1、第 3 讲 因数与倍数 知识点一：知识点一：因数与倍数的意义和特征因数与倍数的意义和特征 1 1. .意义：意义：如果 ab=c（a、b 是非 0 自然数） ，那么 a 和 b 是 c 的因数，c 是 a 和 b 的倍数 例如：24=8，就说 2 和 4 是 8 的因数，8 是 2 和 4 的倍数 2.2.特征特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 例如：15 最小的因数是 1，最大的因数是 15 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数 例如：31 最小的倍数是 31，没有最大的倍数。 ） 【提示】研究因数与倍数时，所说的数一般
2、指非 0 自然数。 因数和倍数相互依存，不能单独说一个数是因数或倍数，应该说谁是谁的因数，谁是谁的 倍数。 知识点知识点二二：2 2 、3 3、5 5 的倍数的特征的倍数的特征 2 的倍数的特征：个位是 0、2、4、6、8。例如：20,136,4578. 3 的倍数的特征：个位是 0 或 5。例如：21，327，.576. 5 的倍数的特征：各位上数字的和一定是 3 的倍数。例如：50，895 2645. 4 同时是 2 和 5 的倍数的特征：个位上是 0 的数同时是 2 和 5 的倍数。例如：90，340，. 知识点知识点三三：奇数与偶数奇数与偶数 1.奇数：不是 2 的倍数的数叫作奇数，最
3、小的奇数是 1. 偶数：是 2 的倍数的数叫作偶数，最小的偶数是 0。 2.和与积的奇偶性： （1）偶数士偶数=偶数 奇数士奇数=偶数 奇数士偶数=奇数 （2）偶数 偶数=偶数 奇数奇数=奇数 偶数奇数=偶数 知识点知识点四四：质数：质数与与合数合数 1.质数：只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫作质数（或素数） ，最小的质数是 2. 2.合数：除了 1 和它本身外还有别的因数，这样的数叫作合数，最小的合数是 4 3.1 既不是质数，也不是合数。 4.质因数：如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。 5，分解质因数：把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。 6，公因数只有
4、 1 的两个数叫作互质数。 【提示】按因数个数的多少，自然数（0 除外）可分为三类：质数、合数和 1 知识点知识点五五：最大公因数和最小公倍数最大公因数和最小公倍数 1. 公因数和最大公因数： 几个数公有的因数叫作这几个数的公因数； 其中最大的公因数叫作 这几个数的最大公因数 2. 求最大公因数的方法： （1）列举法；（2）筛选法（3）短除法 3. 公倍数和最小公倍数：几个数公有的倍数叫作这几个数的公倍数；其中最小的公倍数叫作 这几个数的最小公倍数 4. 求最小公倍数的方法 （1）列举法； （2）筛选法（3）短除法 5. 求两个数的最大公因数和最小公倍数的特殊情况：如果两个数是倍数关系，那么较
5、小数就 是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数；如果两个数是互质数，那么 它们的最大公因数就是 1，最小公倍数就是这两个数的乘积。 考点一：因数与倍数的意义和特征因数与倍数的意义和特征 【例 1】（2019 春抚宁区期末）甲、乙、丙是三个不同的非 0 自然数，甲数是乙数的倍数，丙数是乙数的 因数，那么甲数是丙数的( ) A因数 B倍数 C不能确定 【思路分析】 设甲、 乙、 丙分别为A、B、C 根据因数和倍数的意义可得AxB；ByC； 故()Axy C， 所以甲数是丙数的倍数 【规范解答】解：设甲、乙、丙分别为A、B、C 因为甲数是乙数的倍数，则有AxB；丙数是乙数的因数，则有
6、ByC； 故()Axy C， 所以甲数是丙数的倍数 故选：B 【名师点评】考查了因数和倍数的意义，本题的关键是由甲数是乙数的倍数，丙数是乙数的因数，得到甲 数和丙数之间的关系 1 （2019 春天河区期末）下面的说法中正确的是( ) A8 是 48 的倍数 B27 是 9 的因数 C一个数的倍数的个数是有限的 D15 是 60 的因数，也是 5 的倍数 【思路分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除(0)b ，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因 数；据此根据题意，对各选项进行依次分析、进而得出结论 【规范解答】解：A、因为4886，所以 48 是 8 的倍数，8 是 48 的因数，所以本
7、选项说法错误； B、因为2793，所以 27 是 9 的倍数，9 是 27 的因数，所以本选项说法错误； C、根据一个数的倍数的个数是无限的，所以本选项说法错误； D、因为60154，1553，所以 15 是 60 的因数，也是 5 的倍数，说法正确； 故选：D 【名师点评】此题考查的是因数和倍数的意义，应根据其意义进行解答 2 （2019 春唐河县校级月考）属于因数和倍数关系的等式是( ) A20.250.5 B50252 C200 D 11 2 42 【思路分析】根据因数和倍数的意义：如果整数a能被整数b整除(0)b ，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的因数；即因数和倍数是相对而说的，不能单
8、独存在 【规范解答】解：因为在 4 个选项中，A中有 2 个小数，C中一个因数是 0，D中有 2 个分数， 因数和倍数的关系研究的是非 0 自然数，所以只有B正确； 故选：B 【名师点评】此题考查了因数和倍数的意义，应明明因数和倍数研究的范围 3 （2019武侯区）甲数是乙数的倍数，丙数是乙数的因数，那么甲数是丙数的( ) A倍数 B因数 C无法确定 【思路分析】 设甲、 乙、 丙分别为A、B、C 根据因数和倍数的意义可得AxB；ByC； 故()Axy C， 所以甲数是丙数的倍数 【规范解答】解：设甲、乙、丙分别为A、B、C 因为甲数是乙数的倍数，则有AxB；丙数是乙数的因数，则有ByC； 故
9、()Axy C， 所以甲数是丙数的倍数 故选：A 【名师点评】考查了因数和倍数的意义，本题的关键是由甲数是乙数的倍数，丙数是乙数的因数，得到甲 数和丙数之间的关系 考点二： 2 2、3 3、5 5 倍数的特征倍数的特征及应用及应用 【例 2】（2019 春老河口市校级期中）在下面的“”里填上一个适当的数字 （1）既是 2 的倍数，又是 3 的倍数 472 （2）既有因数 3，又有因数 5. 41 （3）同时是 2、3、5 的倍数 3 【思路分析】根据 2、3、5 的倍数的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数都是 2 的倍数；各位上的数字之 和是 3 的倍数，这个数一定是 3 的倍数；个位上
10、是 0 或 5 的数都是 5 的倍数；既是 2 的倍数，又是 3 的倍数的数个位上是偶数且各位上的数字之和是 3 的倍数；既有因数 3，又有因数 5 的数个位上是 0 或 5 且各位上的数字之和是 3 的倍数；同时是 2、3、5 的倍数，个位上必须是 0 且各位上的数字之和是 3 的倍数据此规范解答 【规范解答】解： （1）既是 2 的倍数，又是 3 的倍数 472，口里可以填 2，即 4722； （2）既有因数 3，又有因数 5.41，时位上可以填 1，个位上可以填 0，即 4110； （3）同时是 2、3、5 的倍数3 口口，个位上必须填 0，十位上可以填 3，即 330 故答案为： （1
11、）2； （2）1、0； （3）3、0 【名师点评】此题考查的目的是理解掌握 2、3、5 的倍数的特征 1 （2019 春泰兴市校级期中）三位数 83 是 3 的倍数，里最大填 ；三位数 47既是 2 的倍数， 又是 5 的倍数，里应填 ；三位数 47既是 2 的倍数，又是 3 的倍数，里应填 【思路分析】是 3 的倍数的数各个位上的数相加所得的和能被 3 整除，三位数 83 是 3 的倍数，里可 以填 1、4、7，所以里最大填 7； 是 2 的倍数的数的个位都是偶数，是 5 的倍数的数个位不是 0 就是 5，三位数 47既是 2 的倍数，又是 5 的倍数，里应填 0； 是 2 的倍数的数的个位
12、都是偶数，是 3 的倍数的数各个位上的数相加所得的和能被 3 整除，三位数 47既 是 2 的倍数，又是 3 的倍数，里应填 4 【规范解答】解：三位数 83 是 3 的倍数，里最大填 7；三位数 47既是 2 的倍数，又是 5 的倍数， 里应填 0；三位数 47既是 2 的倍数，又是 3 的倍数，里应填 4 故答案为：7、0、4 【名师点评】此题主要考查了是 2、3、5 的倍数的数的特征，要熟练掌握 2 （2019 春海南期末）从下面先选三张数字卡片，再按要求组成三位数， （要求写全） 6 0 5 7 （1）是 3 的倍数 （2）同时是 2、5 的倍数 （3）是 2 的倍数 【思路分析】 （
13、3）3 的倍数：各个数位上的和能被 3 整除； （4）2 和 5 的倍数：末尾是 0 即可； （3）能被 2 整除的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数，据此规范解答即可 【规范解答】解： （1）是 3 的倍数有：570、750、657、675、567、576、756、765； （2）同时是 2、5 的倍数有：650、560、570、750、670、760； （3）是 2 的倍数有：560、650、506、670、760、706、570、750、576、756 【名师点评】规范解答此题应根据题意，根据能被 2、3、5、整除数的特征进行规范解答即可 3 （2019 春麻城市期中）从 0，4，
14、5，7，9 中各选出四个数字组数 （各写三个） （1）是 2 的倍数： （2）是 3 的倍数： （3）是 5 的倍数： （4）同时是 2，3，5 的倍数： 来源:学+科+网 Z+X+X+K 【思路分析】 （1）能被 2 整除的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数； （2）能被 3 整除的数的特征：各个数位上的数字相加的和能被 3 整除； （3）能被 5 整除的数的特征：个位上的数字是 0 或者 5 的数； （4）要同时能被 2、3 和 5 整除，这个数的个位一定是 0，各个数位上的数字相加的和能被 3 整除，规范 解答即可 【规范解答】解：由思路分析规范解答如下： （答案不唯一） （1）是
15、 2 的倍数：4570、4790、5794 （2）是 3 的倍数：4590、5490、7950 （3）是 5 的倍数：2790、4795、5740； （4）同时是 2，3，5 的倍数：4590、5490、7590 故答案为：4570、4790、5794；4590、5490、7950；2790、4795、5740；4590、5490、7590 【名师点评】此题主要根据能被 2、3、5 整除的数的特征解决问题 考点三：质数、合数、奇数、偶数的综合应用质数、合数、奇数、偶数的综合应用 【例 3】小明家的电话号码是七位数，第一位比 3 的最小倍数小 1，第二位是最小合数，第三位是最小的 偶数，第四位是
16、既不是质数也不是合数，第五位数是 9 的最小因数，第六位比最小的质数多 1，第七位 是 10 以内的既是 2 的倍数又是 4 的倍数但不是 4，明明家的电话号码是： 【思路分析】根据质数与合数、奇数与偶数的意义，一个自然数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样的 数叫做质数一个自然数如果除了 1 和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数数 2 的倍数的数叫做 偶数倍数 2 的倍数的数叫做奇数1 既不是质数也不是合数，1 最小的奇数；2 是最小的质数，4 是 最小的合数由此规范解答 【规范解答】解：第一位比 3 的最小倍数小 1，3 的最小倍数是它本身，3 12 ， 第二位是最小合数，就是 4，
17、第三位是最小的偶数，就是 0， 第四位是既不是质数也不是合数，那就是 1， 第五位第五位数是 9 的最小因数，是 1， 第六位比最小的质数多 1，213 ， 第七位是 10 以内的既是 2 的倍数又是 4 的倍数但不是 4，是 8 所以明明家的电话号码是：2401138 故答案为：2401138 【名师点评】此题主要考查质数与合数、奇数与偶数、因数与倍数的概念及意义 1 （2019 秋五峰县期末）一个三位数，百位上的数既不是质数，也不是合数，十位上既是奇数又是合数， 个位上的数既是偶数又是质数这个数是 【思路分析】一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数；除了 1 和它本身外，
18、还有别的 因数的数叫合数；不能被 2 整除的数叫做奇数根据质数、合数、奇数的定义，0 9中，既是质数又 是偶数的数是 2， 既是奇数又是合数的数是 9， 既不是质数也不是合数的数是 1， 所以这个三位数是 192 【规范解答】解：根据质数、合数、奇数的定义，这个三位数的个位是 2，十位是 9，百位是 1所以这个 三位数是 192 故答案为：192 【名师点评】本题关健是要明白质数、合数、奇数的定义 2 （2019 秋盐山县期末）菲菲家的门锁密码是一个八位数，记为ABCDEFGH A：最小的质数；B：最小的合数；C：既不是质数，也不是合数的数；D：最小的自然数；:10E以内 最大的合数；F：只有
19、因数 1 和 5 的数；:8G最大的因数；H：是偶数，又是质数的数菲菲家的门锁 密码是 【思路分析】根据偶数、奇数、质数、合数的意义，在自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数，不是 2 的倍 数的数叫做奇数，一个自然数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数，一个自然数，如果除 了 1 和它本身还有别的因数，这样 数叫做合数据此解答即可 【规范解答】解：最小的质数是 2；最小的合数是 4；1 既不是质数也不是合数；最小的自然数是 0，10 以 内最大的合数是 9；只有因数 1 和 5 的数是 5；8 的最大因数是 8；是偶数又是质数的数是 2；所以，菲菲 家的门锁密码是：2410958
20、2 故答案为：24109582 【名师点评】此题考查的目的是理解掌握偶数、奇数、质数、合数的意义及应用 3 （2019 春麒麟区校级月考）笑笑家的电话号码是七位数从左到右，第一位是 6 的最小倍数；第二位 是 5 的最大因数；第三位是最小的偶数；第四位既不是质数，也不是合数；第五位比最小质数多 1；第 六位是最大的一位数；第七位比最小的合数多 3笑笑家的电话号码是多少？ 【思路分析】第一位是 6 的最小倍数是 6；第二位是 5 的最大因数是 5；第三位是最小的偶数是 0；第四位 既不是质数，也不是合数是 1；第五位比最小的质数 2 多 1 是 3；第六位是最大的一位数是 9；第七位 比最小的合
21、数 4 多 3 是 7据此解答即可来源:学科网 【规范解答】解：由分析可知：这个数是 6501397 答：笑笑家的电话号码是 6501397 【名师点评】此题主要考查根据质数、合数、奇数、偶数的意义：自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数， 不是 2 的倍数的数叫做奇数；除了 1 和它本身以外，不含其它因数的数是质数；除了 1 和它本身外，还 含有其它因数的数是合数 4 （2019 春高要区校级期中）猜一猜：小明家的电话号码可有趣了，号码从左往右依次是：是最小的 合数；最大因数是 8；因数只有 1 和 5；既不是质数也不是合数；最大的一位数；既是质数又 是偶数10 以内最大的质数你猜出小明家的电
22、话号码吗？ 【思路分析】是最小的合数 4；8 的最大因数是 8；5 的因数只有 1 和 5；既不是质数也不是合数 是 1；最大的一位数是 9；既是质数又是偶数的数是 2；10 以内最大的质数是 7据此按顺序即可写 出此数 【规范解答】解：是最小的合数 4；8 的最大因数是 8；5 的因数只有 1 和 5；既不是质数也不是 合数是 1；最大的一位数是 9；既是质数又是偶数的数是 2；10 以内最大的质数是 7 答：小明家的电话号码是 4851927 【名师点评】此题是考查整数的写法，关键是根据自然数的意义、奇数、偶数的意义，质数、合数的意义 确定每位上的数字 考点四：求几个数求几个数最大公因数最
23、大公因数或或最小公倍数最小公倍数 【例 4】（2019 秋浦东新区校级期中）用短除法分别求下列各组数的最大公约数和最小公倍数 26、39 和 52 18、20 和 30 【思路分析】求三个数的最大公约数与最小公倍数的方法：三个数的公有质因数连乘积是最大公约数，三 个数的公有质因数、两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数 【规范解答】解：26、39 和 52 故 26、39 和 52 的最大公约数是 13，最小公倍数是132 1 32156 ； 18、20 和 30 故 18、20 和 30 的最大公约数是 2，最小公倍数是23 53 5 1450 【名师点评】考查了求几个数的
24、最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最 大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法规范 解答 1 （2019 春枣庄期中）求下列每组数的最大公因数和最小公倍数 （1）27 和 72 （2）19 和 76 （3）36 和 48 【思路分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，先将这两个数分解质因数，它们的最大公因数就是它 们共有的质因数的乘积，最小公倍数就是它们共有的和各自剩下的质因数的乘积；当两个数中，其中一个 数是另一个数的倍数时，它们的最大公因数是较小的那个数，最小公倍数是较大的那个数 【规范解答】解： （1）273 3
25、 3 ，722223 3 所以它们的最大公因数是3 39，最小公倍数是2223 3 3216 （2）76194 所以它们的最大公因数是 9，最小公倍数是 79 （3）36223 3 ，4822223 所以它们的最大公因数是22312，最小公倍数是22223 3144 【名师点评】此题主要考查了求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法 2 （2019 春高新区期中）用短除法求下列每组数的最大公因数和最小公倍数 24 和 60 15 和 45 26 和 78 【思路分析】求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因 数的连乘积，对于两个数来说：两个数的公有质因数连
26、乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数 独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此依次规范解答即可 【规范解答】解： （1）24 和 60 24 和 60 的最大公因数是22312，最小公倍数是22325120 ； （2）15 和 45 15 和 45 的最大公因数是 15，最小公倍数是15 1 345 ； （3）26 和 78 26 和 78 的最大公因数是 26，最小公倍数是3 1 2678 【名师点评】此题主要考查求两个数的最大公因数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最 大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数 3 （2019北京校级自主招生） 一个
27、四位数被 2 除余 1， 被 3 除余 2， 被 4 除余 3， 被 5 除余 4， 被 6 除余 5， 被 7 除余 6，被 8 除余 7，被 9 除余 8，被 10 除余 9求这样的四位数 【思路分析】先把条件理解为一个四位数被 2 除差 1，被 3 除差 1，被 4 除差 1，被 5 除差 1，被 6 除差 1， 被 7 除差 1，被 8 除差 1，被 9 除差 1，被 10 除差 1满足以上条件实际上就是求 2、3、4、5、6、7、 8、9、10 的最小公倍数就可以了 【规范解答】解：先分解质因数如下： 所以 2、3、4、5、6、7、8、9、10 的最小公倍数是223 57232520
28、 ， 此数是252012519 答：这样的四位数是 2519 考点五：分解质因数分解质因数 【例 5】（2019长沙模拟）下面的式子中，表示 分解因质因数的是 不表示分解质因数的 是 （按题目顺序填写） A、56247B、722223 3 1C 、633 37D 、23 530E 、1202223 5 【思路分析】本题可据分解质因数的意义即一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数， 来进行分析解答 【规范解答】解：选项A：因数 4 为合数，所以不是分解质因数； 选项B：因数 1 不是质数，所以不是分解质因数； 选项C：将 63 分解成 3、3、7 三个质数相乘的形式，即将 63 分
29、解质因数 选项D：表示的是因数 2、3、5 的乘积是 30，不是分解质因数 选项E：将 120 分解为 2、2、2、3、5 五个质数相乘的形式，即将 120 分解质因数 答：表示分解因质因数的是CE不表示分解质因数的是ABD 故答案为：CE；ABD 【名师点评】完成本题时要注意 1 不是质数也不是合数 1 （2019兴化市模拟）下列式子中，属于分解质因数的是( ) A5423 9 B4223 7 C121 223 【思路分析】把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来叫做分解质因数，据此分析解答 【规范解答】解：选项A、因数 9 为合数，所以不是分解质因数； 选项B、将 42 分解为 2、3、7
30、三个质数相乘的形式，即将 42 分解质因数 选项C、因数 1 不是质数，所以不是分解质因数； 故选：B 【名师点评】完成本题时要注意 1 不是质数也不是合数 2 （2019 春青岛期末）分解质因数223A 235B 237C A、B、C的最大公约 数是 ，最小公倍数是 【思路分析】求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是共有质因数与独有质因 数的连乘积，对于三个数来说：三个数的公有质因数连乘积是最大公约数，三个数的公有质因数与每个 数独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此解决问题即可 【规范解答】解：分解质因数223A 235B 237C A、B、C的最大公约数是236，最小
31、公倍数是223 57420 故答案为：6，420 【名师点评】此题主要考查求三个数的最大公约数与最小公倍数的方法：三个数的公有质因数连乘积是最 大公约数， 三个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数； 数字大的可以用短除解答 3 （2019 秋正定县期末）从 0，1，2，3 四个数中，任选三个数字，组成一个同时是 2 和 5 的倍数，又含 有因数 3 的最大三位数是 ，把它分解质因数是 【思路分析】能同时被 2、3、5 整除的数，必须具备个位数是 0，各个数位上的数字和是 3 的倍数，符合 条件的三位数有 120、210，其中最大三位数是 210将一个数分解质因数，是把这个数写成
32、几个质因数相 乘的形式，一般从较小的开始 【规范解答】解：符合条件的三位数有 120、210，其中最大三位数是 210； 21023 57 故答案为：210，21023 57 【名师点评】此题属于考查能被 2、3、5 整除的数的特征，熟记能被 2、3、5 整除的数的特征，并正确解 答；将一个数分解质因数，是把这个数写成几个质因数相乘的形式 4 （2019 秋任丘市期末）用短除法把下列各数分解质因数 76、84、46、85 【思路分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质因数连乘积的形式，一般先从较小的质数试着分解 【规范解答】解： 7622 19； 842237 ； 46223； 855 17
33、【名师点评】此题主要考查用短除法分解质因数，要注意分解质因数的书写形式 考点六：利用公因数利用公因数或或最大公因数解决实际问题最大公因数解决实际问题 【例 6】（2019 春溧阳市期末）班主任把 20 支钢笔和 25 本练习本平均奖给“三好学生” ，结果钢笔多了 2 支，练习本少了 2 本 “三好学生”最多有多少人？ 【思路分析】由题意可知，奖给每个学生的钢笔的数量、练习本的数量是相同的，这个数量是奖给学生的 钢笔的总数量的因数，也是练习本总数量的因数，也就是钢笔总数量和练习本总数量的公因数；根据钢笔 现有 20 支，结果多出了 2 支，用20218（支)，求出需要的钢笔的总数量；根据现有 2
34、5 本练习本，练 习本少 2 本，用25227（本)，求出需要的练习本的总数量，要求评出的三好学生最多是多少人，也 就是求 18 和 27 的最大公因数 【规范解答】解：20218（支) 25227（本) 18233 273 3 3 18 和 27 的最大公因数是 9 答：三好学生最多有 9 人 【名师点评】规范解答此题先弄清题意，求出奖给学生的钢笔的数量和练习本的数量，再求这两个数的最 大公因数 1 （2019 春兴化市期末）房间的地面长 3.6 米，宽 3 米现在想用正方形的地砖铺地，要求地砖无需切 割并且尽可能大，那么每块地砖的边长是多少分米？共要多少块这样的地砖？ 【思路分析】3.6
35、米36分米，3 米30分米，求正方形地砖的边长最长是多少就是求 36 和 30 的最大公因 数是多少，按求最大公因数的方法求出边长，然后再求块数 【规范解答】解：3.6 米36分米，3 米30分米， 36223 3 ，3023 5 ， 所以 36 和 30 的最大公因数为236， 即地砖的边长最长是 6 分米， (36 30)(6 6) 108036 30（块) 答：地砖的边长最长是 6 分米，需要这样的地砖 30 块地板砖 【名师点评】此题主要考查求几个数的最大公因数并解决实际问题 2 （2019 春邹城市期末）学校要举行大扫除，五一班来了 45 人，五二班来了 54 人如果把两个班的学 生
36、分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，每组最多有多少人？ 【思路分析】 要求每组最多有多少人， 也就是求 45 和 54 的最大公因数是多少， 先把 45 和 54 分解质因数， 找出它们公有的质因数，再根据求最大公因数的方法：把这两个数的公有质因数乘起来即可 【规范解答】解：453 3 5 5423 3 3 所以 45 和 54 的最大公约数是：3 39 答：每组最多有 9 人 【名师点评】解决此题关键是把问题转化成求两个数的最大公约数，再根据求两个数的公有质因数的方法 规范解答即可 3 （2019 秋雨花台区期末）五年级共有 48 名男生、54 名女生把男、女生分别站成若干排，要
37、使每排 的人数相同，这时每排最多站多少人？男、女生分别有几排？ 【思路分析】（1） 由男女生分别排队， 要使每排的人数相同， 可知每排的人数是男生和女生人数的公因数， 要求每排最多有多少人，就是每排的人数是男生和女生人数的最大公因数； （2）求这时男、女生分别有几排，只要用男、女生人数分别除以每排的人数即可 【规范解答】解： （1）4822223 5423 3 3 所以 48 和 54 的最大公因数是：236 即每排最多有 6 人 答：每排最多站 6 人 （2）男生分的排数：4868（排) 女生分得排数：5469（排) 答：男生有 8 排，女生有 9 排 【名师点评】 规范解答本题关键是理解：
38、 每排的人数是男生和女生人数的公因数， 要求每排最多有多少人， 就是每排的人数是男生和女生人数的最大公因数 考点七：利用公倍数及最小公倍数解决实际问题利用公倍数及最小公倍数解决实际问题 【例 7】（2019海淀区）某班有学生 63 人，一天上体育课排队，4 人一排多 2 人，5 人一排多 3 人，6 人 一排多 4 人，这天上体育课的有多少人？缺勤的有多少人？ 【思路分析】 “4 人一排多 2 人，5 人一排多 3 人，6 人一排多 4 人”可以理解为“4 人一排少 2 人，5 人一 排少 2 人，6 人一排少 2 人” ，求多少人参加，也就是求 63 人以内的比 4、5、6 的公倍数少 2
39、的人，由此 规范解答即可；然后用 63 减去上课的人数，即可求出缺勤的人数 【规范解答】解：4、5、6 的最小公倍数是 60，所以上课的有：60258（人) 缺勤的有：63585（人) 答：这天上体育课的有 58 人，缺勤的有 5 人 【名师点评】明确要求的上体育课的人数即比比 4、5、6 的公倍数少 2 的人，是答此题的关键 1 （2019 秋浦东新区校级期中）有一批同样的地砖，长 45 厘米，宽 60 厘米，至少用这样的地砖多少块， 才能铺成一块正方形的地面？ 【思路分析】先把“45 和 60 进行分解质因数，这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积，求出正方 形地面的边长，进而求出长需要
40、几块，宽需要几块，然后相乘求出用砖的总块数 【规范解答】解：453 3 5 ，60223 5 所以铺成地面的边长是223 3 5180 厘米 需要：(18045)(18060)来源:Z#xx#k.Com 43 12（块) 答：至少用这样的地砖 12 块，才能铺成一块正方形的地面 【名师点评】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连 乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除规范解答 2 （2019 秋浦东新区校级期中）三个朋友每人隔不同的天数去图书馆一次，甲 3 天一次，乙 4 天一次， 丙 5 天一次至少要过多少天才能在图书馆重逢？ 【思路分析】求出 3、4
41、 和 5 的最小公倍数，即为一起在图书馆重逢的最小间隔时间，即可得解 【规范解答】解：因为 3、4、5 两两互质，所以他们的最小公倍数是 3、4、5 的乘积， 所以 3、4 和 5 的最小公倍数是34560 即又在图书馆相见的最小间隔时间是 60 天， 答：至少再过 60 天才能在图书馆重逢 3 （2019 春简阳市 期末）一箱苹果在 40 个和 60 个之间，如果 4 个 4 个地数，最后剩下 3 个，如果个 5 个地数，最后剩下 4 个这箱苹果共多少个？ 【思路分析】 如果 4 个 4 个地数， 最后剩下 3 个， 如果个 5 个地数， 最后剩下 4 个 把苹果的个数加 1 个， 就正好数
42、完，也就是说苹果的个数就是比 4、5 的公倍数少 1，要求这箱苹果有多少个，即是 40 个和 60 之 间 4 和 5 的最小公倍数再减 1 即可 【规范解答】解：4 和 5 是互质数， 所以 4 和 5 的最小公倍数是4520， 20 的倍数有 20，40，60，80， 40 个和 60 之间只有60159 （个) 答：这箱苹果共 59 个来源:学科网 【名师点评】考查了求几个数的最小公倍数的方法，规范解答本题关键是理解：苹果的个数加 1 就是 4、5 的公倍数 小升初专项培优测评卷（小升初专项培优测评卷（三三）因数与倍数因数与倍数 1（2019娄底模拟） 某班学生人数在 40 人到 50
43、人之间， 男生和女生人数的比是5:6， 这个班有男生 人， 女生 人 【思路分析】本题可先根据男女生的比求出全班共有多少人，男女生比例为5:6，如果男生有 5 人的话， 女生有 6 人，班里共5611人，所以班里人的总数一定是 11 的倍数，而 40 到 50 之间 11 的倍数只有 44，所以班里有 44 人，然后，再根据男女生比求出男生有多少人，从而求解 【规范解答】解：男女生比例为5:6，所以班内人数总数一定为5611的倍数，而 40 到 50 之间 11 的 倍数只有 44，所以班里有 44 人 男生有： 5 4420 56 （人)； 女生有：442024（人) 答：这个班男生有 20
44、 人，女生有 24 人 故答案为：20，24 【名师点评】本题的关健是根据男女生的比例及人数范围确定好全班人数是多少 2 （2019四川校级自主招生） 甲、 乙两数的最大公因数是 25， 最小公倍数是 150， 若甲是 75， 乙是 【思路分析】 根据 “两个数的乘积等于这两个数的最大公因数和这两个数的最小公倍数的乘积” 进行解答： 先求出这两个数的最大公因数和这两个数的最小公倍数的乘积，然后除以甲数即可求出乙数 【规范解答】解：25 15075， 375075， 50； 答：乙是 50； 故答案为：50 【名师点评】明确两个数的乘积等于这两个数的最大公因数和这两个数的最小公倍数的乘积是解答本
45、题的 关键 3 （2019岳麓区校级自主招生）一艘油轮的船长已经 50 多岁，船上有 30 多名工作人员，其中男性占多 数如果将船长的年龄、男工作人员的人数和女工作人员的人数相乘，则积为 15606，船上共有 名 工作人员，船长的年龄是 岁 【思路分析】将 15605 分解质因数得1560623 17 179 ，所以据船长已经 50 多岁可得船长的年龄为 3 1751岁；又船上有 30 多名工作人员，其中男性占多数，则男工作人员为2918人，女工作人员 为 17 人 （如男工作人员为2 1734人，则男女相加大于 40 人了，所以排除） 【规范解答】解：156062 3 17 179 ，来源:
46、Zxxk.Com 所以船长年龄为：3 1751（岁)； 男工作人员有：2918人， 共有工作人员为：171835（人) 故答案为：35，51 【名师点评】完成此类题目的关健是先将乘积分解质因数，然后再据乘积的因数进行解答 4 （2019深圳）教室里有红黄蓝三盏灯，只有一个拉环，拉一次红灯亮，拉两次亮红灯和黄灯，拉三次 三灯全亮，拉四次全部灭，现有编号 1 到 100 的同学，每个同学拉开关拉自己编号次灯比如第一个同学 拉一次，第二个同学拉两次，照此规律一百个同学拉完灯的状态是 【思路分析】把按 4 次看成一次操作，这一次操作中按第一次第一盏灯亮，按两次第二盏灯亮，按三次三 灯全亮，再按一次全部
47、灯灭；求出 100 里面有几个这样的操作，还余几，然后根据余数推算 【规范解答】解：第 100 个同学拉之前，灯不可能全灭应该是总次数1231005050（次) 505041262（次)2（次) 余数是 2，就是第二次的状态，红灯和黄灯亮 故答案为：红灯和黄灯亮 【名师点评】这类型的题目把重复出现的部分看成一个周期，求出一共有多少的这样的周期，还余几，然 后根据余数推算 5 （2019郑州）有 4 名学生恰好一个比一个大一岁，他们年龄的乘积为 3024如果把从小到大的顺序排 列，那么第二个学生 岁 【思路分析】先把 3024 分解质因数，然后把它变成 4 个连续自然数乘积的形式，找出第二小的数即可 【规范解答】解：3024=2 2 2 2 3 3 3 7=6 7 8 9； 所以这四个学生的年龄分别是 6 岁，7 岁，8 岁，9 岁； 答：第二个学生的年龄是 7 岁 故答案为：7 【名师点评】本题考查了根据分解质因数的意义解决实际问题的能力 6 （2019 秋浦东新区校级期中）把 168 支铅笔，126 块橡皮，42 个文具盒平均装成若干个完全一样的礼 品袋，最多可装多少袋？每个袋子里分别有几支铅笔、几块橡皮、几个文具盒？ 【思路分析】求最多可装多少袋，即求 168、126 和 42 的最大公因数，分别用铅笔、橡皮、文具盒的数量 除以袋数可求
