1、第 12 讲 行程问题 一、一、基本公式：基本公式： 1.路程速度时间 2.速度路程时间 3.时间路程速度 二、二、形成形成问题问题的的类型类型及基本关系及基本关系 1.1.相遇问题：相遇问题： 相遇时间总路程速度和速度和总路程相遇时间总路程速度和相遇时间 2 2. .追及问题：追及问题： 追及时间路程差速度差速度差路程差追及时间路程差速度差追及时间 3 3. .环形跑道问题：环形跑道问题：从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次 相遇时间就相遇一次） ；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次 （每隔第一次追及时间就追上一次） 第几次追上就多跑几圈
2、 环形跑道：同向而行的等量关系：同向而行的等量关系：乙走的路程-甲走的路程=跑道长 背向而行的等量关系：背向而行的等量关系：乙走的路程+甲走的路程=跑道长 4 4. .流水行船问题：流水行船问题： 顺水速度船速水速 逆水速度船速水速 船速(顺水速度逆水速度）2 水速(顺水速度逆水速度）2 5 5. .列车过桥问题：列车过桥问题： (1) 火车过桥（隧道） ：火车过桥（隧道）时间(桥长车长）火车速度 (2) 火车过树（电线杆、路标） ：火车过树（电线杆、路标）时间车长火车速度 (3) 火车过人:火车经过迎面行走的人:迎面错过的时间车长（火车速度人的速度） 火车经过同向行走的人:追及的时间车长(火
3、车速度人的速度） (4) 火车过火车： 错车问题： 错车时间(快车车长慢车车长） （快车速度慢车速度） 超出问题:错车时间(快车车长慢车车长）（快车速度慢车速度） 考点一：一般相遇问题一般相遇问题 【例 1】（2019长沙模拟）甲乙两人从南北城同时出发相向而行，甲行了全程的 3 15 ，正好与乙相遇已 知甲每小时行 4.5 千米，乙走完全程需要 6.5 小时，求南北两地距离 【思路分析】根据两车相遇时甲行了全程的 3 15 ，可知乙行了全程的 312 1 1515 ，又知乙走完全程需要 6.5 小时， 用乘法可求出相遇时用了多少时间， 再乘甲的速度， 可知甲行驶的路程， 又知甲行了全程的 3
4、15 ， 用除法可求出全程是多少 【规范解答】解： 3 6.5(1) 15 4 6.5 5 5.2（小时） 3 5.24.5 15 23.45 117（千米） 答：南北两地相距 117 千米 【名师点评】本题的重点是求出两车相遇时用的时间，进而根据路程速度时间，求出甲行驶的路程， 再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法来进行计算 【例 2】（2019北京模拟）甲、乙两列火车的速度比是5:4乙车先发，从B站开往A站，当走到离B站 72 千米的地方时，甲车从A站发车往B站，两列火车相遇的地方离A，B两站距离的比是3:4，那么 A，B两站之间的距离为多少千米？ 【思路分析】 先求出甲车行三
5、份时乙车行的份数， 再求 72 千米所占的份数， 用除法就可求出全程的距离 【规范解答】解：甲车行 3 份，乙车就行了34 / 52.4份， 72 千米相当于42.41.6份， 每份是721.645千米， 所以A和B两站之间的距离是45 (34)315（千米） 答：A和B两站之间的距离是 315 千米 【名师点评】此题主要考查相遇问题，关键是找清 72 千米所占的份数 1 （2019 秋高碑店市期末）在比例尺是1:6000000的地图上，量得A、B两地的距离是 5 厘米，甲、乙 两车同时从两地相向而行，3 小时后相遇，已知甲、乙两车的速度之比是3:2，则甲、乙两车的速度各是 多少？ 【思路分析
6、】先依据“图上距离比例尺实际距离”求出两地的实际距离，把实际的路程化为千米再 据“路程相遇时间速度和”求出二者的速度和，甲、乙两车的速度比是3:2，则甲车的速度占速度和 的 3 2 ，用乘法计算可得乙车的速度，再求甲车的速度即可，列式解答即可 【规范解答】解：两地的实际距离： 1 530000000 6000000 厘米 30000000 厘米300千米 乙的速度： 3 3003(1) 2 1002.5 40（千米/小时） 甲的速度： 3 4060 2 （千米/小时） 答：甲汽车每小时行 60 千米，乙汽车每小时行 40 千米 【名师点评】本题主要应用的知识点是：实际距离图上距离比例尺，速度和
7、相遇时间路程 2 （2019鄞州区）鄞州院士公园里的一条健身步道全长 1500 米，张明走完全程要用 20 分钟，李林走完 全程要用 30 分钟他们分别从这条健身步道的两端同时出发，相向而行，多长时间能够相遇？ 【思路分析】把全长 1500 米看作单位“1” ，那么张明的速度就是 1 20 ，那么李林就是 1 30 ，然后用单位“1” 除以两人的速度和就是相遇时间 【规范解答】解： 11 1() 2030 1 1 12 12（分钟） 答：相向而行，经过 12 分钟能够相遇 【名师点评】本题用工程问题的解答方法比较简单，也可用总路程 1500 除以速度和(150020150030) 来解答，即1
8、500(150020 150030) 3 （2019郑州）公园的湖边小道近似于长方形（如图） 一天，唐老鸭和米老鼠同时从A点出发沿湖边小 道跑步，10 分钟后在E点相遇已知40CE 米，米老鼠的速度是唐老鸭的 3 4 ，这条湖边小道全长多 少米？ 【思路分析】设这条湖边小道全长2x米，则米老鼠走了(40)x米，唐老鸭走了(40)x米，根据题意米 老鼠的速度是唐老鸭的 3 4 ，根据题意列方程：(40):(40)4:3xx，解比例即可 【规范解答】解：设公园的湖边小道长2x，则 (40):(40)4:3xx 41603120 xx 280 x 2802560（米) 答：这条湖边小道全长 560
9、米 【名师点评】本题主要考查相遇问题，根据环形路的特点，利用时间一定，路程和速度成正比例，列比例 求解 4 （2019湘潭）两辆汽车从A、B两地同时相对开出，甲车每小时行 70 千米，乙车每小时行 80 千米两 车在离中点 15 千米处相遇，则A、B两地的距离是多少千米？若甲车因事在中途耽误了 5 8 小时，则两 车相遇地点距离中点多少千米？ 【思路分析】要求A、B两地的距离，用两车速度和乘相遇时间，速度和为8070150（千米/时） ，关 键是求时间，根据“两车在离中点 15 千米处相遇” ，可知相遇时乙车比甲车多行15230（千米） ，根 据路程差速度差相遇时间，则两车相遇时间为：30(8
10、070)3（小时） ，再根据路程速度和乘 相遇时间求解；若甲车因事在中途耽误了 5 8 小时，先用乙车的速度乘 5 8 ，求出乙车在这段时间的路程， 然后用总路程减去这段路程，求出剩下的路程，再用剩下的长度除以速度和，求出相遇时间，然后用乙 车的速度乘相遇时间，再加上乙车 5 8 小时行驶的路程，求出乙车行驶的路程，再减去全程的一半即可求 解 【规范解答】解：(15 2)(8070) 3010 3（小时） (8070) 3 1503 450（千米） 5 8050 8 （千米） 45050400（千米） 400(8070) 400150 8 3 （小时）来源:学科网 8 80504502 3 6
11、40 50225 3 115 3 （千米） 答：A、B两地的距离是 450 千米， 若甲车因事在中途耽误了 5 8 小时， 则两车相遇地点距离中点115 3 千米 【名师点评】本题只要是考查了相遇问题的数量关系：相遇时间路程速度和，关键是明确两车在离中 点 15 千米处相遇，那么快车比慢车多行了 2 个 15 千米 5 （2019句容市）A、B两地相距 630 米，客车和货车分别从A、B两地同时出发相向而行，3 小时相 遇已知客车的速度是货车速度的 3 4 ，客车每小时行多少千米？ 【思路分析】根据“总路程相遇时间速度和”用 630 除以 3 求出速度和，再把速度和看作单位“1” ， 那么客车
12、的速度是速度和的 3 34 ；然后根据分数乘法的意义解答即可 【规范解答】解： 3 (6303) 34 3 210 7 90（千米/小时） 答：客车每小时行 90 千米 【名师点评】本题考查了稍复杂的相遇问题，关键是求出速度和与客车的速度是速度和的几分之几 6 （2019菏泽）甲乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出，2.5 小时两车在距中点 10 千米处相遇，已知 甲车速度是乙车的 4 5 ，A、B两地相距多少千米？ 【思路分析】根据题意，两车在距中点 10 千米处相遇，则两车路程差为：10220（千米） ，则相遇时 乙行的路程为： 4 20(1)100 5 （千米） ， 甲行的路程为： 4 1
13、0080 5 （千米） ， 所以两地相距：10080180 （千米） 【规范解答】解： 4 102(1) 5 1 20 5 100（千米） 4 10080 5 （千米） 10080180（千米） 答：A、B两地相距 180 千米 【名师点评】本题主要考查相遇问题，关键利用路程和、速度和和时间之间的关系做题 7 （2019杭州模拟） 甲、 乙两城相距 210 千米， 一辆客车和一辆货车同时从两城相对开出， 3 小时相遇 已 知货车每小时的速度比客车慢 6 千米，两车每小时各行多少千米？ 【思路分析】根据题意，由甲乙两地的路程和两车的相遇时间，运用关系式：路程相遇时间速度和， 可求出两车的速度和，
14、然后根据和差公式“ （和差）2 较小数， （和差）2 较大数”求出货车的速 度与客车的速度即可 【规范解答】解：210370（千米/小时） (706)238（千米/小时） (706)232（千米/小时） 答：货车每小时行 32 千米，客车每小时行 38 千米 【名师点评】本题考查了相遇问题与和差公式的综合应用，关键是求出速度和 8 （2019郑州模拟）甲车的速度是 100 千米，是乙车速度的 5 4 ，两车同时分别从两地相向而行，在距中 点 180 千米处相遇，问两车开出后多少小时相遇？ 【思路分析】先用 5 10080 4 （千米）求出乙车速度，甲车每小时比乙车快1008020（千米） ，两
15、车 相遇在距两地中点 180 千米处， 可知路程差是1802360（千米） ， 所以相遇时间为3602018（小时） 【规范解答】解： 5 100 4 4 100 5 80（千米） 1802(10080) 36020 18小时） 答：两车开出后 18 小时相遇 【名师点评】解题的关键是利用两车所行路程差速度差相遇时间，从而解决问题 考点二：一般追击问题一般追击问题 【例 3】（2019广州模拟）在AB两城有甲乙两人，分别从AB两城同时相向而行，2 小时相遇，相遇时甲 所走的路程与乙所走的路程比是7:9；如果甲乙两人同时同向而行，乙需要多少小时才能追上甲？ 【思路分析】两人 1 小时可以走全程的
16、 1 2 ，根据速度比是7:9，可以求出乙每小时可以比甲多走全程的 1 2 的 97 97 【规范解答】解： 1971 29716 1 116 16 （小时） 答：乙需要 16 小时才能追上甲 【名师点评】此题的关键求出两人的速度差占AB两城距离的几分之几 【例 4】一辆快车和一辆慢车同时从甲地开往乙地，当快车行了全程的 1 2 时，慢车离乙地还有 54 千米； 当快车到达终点时，慢车行了全程的 4 5 ，甲乙两地相距多少千米？ 【思路分析】把两地间的距离看作单位“1” ，当快车到达终点时，慢车行了全程的 4 5 ，那么当快车行了全 程的 1 2 时， 慢车就应行了全程的 41 52 ， 慢车
17、离乙地还有全程的 41 1 52 ， 也就是 54 千米占全程的分率， 根据分数除法意义即可解答 【规范解答】解： 41 54(1) 52 3 54 5 90（千米） 答：甲乙两地相距 90 千米 【名师点评】分数除法意义是解答本题的依据，关键是求出 54 千米占全程的分率 1 （2019常州）小明跑步去追一个和他同向而行的 100 米外的那个人，那个人的速度为 4 米每秒，小明 追那个人追了 1 分 40 秒，问：小明的速度是多少？ 【思路分析】首先用两人的路程差除以小明追那个人用的时间，求出两人的速度之差是多少；然后用它加 上那个人的速度，求出小明的速度是多少即可 【规范解答】解：1 分
18、40 秒100秒 1001004 14 5（米/秒） 答：小明的速度是 5 米/秒 【名师点评】此题主要考查了追及问题，要熟练掌握，解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速 度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的 2 （2019 秋高碑店市期末）已知一个运动场的跑道的形状与大小如图，两边是半圆形，中间是长方形， 小亮站在A点，小明站在B点，两人同时按逆时针方向跑，小亮每分钟跑 315 米，小明每分钟跑 275 米， 小亮几分钟追上小明？（得数保留一位小数） 【思路分析】根据题意，当小明追上小亮时，比小亮多跑了半圈跑道的长度，先计算半圈跑道的长度： 3.146
19、0290184.2（米)，然后利用追及问题公式：追及时间路程差速度差，计算追及时间： 184.2(315275)4.6（分钟） 来源:Zxxk.Com 【规范解答】解：(3.14 60290)(315275) (94.290)40 184.240 4.6（分钟） 答：小亮 4.6 分钟追上小明 【名师点评】本题主要考查追及问题，关键利用追及问题公式计算 3 （2019 春营山县期末）甲乙两地相距 20 千米，客货两车同时从甲乙两地出发，同向而行开往成都2 小时后，客车追上货车已知货车的速度是 30 千米/时，求客车每小时行多少千米？ 【思路分析】根据题意可知，甲乙两地相距 20 千米，客货两车
20、同时从甲乙两地出发，同向而行开往成都， 2 小时后，客车追上货车，客车在后，货车在前，客车 2 小时比货车多行 20 千米，求出货车的路程，再加 上 20 千米，就是客车的路程，再除以时间，即可求出客车每小时行多少千米 【规范解答】解：(30220)2 802 40（千米） 答：客车每小时行 40 千米 【名师点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度时间路程，路程时间速 度，路程速度时间，要熟练掌握 4 （2019 春普陀区期中）小巧以 65 米/分的步行速度从家里出发去少年宫出发 16 分钟后，妈妈发现小 巧把学习资料袋忘在家里了，于是骑车以 185 米/分的速度去追已知小
21、巧家与少年宫之间的路程是 1800 米，妈妈能在小巧到达少年宫之前追上她吗？ 【思路分析】根据小巧出发 16 分钟后，妈妈骑车去追小巧，就成了追及问题，用妈妈出发时两人的路程 差除以它们的速度差，就是妈妈追上小巧需要的时间；再用小巧的速度乘上小巧一共走的时间，求出小巧 一共走的路程，再与 1800 米的总路程相比较 【规范解答】解：追及时间： (65 16)(18565) 1040120 26 3 （分钟） 小巧在妈妈追上她时，一共走的路程： 26 65 1665 3 1 1040563 3 1 1603 3 （米) 1 1603 3 米1800米 所以妈妈能在小巧到达少年宫之前追上她 答：妈
22、妈能在小巧到达少年宫之前追上她 【名师点评】解答此题的关键是明白妈妈骑车去追小巧的路程就是小巧出发 16 分钟所走的路程，再求出 两人的速度差，即可解决问题 考点三：特殊相遇问题特殊相遇问题 【例 5】（2019宁德）A车和B车同时从甲、乙两地相向开出，经过 5 小时相遇然后，它们又各自按原 速原方向继续行驶 3 小时，这时A车离乙地还有 135 千米，B车离甲地还有 165 千米甲、乙两地相 距多少千米？ 【思路分析】要求甲、乙两地相距多少千米，通过题意可知，相遇后它们又各自按原速原方向继续行驶 3 小时，因为相向开出经过 5 小时相遇，说明剩下的路程(165135)，即两车(53)小时开的
23、路程之和， 用路程除以时间求出两车一小时行多少，然后乘 5 即可得出结论 【规范解答】解：(135 165)2 5 ， 30025， 750（千米） ； 答：甲、乙两地相距 750 千米 【名师点评】此题应认真分析，根据路程、速度和时间的关系，即可列式解答得出结论 【例 6】（2019毕节地区模拟）一列快车和一列慢车同时从甲、乙两地相对开出，8 小时相遇，相遇后两 车继续以原速前进，快车又经过 6 小时到达乙地，这时慢车离甲地还有 175 千米，求甲、乙两地相距 多少千米？ 【思路分析】设甲、乙两地的距离为 1，8 小时两车合行一个甲、乙两地的路程，每小时行 1 8 ，所以 6 小 时两车合行
24、全程的 1 6 8 ，则还剩下全程的 1 16 8 ，正好是 175 千米，所以甲、乙两地相距是 1 175(16) 8 【规范解答】解： 1 175(16) 8 3 175(1) 4 1754 700（千米） ； 答：甲、乙两地相距 700 千米 【名师点评】此题主要是把两地之间的距离看做 1，表示出快、慢两车的速度和，速度和乘 6 小时就是两 车合行全程的几分之几，然后求出还剩下全程的几分之几，正好是 175 千米最后用除法解答 1 （2019长沙）甲、乙两地是电车发车站，每隔一定时间两地同时发出一辆车，每辆电车都是每隔 4 分 钟遇到迎面开来的一辆电车，小张和小王分别骑车从甲、乙两地同时
25、出发，相向而行，小张每隔 5 分钟遇 到迎面开来的一辆电车，小王每隔 6 分钟遇到一辆迎面开来的电车，如果电车行驶全程需要 56 分钟，那 么小王与小张在途中相遇时，他们已经出发了多少分？ 【思路分析】把同向行驶的相邻两辆车之间的距离看作单位“1” ，两辆电车每分钟一共行 1 4 ，则每辆电车 每分钟行 11 2 48 ；如果电车行驶全程需要 56 分钟，同向行驶的相邻两辆车之间的距离为 1 567 8 ；小 张和电车每分钟一共行全程的 1 5 ，小王和电车每分钟一共行全程的 1 6 ，那么两人的速度和是 111 () 564 ， 再用总路程 7 除以速度和，即可求出两人相遇时已经行了： 11
26、1 7()60 564 （分钟） ；据此解答即可 【规范解答】解： 11 2 48 1 567 8 111 7() 564 60 7 7 60（分钟） 答：他们已经出发了 60 分钟 【名师点评】本题考查了比较复杂的行程问题，关键是求出车和车、人和车、人和人的速度和 2 （2019徐州）甲村、乙村相距 6 千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走 （到达另一村后就马上返回） 在出发后 40 分钟两人第一次相遇，小王到达甲村后返回，在离甲村 2 千米的地方两人第二次相遇问小张和小王的速度各是多少？ 【思路分析】两人第一次相遇，共行一个全程，用时为 40 分钟，第二次相遇，共行
27、三个全程，所用时间 为：403120分钟2小时相遇时，小王行了两个个全程加减去 2 千米，其速度为： 6 (40 360)225 （千米/小时） ，小王行了一个全程多 2 千米速度为：(62)24（千米/每 小时） 【规范解答】解：小张的速度为： 6 (40 360)22 6 222， 5（千米/小时） ； 小王的速度为： (62)2 82， 4（千米/每小时） 故答案为：5，4 【名师点评】在相遇问题中，一般第二次相遇时两人共行的路程为全程的三倍 3 （2019武汉）甲、乙、丙三人，甲每分钟走 20 米，乙每分钟走 22 米，丙每分钟走 25 米，甲、乙从东 镇，丙从西镇，同时相对出发，丙遇
28、到乙后，十分钟再遇到甲，求两镇的距离是多少米？ 【思路分析】丙遇到乙后再过 10 分钟又遇到甲，则从丙遇到乙后，再和甲相遇的这 10 分钟里，甲丙共行 了(2025) 10450米，即乙丙相遇时，乙比甲多行了 450 米，甲、乙两人的速度差为22202米/ 分钟，则乙丙相遇时，甲、乙共行的时间4502225分钟，所以东、西两镇的距离为：(2225)225 千米 【规范解答】解：(2025) 10(2220) (2225) 450247 22547 10575（米) 答：两镇相距 10575 米 【名师点评】解答此题关键是根据乙丙相遇后甲与丙的相遇时间求出相遇时甲、乙的距离差，再用甲乙路 程差除
29、以速度差，就可此求出乙、丙的相遇时间是完成本题的关键 4甲乙两车同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地 80 千米处相遇相遇后两车继续前进，到达目 的地后又立即返回，第二次相遇在离B地 60 千米处求A、B两地间的距离 【思路分析】 第一次相遇时， 两车共行了AB两城的距离， 其中A城出发的甲行了 80 千米； 即每行一个AB 两城的距离，A城出发的甲车就行 80 千米，第二次相遇时，两车共行了AB两城距离的 3 倍，则A城 出发的甲车行了803240千米；所以，AB两城相距24060180千米 【规范解答】解：80360， 24060， 180（千米） 答：A、B两地间的距离是 180 千
30、米 【名师点评】 抓住每行一个AB两城的距离，A城出发的甲车就行 80 千米这个重点进行解答是完成本题关 键 考点四：环形跑道问题环形跑道问题 【例 7】（2019湘潭模拟）假期里，依依和妈妈每天早晨在环湖路上跑步锻炼身体环湖路长 840 米，依 依每分跑 108 米，妈妈每分跑 92 米 （1）如果两人同时同地出发，相背而跑，多少分后相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同向而跑，多少分后依依超出妈妈一整圈？ 【思路分析】 （1）如果两人同时同地出发，相背而跑，那么相遇的时候正好行了环湖路一圈的长度，然后 除以两个人的速度和就是相遇时间 （2）如果两人同时同地出发，同向而跑，属于追及问题，依依
31、超出妈妈一整圈正好是 840 米，然后除以 以两个人的速度差就是追及时间 【规范解答】解： （1）840(10892) 840200 4.2（分钟） 答：如果两人同时同地出发，相背而跑，4.2 分钟后相遇 （2）840(10892) 84016 52.5（分钟） 答：如果两人同时同地出发，同向而跑，52.5 分钟后依依超出妈妈一整圈 【名师点评】此题主要考查了环形跑道问题中的追及问题和相遇问题的综合应用，关键是明确行驶的方向 不同 1 （2019如东县）李军和王亮沿着水库四周的道路跑步，他们从同一地点同时出发，反向而行，李军的 速度是 225 米/分，王亮的速度是 215 米/分，经过 18
32、分钟两人还相距 40 米水库四周的道路长多少 米？ 【思路分析】首先用李军的速度加上王亮的速度，求出两人的速度之和是多少；然后用它乘两人相遇用的 时间，然后再加上 40 米，即可求出水库四周的道路长多少米 【规范解答】解：(225215) 1840 440 1840 792040 7960（米) 答：水库四周的道路长 7960 米 【名师点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度时间路程，路程时间速 度，路程速度时间，要熟练掌握，解答此题的关键是求出两人的速度之和是多少 2 （2019 秋南康区期末）如图，甲、乙两人分别在圆形跑道的直径两端上甲跑完一圈要 4 分钟，乙跑 完一圈
33、要 6 分钟 （1）两人如果同时出发，相向而行，多少分钟后能相遇？ （2）两人如果同时出发，同向而行，多少分钟后甲能够追上乙？ 【思路分析】 （1）把环形跑道的长度看作单位“1” ，用 1 分别除以甲乙的时间，表示出甲乙的速度，两人 分别在圆形跑道的直径两端上；然后用 1 2 （相遇时的路程）除以两人的速度和就是相遇时间； （2）同理，甲第一次追上乙，就比乙多行 1 2 圈（追及距离） ，然后用 1 2 除以两人的速度差就是追及时间 【规范解答】解： （1） 1 (1416) 2 15 212 1.2（分钟） 答：相向而行，1.2 分钟后相遇 来源:Z|xx|k.Com （2） 1 (1416
34、) 2 11 212 6（分钟） 答：同向而行，6 分钟后甲能够追上乙 【名师点评】环形跑道问题，只要注意行驶的方向，不论是相遇还是追及，都要结合共行的路程和追及距 离解答 3 （2019 春溧阳市期末）学校环形跑道长 400 米，笑笑和淘气从跑道的同一地点同时出发，都按顺时针 方向跑，经过 20 分钟，笑笑第一次追上淘气淘气的速度是 240 米/分，笑笑每分跑多少米？（列方程解 答） 【思路分析】笑笑第一次追上淘气时，笑笑比淘气多跑一圈，即 400 米，设笑笑每分钟跑x米，在 20 分钟 跑20 x米，淘气跑了24020米，然后根据笑笑跑的路程淘气跑的路程400米列出方程求解 【规范解答】解
35、：设笑笑每分钟跑x米，则： 2024020400 x 2 04 8 0 04 0 0 x 205200 x 260 x 答：笑笑每分钟跑 260 米 【名师点评】本题考查了环形跑道上的追及问题利用追及问题常用的等量关系为：甲路程乙路程环 形跑道的长度得出是解题关键 4 （2019 春蓝山县期中）父子俩在长 400 米的环形跑道上散步，他俩同时从同一地点出发，如果相背而 行，4 分钟相遇：如果同向而行，8 分钟父亲可以追上儿子在跑道上走一圈，父亲和儿子各需要多少分 钟？ 【思路分析】同时出发，相背而行，经过 4 分钟相遇，则两人的速度和是4004米；同向而行，经过 8 分钟父亲可以追上儿子，此时
36、父亲正好比儿子多跑一周，即 400 米，则两人速度差是每分4008米，根据 和差问题公式可知，儿子的速度是每分：(40044008)2米，进而求出父亲的速度，再进一步分别求 得在跑道上走一圈，父亲和儿子各需要多少分钟 【规范解答】解：(40044008)2 (10050)2 502 25（米/分） 400425 10025 75（米/分） 16 40075 3 （分) 4002516（分) 答：在跑道上走一圈，父亲需要 16 3 分钟，儿子需要 16 分钟 【名师点评】本题考查了环形跑道问题首先根据路程差追及时间速度差，路程相遇时间速度和 分别求出两人的速度差及速度和然后根据根据和差问题公式解
37、答是完成本题的关键 5 （2019湖南模拟）甲乙二人沿 400 米环形跑道同时从某点开始反方向跑步，已知甲的速度比乙的速度 快 1 10 ，当两人第一次相遇时甲跑了多少米？ 【思路分析】由甲的速度比乙的速度快 1 10 ，可得甲乙速度比 1 (1):111:10 10 ，从而求出在相同时间甲 乙所行的路程比11:10，根据甲乙二人沿 400 米环形跑道同时从某点开始反方向跑步，是相遇问题就用 环形跑道长除以甲乙所行路程总份数，即可得出 1 份的，再乘以 11 就是甲跑的米 【规范解答】解：甲乙速度比 1 (1):111:10 10 ， 当两人第一次相遇时甲跑了： 400(10 11) 11，
38、40021 11， 440021， 11 209 21 （米)， 答：当两人第一次相遇时甲跑了 11 209 21 米 【名师点评】解答此题主要是根据甲的速度比乙的速度快 1 10 ，求出甲乙的所行的路程比，又知从某点开 始反方向跑步，这就变成相遇问题来解决 考点五：流水行船问题流水行船问题 【例 8】（2019铜仁市）甲乙两港相距 140 千米，一艘轮船从甲港驶向乙港用了 4.5 小时，返回时因为逆 水比去时多用 1 小时求这艘轮船往返的平均速度 【思路分析】要求这艘轮船往返的平均速度，先要求出往返共行了多少路程，还要知道往返共用的时间， 根据“路程时间速度” ，代入数值，解答即可 【规范解
39、答】解：(140 2)(4.5 14.5) ， 28010， 28（千米/时） ； 答：这艘轮船往返的平均速度是 28 千米/时 【名师点评】此题属易错题，做题的关键是先求出往返的总路程，还要知道往返共用的时间，然后根据路 程、时间和速度的关系解答即可得出结论 1 （2019长沙）一位少年短跑选手，顺风跑 90 米用了 10 秒钟，在同样的风速下，逆风跑 70 米，也用了 10 秒钟问：在无风的时候，他跑 100 米要用多少秒？ 【思路分析】根据顺风跑 90 米用了 10 秒钟，求出顺风时每秒的速度；再根据逆风跑 70 米，也用了 10 秒 钟，求出逆风时每秒的速度；用二者之和除以 2，求出无
40、风时每秒的速度；要求跑 100 米要用多少秒， 用 100 除以无风时的速度即可 【规范解答】解：顺风时每秒的速度： 90109（米)， 逆风时每秒的速度： 70107（米)， 无风时每秒的速度： 1 (97)8 2 （米)， 无风时跑 100 米需要100812.5秒 答：无风时跑 100 米需要 12.5 秒 【名师点评】解答此题的关键是根据（逆风速顺风速）2 无风速，求出无风时每秒的速度 2 （2019 秋德江县期末）一只船顺水行 320 千米需用 8 小时，水流速度为每小时 15 千米，这只船逆水行 这段路程需用几小时？ 【思路分析】顺水行 320 千米需用 8 小时，用路程 320
41、千米除以 8 小时，求出顺水速，再用顺水速减去水 速求出静水速，再减去水速即可求出逆水速，也就是返回时的速度，再用路程 320 米除以返回的速度即 可求出需要的时间 【规范解答】解：32081515 401515 10（千米/时） 3201032（小时） 答：这只船逆水行这段路程需用 32 小时 【名师点评】解决本题先用总路程除以时间求出顺水速，然后根据静水速顺水速水速，逆水速静水 速水速，求出返回的速度，再根据时间路程速度求解 3 （2019 春泗洪县校级期末）两个城市间有一条河，一艘轮船在两个城市间航行，顺流需要 6 小时，逆 流要 8 小时，水流速度为每小时 2.5 千米，求船在静水中的
42、速度 【思路分析】设船在静水中的速度为x千米/小时，那么顺水速度为(2.5)x千米/小时，逆流速度为 (2.5)x千米/小时， 根据两个城市之间的距离是一定的， 即顺水速度顺水时间逆水速度逆水时间， 由此列方程(2.5)6(2.5) 8xx，解决问题 【规范解答】解：设船在静水中的速度为x千米/小时， (2.5)6(2.5) 8xx 615820 xx 235x 17.5x 答：船在静水中的速度是 17.5 千米 【名师点评】 此题解答的关键， 需掌握两个公式： 顺水速度水流速度静水速度， 逆流速度静水速度 水流速度 4 （2019郴州模拟）一艘轮船往返于甲、乙两个码头，去时顺水，每小时行 2
43、0 千米；返回时逆水，每小 时行 15 千米，去时比返回时少用了 2 小时甲、乙两个码头相距多少千米？ 【思路分析】把两地的距离看作单位“1” ，则顺水时间是 1 20 ，同理逆水时间是 1 15 ，那么往返的时间比是 11 :3:4 20 15 ，则去时比返回时少用了 2 小时，相当于431份，那么去时的时间就是2(43) 36 小 时，再乘顺水速度即可 【规范解答】解： 11 :3:4 20 15 2(43) 36 （小时） 206120（千米） 答：甲、乙两个码头相距 120 千米 【名师点评】解答此题的关键是，根据船速，水速，船逆水的速度，船顺水的速度，几者之间的关系，找 出对应量，列
44、式解答即可来源:Zxxk.Com 5 （2019成都）一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶；由乙至甲是逆水行驶，已知船在 静水中的速度为每小时 8 公里，平时逆行与顺行所用时间的比为2:1某天恰逢暴雨水流速度变为原 来的 2 倍，这条船往返共用 9 小时，那么甲乙两港相距多少公里？来源:学科网 ZXXK 【思路分析】 平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为2:1， 所以平时逆水航行与顺水航行的速度比为1:2， 于是可以求出原水速；又因暴雨时的水速为原来的 2 倍，再据往返两地的时间为小时，可得等式：逆水 用时顺水用时9，从而可求两地距离 【规范解答】解：设原水速为每小时x公里，甲乙两港
45、相距y公里， 因路程一定，时间与速度成反比例， 故有(8):(8)1:2xx， 8162xx， 38x 8 3 x 又有9 88 8282 33 yy ， 9 408 33 yy ， 33 9 408 yy， 18 9 40 y ， 40 9 18 y ， 20y ； 答：甲乙两港相距 20 公里 【名师点评】此题主要考查流水行船问题，关键是弄清楚：顺水速静水速水速，逆水速静水速水 速 考点六：火车过桥问题火车过桥问题 【例 9】（2019 春聊城期末）一列火车长 400 米，铁路沿线的电线杆间隔都是 40 米，这列火车从车头开 到第一根电线杆到车尾离开第 51 根电线杆共用了 2 分钟这列火
46、车每分钟行多少米？ 【思路分析】第一根电线杆到车尾离开第 51 根电线杆，一共是51 150 （个)间隔，用每个间隔的长度 乘 50，再加上车身的长度 400 米，就是火车 2 分钟行驶的路程，再除以 2，即可求出这列火车每分钟行 多少米 【规范解答】解：40 (51 1) 4050 2000（米) (2000400)2 24002 1200（米) 答：这列火车每分钟行 1200 米 【名师点评】本题综合考查了两端都栽的植树问题以及列车过桥问题，两端都栽时间隔数植树棵数1； 列车过桥时火车从车头开到到车尾离开，列车行驶的路程是桥的长度加上火车本身的长度 1 （2019 秋汉川市期末）一列火车长
47、是 200 米，每秒行驶 32 米如果这列火车经过一座大桥时，从车头 上桥到车尾离开桥共用 104 秒这座大桥长是多少米？ 【思路分析】 从车头上桥到车尾离开桥一共用 104 秒， 则火车行驶的路程等于桥的全长加车的长度， 于是， 我们用 104 秒所行驶的距离再减去车长 200 米就是桥的长度 【规范解答】解：10432200 3328200 3128（米) 答：这座大桥长是 3128 米 【名师点评】解答此题的关键是知道：火车过桥走过的路程桥长车身长，再根据基本的数量关系解决 问题 2 （2019 春英山县期末）某铁路桥长 2000 米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共
48、用 120 秒，整列火车完全在桥上的时间为 80 秒求火车的速度？ 【思路分析】火车过桥的路程包括车身长，速度是一定的，由火车从开始上桥到完全下桥共用 120 秒，所 行的路程是铁路桥长加车身长度；整列火车完全在桥上的时间是 80 秒，所行的路程是铁路桥长减车身长 度，由此可得火车行两个车身长度所用的时间是(12080)秒，那么行 1 个车身长度所用的时间是 (12080)220（秒)，再结合条件“火车从开始上桥到完全下桥共用 120 秒”可得火车行铁路桥长 2000 米所用的时间就是12020100（秒)，所以用 2000 除以 100 就得火车的速度 【规范解答】解：(12080)2 402 20（秒) 12020100（秒) 200010020（米/秒） 答：这列火车的速度是 20 米/秒 【名师点评】 此
