yx22x3 上， (2m3)22(2m3)3=0， 解得：m33(舍去)，m41， 此时点 P 的坐标为(1，0)； 当APF90 时，P(m，0)， 点 P 在抛物线 yx22x3 上， m22m3=0， 解得：m53(舍去)，m61， 此时点 P 的坐标为(1，0) 综上所述，在抛物线上存在点 P，使得 AFP 为等腰直角三角形，点 P 的坐标为(2，5)或(1，0) 【解析】解：(1)当 y0 时，则x22x30， 解之：x13，x21， A 在 B 的左侧， A(3，0)，B(1，0) 当 x0 时，
23、则 y3， C(0，3) yx22x3(x1)24， 点 D(1，4) 10.如图，抛物线 与x轴交于 、 两点，与y轴交于C点，连接 ，已知 ， 且抛物线经过点 . (1)求抛物线的解析式； (2)若点 E 是抛物线上位于 x 轴下方的一点，且 ，求 E 的坐标； (3)若点 P 是 y 轴上一点，以 、 、 三点为顶点的三角形是等腰三角形，求 P 点的坐标. 【答案】 (1)解：将点 ，点 代入 ， 可得 ，解得 ， 抛物线解析式： ； (2)解：当 时， ， 解方程 ，得 ， ， ， 当 时， ， ， ， 设 ，将点 代入 ， 得 ，解得 ， ， 如图 1，过点 E 作 x 轴的垂线交
24、于点 F ， 设点 ，点 ，其中 ， ， 由 ， 可得 或 ， 解得： (舍)， ， ； (3)解：情形一：当点 A 为等腰 的顶点时， ，如图 2， ， ， 点 ； 情形二：当点 C 为等腰 的顶点时， ,如图 3， ， ； 情形三：当点 P 为等腰 的顶点时， ，如图 4， 过线段 的中点 D 作垂线交 y 轴于点 P， 由中点坐标公式可得 ， ， ， 又 ， ， 设 PD 的解析式为 ， 将 代入 可得 ， ， 当 时， ， ； 综上所述： ， ， ， . 11.如图所示，抛物线 y1x2与直线 y2 x 交于 A，B 两点. (1)求 A，B 两点的坐标. (2)根据图象回答： 当 x
25、 取何值时，y1的值随 x 的增大而增大？ 当 x 取何值时，y1y2？ (3)求 AOB 的面积. (4)在 x 轴上是否存在一点 P，使 AOP 是等腰三角形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说 明理由. (5)抛物线上找一点 Q，使得 ABQ 是直角三角形，请直接写出 Q 点横坐标 【答案】 (1)解：抛物线 y1x2 与直线 y2 x 交于 A，B 两点. x2 x ，解得 x13，x2 ， y19，y2 ， A( ， )，B(3，9)， (2)解：由图象得，当 x0 时，y1 的值随 x 的增大而增大，当 x3 或 x 时，y1y2. (3)解：由 ， ， ， 知， (
26、4)存在，P 的坐标为：(-3，0)，( ，0)，( ，0)，( ，0). (5)x= 或 x= 或 x= 或 x= . 【解析】解：(4)设 P(x,0)，则有： 当 OA=OP 时，有： ， ； 当 AP=OP 时，有： ； 当 AP=OA 时，有： ， x=0(舍去)或 x=-3； 在 x 轴上存在一点 P，使 AOP 是等腰三角形，其中点 P 的坐标为： (-3，0)或( ，0)或( ，0)或( ，0). ( 5 )设 Q 坐标为(x,- x2 )，则分三种情况讨论： 当角 Q 为直角时，可作图如下： 则不难得到 ， , 可解得 x= 或 x= ； 当角 A 为直角时，可作图如下： 则
27、不难得到 ， ,可解得 x= ； 当角 B 为直角时，可作图如下： 则不难得到 ， ，可解得 x= . 使得 ABQ 是直角三角形的 Q 点横坐标为： x= 或 x= 或 x= 或 x= . 12.如图，已知抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，AB4，交 y 轴于点 C，对称轴是直线 x1. (1)求抛物线的解析式及点 C 的坐标； (2)连接 BC，E 是线段 OC 上一点，E 关于直线 x1 的对称点 F 正好落在 BC 上，求点 F 的坐标； (3)动点 M 从点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动，过 M 作 x 轴的垂线交抛物线于点 N，交 线段
28、 BC 于点 Q.设运动时间为 t(t0)秒. 若 AOC 与 BMN 相似，请直接写出 t 的值； BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由. 【答案】 (1)解：A、B 关于 x=1 对称，AB=4， A(-1，0)、B(3,0) y=-(x+1)(x-3)=-x +2x+3 把 x=0 代入 y=-x +2x+3 得 x=3 C(0,3) (2)解：如图， 设直线 BC 的解析式为：y=kx+b, B(3,0)、C(0,3) 则 ), 解得 ), 直线 BC 的解析式为 y=-x+3 , 设 E(0,a), 设 F(x, -x+3), , x=2, 把 x=2
29、代入 y=-x+3 得 y=1， F(2,1)； (3)解：t=1 能，理由如下： M(2t,0),MNx 轴， Q(2t，3-2t), 若 BOQ 为等腰三角形，分三种情况讨论，当 OQ=BQ 时， QMOB， OM=MB， 2t=3-2t, 解得 t= , 第二种情况，当 BO=BQ 时， OBQ=45 ， BQ= BM， BO= BM， 即 3= (3-2t)， t= ； 第三种情况，当 OQ=OB 时， 则点 Q、C 重合，不合题意， 综上，当 t= 秒或 秒时， BOQ 为等腰三角形. 【解析】(3)如图， t 秒时，点 M 的坐标为(2t,0)，则 Q(2t，3-2t), 点 N-2t，-(2t)2+2 (2t)+3，即(-2t，-4t2+4t+3), 则 MN=-4t2+4t+3，MB=3-2t， AOCBMN， 或 或 ， 即 或 ， 解得：t= (舍)或 1 或- (舍)， t=1；
