1、第 26 讲 数学思考 知识点一：知识点一：简单的排列与组合简单的排列与组合 1.1.排列、组合：排列、组合：排列是把给定个数的元素按照一定的顺序排成一列；组合是把给定个数的元 素按任意顺序并成一组。 2 2. .解决排列、组合问题的基本原理：解决排列、组合问题的基本原理：分类计数原理（也称加法原理）与分步计数原理（也称 乘法原理） （1 1）分类计数原理：）分类计数原理：指完成一件事有很多种方法，各种方法相互独立，用其中任何一种方 法都可以完成这件事。那么各种不同的方法数相加，其和就是完成这件事的方法总数。 （2 2）分步计数原理）分步计数原理：指完成一件事，需要分成多个步骤，每个步骤中又有
2、多种方法，各个步 骤中的方法相互依存， 只有各个步骤都完成才算做完这件事。 那么每个步骤中的方法数相乘， 其积就是完成这事的方法总数。 知识点二：知识点二：简单的逻辑推理简单的逻辑推理 根据已有的事实，经过分析、推断，就能找到答案，这种解决问题的方法就是逻辑推理。知知 识点三：识点三：解决问题的策略解决问题的策略 1 1. .列表法：列表法：在解决问题时，可以用表格将条件和问题整理出来，就能发现数量之间的联系， 找出规律，顺利解题 2.2.图解法：图解法：就是借助图形，通过画线段或直观图，把应用题中抽象的数量关系，直观形象地 显示！来，使其一目了然，帮助我们理解题意，明确数量的关系，进而很快地
3、寻找出解题的 途径不方法。 3 3. .枚举法：枚举法：根据题目要求，将符合要求的结果不重复、不遗漏地-列举出来，从而解决问题 的方法叫做枚举法，也叫做列举法或穷举法。 4 4. .逆推法：逆推法：从应用题的问题的最后结果出发，利用已知条件一步一步倒着推理，直到解决问 题，这种思考方法叫做逆推法，又称为“倒推法”或“还原法” 5 5. .假设法：假设法：常把问题中的一个未知数假定为已知的，然后根据题目中的已知条件推算，其结 果常与题目对应的已知数不符，再加以适当调整，就可以求出结果。鸡兔同笼问题常用假设 法求解，鸡兔同笼问题也称设置问题。 6 6. .替换法：替换法：根据两种数量中，某种数值
4、4 相等的关系，用一种量替换 另一种量来寻得解决问 题的思考方法，叫做替换法。 考点一：简单的排列与组合简单的排列与组合 【例 1】（2019 秋深圳期末）用这三张卡片能组成 个不同的两位数，能组成 个不同的 三位数 【思路分析】 （1）先排十位，有 3 种排法；再排个位，有 2 种排法；所以一共有326种排法，据此求 出两位数的个数即可； （2）先排百位，有 3 种排法；再排十位，有 2 种排法；再排个位，有 1 种排法，所以一共有32 16 种 排法，据此求出三位数的个数即可 【规范解答】解： （1）不同的两位数的个数是：326（个) （2）不同的三位数的个数是：32 16 （个) 答：用
5、这三张卡片能组成 6 个不同的两位数，能组成 6 个不同的三位数 故答案为：6、6 【名师点评】此题主要考查了简单的排列、组合问题，注意分别判断出每个数位上有几种排法 【例 2】（2019湘潭）学习小组有 6 人，若从中挑选 3 人去参加一项体验活动，则共计有( )种选择 方法 A12 B15 C18 D20 【思路分析】从 6 个中先选 1 个，有 6 种选法；再从剩余 5 个中再选 1 个，有 5 种选法；再从剩余 4 个中 选 1 个，有 4 种选法；总选法有654120 种，重复的次数：3 个人可以排列出326种可能，相除即 可得到答案 【规范解答】解：从 6 个中先选 1 个，有 6
6、 种选法；再从剩余 5 个中再选 1 个，有 5 种选法；再从剩余 4 个中选 1 个，有 4 种选法； 总选法：654120 （种) 重复的次数：3 个人可以排列出326（种) 120620（种) 故选：D 【名师点评】这道题中先计算出 6 个人中选出 3 个人进行有顺序的排列，得到 120 种，再计算出重复计算 的次数，相除即可得到答案 1 （2019成都）用 3、4、5、0 四个数可以写 个不同的四位数，其中最大的是 【思路分析】3、4、5、0 四个数字没有 0，都可以放在任何位置，组成没有重复数字的不同的四位数，即 把这四个数字填入 4 个数位中，分 4 步完成，第一个数位有 3 种填
7、法，第二个数位有 3 种填法，第三个数 位有 2 种填法，第四个数位只有 1 种填法，用乘法原理，即可得解要求最大的四位数，把最大的数字排 在首位，然后也按从大到小的顺序排列即可 【规范解答】解：3 32 118 （个) 用 3、4、5、0 四个数字组成最大的数是 5430 答：3、4、5、0 四个数可以写 18 个不同的四位数，其中最大的是 5430 故答案为：18；5430 【名师点评】用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析要完成的“一 件事”是什么，可以“分类”还是需要“分步” 2 （2019莘县）有三把锁和三把钥匙，现在用三把钥匙去打开三把锁，最多要试 6
8、 次 【思路分析】从最坏的情况考虑：每次都到试到最后一把锁才打开，则拿 3 把钥匙开第一把锁，至少要试 3 次， 进一步用剩下的 2 把钥匙开第二把锁， 至少要试 2 次， 最后一把只需 1 次就可打开， 由此解决问题 【规范解答】解：3216 （次) 答：最多要试 6 次 故答案为：6 【名师点评】解决此题的关键在于要考虑最坏的结果，用运用类推的方法解答问题 3 （2019保定模拟）六年级 4 个班之间将举行拔河比赛，采用单循环制进行比赛，全年级一共要进行 6 场比赛 【思路分析】由于采用单循环制进行比赛，所以每个班都要和其它三个班赛一场，即进行 3 场比赛；四个 班一共要有3412场比赛，
9、 又因为每两个班重复计算了一次， 所以实际全年级一共要进行了1226 场比赛 【规范解答】解：3 42， 122， 6（场)； 答：全年级一共要进行 6 场比赛 故答案为：6 【名师点评】 本题考查了加法原理即完成一件事情有n类方法， 第一类中又有 1 M种方法， 第二类中又有 2 M 种方法，第n类中又有 n M种方法，那么完成这件事情就有 12n MMM种方法 4 （2019成都）绵阳到成都的某次列车，途中须停靠的车站依次是：绵阳罗江黄许德阳广汉 青白江新都成都那么为这次列车制作的车票一共有( ) A7 种 B8 种 C56 种 D28 种 【思路分析】从绵阳要经过 7 个地方，所以要制作
10、 7 种车票；从罗江要经过 6 个地方，所以要制作 6 种车 票；以此类推，则应分别制作 5，4，3，2，1 种车票，共制作车票765432128 （种)；据此 解答即可 【规范解答】解：765432128 （种) 答：这次列车制作的车票一共有 28 种； 故选：D 【名师点评】本题考查了握手问题，可以直接根据计算公式解答，即(1)2nn 考点二：简单的逻辑推理简单的逻辑推理 【例 3】（2019西城区）甲、乙、丙、丁四人围方桌而坐玩扑克牌游戏甲说：我不坐南边，乙说：我与 丙坐对面，丙说，我面向西而坐，那么方桌东南西北四个方向上依次坐着( ) A甲乙丙丁 B乙丁丙甲 C丙丁甲乙 D丙丁乙甲 【
11、思路分析】根据“丙说，我面向西而坐， ”可得丙坐在东边；又因为“乙说：我与丙坐对面， ”那么乙坐 在西边；再根据“甲说：我不坐南边， ”可得甲坐在北边；剩下丁坐在南边；据此排列东南西北四个方向 上依次坐着谁即可 【规范解答】解：根据“丙说，我面向西而坐， ”可得丙坐在东边； 又因为“乙说：我与丙坐对面， ”那么乙坐在西边； 再根据“甲说：我不坐南边， ”可得甲坐在北边； 剩下丁坐在南边； 所以，方桌东南西北四个方向上依次坐着丙丁乙甲 故选：D 【名师点评】本题考查了简单的归纳与推理：根据题目提供的方向和位置关系，分析其中存在的规律和方 法，从而得到问题的解决 【例 4】（2019青原区）小王、
12、小李、小张三人中有教师、工人、工程师各一人，已知小张比工人年龄大， 小王和教师不同岁，教师比小李年龄小，那么( )是教师 A小王 B小李 C小张 D小王和小李 【思路分析】小王和教师不同岁，教师比小李年龄小，可以得出小王和小李都不是教师，从而得出小张是 教师，由此求解 【规范解答】解：小王和教师不同岁，则小王不是教师， 教师比小李年龄小，小李也不是教师， 那么只能小张是教师 故选：C 【名师点评】本题属于简单的逻辑推理，抓住“小王和教师不同岁，教师比小李年龄小”进行排除，从而 解决问题 1 （2019绵阳）在一次跳高比赛中，没有并列的名次已知小李仅比一个人跳得高；小钱仅比一个人跳 得低； ，小
13、赵比小孙跳得高；小周比小孙跳得低则第一名是( ) A小赵 B小钱 C小孙 D小李 【思路分析】 根据 “已知小李仅比一个人跳得高” 可知小李排在倒数第二； 根据 “小钱仅比一个人跳得低” 可以小钱只能是第二名或倒数第一名；再根据“小赵比小孙跳得高；小周比小孙跳得低”可得：小赵跳得 高度小孙跳得高度小周跳得高度，因为求的是第一名是谁，所以再根据小钱只能是第二名或倒数第一 名可得第一名是小赵；据此解答即可 【规范解答】解：根据“已知小李仅比一个人跳得高”可知小李排在倒数第二； 根据“小钱仅比一个人跳得低”可以小钱只能是第二名或倒数第一名； 再根据“小赵比小孙跳得高；小周比小孙跳得低”可得：小赵跳得
14、高度小孙跳得高度小周跳得高度； 因为小钱只能是第二名或倒数第一名； 所以第一名只能是小赵； 故选：A 【名师点评】本题考查了逻辑推理问题，关键是确定小李和小钱的名次 2 （2019重庆）甲乙丙丁四人争论今天是星期几，甲说：明天是星期五；乙说：昨天是星期五；丙说： 甲乙说的都不对；丁说：今天是星期六实际上，这四个人中只有一个人说对了，那么是 说对了，今 天是星期 （两空全对才能得分） 【思路分析】乙说：昨天是星期五，即今天是星期六；又因为丁说：今天是星期六，所以不能同真，也不 能一真一假；所以乙和丁只能同假；所以甲和丙一定一真一假；再根据两个人的表述即可解决问题 【规范解答】解：乙说：昨天是星期
15、五，即今天是星期六；又因为丁说：今天是星期六，所以不能同真， 也不能一真一假； 所以乙和丁只能同假； 所以甲和丙一定一真一假； 根据丙说：甲乙说的都不对可得：甲说的不能是假的，否则，丙说的就是真的，这样自相矛盾； 所以，甲说的“明天是星期五”是真话； 所以今天是星期四； 答：是 甲说对了，今天是星期 四 故答案为：甲；四 【名师点评】通过分析已知条件，找出说法中的矛盾之处，从而得出结论是完成此类问题的关键 3 （2019黄陂区）有甲、乙、丙三位老师，一位是数学老师，一位是科学老师，一位是音乐老师已知 甲不是音乐老师，音乐老师的年龄比乙小，丙比科学老师年龄大那么，下面的判断正确的是( ) A甲是
16、数学老师，乙是音乐老师，丙是科学老师 B甲是数学老师，乙是科学老师，丙是音乐老师 C甲是科学老师，乙是数学老师，丙是音乐老师 D甲是科学老师，乙是音乐老师，丙是数学老师 【思路分析】根据甲不是音乐老师，音乐老师比乙小，知丙是音乐老师丙又比科学老师大，所以，乙不 是科学老师，甲是科学老师 【规范解答】解：根据题意，甲不是音乐老师，音乐老师比乙小，知：丙是音乐老师又因为：丙比科学 老师大，丙比乙小，所以，乙不是科学老师，甲是科学老师 所以：甲是科学老师，乙是数学老师，丙是音乐老师 故选：C 【名师点评】本题关键根据“甲不是音乐老师，音乐老师的年龄比乙小” ，推出音乐老师是丙 4 （2020北京模拟
17、）甲、乙、丙、丁四个学生坐在同一排的相邻座位上，座号是 1 号至 4 号，一个专说 谎话的人说：“乙坐在丙旁边， 甲坐在乙和丙的中间， 乙的座位不是 3 号 ” 那么坐在 2 号位置上的学生是 【思路分析】根据这一个专说谎话的人的表述，结合矛盾关系和甲、乙、丙、丁四个学生坐的位置关系推 断即可 【规范解答】解：乙的座位不是 3 号；反之乙的座位一定是 3 号； 又因为“乙坐在丙旁边”是假话，所以丙只能坐在 1 号位置； 同理， “甲坐在乙和丙的中间”也是假话，所以甲只能坐在 4 号位置； 那么剩下的丁只能坐在 2 号位置； 答：坐在 2 号位置上的学生是丁 故答案为：丁 【名师点评】本题属于简
18、单的归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律、矛盾关系 和方法，从而得到问题的解决 5 （2019北京模拟）甲、乙、丙、丁、戊参加歌咏比赛，分别获得前五名他们的得分情况如下： 丙比乙低，但比戊高； 甲比丁高，但比戊低； 乙比戊高； 这次歌咏比赛的第一名是 乙 【思路分析】由意可得，丙比乙低，但比戊高，即乙丙戊；甲比丁高，但比戊低，即戊甲丁；乙 比戊高，即乙戊，综上可知，乙丙戊甲丁所以这次歌咏比赛的第一名是乙 【规范解答】解：由可知，乙丙戊， 由可知，戊甲丁， 由可知，乙戊 即乙丙戊甲丁 所以，这次歌咏比赛的第一名是乙 【名师点评】本题通过小于号来表示他们之间的名次关系更直观一些
19、 考点三：列表法列表法 【例 5】（2019 秋中原区期末）游玩结束，小丁丁组长开始算账了，他手里既有 5 元的门票也有 2 元的 门票，合起来总共 32 元，他手里可能有几张 5 元和几张 2 元的门票呢？（找出所有答案，并尽可能清 楚地写出你的思考过程，可借助表格来思考哟) 【思路分析】根据题意，用列表的方法列出有可能的情况进行筛选即可 【规范解答】解： 5 元门票张数 2 元门票张数 总钱数（元) 6 1 32 5 4 33 4 6 32 3 9 33 2 11 32 1 14 33 答：小丁丁手里可能有 6 张 5 元门票，1 张 2 元门票；或 4 张 5 元门票，6 张 2 元门票
20、；或 2 张 5 元门票， 11 张 2 元门票 【名师点评】通过把符合要求的一一列举出来，从而得到答案，这种解答问题的方法叫做“枚举法” ，通 常也称为“穷举法” ，在解答很多有趣的数学问题时，经常用到这种方法 【例 6】（2019益阳模拟）张华有 1 元和 2 元的人民币若干张，他要拿出 15 元（不能只拿一种面值的人 民币） ，有多少种不同的拿法？（用列表法解答） 【思路分析】因为不能只拿一种面值的人民币，所以 2 元的人民币至少要拿 1 张，若拿 1 张 2 元的，则还 需要 13 张 1 元，若拿 2 张 2 元的，则还需要 11 张 1 元，据此推理，列出表格即可解答问题 【规范解
21、答】解：根据题干分析可得： 2 元（张) 1 2 3 4 5 6 7 1 元（张) 13 11 9 7 5 3 1 总钱数 15 元 15 元 15 元 15 元 15 元 15 元 15 元 答：一共有 7 种不同的拿法 【名师点评】此题也可以设 1 元的有x张，2 元的有y张，列出方程1215xy，据此求出x、y的正整 数解即可解答问题 1 （2019永州模拟）母亲节就要到了，小红想给妈妈买鲜花，康乃馨每枝 0.5 元，玫瑰每枝 1 元小红只 有 3 元钱，她想两种花都买，有几种不同的买法？ 【思路分析】因一共 3 元钱，她想两种花都买，所以买康乃馨最少是 1 枝，最多是 4 枝然后再确定
22、买玫 瑰花的枝数据此解答 【规范解答】解： 答：共 6 种不同的买法 【名师点评】本题可用枚举的方法列表进行解答来源:学*科*网 2 （2019 秋海安县校级期末）一只口袋中有红色、黄色、绿色玻璃球各若干个（每种至少 3 个） ，从中随 意摸出 3 个玻璃球，一共会有多少种不同的组合？（列表列举） 【思路分析】摸出的每一个玻璃球可能是红色、黄色、绿色玻璃中的任意一种，由此列出表格找出所有的 组合进行求解即可 【规范解答】解：列表如下： 种数 可能的组合 1 3 个红色 2 2 个红色 1 个黄色 3 2 个红色 1 个绿色 4 3 个黄色 5 2 个黄色 1 个红色 6 2 个黄色 1 个绿色
23、 7 3 个绿色 8 2 个绿色 1 个红色 9 2 个绿色 1 个黄色 10 1 个绿色一个红色 1 个黄色 答：一共会有 10 种不同的组合 【名师点评】在列表时要按照一定的顺序进行，做到不重复，不遗漏；注意本题只是求所有的组合数，不 考虑它们的顺序 3 （2019 秋海安县校级期末）李强有下面一些硬币，他要拿出 8 分钱去买铅笔，他可以怎样拿？ 【思路分析】从最大的 5 分硬币考虑，利用列表的方法一一列举得出答案即可 【规范解答】解：答案如表： 方法 5 分的个数 2 份的个数 1 份的个数 1 1 1 1 2 0 1 6 3 0 2 4 4 0 3 2 5 0 4 0 6 0 0 8
24、答：他可以有 8 种拿法来源:Zxxk.Com 【名师点评】此题考查利用一一列举的方法解决方案选择的问题，注意做到不重不漏 考点四：列列举举法法 【例 7】（2019岳阳模拟）有一把磨损严重的直尺，能看清的只有 5 个刻度（如图） ，那么，用这把直尺 能量出( )种不同的长度 A4 B6 C9 D11 【思路分析】根据已知的数据，和每两个数作差的得数即可得出结论 只要进行列举即可得出结论：能量 1 厘米，4 厘米，10 厘米，(41)厘米，(104)厘米，(101)厘米； 【规范解答】解：1 厘米，2 厘米，6 厘米，9 厘米， 624（厘米） ，615 （厘米） ，963（厘米） ，918
25、（厘米） ，927（厘米） ； 共 9 种不同的长度； 答：用这把直尺能量出 9 种不同的长度； 故选：C 【名师点评】此题较简单，只要进行列举，然后根据列举的数字进行计算，即可得出答案类比于数线段 解决问题也可 1 （2019 春黄冈期末）明明有 1 角、5 角、1 元硬币各 10 枚，要取出 1.5 元，共有多少种不同的取法？ 【思路分析】把三种硬币，分单取一种和取几种分情况讨论 【规范解答】解：一共有 5 种， 第一种：1 枚 1 元和 1 枚 5 角 第二种：3 枚 5 角 第三种：10 枚 1 角和 1 枚 5 角 第四种：2 枚 5 角和 5 枚 1 角 第五种：1 枚 1 元和
26、5 枚 1 角 【名师点评】本题属于筛选与枚举问题，分类讨论时要注意顺序防止遗漏 2 （2019 秋常州期末）用一台天平和重 1 克、2 克、5 克的砝码各一个，当砝码只能放在一个盘内时，在 天平上可称出 不同质量的物体 【思路分析】根据题意，当只有一个砝码时，能称出 1 克、2 克、5 克的物体的质量，一共有 3 种；当有 2 个或 3 个砝码时，123（克)，156（克)，257（克)，1258（克)，一共可以称出 4 种不同质量的物体，综上，在天平上一共可以称出 7 种不同质量的物体 【规范解答】解： （1）当只有一个砝码时，能称出 1 克、2 克、5 克的物体的质量，一共有 3 种；
27、（2）当有 2 个或 3 个砝码时， 因为123（克)，156（克)，257（克)，1258（克)， 所以一共可以称出 4 种不同质量的物体， 综上，在天平上一共可以称出347（种)不同质量的物体 答：在天平上可称出 7 不同质量的物体 故答案为：7 【名师点评】此题主要考查了筛选与枚举问题，解答此题的关键是分别求出当只有一个砝码时，当有 2 个 或 3 个砝码时，可以称出的质量分别有多少 3 （2019 秋无锡期末）2019 年 12 月 4 日，我国传统珠算被联合国教科文组织审议后，正式列入人类非 物质文化遗产名录在算盘上，一颗上珠表示 5，一颗下珠表示 1，图中的数就表示 57如果在算盘
28、上 用两颗算珠表示一个两位数，可以表示出 个不同的两位数；如果用两颗算珠表示一个五位数，可以 表示出 个不同的五位数 【思路分析】根据两颗算珠的位置，我们可将它们分成 3 类： 第 1 类：两颗都是上珠， 第 2 类：两颗都是下珠， 第 3 类：一颗是上珠，另一颗是下珠， 据此分别列举出每种情况下组成的两位数、五位数各有哪些，然后分别相加即可得解 【规范解答】解： （1）第 1 类：两颗都是上珠，可以组成 55； 第 2 类：两颗都是下珠，可以组成 11、20； 第 3 类：一颗是上珠，另一颗是下珠，可以组成 51、15、60； 所以，用两颗算珠表示一个两位数，可以表示出 6 个不同的两位数
29、（2）第 1 类：两颗都是上珠，可以组成 50005、50050、50500、55000，共 4 个； 第 2 类：两颗都是下珠，可以组成 10001、10010、10100、11000，共 4 个； 第 3 类：一颗是上珠，另一颗是下珠，可以组成 50001、50010、50100、51000、10005、10050、10500、 15000，共 8 个； 44816（个)； 所以，用两颗算珠表示一个五位数，可以表示出 16 个不同的五位数 故答案为：6，16 【名师点评】 此题属于典型的枚举题， 当可能的结果较少时， 可以直接枚举， 即将所有结果一一列举出来； 当可能的结果较多时，就需要分
30、类枚举，分类一定要包括所有可能的结果，这样才能不遗漏，并且类与 类之间不重叠， 这样才能不重复； 解答此题的关键是要明确： 算盘的一颗上珠表示 5， 一颗下珠表示 1 4 （2019 春汉川市期末）请你画一画： 有 1 张五元纸币，4 张贰元纸币和 8 张壹元纸币，要拿出 8 元钱，可以有几种拿法？请你一一画出来 【思路分析】根据题意，要拿出 8 元钱，可以只拿一种面值的纸币，也可以拿两种、三种面值的纸币；然 后分别求出各有多少种拿法，再求和，判断出一共有几种拿法即可 【规范解答】解：要拿出 8 元钱， （1）如果只拿一种面值的纸币，有 2 种拿法： 4 张两元的纸币， 8 张一元的纸币； （
31、2）如果拿两种面值的纸币，有 4 种拿法： 1 张五元的纸币，3 张一元的纸币； 1 张两元的纸币，6 张一元的纸币； 2 张两元的纸币，4 张一元的纸币； 3 张两元的纸币，2 张一元的纸币； （3）如果拿三种面值的纸币，有 1 种拿法： 1 张五元的纸币，1 张两元的纸币，1 张一元的纸币 因为2417 （种)， 所以可以有 7 种拿法 答：可以有 7 种拿法 【名师点评】此题主要考查了筛选与枚举问题的应用，注意不能多数、漏数 考点五：逆推法逆推法 【例 8】（2019 春陆丰市期末）甲、乙、丙三人共有图书 195 本，甲拿 15 本给乙，乙拿 20 本给丙，丙 拿 30 本给甲，则此时甲
32、、乙、丙手中的图书一样多，那么原来甲有 本图书 【思路分析】根据题意，利用逆推法：因为最后三人图书一样多，所以每人图书本数为：195385（本 )；这是丙给甲 30 本后的，给之前应为：甲：853055（本)，乙：85 本，丙：8530115（本)； 乙拿 20 本给丙前：甲：55 本；乙：8520105（本)，丙：1152095（本)；甲拿 15 本给乙前：甲： 551570（本)，乙：1051590（本)，丙：95 本据此解答 （也可根据变化，只计算甲的本数) 【规范解答】解：195385（本) 丙给甲 30 本后前：来源:学|科|网 甲：853055（本) 乙：85 本 丙：853011
33、5（本) 乙拿 20 本给丙前： 甲：55 本 乙：8520105（本) 丙：1152095（本) 甲拿 15 本给乙前： 甲：551570（本) 乙：1051590（本) 丙：95 本 答：原来甲有 70 本 故答案为：70 【名师点评】本题主要考查逆推法解决问题，关键根据题意求出给书之前各自的数量 【例 9】（2019 秋江苏期末）小马在计算6005时不小心先算了减法再算除法，算出的结果是 60， 实际的正确结果应该是 【思路分析】6005先算减法， 再算除法， 就变成(600)5， 先用 60 乘上 5 求出600的结果， 再用用 600 减去求出的积，求出的值，再按照先算除法，再算减法
34、的计算方法求解 【规范解答】解：里面的数值应是： 600605 600300 300 正确的结果是： 6003005 60060 540 答：实际的正确结果应该是 540 故答案为：540 【名师点评】解决本题根据乘除法以及加减法的互逆关系求出的值，再按照正确的计算顺序求解 1 （2019 秋锦江区期末）一筐桔子，筐和桔子共重 25 千克，先拿一半送给幼儿园，再拿一半送给老人， 余下的桔子和筐共重 7 千克，桔子原来有 千克，筐有 千克 【思路分析】把桔子的重量看作单位“1” ，先拿一半送给幼儿园，再拿剩下的一半送给老人，共拿出苹果 的 1113 2224 ；原来连筐共重 25 千克，拿出后连
35、筐重 7 千克，那么拿出苹果25718（千克） ；因 此这筐苹果重 3 18 4 ，解决问题 【规范解答】解： 111 (257)() 222 11 18() 24 4 18 3 24（千克） ； 25241（千克） 答：桔子原来有 24 千克，筐有 1 千克 故答案为：24，1 【名师点评】此题解答的关键是把桔子的重量看作单位“1” ，求出两次共拿出桔子的几分之几以及拿出的 具体数量，解决问题 2 （2019长沙）一个数的 4 倍除以 24，再加上 20，再减去 3.5 等于 18，求这个数是多少？ 【思路分析】从后向前逆推，18 加上 3.5 求出前一步计算的和，然后再减去 20 求出前一
36、步计算的商，然 后再乘 24 求出前一步计算的积，最后再除以 4 即可 【规范解答】解：(183.520)244 1.56 9 答：这个数是 9 【名师点评】解决此类问题的关键是抓住最后得到的数量，从后向前进行推理，根据加减乘除的逆运算思 维进行解答 3 （2019长沙）一捆电线，第一次用去全长的一半多 3 米，第二次用去余下的一半少 10 米，第三次用去 15 米，最后还剩 7 米这捆电线原来长多少米？ 【思路分析】第二次用去后还剩下的米数是(157)米，第二次用去余下的一半少 10 米，就是第二次用去 剩下的是余下的一半多 10 米， 所以第一次用去后剩下的米数是(15710)224米，
37、第一次用去全长 的一半多 3 米，全长就是(243)2米，据此解答 【规范解答】解：(157 10)23 2 ， 12 23 2， 243 2， 272， 54（米) 答：这捆电线原来长 54 米 【名师点评】 本题的关键是从最后的数据入手， 从后先前进行推理， 根据加减乘除的逆运算思维进行解答 4 （2019广州）修一条路，第一天修了全长的一半多 6 米，第二天修了余下的一半少 20 米，第三天修了 30 米，最后还剩 14 米没修这条路长多少米？ 【思路分析】要求这条路长多少米，通过题意可知，如果第二天正好修了余下的一半，则剩下 30142024米，用24 2则算出余下的长度；又因为第一天
38、修了全长的一半多 6 米，如果第一天正 好修了全长的一半时，则剩下(2426)米；这样得出剩下的长度的 2 倍即全长；由此进行解答即可 【规范解答】解：(30 1420)2 24 2 48（米) (486)2108（米) 答：这条路长 108 米 【名师点评】解决此类问题的关键是抓住最后得到的数量，从后向前进行推理，根据加减乘除的逆运算思 维进行解答 5 （2019 秋任丘市期末）四年级两个班共有学生 100 人，如果从一班分 10 名学生到二班，这时两个班的 人数就相等，两班原来各有多少名学生？ 【思路分析】因为总人数不变，先用“1002”求出后来两个班的人数，然后加上 10 即一班的人数；
39、减 去 10 即二班的人数；由此解答即可 【规范解答】解：100250（人)， 一班：501060（人)； 二班：501040（人)； 答：一班有学生 60 人，二班有学生 40 人 【名师点评】抓住两个班总人数不变，求出后来两个班的人数，是解答此题的关键 考点六：假设法假设法 【例 10】（2019盐城）数学竞赛共 10 题，做对一题得 8 分，做错一题（或不做） ，倒扣 5 分，小军得 41 分，他做错了( ) A3 题 B4 题 C5 题 D2 题 【思路分析】假设 10 道题全做对，则得10880分，这样就少出804139分；做错一题比做对一题少 8513分，也就是做错39133道题，
40、进而得出做对题的数量 【规范解答】解：答错：(10 841)(85) 3913 3（道)； 答：他做错了 3 道题， 故选：A 【名师点评】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方 程进行解答 1 （2019青原区）六年级 270 人去公园游玩，一共租了 10 辆车每辆大客车坐 30 人、小客车坐 20 人， 所有的车刚好坐满，租用大客车( )辆 A3 B4 C6 D7 【思路分析】 假设全租的是大客车， 则共有的人数是1030300人， 这和实际人数就差了30027030人， 而大客车和小客车每辆差的人数是(3020)人，据此可求出小客车的辆数据此解答
41、 【规范解答】解：(10 30270)(3020) (300270) 10 3010 3（辆) 1037（辆) 答：租用大客车 7 辆 故选：D 【名师点评】本题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方 程进行解答 2 （2019当涂县）强强一次捐款 175 元，分别是 20 元和 5 元的，共有 23 张，其中 5 元的有( )张 A4 B19 C13 【思路分析】假设 23 张都是 20 元的，则币值一共是2023460（元)，比实际多460175285（元)， 因为一张 20 元的比一张 5 元的币值多：20515（元)，则 5 元的有285 1519
42、（张)，据此解答即 可 【规范解答】解：假设 23 张都是 20 元的，则 5 元的有： (2023 175)(205) 28515 19（张) 答：5 元的有 19 张 故选：B 【名师点评】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方 程进行解答 3 （2019长沙）小兔子采蘑菇，晴天每天能采 36 只，雨天每天只能采 24 只，它一连几天共采了 288 只 蘑菇，平均每天采 32 只，这些天中有( )天是晴天 A2 B6 C4 D5 【思路分析】 用28832求出小兔子一共采蘑菇的天数， 设有x天是下雨天， 则晴天的天数为28832x， 再根据“晴天每
43、天能采的只数晴天的天数雨天每天能采的只数雨天的天数288” ，列出方程解决 问题 【规范解答】解：288329（天) 设这些天中有x天是下雨天， 2436 (9)288xx 2 43 2 43 62 8 8xx 12324288x 1236x 3x ； 936（天) 答：这些天中有 6 天是晴天 故选：B 【名师点评】 解答此题的关键是， 先求出一共采蘑菇的天数， 再根据 “晴天每天能采的只数晴天的天数 雨天每天能采的只数雨天的天数288” ，列出方程解决问题 4 （2019新干县）自行车和三轮车共 20 辆，轮子共 44 个，其中三轮车有( )辆 A4 B8 C16 【思路分析】假设全是自行
44、车，则轮子有：20240个，比实际少44404个，又因为一辆自行车比 一辆三轮车少 1 个轮子，所以三轮车有4 14 辆 【规范解答】解：假设全是自行车，则三轮车有： (44202)(32) 4 1 4（辆)， 答：三轮车有 4 辆 故选：A 【名师点评】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方 程进行解答 小升初专项培优测评卷（小升初专项培优测评卷（二十二十六六）数学思考数学思考 1 （2019南昌）三边均为整数且最长边为 11 的三角形有 个 【思路分析】根据在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，首先确定其中 一条边的长度，
45、然后求出另一条边的长度可能是多少，再求和，判断出三边均为整数，且最长边为 11 的三角形一共有多少个即可 【规范解答】解： （1）当其中的一条边的长度为 1 时， 因为11 110 ，11 1 12 ， 所以另一条边的长度是 11 （2）当其中的一条边的长度为 2 时， 因为1129，11213， 所以另一条边的长度是 10、11 （3）当其中的一条边的长度为 3 时， 因为1138，11314， 所以另一条边的长度是 9、10、11来源:学#科#网 （4）当其中的一条边的长度为 4 时， 因为1147，11415， 所以另一条边的长度是 8、9、10、11 （5）当其中的一条边的长度为 5
46、时， 因为1156，11516， 所以另一条边的长度是 7、8、9、10、11 （6）当其中的一条边的长度为 6 时， 因为1165，11617， 所以另一条边的长度是 6、7、8、9、10、11 （7）当其中的一条边的长度为 7 时， 因为1174，11718， 所以另一条边的长度是 5、6、7、8、9、10、11 （8）当其中的一条边的长度为 8 时， 因为1183，11819， 所以另一条边的长度是 4、5、6、7、8、9、10、11 （9）当其中的一条边的长度为 9 时， 因为1192，11920， 所以另一条边的长度是 3、4、5、6、7、8、9、10、11 (10)当其中的一条边的
47、长度为 10 时， 因为11 101，11 1021， 所以另一条边的长度是 2、3、4、5、6、7、8、9、10、11 (11)当其中的一条边的长度为 11 时， 因为11 110，11 1122， 所以另一条边的长度是 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11 所以三边均为整数，且最长边为 11 的三角形有： 1234565432136 （个) 答：三边均为整数，且最长边为 11 的三角形有 36 个 故答案为：36 【名师点评】 此题主要考查了筛选与枚举问题， 考查了分类讨论思想的应用， 要熟练掌握， 注意不能多数、 漏数 2 （2019长沙）已知： 1 2 1 4 13.5111711 16 ，那么 1 10 【思路分析】根据题意设的数为x，将所给的式子转化成含未知数的等式（即方程） ，根据加，减，乘， 除，各部分的关系，利用逆推的方法，解答即可 【规范解答】解：设的数为x， 则： 1 2 1 4 13.5111711 16 ， 1 2 1 4 13.511 17 11 16x ， 1 2 11 4 13.511 11 1 176x ， 9 16 4 13.511 177x ， 9 61 4 13.511 177x ， 9 4 1113.51 1x ， 9 4 13.511 1x ， 9 4 2.5 1x ，
