1、第 8 讲 式与方程 知识点一：知识点一：用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律 1.1.用字母表示数用字母表示数 （1）一班有男生 a 人，有女生 b 人，一共有（a+b）人； （2）每袋面粉重 25 千克，x 袋面粉一共重 25x 干克 2.2.用字母表示数量关系用字母表示数量关系 （1）路程=速度时间，用字母表示为 s=vt； （2）正比例关系：y x = k（一定） ，反比例关系：xy=k（一定）等。 3 3. .用字母表示计算公式用字母表示计算公式 （1）长方形的周长：C=2（a+b） ； （2）长方形的面积：S=ab； （3）长方体的体
2、积：V=abh 或 V=Sh 等。 4 4用字母表示运算定律用字母表示运算定律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律： （a+b）+c=a+（b+c） 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律： （ab）c=a（bc） 乘法分配律： （a+b）c-ac+bo 重点提示重点提示： 1数与字母、字母与字母相乘时，乘号可以记作简写为一个点或省略不写，但要注意，省略 乘号后，数字要写在字母的前面。 2两个相同的字母相乘时，可以写成这个字母的平方，如 aa 可以写作a2 知识点二：知识点二：等式与方程等式与方程 1 1. .等式与方程的意义及关系等式与方程的意义及关系 意义意义 关系关系 等式等式 表示相等
3、关系的式子叫作等式表示相等关系的式子叫作等式 所有的方程都是等式，但是等式不一定是所有的方程都是等式，但是等式不一定是 方程方程 方程方程 含有未知数的等式叫作方程含有未知数的等式叫作方程 2.2.等式的性质等式的性质 （1）性质 1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 （2）性质 2：等式的两边同时乘或除以同一个不为 0 的数，所得结果仍然是等式。 3.3.解方程解方程 （1）方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 （2）解方程的概念：求方程的解的过程叫作解方程。 （3）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。 （4）检验
4、方程的解是否正确，步骤如下： （01）把求出的未知数的值代入原方程中； （02）计 算，看等式是否成立； （03）等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明 解方程错误，需要重新求解。 知识点三：知识点三：列方程解应用题列方程解应用题 （1）列方程解应用题的优点。 先用一个字母代替未知数，再把它看作已知数参与列式和运算，便于把题中的数量关系直接 反映出来，使问题简单化。 （2）列方程解应用题的一般步骤。 弄清题意，找出未知数并用字母表示；根据题中数量间的相等关系列出方程； 根据等式的性质解方程，求出方程中的未知数；检验写答。 考点一：用用含含字母字母的式子的式子表示数或数量关系表
5、示数或数量关系 【例 1】 （2019深圳）一个两位数，十位上的数字是 6，个位上的数字是a，表示这个两位数 的式子是( ) A60a B6a C610a D6a 【思路分析】两位数十位数字10个位数字 【规范解答】解：因为十位数字为 6，个位数字为a，所以 6 个 10 与 1 个a的和为：60a 故选：A 【名师点评】解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系 1 （2019海淀区） 李老师买国库券x元， 定期 5 年， 年利率是4.14%， 到期时她一共可得到利息 元 【思路分析】根据：利息本金年利率时间，代入字母计算即可 【规范解答】解：利息为：4.14%50.207xx（元)
6、答：到期时她一共可得到利息0.207x元 故答案为：0.207x元 【名师点评】解决本题的关键是根据利息计算公式代入字母计算 2 （2019 春福田区期末）天虹商场有一件衣服，原来售价a元，五一期间八折销售用含有字母的式子 表示打折后的价格是 元如果打折后的价格是 180 元，那么原来售价是 元 【思路分析】根据题意，八折销售是指打折后的价格是原价的80%，根据百分数乘法的意义，用原来售价 乘80%，求出打折后的价格是多少元，再用打折后的价格 180 元除以80%就是原价，据此即可解答 【规范解答】解：80%0.8aa（元) 18080%225（元) 答： 用含有字母的式子表示打折后的价格是0
7、.8a元 如果打折后的价格是 180 元， 那么原来售价是 225 元 故答案为：0.8a，225 【名师点评】此题主要考查了打折和百分数除法的意义的应用 3 （2019深圳）爸爸说： “我的年龄比小明的 4 倍多 3 ”小明说： “我今年a岁 ”用含有字母的式子表示 爸爸的年龄，写作 43a 岁 ；如果小明今年 8 岁，那么爸爸今年 岁 【思路分析】 （1）根据题意知道，爸爸的年龄小明的年龄43 把字母代入，即可得出爸爸的年龄； （2）把小明的年龄代入（1）所求出的式子，即可得出爸爸今年的年龄 【规范解答】解：43a， 43a（岁)， （2）把8a ，代入43a ， 即，43a ， 483，
8、 323， 35（岁)， 故答案为：43a 岁，35 【名师点评】解答此题的关键是，把所给的字母当成已知数，再根据题中的数量关系，即可得到用字母表 示的式子；再把字母表示的数代入式子，即可求出答案 4 （2019朝阳区）一套茶具由 4 个茶杯和 1 个茶壶组成（如图所示） 其中 1 个茶杯的价格是a元，茶壶 的价格是b这套茶具的价格是( )元 A4ab Bab C4()ab D4ab 【思路分析】先求出 4 个茶杯的价格，即44aa元，再据加法的意义，用茶壶的单价加上 4 个茶杯的总 价即可求得一套茶具的价格 【规范解答】解：44abab（元) 答：这套茶具的价格是(4)ab元； 故选：A 【
9、名师点评】解答此题的关键是：求出买茶杯的价格，问题即可得解 5 （2019岳麓区校级自主招生）某品牌的电脑降价30%后，每台售价为a元，则该品牌电脑每台原价应 为( ) A0.7a B0.3a C 0.3 a D 0.7 a 【思路分析】由“降价30%， ”知道单位“1”是原价，即现价是原价的(1 30%)，由此用除法即可求出电 脑的原价 【规范解答】解：(1 30%)a， 70%a， 0.7 a （元)， 故选：D 【名师点评】关键是找准单位“1” ，找出数量关系，把给出的字母当做已知数，用除法列式解答即可 考点二：等式与方程的意义及关系等式与方程的意义及关系 【例 2】（2019沈阳）下面
10、各式：140X，63X ，2918，53X ，1X ，23X ， 2 6X ， 其中不是方程的式子的个数是( )个来源:学科网 ZXXK A2 B3 C4 D5 【思路分析】根据方程的意义，含有未知数的等式叫做方程；以此解答即可 【规范解答】解：根据题干分析可得，这几个式子中：63x ，含有未知数，但不是等式，所以不是方程； 2918，不含有未知数，不是方程；53X ，含有未知数，但不是等式，所以不是方程， 所以不是方程的一共有 3 个 故选：B 【名师点评】此题主要考查方程的意义，具备两个条件，一含有未知数，二必须是等式；据此判断选择 1 （2019 春射阳县期中） 在5.67.8x；953
11、758；8y；3075x；97218x 中， 等式有 ， 方程有 【思路分析】等式是指用“”连接的式子，方程是指含有未知数的等式；据此进行分类 【规范解答】解：等式有：5.67.8x、953758、97218x 方程有：5.67.8x、97218x 故答案为：5.67.8x、953758、97218x ，5.67.8x、97218x 【名师点评】此题考查等式和方程的辨识，熟记定义，才能快速辨识 2 （2019 秋潍坊校级期中）下面的式子， 是方程， 是等式 .123.58.5A . 91 . 32 5 . 7B a . 63 2Cx . 563 0D x 【思路分析】表示左右两边相等的式子叫做
12、等式，含有未知数的等式叫方程，据此可得出正确答案 【规范解答】解：根据题干分析可得，123.58.5、91.325.7a 都是等式， 其中只有91.325.7a 是含有未知数的等式，是方程 所以等式有A、B；方程是B 故答案为：B；A、B 【名师点评】方程有两个特征： （1）方程是等式； （2）方程中必须含有字母（未知数） 3 （2019 秋天津期末）方程和等式的关系可以用下面( )图来表示 A B C 【思路分析】等式是指用“”号连接的式子；而方程是指含有未知数的等式所以等式的范围大，而方 程的范围小，它们之间是包含关系 【规范解答】解：等式是指用“”号连接的式子；而方程是指含有未知数的等式
13、 方程和等式的关系可以用下图来表示： 故选：A 【名师点评】此题考查方程与等式的关系：所有的方程都是等式，但等式不一定是方程 考点三：等式的性质等式的性质 【例 3】（2019 春江苏校级期末）1.82.5xy，那么( x )y A B C D无法确定 【思路分析】在等式1.82.5xy的左右两边同时减去 1.8，再同时减去y，即可得解 【规范解答】解：1.82.5xy 1.8 1.82.5 1.8xy 0 . 7xyyy 0 . 7xy 所以xy 故选：A 【名师点评】解决此题也可以根据两个算式的“和”相等，一个加数大，另一个加数反而小，一个加数小， 另一个加数反而大得解 1 （2019 春
14、枣庄期中）如果500ab，那么(20)ab 如果40 xy，那么5xy 【思路分析】首先根据加法结合律，(20)()2050020520abab然后根据乘法交换律和结 合律，5() 540 5200 xyxy 解答即可 【规范解答】解：(20)()2050020520abab 5() 540 5200 xyxy 故答案为：520、200 【名师点评】此题主要考查了学生含字母式子求值和灵活运用加法结合律以及乘法运算定律解题的能力 2 （2019 秋如东县期末）如果ABC（其中0)C 那么()ABCA 2 【思路分析】把CAB代入式子()ABCA中，进而计算即可得解 【规范解答】解：当CAB时，
15、()ABCA， ()ABABA， 2AA， 2 故答案为：2 【名师点评】解决此题关键是把式子中的C换成AB，进而得解 3 （2019 春东台市校级期中）35mn，那么(m )n A大于 B小于 C等于 D无法确定 【思路分析】如果35mn，根据等式的性质，等式的两边同减去 3，可得2mn，所以m大于n， 据此进行选择 【规范解答】解：如果35mn， 则有2mn，所以m大于n； 故选：A 【名师点评】此题考查等式的意义和性质，解决此题关键是根据等式的性质把等式的两边同时减去或加上 同一个数，等式仍然成立，进而得出m和n两个数的大小关系 考点四：解方程解方程 【例 4】（2019深圳）解方程或比
16、例 （1） 19313 288 x （2） 280.4 0.1x （3） 1 730.9 2 x （4） 1132 13 545 x （5） 21 2.52 36 x （6） 35 51 48 x 【思路分析】 （1）根据等式的性质，方程的两边同时加上 3 8 ，然后方程的两边同时除以19 2 求解； （2）根据比例的基本性质的性质，把原式化为0.4280.1x ，然后方程的两边同时除以 0.4 求解； （3）根据等式的性质，方程的两边同时加上3x，把方程化为 1 30.97 2 x ，方程的两边同时减去 0.9，然 后方程的两边同时除以 3 求解 （4）根据等式的性质，方程的两边同时减去 3
17、 1 4 ，然后方程的两边同时除以 11 5 求解； （5）根据等式的性质，方程的两边同时加上 2.5，然后方程的两边同时除以 2 3 求解； （6）先计算 315 5 44 ，根据等式的性质，方程的两边同时加上 5 8 x，把原式化为 515 1 84 x ，方程的两 边同时减去 1，然后方程的两边同时除以 5 8 求解 【规范解答】解： （1）19 313 288 x 1933133 28888 x 19 2 2 x 191919 2 222 x 4 19 x （2） 280.4 0.1x 0.4280.1x 0.40.4280.10.4x 7x （3） 1 730.9 2 x 1 733
18、0 . 93 2 xxx 1 30.97 2 x 1 30 . 90 . 970 . 9 2 x 36.6x 336.63x 2.2x （4）11 32 13 545 x 1 13323 1131 54454 x 1113 1 520 x 11111311 1 55205 x 3 4 x （5） 21 2.52 36 x 21 2.52.522.5 36 x 22 4 33 x 2222 4 3333 x 7x （6） 35 51 48 x 155 1 48 x 1 5555 1 4888 xxx 515 1 84 x 515 1 11 84 x 511 84 x 55115 8848 x 2
19、2 5 x 【名师点评】本题考查解方程和解比例，解题的关键是掌握等式的性质与比例的基本性质：方程两边同时 加上或减去相同的数，等式仍然成立；方程两边同时乘（或除以）相同的数(0除外） ，等式仍然成立；两 个外项的积等于两个内项的积 1 （2019井冈山市自主招生）求未知数x 230%9.2xx 11 4 82 x 11 1 : 44 2 x 【思路分析】 （1）先化简方程，再根据的等式的性质，方程两边同时除以 2.3 求解； （2）根据的等式的性质，方程两边同时加上 1 8 ，再两边同时除以 4 求解； （3）根据比例的基本性质，原式化成 111 244 x ，再根据的等式的性质，方程两边同时
20、除以 1 2 求解 【规范解答】解： （1）230%9.2xx 2.39.2x 2.32.39.22.3x 4x ； （2） 11 4 82 x 1111 4 8828 x 5 4 8 x 5 444 8 x 5 32 x ； （3） 11 1 : 44 2 x 111 244 x 1111 221 62 x 1 8 x 【名师点评】本题考查了学生利用等式的性质和比例的基本性质解方程的能力，注意等号对齐 2.（2019永春县校级自主招生）求未知数 22440 x 312 811 aa 4 3.55 x 3 3:16:0.125 8 m 【思路分析】 （1）根据等式的性质，方程两边同时加上 24
21、，再两边同时除以 2 求解； （2）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时除以 11 8 求解； （3）根据比例的基本性质，原式化成53.54x ，再根据等式的性质，方程两边同时除以 5 求解； （4）根据比例的基本性质，原式化成 3 0.125316 8 m，再根据等式的性质，方程两边同时除以 0.375 求 解 【规范解答】解： （1）22440 x 224244024x 264x 22642x 32x ； （2） 312 811 aa 1112 811 a 1 11 11 21 1 881 18 a 96 121 x ； （3） 4 3.55 x 53.54x 55145x 2.8x
22、 ； （4） 3 3:16:0.125 8 m 3 0 . 1 2 531 6 8 m 0.3750.37560.375m 16m 【名师点评】本题考查了学生根据等式的性质解答方程的能力，注意等号对齐 3 （2019海门市校级模拟）看图列方程并解答 【思路分析】 （1）设三角形的高为x厘米，利用三角形面积公式：面积底高2，列方程求解即可 （2）设每枝铅笔x元，有关系式：三枝铅笔的价钱1个文具盒的价钱22.7元，列方程求解即可 （3）设西红柿有x千克，则大白菜有5x千克，有关系式：西红柿质量大白菜质量27千克列方程求 解即可 （4）设三角形斜边上的高为x厘米，根据三角形面积相等，列方程求解即可
23、【规范解答】解： （1）设三角形的高为x厘米， 252100 x 2 52 0 0 x 8x 答：这个三角形的高为 8 厘米 （2）321.522.7x 31.2x 0.4x 答：每枝铅笔 0.4 元 （3）设西红柿有x千克， 527xx 62 7x 4 . 5x 答：西红柿有 4.5 千克 （4）设三角形斜边上的高为x厘米， 1068x 1048x 4 . 8x 答：这个三角形斜边上的高为 4.8 厘米 【名师点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程 解决问题 考点五：列方程解列方程解决决和差倍问题和差倍问题 【例 5】（2019 秋历城区校级期
24、末）某工厂的甲、乙两个车间共有工人 160 人，如果从甲车间调 8 人到 乙车间，两个车间的人数正好相等甲、乙两个车间原来各有多少人？（列方程解） 【思路分析】 根据 “从甲车间调 8 人到乙车间后， 两个车间的人数相等” ， 说明两车间原来的人数相差82 人，设乙车间有x人，则甲车间就有16x 人，又因为两个车间共有工人 160 人，据此列出方程即可解 答 【规范解答】解：设乙车间有x人 82160 xx 21 61 6 0 x 21 4 4x 72x 8288x （人) 答：甲车间原来有 72 人，乙车间原来有 88 人 【名师点评】 本题主要考查和差问题， 本题还可以运用和差问题的公式即
25、： （和差）2 大数， （和差） 2 小数，或和大数小数解答 1 （2019 秋法库县期末）弟弟和姐姐一共有 120 张邮票，姐姐比弟弟多 40 张邮票姐、弟各有邮票多少 张？（列方程解答） 【思路分析】根据“弟弟和姐姐一共有 120 张邮票”得出等量关系式：弟弟邮票张数姐姐邮票张数一 共邮票张数，设弟弟邮票x张，姐姐的邮票40 x 张，列并解方程即可 【规范解答】解：设弟弟邮票x张， 40120 xx， 240120 x ， 28 0 x ， 40 x ， 姐姐邮票张数：404080（张)； 答：姐姐邮票 80 张，弟弟的邮票 40 张 【名师点评】据题意确定题的等量关系式是解决此题的关键
26、2 （2019 秋古丈县期末）果园里桃树和杏树一共有 180 棵，杏树的棵数是桃树的 3 倍，桃树和杏树各有 多少棵？（列方程解） 【思路分析】根据题干分析可得，此题等量关系是： “桃树的棵数杏树的棵数总棵数 180 棵” ，由此设 桃树x棵，则杏树就是3x棵，根据等量关系列出方程即可解答问题 【规范解答】解：设桃树x棵，则杏树就是3x棵，根据题意可得方程： 3180 xx， 41 8 0 x ， 45x ， 则杏树有：453135（棵)， 答：桃树 45 棵，杏树 135 棵 【名师点评】此题也可以利用和倍公式解答：把总棵数看做 4 份，则桃树占其中的 1 份，杏树占其中的 3 份，则根据除
27、法的意义求出 1 份就是桃树的棵数， 再乘 3 就是杏树的棵数：180445（棵)，453135 （棵)，答：桃树 45 棵，杏树 135 棵 3 （2019湖南模拟）爸爸的年龄比小凤大 30 岁，今年爸爸的年龄恰好是小凤的 6 倍今年爸爸和小凤各 多少岁？（列方程解答） 【思路分析】 根据题意可得等量关系式： 今年爸爸的年龄小凤的年龄30， 然后今年小凤x岁， 则爸爸6x 岁，然后列方程解答即可 【规范解答】解：设今年小凤x岁 630 xx 53 0 x 6x 30636（岁) 答：今年爸爸 36 岁，小凤 6 岁 【名师点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数
28、为x，由此列方程 解决问题 考点六：列方程解决列方程解决鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题 【例 6】（2019 秋临河区期中）小毛参加数学竞赛，共做 20 道题，得 64 分，已知做对一道得 5 分，不 做得 0 分，错一题扣 1 分，又知道他做错的题和没做的一样多问小毛做对几道题？ 【思路分析】根据题意，运用鸡兔同笼问题原理，设x道题错了，则x道题没做，(202 ) x道题做对了， 列方程为：(202 ) 5264xx ，解方程可求出做错的题目数，然后求做对的道数即可 【规范解答】解：设x道错了，x道没做，(202 ) x道做对了，则 (202 ) 5264xx 1236x 3x 2032 206
29、14（道) 答：小毛做对 14 道题 【名师点评】本题主要考查鸡兔同笼问题，关键根据题意，正确设出未知数，列出方程即可解答问题 1 （2019湖南模拟）鸡兔共有 71 只，兔的腿数比鸡的腿数多 116 条鸡和兔各有多少只？ 【思路分析】设笼子里有鸡x只，则兔有(71) x只，根据等量关系：鸡的只数2116 兔的只数4，列 方程解答，求出鸡的只数，进而求出兔的只数 【规范解答】解：设有鸡x只，则兔有(71) x只， 21164 (71)xx 21162844xx 6168x 28x 712843（只) 答：鸡有 28 只，兔有 43 只 【名师点评】本题考查了列方程解应用题，关键是根据等量关系：
30、鸡的只数240 兔的只数4，列方 程 3小明的爸爸在旅行社工作，本月为顾客订制了 2 种门票共 30 张，一共用去 2400 元其中瘦西湖门票 为 150 元，个园门票为 45 元两种票各买了多少张？ 【思路分析】根据题干，设买了x张 150 元的，则买了(30) x张 45 元的，根据等量关系：买每张 150 元 花掉的钱数买每张 45 元花掉的钱数总钱数 2400，列出方程即可解决问题 【规范解答】解：买了x张 150 元的，则买了(30) x张 45 元的，根据题意可得方程： 15045 (30)2400 xx 1 5 01 3 5 04 52 4 0 0 xx 1051050 x 10
31、 x 301020（张) 答：150 元的买了 10 张，45 元的买了 20 张 【名师点评】 此题属于典型的鸡兔同笼题， 解答此题可以是先进行假设， 然后根据假设后的情况进行计算， 即可得出答案；也可以用方程解答，设其中的一个量为未知数，另一个数也用未知数表示，根据题意， 列出方程，解答即可 3 （2019海门市校级模拟）小明储蓄罐里一共有 87.5 元，都是 1 元和 5 角的硬币，已知 1 元的硬币的枚 数是 5 角硬币的 3 倍，求 1 元和 5 角的硬币各有多少枚？ 【思路分析】设 5 角硬币的有x枚，那么 1 元硬币的有3x枚，根据 5 角硬币的总钱数1元硬币的总钱数 87.5，
32、列方程解答即可 【规范解答】解：设 5 角硬币的有x枚，那么 1 元硬币的有3x枚， 5 角0.5元 0.5387.5xx 3 . 58 7 . 5x 25x 25375（枚) 答：1 元的有 75 枚，5 角的硬币有 25 枚来源:学+科+网 Z+X+X+K 【名师点评】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题可以用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程进 行解答 4 （2019重庆模拟）启蒙书社五天内卖出中学生手册和小学生手册共 120 本 中学生手册每 本 5 元， 小学生手册每本 3.75 元营业员统计的结果表明：这五天内所卖中学生手册的收入比卖 小学生手册的收入多 162.5 元这五天内启
33、蒙书社卖出的中学生手册和小学生手册各多少本？ 【思路分析】设中学生手册卖出x本，那么小学生手册可以用120 x本表示，分别用本数乘单价就是它们 的总价，它们总价的差是 162.5 元，由此列出方程 【规范解答】解：设中学生手册卖出x本，根据题意得： 53.75 (120)162.5xx， 54503.75162.5xx， 8.75612.5x ， 70 x ； 12050 x 答：这五天内启蒙书社卖出的中学生手册70 本， 小学生手册50 本 【名师点评】本题根据总价、单价、数量之间的关系把总价表示出来，由总价之间的差列出方程 考点七：列方程解决列方程解决行程行程问题问题 【例 7】（2019
34、 春桐梓县期末）A、B两地相距210km，甲、乙两列火车同时从两地相向而行，经过 1.5 小时相遇已知甲、乙两车的速度之比为3:4，求甲、乙两车的速度各是多少？（列方程解） 【思路分析】首先根据题意，设甲车的速度是x千米/时，则乙车的速度是 4 3 x千米/时，然后根据：两车 的速度之和两车相遇用的时间两地之间的距离，列出方程，求出甲车的速度，进而求出乙车的速度是 多少即可 【规范解答】解：设甲车的速度是x千米/时，则乙车的速度是 4 3 x千米/时， 所以 4 1.5()210 3 xx 3.5210 x 3.53.52103.5x 60 x 4 6080 3 （千米/时） 答：甲车的速度是
35、 60 千米/时，乙车的速度是 80 千米/时 【名师点评】此题主要考查了行程问题，以及一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进 而列出方程是解答此类问题的关键 1 （2019 春溧阳市期末）学校环形跑道长 400 米，笑笑和淘气从跑道的同一地点同时出发，都按顺时针 方向跑，经过 20 分钟，笑笑第一次追上淘气淘气的速度是 240 米/分，笑笑每分跑多少米？（列方程解 答） 【思路分析】笑笑第一次追上淘气时，笑笑比淘气多跑一圈，即 400 米，设笑笑每分钟跑x米，在 20 分钟 跑20 x米，淘气跑了24020米，然后根据笑笑跑的路程淘气跑的路程400米列出方程求解 【规范解答】解
36、：设笑笑每分钟跑x米，则： 2024020400 x 2 04 8 0 04 0 0 x 205200 x 260 x 答：笑笑每分钟跑 260 米 【名师点评】本题考查了环形跑道上的追及问题利用追及问题常用的等量关系为：甲路程乙路程环 形跑道的长度得出是解题关键 2 （2019长沙）甲、乙二人赛跑，每秒钟甲比乙所跑的路程多 1 5 ，现在甲在乙后面 24 米所处同时起跑， 15 秒钟后，甲已到终点，乙落后甲 6 米求甲跑过的距离 【思路分析】 根据 “每秒钟甲比乙所跑的路程多 1 5 ， ” 设乙的速度是v米/秒， 则甲的速度是 1 (1) 5 v米/秒， 此时甲在乙后面 24 米，15 秒
37、钟后，甲行驶的路程是 1 (1)15 5 v米，乙行驶的路程是15v米，甲比乙多 行了24630米，据此可得方程： 1 (1)1515246 5 vv，据此解方程即可解答问题 【规范解答】解：设乙的速度是v米/秒，则甲的速度是 1 (1) 5 v米/秒，根据题意可得方程： 1 (1)1515246 5 vv， 181530vv， 330v ， 10v ， 所以甲的速度是： 1 10(1)12 5 （米/秒） ， 则甲行驶的路程是：12 15180（米)， 答：甲跑过的路程是 180 米 【名师点评】解答此题的关键是根据开始甲在乙后面 24 米和 15 秒后乙落后甲 6 米得出，甲比乙多行驶了
38、24630米，据此根据速度、时间与路程之间的关系列出方程解决问题 3 （2019闽侯县）甲乙两车同时从东、西两城出发，甲车在超过中点 20 千米的地方与乙车相遇，已知甲 车所走的路程与乙车所行路程的比是7:6，东西两城相距多少千米？ 【思路分析】设出东西两城相距的距离为x千米，甲车在超过中点 20 千米的地方，用x表示出来；又因甲 车所走的路程与乙车所行路程的比是7:6，可知道甲车所走的路程占东西两城距离几分之几，继而用x 表示出来，两个联立方程问题得解 【规范解答】解：设东西两城相距为x千米，由题意得， 17 20 276 xx ， 71 20 132 xx， 1 20 26 x ， 520
39、 x ； 答：东西两城相距为 520 千米 【名师点评】解答此题的关键是找出用两种不同的式子表示出甲车所走的路程（或乙车所行路程） ，用同 一个两连理方程解决问题 考点八：列方程解分数应用题列方程解分数应用题 【例 8】（2019郑州）列方程求解：小强的妈妈说：小强真能干，摘了很多桃子爸爸问：摘的有全部的 1 4 吗？妈妈说比 1 4 还多 15 个，爸爸问：有 1 3 吗？妈妈说：比 1 3 少 3 个，问小强摘了多少个桃子？ 【思路分析】设一共摘了x个桃子；比 1 4 还多 15 个，即小强摘桃数 1 15 4 x；比 1 3 少 3 个，即小强摘桃 数 1 3 3 x；根据小强摘桃数不变
40、列方程为： 11 315 34 xx；根据等式的性质解出x的值，进而求出 小强摘了多少个桃子 【规范解答】解：设一共摘了x个桃子，根据题意得： 11 315 34 xx 11 153 34 xx 1 18 12 x 2 1 6x 1 2163 3 723 69（个) 答：小强摘了 69 个桃子 【名师点评】解答此题，首先弄清题意，分清已知与所求，再找出基本数量关系，由此列式或方程解答 【例 9】（2019长沙） （列方程解应用题）小明读一本书，已读与未读的页数比是1:5，如果再读 30 页， 则已读和未读的页数为3:5这本书共有多少页？ 【思路分析】原来已读与未读的页数比是1:5，那么此时已读
41、的页数就是总页数的 11 156 ，后来已读和 未读的页数为3:5，那么后来已读的页数是总页数的 33 358 ；把总页数看成单位“1” ，并设为x页， 那么后来读的页数比原来多占总页数的 31 () 86 ，也就是 31 () 86 x页，这与 30 页相等，由此列出方程求 解 【规范解答】解： 11 156 ， 33 358 ； 设总页数是x页，由题意得： 31 ()30 86 x 5 30 24 x 5 30 24 x 144x 答：这本书一共有 144 页 【名师点评】先把比变成看的页数占总页数的几分之几，再找出等量关系，列出方程求解 1 （2019龙湖区）六年（1）班学生人数是本年级
42、学生人数的24%，六年级学生人数是全校的 1 6 ，如果六 年（1）班有学生 48 人，全校有多少多少人？（列方程解） 【思路分析】设全校的人数是x人，把全校的人数看成单位“1” ，它的 1 6 是六年级的人数，即 1 6 x，再把 六年级的总人数看成单位“1” ，用乘法求出它的24%就是六（1）班的人数 48 人，由此列出方程求解 【规范解答】解：设全校有x人，由题意得： 1 24%48 6 x， 1 48 25 x ， 1200 x ； 答：全校有多少 1200 人 【名师点评】解答此题的关键是分清两个不同的单位“1” ，已知单位“1”的量，求它的几分之几是多少 用乘法 2 （2019东莞
43、校级模拟）李阿姨到家具市场买了一张床和一把椅子，一共花了 968 元，椅子的价钱是床 的 1 10 李阿姨买床付了多少钱？（列方程解答） 【思路分析】 设买床付了x元， 那么椅子就需要 1 10 x元， 根据床和椅子共需要 968 元可列方程： 1 968 10 xx， 依据等式的性质即可求解 【规范解答】解：设买床付了x元， 1 968 10 xx， 11 968 10 x ， 111111 968 101010 x ， 880 x ， 答：李阿姨买床付了 880 元 【名师点评】依据数量间的等量关系列方程，并依据等式的性质解方程，是本题考查知识点 3 （2019湖南模拟）电冰箱厂 6 月份
44、生产冰箱 2400 台，比 5 月份多生产了 1 5 ，两个月一共生产冰箱多少 台？（画线段图分析并列方程解决问题) 【思路分析】设五月份产生了x台，则 6 月份生产的台数相当于 5 月份的 1 (1) 5 台，根据“5 月份生产的 台数的 1 (1)6 5 月份产生的台数”列方向解答即可求出 5 月份产生的台数，进而求出两个月一共生产 冰箱多少台 【规范解答】解：如图： 设五月份产生了x台 1 (1)2400 5 x 6 2400 5 x 366 2 4 0 0 555 x 2000 x 200024004400（台) 答：两个月一共生产冰箱 4400 台 【名师点评】 列方程解答应用题的关
45、键是设未知数， 找出等量关键式 列方程解答应用题要注意书写格式， 等号对齐，设、答要带单位，解答过程中不能带单位 4 （2019 春桐梓县期末）仓库里有一批化肥，第一次取出总数的 1 4 ，第二次取出总数的 1 6 ，这时仓库里 还剩 84 袋，仓库里原来共有多少袋化肥？（列方程解答） 【思路分析】设仓库里原来共有x袋化肥，第一次取出总数的 1 4 ，即 1 4 x袋，第二次取出总数的 1 6 ，即 1 6 x 袋根据“总袋数第一次取出的袋第二次取出的袋数剩下的袋数”即可列方程解答 【规范解答】解：设仓库里原来共有x袋化肥 11 84 46 xx 7 84 12 x 777 84 121212 x 144x 答：仓库里原来共有 144 袋化肥 【名师点评】列方程解答应用题的关键是找出列方程的等量关系式 5 （2019 秋石林县期末）某小学有一号、二号两个图书架共存书 1800 册，一号书架的存书是二号书架存 书的 4 5 一号、二号书架各有多少册存书？（列方程解答） 【思路分析】根据题意把二号书架的存书数量看做单位“1”，设为x，则一号书架的存书数量就为 4 5 x， 那么一号书架和二号书架共存书 1800 册， 4 1800 5 xx，计算即可 【规范解答】解：设二号
