1、四川省泸县四川省泸县 2020 届高三数学上学期期中试题届高三数学上学期期中试题（理理） 第第 I I 卷卷( (选择题选择题 共共 6060 分）分） 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合 题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1已知集合 2 |1, |60Ax xBx x xx，则 A. |1ABx x B.ABR C. |2ABx x D. | 21ABxx 2已知复数z满足1zi （i为虚数单位） ，则复数z的共轭复数z的虚部为 A.-1 B.1 C.i D.i 3若命题p： 2 1,2nnn ，
2、则 p 为 A. 2 1,2nnn B. 2 1,2nnn C. 2 1,2nnn D. 2 1,2nnn 4函数( )sin(0) 3 f xx 的最小正周期为，若将函数 ( )f x的图像向右平移 6 个单位，得到 函数( )g x的图像，则( )g x的解析式为 A( )sin 4 6 g xx B( )sin 4 3 g xx C( )sin 2 6 g xx D( )sin2g xx 5设x，y满足约束条件 3260 20 480 xy xy xy ，则2zxy的最小值是 A-4 B-2 C0 D2 6设 2 log 3a ， 4 3 b ， 3 log 4c ，则a，b，c的大小关
3、系为 A.bac B.cab C.abc D.cba 7某几何体的三视图如图所示，其体积为 A.28 B.37 C.30 D.148 8函数 3 xx ee y xx 的图像大致是 A. B. C. D. 9若两个正实数,满足1 12 yx ,且 + 2 2+ 2恒成立,则实数的取值范围是 A(,2) 4,+) B (,4 2,+) C(-4,2) D(-2,4) 10在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，若ABC为锐角三角形，且满足， 2 sin2tan(2sincos2)CACC，则等式成立的是 A.2ba B.2ab C.2AB D.2BA 11 设 f x满足 -
4、=fxf x， 且在1,1上是增函数， 且11f ， 若函数 2 21f xtat对 所有1,1x ，当1,1a 时都成立，则t的取值范围是 A. 11 22 t B. 2t 或2t 或0t C. 1 2 t 或 1 2 t 或0t D. 22t 12已知函数 ( )f x在R上满足 2 ( )2 (2)88f xfxxx，则曲线 ( )yf x 在点(1,(1)f处的切线方 程是 A.23yx B.y x C. 32yx D.21yx 第第卷（非选择题共卷（非选择题共 9090 分）分） 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13已知 lg ( ) x f x x
5、 ，则(1) f _ 14 函数 sinf xAx（0， 22 ） 的部分图象如图所示， 则 f x的解析式为_ 15已知 yf x 是定义域为R的奇函数，且满足 1f xf x ，当0,1x时， 1f xxx， 则2.5f _ 16已知四面体ABCD，4AB ，6ACAD， 0 60BACBAD ， 0 90CAD，则该四面 体外接球的半径为_ 三、解答题（共三、解答题（共 7070 分，解答应写出文字说明、证明过分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第程或演算步骤，第 17 2117 21 题为必考题，每个试题考题为必考题，每个试题考 生都必须作答，第生都必须作答，第 2222、23
6、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. .） 17.（本大题满分 12 分） 已知函数 2 ( )3sincoscos 222 xxx f x （1）求 ( )f x的周期和及其图象的对称中心； （2）在锐角ABC中，角、 、A BC的对边分别是ab c、 、满足(2)coscosacBbC，求函数(A)f 的取值范围 18 （本大题满分 12 分） 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 222 222 2 acbc abcac . （1）求B； （2）若1b，求ABC面积的最大值. 19 （本大题满分 12 分） 己知二次函数()满足( + 1)
7、() = 2 + 1，且(2) = 15 (1)求函数()的解析式 (2)令() = (1 2) ()， 若函数()在区间0,2上不是单调函数，求实数m的取值范围 求函数()在区间0,2的最小值 20 （本大题满分 12 分） 如图所示，三棱柱 111 ABCABC中，已知AB 侧面 1111 ,1,2,60BBCC ABBCBBBCC. （1）求证： 1 BC 平面ABC； （2）E是棱长 1 CC上的一点，若二面角 1 AB EB的 正弦值为 1 2 ，求CE的长. 21 （本大题满分 12 分） 已知函数( )ln a f xx x . (1)讨论 ( )f x的单调性； (2)令( )
8、(1)g xf x，当2a， 1 1x e 时，证明： 2 3ln(1) ( ) 1 ln(1) ex g x x . （二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy中， 直线l的方程为30 xya， 曲线C的参数方程为 3cos 1 3sin x y （为参数） . 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l和曲线C的极坐标方程； （2）若直线=() 6 R 与l的交点为M,与C的交点为A，B，且点M恰好为线段AB的中点，求a. 23已知函数1
9、(1)f xmxx . （1）当5m时，求不等式( )2f x 的解集； （2）若二次函数 2 23yxx与函数 ( )yf x 的图象恒有公共点，求实数m的取值范围. 理科数学试题参考答案理科数学试题参考答案 1-5:DACDA 6-10:DBADB 11-12:CD 13lge 14 2sin 2 3 f xx 150.25 162 5 17 31 cos1 sinsin,2 2262 x f xxxT , 66 xkxk 对称中心是 1 , 6 2 kkz 2sinsincossin cosACBBC 2sin cossinsinABBCA 122 cos,0, 23332 BBACCA
10、 且0, 2 A , 62 A 而 12 sin, 62 363 fAAA ， 31 3 , 22 2 fA 18解： （1）由余弦定理可得， 222 222 2cos 2cos2 acbacBc abcabCac ， 则 cossin cos2sinsin BB CAC ， 即 2sin coscos sinsin cosABBCBC ，所以2sin cossinsinABBCA，因为sinA0，则 2 cos 2 B ，所以 4 B . （2）由余弦定理可知， 222 2cosbacacB，即 22 12acac ， 所以 22 1222acacacac ， 则 122 222 ac .,
11、 121 sin 24 ABC SacB . 所以ABC面积的最大值为 21 4 . 19由已知令() = 2+ + ( 0)； （1）( + 1) () = 2 + + = 2 + 1 2 = 2, + = 1 = 1, = 2 又(2) = 15 = 15 () = 2+ 2 + 15. （2）() = (1 2) ()=2 (2 + 1) 15其对称轴为 = + 1 2 在0,2上不单调， 0 + 1 2 2， ( 1 2, 3 2). 当 + 1 2 0，即 1 2时，()min = (0) = 15; 当0 + 1 2 2，即 1 2 3 2时，()min = ( + 1 2) =
12、2 61 4 ; 当 + 1 2 2，即 3 2时，()min = (2) = 4 13, 综上， ()min= 15, 1 2 2 61 4 , 1 2 3 2 4 13, 3 2 . 20 证明：因为AB 平面 11 BBCC， 1 BC 平面 11 BBCC，所以 1 ABBC， 在 1 CBC中，1BC ， 11 2CCBB， 1 60BCC， 由余弦定理得： 22222 1111 2?cos122 1 2cos603BCBCCCBC CCBCC ， 故 222 11 BCBCCC，所以 1 BCBC， 又BCABB， 1 C B 平面ABC. 由 可以知道AB，BC， 1 BC，两两
13、垂直，以B为原点BC，BA， 1 BC，所在直线为x，y，z轴 建立空间直角坐标系. 则0,0,0B，0,1,0A，1,0,0C， 1 0,0, 3C， 1 1,0, 3B ， 1 1,0, 3CC ， 1 1, 1, 3AB . 令 1 CECC，1, 1, 3AEACCE，,0, 3CE . 设平面 1 AB E的一个法向量为, ,nx y z， 1 130 30 n AExyz n ABxyz ， 令3z ，则 33 2 x ， 3 2 y ， 333 , 3 22 n ， AB 平面 11 BBCC，BA是平面 1 B EB的一个法向量， 3 cos, 2 n BA ，两边平方并化简得
14、 2 2530，所以1或 3 2 . 1 2CECC或 1 3 3 2 CECC. 21(1) ( )f x的定义域 22 1 (0,),( ) axa fx xxx ， 当0a时，( )0fx ，则 ( )f x在(0,)上单调递减； 当0a 时，令( )0fx ,可得0 xa； 令( )0fx 可得xa； 则 ( )f x在(0,)a 上单调递增，在(,)a上单调递减。 (2)当2a时，要证明 2 3ln(1) ( ) 1 ln(1) ex g x x 成立，即证： 2 1(1)ln(1)2 11 ln(1) xxxe xx 令( )1(1)1 (1),( )2 1 (1)xxxn xxn
15、 x ,令 22 ( )0,01, ( )0,1xxexxe 所以，( )x在 2 0,1e 单调递增；在 2 1,e递减. 又由已知 2 1 11xe e ,可知( )x在 1 1, e 上为减函数 故 2 1 ( )122 e xe ， 即 2 . 1112 xxln xe 令 1 ( )1 (1 ln(1),h ( )1 11 x h xxxx xx , 当 1 10,h ( )0,h( ) e xxx 单调递减； 当0,( )0, ( )xh xh x 单调递增。 故( )(0)0h xh,即 11 1 1 ln(1)0,0 11 ln(1) xx xx 厔 22 1(1)ln(1)2
16、2 111 ln(1) xxxee xxx 剟.故原不等式成立. 22 （1）将cosx，siny代入30 xya中 得到直线l的极坐标方程为：3 cossin0a 在曲线C的参数方程中，消去，可得 2 2 19xy 即 22 280 xyy 将cosx，siny代入 22 280 xyy 中 得到曲线C的极坐标方程为 2 2 sin80 （2）在极坐标系中，由已知可设 1, 6 M ， 2, 6 A ， 3, 6 B 联立 2 6 2 sin80 ，可得 2 80 所以 23 1 因为点M恰好为AB的中点，所以 1 1 2 ，即 1 , 2 6 M 把 1 , 2 6 M 代入3 cossin0a，得 31 0 44 a,所以1a 23 （1）当5m时， 521 311 521 x x f xx x x ， 由 2f x 得不等式的解集为 33 22 xx . （2）由二次函数 2 2 2312yxxx， 知函数在1x取得最小值 2， 因为 21 211 21 mx x f xmx mx x ，在1x处取得最大值2m， 所以要是二次函数 2 23yxx与函数 yf x的图象恒有公共点. 只需22m，即4m.
