1、竞赛讲座竞赛讲座 05 几何解题途径的探求方法几何解题途径的探求方法 一充分地展开想象一充分地展开想象 想象力，就是人们平常说的形象思维或直觉思维能力。想象力对于人们的创造性劳动 的重要作用，马克思曾作过高度评价： “想象是促进人类发展的伟大天赋。 ”解题一项创造 性的工作，自然需要丰富的想象力。在解题过程中，充分展开想象，主要是指： 1全面地设想全面地设想 设想，是指对同一问题从各个不同的角度去观察思考和深入分析其特征，推测解题的 大致方向，构思各种不同的处理方案。 例 1在ABCD中，AB=AC，D 是 BC 边上一点，E 是线段 AD 上一点 ，且 BACCEDBED2，求证：BD=2C
2、D（92 年全国初中联赛试题） 例 2 在ABC中，ABAC，A的外角平分线交ABC的外接圆于 D，ABDE于 E。 求证： 2 )(ACAB AE （89 年全国高中联赛试题） 3 在A B CRt的斜边上取一点 D， 使A C DA B D和的内切圆相等。 证明： 2 ADS ABC （31 届 IMO 备选题） 例 4 设 A 是三维立体abc的长方体砖块。 若 B 是所有到 A 的距离不超过 1 的点的集合 （特 别地，B 包含 A） ，试用abc的多项式表示 B 的体积（84 年美国普特南数学竟赛试题） 2广泛地联想 联想， 是指从事物的相联糸中来考虑问题， 从一事物想到与其相关的各
3、种不同的事物， 进行由此彼的思索。在解题过程中，我们如能根椐问题特征广泛地联想熟知命题，并设法 将其结论或解法加以利用，则无疑是获得解题途径的简捷方法。 例 5在ABC中角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若角 A，B，C 的大小成等比数列， 且acab 22 ，求角 B（85 年全国高中联赛试题） 例 6 四 边 形 ABCD 内 接 于o， 对 角 线BDAC于P，E是CD的 中 点 ， OF：PEF。ABOF求证于（78 年上海高中竟赛试题） 例 7 在正方体 1111 DCBAABCD中，E是BC的中点，F在棱 1 AA上，且 2:1: 1 FAFA， 求平面EFB1与底面 11
4、11 DCBA所成的二面角。（85 年全国高中联赛试题） 例 8 设 4321 AAAA为0 的内接四边形， 4321 ,HHHH依次为 , 321214143432 ,AAAAAAAAAAAA的垂心。求证： 432, 1 ,HHHH四点在同一个圆 上，并确定该圆的圆心位置。 （92 年全国高中联赛试题） 3大胆地猜测想 猜想，是指由直觉或某些数学事实，推测某个判断或命题可能成立的一种创造性的思 维活动过程。科学家都非常重视猜想的作用。誉满世界被称为数学王子的德国数学家高斯 就曾深有体会地说： “没有大胆的猜想就不可能有伟大的发现。 ” “若无某种放肆的猜想， 一般是不可能有知识的进展的。 ”
5、在解题过程中，通过猜想不仅可以得到问题的结论，而 且还可以获得解题的途径，但应注意，由猜想所得出的结论不一定可靠，其正确性还必须 经过严格的逻辑证明或实践的检验。 例 9 正方形ABCD的边长为 1，QP,分别是边AB与边AD上各一点。若APQ的周 长为 2。求PCD（88 年国家队选拔试题） 例 10已知圆内接四边形的对角线AC与BD相交于M。求证： MC AM CD AD CB AB 例 11已知四面体ABCp 的六条棱长之和为l，并且 0 90CPABPCAPB，试求它的最大体积。 （28 届 IMO 备选题） 例 12 设正方体 1111 DCBAABCD的棱长为a， 过棱 11C B
6、上一点Q作一直线与棱 1 AA和 DC的延长线分别交于RP,，试问：当Q在棱 11C B上移动时，线段PR最短时的长度是 多少？证明你的结论。 二精心地进行类比 类比，是指人们在观察或思考问题时，往往把相似的事物加以比较，并把处理某些事物的 成功经验用到与其性质相似的另一些事物上去的思维方式。在解题过程中，若能将它与相 似的问题精心地进行类比，则往往可由此得到解题途径，甚至发现新的知识。 例 13 四边形ABCD内接于O， 对角线AC与BD相交于P， 设C D PB C PA B P, 和DAP的外接圆圆心分别为 4321 ,OOOO。求证：OPOOOO, 4231 三直线共点。 （90 年全
7、国高中联试题） 例 14 在 四 面 体ABCO中 ， 已 知 0 90COABOCAOB， 试 问 ： C O AB O CA O BA B C SSSS ,之间有何关系？证明你的结论。 例 16设O是四体ABCD内部的任意一点，,COBOAO和DO的延长线分别与面 ABDACDBCD,和ABC交于DCBA,。求证：1 DD DO CC CO BB BO AA AO 三合理地利用特殊 例 17.ABC和ABD在边Ab的同侧,180ADBACB,且边BC与边AD相交 于E点.求证: 2 ABBCBEADAE. 例 18.已知半径分别为R、r（Rr）的两圆内切于A，AE是外圆的直径，AE的垂线
8、与两圆分别交于AE同侧的两点B和C，试求ABC的外接圆直径（83 年苏联竞赛题） 例 19设AO是 iiC AB的角平分线，且点 ii COB,共线（ni, 2 , 1） ，则 2 21 21 132211 132211 n n nnn nnn ACACAC ABABAB OCCCCCCCOC OBBBBBBBOB （79 年苏联竞赛题） 例 20已知菱形ABCD外切于O，MN是与边CDAD,分别交于NM,的O的任一 切线，求证：CNAM 为定值。 （89 年苏联奥赛题） 例 21设P是正三角形ABC外接圆的劣弧BC上任一点，求证： （1）PAPCPB； （2） 22 ABPAPCPB 例 2
9、2求证：顶点在单位圆上的锐角三角形的三个内角的余弦之和小于这个三角形周长的 一半。 例 23ABC外接于O，P是AB弧上一点，过P作OBOA,的垂线，与BCAC,分 别于TS,，与AB分别义于NM,。求证：MSPM 的充要条件是NTPN 。 例 24在凸六边形ABCDEF中，若对角线CFBEAD,中的每一条都把六边形分成面积 相等的两部分，则这三条对角线相交于一点（88 年苏联奥赛题） 习题 1若CE是ABC的C的平分线，且EBAECE 2 ，则2:1:ACAE（78 年四 川联赛试题） 2在ABC中，ACAB，任意延长CA到P，再延长AB到Q，使BQAP 。 求证：ABC的外心与QPA,四点
10、共圆（94 年全国初中联赛试题） 3平面上已给一锐角ABC，以Ab中直径的圆交高C C 及延长线于NM,，以AC为 直径的圆交高B B 及其延长线于QP,，证明：QPNM,四点共圆（90 年美国 19 届奥 赛题） 4 已 知 一 凸 五 边 形ABCDE中 ，DECDBCBAE,3， 且 21 8 0 C D EB C D，求证：DAECADBAC（90 年全国初中联赛 题） 5在ABC中，BA ,，C的对边分别为cba,，已知 22 2bbcaca， 22 2cbcaca，求它的最大角的度数（90 年苏联奥赛试题） 6已知锐角ABC的顶点C到垂心，外心的距离相等，求ACB（90 年匈牙利奥
11、赛题） 7在三棱锥ABCS 中，SCSA，SBC和ABC都有等腰三角形，D是BC边上 任意一点， 在平面SAD内作ADSH于H，P是SH的中点， 求证：SDHtgPAHtg 为定值。 9设不过给定的平行四边形ABCD顶点的任一直线分别与直线DACDBVAB,交于 HGFE,，则EFC与GHC的另一交点必在定直线上。 10设ABCD是任意四边形（包括凹四边形） ，则BDAC的充要条件是： 2222 BCADCDAB（1912 年匈牙利竞赛试题） 11 如 图 ， 圆 的 三 条 弦 111 ,RRQQPP两 两 相 交 ， 交 点 分 别 为CBA,。 若 111 ,CQBPARCRBQAP。求证：ABC是正三角形。 （28 届 IMO 备选题） 12已知锐角ABC的外接圆半径为R，FED,分别是边ABCABC,上的点，求证： CFBEAD,是三条高的充要条件是： 2 )(FDEFDER S ABC (86 年全国高中联赛 试题) 13.凸四边形ABCD内接于O,对角线AC与BD相交于P,ABP与CDP的外接 圆相交于P和另一点Q,且QPO,三点两两不重合,则90OQP(第 8 届 CMO 试题)
