1、四川省泸县四川省泸县 2020 届高三数学上学期期中理科试题（届高三数学上学期期中理科试题（4） 第第 I I 卷卷( (选择题选择题 共共 6060 分）分） 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合 题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1已知全集U R， |0Ax x ， |1Bx x，则集合() U CAB A. |0 x x B. |1x x C. |0 1xx D. |0 1xx 2设i是虚数单位，复数z满足13ziz，则z的虚部为 A1 B-1 C-2 D2 3已知命题p：xR ， 2 10 x
2、x ，则 p 为 A.xR ， 2 10 xx B.xR ， 2 10 xx C.xR ， 2 10 xx D.xR ， 2 10 xx 4sin40 sin10cos40 sin80 A 1 2 B 3 2 Ccos50 D 3 2 5函数 ( )f x在R上单调递减，关于x的不等式 2 ()(2)f xf的解集是 A.|2x x B.|2x x C. |22xx D. |22x xx或 6已知实数 , x y满足 10 20 0 xy xy x ，则2zxy的最大值为 A.-4 B. 5 2 C.-1 D.-2 7若方程2= 7 的解为0，则0所在区间为 A(0,1) B(1,2) C(2
3、,3) D(3,4) 8曲线 3 ( )2f xxx在点P处的切线与直线410 xy 垂直，则点P的坐标为 A(1,0) B(1,0)或( 1, 4) C(2,8) D(2,8)或( 1, 4) 9将函数32 3 ysinx 的图象向右平移 2 个单位长度，所得图象对应的函数 A在区间 7 , 12 12 上单调递增 B在区间 7 , 12 12 上单调递减 C在区间, 6 3 上单调递减 D在区间, 6 3 上单调递增 10设函数() = log2(1 )( 0) ，若()是奇函数，则(3)的值是 A.1 B.3 C.3 D.1 11已知函数() = ln + 1 ，若 = ( 1 3)，
4、= ()， = (5)，则 A B C D 12已知函数 2 2 1log 2 x f x x ，若 f ab，则4fa A.b B.2b C.b D.4b 第第卷（非选择题共卷（非选择题共 9090 分）分） 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13已知向量121abm ， ，若向量a b 与a垂直，则m_ 14函数 sin(0,0,) 2 f xAxA 的一段图象如图所示.则 f x的解析式为_ 15已知f(x)x 33ax2bxa2在 x1 时有极值 0，则ab_ 16若点 P 是曲线 2 lnyxx上的任意一点，则点 P 到直线 2yx 的最小距离是_.
5、三、解答题（共三、解答题（共 7070 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17 2117 21 题为必考题，每个试题考题为必考题，每个试题考 生都必须作答，第生都必须作答，第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. .） 17.（本大题满分 12 分） 已知函数 22 ( )2 3sincoscossinf xxxxx. （）求函数 ( )f x的最小正周期； （）若(0,) 2 x ，求函数( )f x的最大值以及取得最大值时x的值. 18已知函数 2 ( )22, 5,5f xxaxx .
6、（）求函数 ( )f x的最小值； ()求实数a的取值范围，使( )yf x在区间 5,5上是单调函数 19在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，已知(1cos)(2cos)bCcB. （）求证：, ,a c b成等差数列； ()若 3 C ，ABC的面积为4 3，求c. 20. （本小题满分 12 分） 如图，平面内等腰直角三角形ABP，其中ABAP，点 C，D 分别为BP和AP的中点，现将PCD沿 CD折起构成二面角P CDA，连接,PB PA，取E为棱PB的中点 （）求证：平面PAB 平面CDE； ()当二面角P CDA为60时，求二面角ADEC的余弦值 21已知
7、函数( )(1) x f xea x有两个零点 （）求实数a的取值范围； ()设 1 x， 2 x（ 12 xx ）是 ( )f x的两个零点，证明： 1212 x xxx （二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分，请考生在第分，请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答. .如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分. . 22. 22. 选修选修 4 4- -4 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 （1010 分）分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 l 的参数方程为 5 5 2 5 5 xt yt ， (t 为参数)， 以平面直角坐
8、标系的原点为极点， 正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 2 2 sin1 4 . ()求直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程，并指明曲线 C 的形状； ()设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，且OAOB，求 11 |OAOB . 23已知( ) |1|1|f xxx，不等式 4f x 的解集为M. （）求M； ()当, a bM时，证明：2| |4|abab. 参考答案参考答案 1-5:DCBDC 6-10:DCBAC 11-12:AB 137 14 2 3sin 510 f xx 157 16 2 17（） 322f xsin x
9、cos x 22 6 sinx . 函数 f x的最小正周期 2 2 T . （）0, 2 x ， 22 6 f xsinx ， 7 2, 666 x 2 max f x. 此时2 62 x ， 6 x . 18（1） 22 ( )()2f xxaa， 对称轴是xa ， 当5a ，即5a 时， ( )f x在 5,5 上为增函数， 5x 时， ( )f x取最小值且 min ( )27 10f xa； 当55a ，即55a 时， xa 时，( )f x取最小值且 2 min ( )2f xa； 当5a ，即5a时， ( )f x在 5,5 上为减函数， 5x 时， ( )f x取最小值且 mi
10、n 7 1(0)2fax. 综上所述：5a 时， min ( )27 10f xa；55a 时， 2 min ( )2f xa；5a时， min 7 1(0)2fax. （2）二次函数 ( )f x图象关于直线xa 对称，开口向上， 函数 ( )f x的单调减区间是(,a ，单调增区间是,)a， 由此可得5a 或5a ，即5a 或5a时， ( )yf x 在区间 5,5上是单调函数. 19（1）b（1+cosC）=c（2-cosB）， 由正弦定理可得：sinB+sinBcosC=2sinC-sinCcosB，可得：sinBcosC+sinCcosB+sinB=2sinC， sinA+sinB=
11、2sinC， a+b=2c，即a，c，b成等差数列； （2）C=，ABC的面积为 4=absinC=ab， ab=16， 由余弦定理可得：c 2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab， a+b=2c， 可得：c 2=4c2-316，解得：c=4. 20. 21解：（1） x fxea，xR （2）当0a时， 0fx 在R上恒成立， f x在R上单调递增，显然不符合题意 （3）当0a时，由 0fx ，得lnxa， x ,lna lna ln , a fx - - 0 f x 递减 极小值 递增 当x，x时都有 f x， 当ln2 ln0faaa，即 2 ae时 f
12、x有两个零点 （2）要证 1 212 x xxx，即证 12 111xx， 由已知 1 1 1 x ea x， 2 2 1 x ea x， 即证 12 12 111 xx e xx a ， 即证 12 2xx ea ，即证 12 2lnxxa，即证 21 2lnxax， 又 2 lnxa，且 f x在ln , a 单调递增， 故只需证 21 2lnf xfax，即证 11 2lnf xfax， 令 2lng xfaxf x且lnxa， 2 2 x x a gxea e 22 2 xx x aeae e 2 0 x x ea e ， g x在,lna单调递减， ln2lnlnln0g xgafa
13、afa， 2lnfaxf x在,lna上恒成立， 11 2lnfaxf x，故原命题得证 22：()由 5 5 2 5 5 xt yt 消去参数 t，得 y =2x， 由 2 2 2 sin1 4 ，得 2 2 cos210sin ， 所以曲线 C 的直角坐标方程为 22 2210 xyxy ， 即 22 111xy. 即曲线 C 是圆心为(1，1)，半径 r=1 的圆. ()联立直线 l 与曲线 C 的方程，得 2 2210 2 sinsin tan ，消去，得 2 6 5 10 5 ， 设 A、B 对应的极径分别为 12 ，则 12 6 5 5 ， 12 1， 所以 2 1212 12 1212 4 114 5 5OAOB . 23：（1） 2 ,1 ( )11 2 ,1 2, 11 x x f xxxx x x ， 当1x 时，24x，解得12x； 当1x时，24x，解得21x ； 当11x 时，24恒成立； 综合以上：| 22xx （2）证明24abab， 只需 2222 4(2)168aabbaba b， 只需 2222 4416aba b 222222 4416(4)(4)a babab 又 22 (0,4),(0,4)ab， 2222 44160a bab因此结果成立.
