1、竞赛讲座 27 函函 数数 1.函数的基本概念 一个函数由它的自变量允许取值的范围(即定义域)和对应关系所确定，并由此确定 了函数值的变化范围(即值域).定义域、对应关系、值域称为函数的三要素. (1)求函数的定义域 例 1(1982 年西安初中竞赛题)已知函数 求自变量取值范围. 解 -2x-1，或-1x0，或 0 x2，或 2x3.或者写成-2x3，且 x0，2. 例 2(1982 年大连海运学院研究生招考题)设函数 y=f(x)的定义域为0，1 ，试求 f(x+a)+f(x-a)的定义域(a0). 解 由 若 0a时,xa,1-a; 若 a时,函数关系不存在. (2)关于对应法则 若把自
2、变量比作将要加工的原料， 那么对应法则 f 就是加工手段和规则.正确认识对 应法则是深刻理解函数概念的一个重要方面. 例3(美国34届中学生邀请赛题)设f是一个多项式， 对所有实数x， f(x2+1)=x4+5x2+3. 对所有实数 x，求 f(x2-1). 分析 若能找到函数的对应法则 f，即自变量是怎样“加工处理”的，此题易解，下面 给出两种解法. 配凑法：f(x2+1)=x4+5x2+3 =(x2+1)2+3(x2+1)-1， f(x)=x2+3x-1， f(x2-1)=(x2-1)2+3(x2-1)-1 =x4+x2-3. 换元法 令 x2+1=t，则 x2=t-1. 由 f(x2+1
3、)=x4+5x2+3 有 f(t)=(t-1)2+5(t-1)+1=t2+3t-1 f(x2-1)=(x2-1)2+3(x2-1)-1 =x4+x2-3. 例 4 (1984 年上海青少年数学爱好者协会招生试题)设函数 f(x)=2x(ax2+bx+c)满足 等式 f(x+1)-f(x)=2x x2，求 a+b+c 的值. 解(待定系数法)f(x)=2x(ax2+bx+c)， f(x+1)=2x+1a(x+1)2+b(x+1)+c =2 2x(ax2+bx+c)+2ax+a+b =2f(x)+2 2x(2ax+a+b) 由 f(x+1)-f(x)=2x x2 有 2x(ax2+bx+c)+2
4、2x2ax+a+b=2x x2， 在上式中， 令 x=0 得 2a+2b+c=0； 令 x=1 得 7a+3b+c=0； 令 x=2 得 14a+4b+c=0. 由，解出 a=1，b=-4，c=6， a+b+c=3. (3)关于函数方程 这个问题是前一个问题的继续，我们把含有未知函数的等式叫函数方程，把寻求未 知数的过程，或证明函数方程无解叫解函数方程. 例 5 对于一切实数 x，y，函数满足 f(x y)=f(x) f(y)，且 f(0)0.求 f(1987)和 f(1988). 解 f(x y)=f(x) f(y)，取 y=0，得 f(x 0)=f(x)f(0)f(0)=f(x) f(0)
5、.又 f(0)0，f(x)=1， f(1987)=f(1988)=1. 例 6 (第 32 届美国中学生数学竞赛题)函数 f(x)在 x=0 处没有定义，但对所有非零 实数 x 有 f(x)+2f=3x.满足方程 f(x)=f(-x)的实数( ). (A)恰有一个 (B)恰有两个 (C)不存在 (D)有无穷多个，但并非一切非零实数 (E) 是一非零实数 解 f(x)+2f=3x. 以换 x 得 f+2f(x)= 由，两式消去 f 得 3f(x)=-3x， f(x)= -x. 又由 f(x)=f(-x)，将代入得 -x=+x， 即 -2x=0，2-x2=0， x= .故应选(B). (4)求函数
6、值 例 7(1986 年北京高一竞赛题) f(x)=(2x5+2x4-53x3-57x+54)1986， 求 f-1. 解 设,则 2t+1=, 即 2t2+2t=55. 2t5+2t4-53t3-57t+54 =t3(2t2+2t)-53t3-57t+54 =2t3+2t2-2t2-57t+54 =55t-2t2-57t+54 =-2t2-2t+54=-1. f()=(-1)1986=1. 2.正比便函数、反比便函数及一次函数 例 8 (1987 年浙江省初中竞赛题)已知 y=y1+，其中 y1 与 x 成正比例，y2 与 x 成反 比例，且当 x=2 和 x=3 时，y 的值都为 19.求
7、 y 与变量 x 的函数关系式. 解 设 y1=k1x，y2=(k1，k2 均不为零)， 则 y=y1+=k1x+. 将 x=2，x=3 代入 y=y1+得 y=5x+ 例 9(1986 年吉林八市初中数学竞赛题)一次函数 y=ax+b(a0)有一组对应值 x=,y=0. 试证 y=ax+b 不能有二组以上的有理数的对应值. 证明 若 y=ax+b 存在两组不同的有理数对应值(x1，y1)，(x2，y2)，而函数式为 y=a(x-)， 故 a0，消去 a 可得(y2-y1)=x1y2-x2y1. x1y2-x2y1 是有理数. y2-y1=0，即 y1=y2， x1y1-x2y1=0. 即(x
8、1-x2)y1=0. 若 y1=0，则 x1=，但这与假设矛盾，故不可能. y10，从而 x1=x2 也不可能. y=ax+b 不能有两组以上的有理数的对应值. 3.二次函数 关于二次函数,我们最关心的是应用二次函数的图象和极值定理解一些应用问题. 例 10(1987 年浙江初中数学竞赛题)设二次函数 y=(a+b)x2+2cx-(a-b)，其中 a，b，c 是三角形的三边，且 ba,bc.已知 x=-这个二次函数有最小值为-，求ABC 三内角 A、B、C 的度数. 解散 由题设，二次函数图象的顶点坐标是 （-，-） ，即（）. 于是 由得 a+b=2c， 代入得（b-c）+（b-a）=0.
9、ba,bcb-c=0,b-a=0, 即 a=b=c.ABC 为正三角形,A=B=C=60 . 例 11 (1989 年全国初中数学竞赛题)如图 31-1,ABC 中,D、E 分别是边 BC、AB 上的点，且1=2=3,如果ABC,EBD,ADC 的周长依次为 m,m1,m2,证明: 证明 由已知可得 DEAC，进而 EBDABCDAC. 于是有 在这里,我们是将看成关于的二次函数,利用配方法来处理的. 4.其它 下面我们再利用配方法来解一个多元函数的最值问题. 例 12 (1978 年日本半桥技术科学大学入学题)在边长为 a 的正三角形中,设点 P、Q、 R 在边 BC,CA,AB 上运动,并
10、保持的关系,设，PQR 的面积为 S. (1)用 x、y、z 表示 S； （2）求 S 的最大值； （3）求 S 取最大值时， 、 、的值. 解（1）S=SABC-(SAQR+SBRP+SCPQ). SABC=a2， SAQR=z（a-y）sin60 =z(a-y). 同样 SBRP=x (a-z), SCPQ=y(a-x). S=a2-z(a-y)+x(a-z)+y(a-x) =a2-a(x+y+z)+ (yz+yx+xy) =a2-a2+(yz+yx+xy) =(yz+yx+xy). （2）将 z=a-x-y 代入消去 z 得 S=(a-x-y)(x+y)+xy =-x2+(y-a)y+y
11、2-ay, S=-) 当 x+时，上式取等号， 即 x=y=z=时，Smax=a2， （3）根据（2） ，当 S 取最大值时，x=y=z=. 在CPQ 内，CQ=，CP=.由余弦定理得 最后，我们把视线转向分段函数的极值问题. 例 13（19681969 年波兰竞赛题）已知两两互异的实数 a1，a2，an.求由式子 （x 为实数）y=|x-a1|+|x-a2|+|x-an|所定义的函数的最小值. 解 我们首先研究一个简单的事实： 设 ab，则 u=|x-a|+|x-b|= u 在 axb 上每一点达到最小值: -a+b. 下面我们来研究原命题:对 a1,a2,，an 重新按从小到大排序为 a1
12、,a2,an. 于是，当 n 为偶数，即 n=2m 时，将原函数重新记为 y=（|x-a1|+|x-an|+|x-a2|+|x-an-1| +|x-am|+|x-am+1）. 令 y=|x-ai|+|x-an+1-i|,由,它在 aixan+i 上取最小值-ai+an+1-i. 又每一个区间都包含着下一个区间，即a1,an a2,an-1am，am-1（“”读作包含，如 AB，读作 A 包含 B） ，因此它们的公共区 间为am，am+1.由于在区间am，am+1每点上所有 yi 都取常数最小值，为了方便 令 x=am 或 x=am+1 于是 y 最小值=-a1+an-a2+an-1+-am+a
13、m+1 =-a1-a2-am+am+1+am+2+an. 当 n 为奇数时，将原函数记为 y=（|x-a1|+|x-an|+|x-a2|+|x-an-1|） +（|x-am|+|x-am+2|）+|x-am+1|. 类似上面的讨论，当 x=am+1 时， y 最小值=-a1-a2-am+am+2+am+3+an. 练习三十一 1.选择题 （1） （1989 年全国初中数学竞赛题）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示， 则下列 6 个代数式 ab，ac，a+b+c，a-b+c，2a+b，2a-b 中，其值为正的式子的个数 为（ ）. （A）2 个 （B）3 个 （C）4 个 （D）
14、4 个以上 （2）曲线|y|=x2-1 的图象（实线部分）大致形状是（ ）. （3） （1984 年全国竞赛题）若则下列等式正确的是（ ）. （A）F（-2-x）=-1-F（x） （B） （C）F（x-1）=F（x） （D）F（F（x） ）=-x 2.填空题 （1）x，y 为实数，.则 x+xy+x2y 的值是_. （2） （据 1990 年全国初中竞赛题改）方程 7x2-(k+13)x+k2-k-2=0(k 是实数)有两个 实根 、,且 01,12,那么 k 的取值范围是_. 3.已知 f(a+b)=f(a)+f(b),且 f(1)=1. 求的值. 4.已知函数 y=|x-1|+|x-3|+
15、.试求使 y 值恒等于常数的 x 值范围. 5.(1983 年全国竞赛题)已知 f(x)=ax2-c 满足-4f(x)-1,-1f(2)5.求 f(3)的范围. 6.已知 0 x1,0y1,y-x,且 x+y+z=1,求函数 W=2x+5y+4z 的最大、最小值. 7.（1987 年浙江初中竞赛题）二次函数 f(x)=ax2+bx+c 其中 a0,且 a、b、c 为实数. 对某一常数 t，如有 af（t）0,试证:f(x)有不同的两个实数根，其中一个实根比 t 小， 另一实根比 t 大. 8.（浙江初中竞赛题）函数 f(x)对一切实数 x 满足 f(4+x)=f(4-x).若方程 f(x)=0
16、 恰有 三个不同的实根，求这些实根的和是多少？ 9.（1985 年江苏东台初中数学竞赛题）若 z2-2mz+m+6=0 的二实数根为 a、b，试 求(a-1)2+(b-1)2 的最小值. 10.（1983 年重庆初中数学竞赛题）等边ABC 的边长为 a 有三个动点 P、Q、R 分别同时从 A、B、C 出发沿 AB、BC、CA 按逆时针方向以各自的速度作匀速直线 运动.已知 P 点由 A 到 B 需 1 秒，Q 点从 B 到 C 需 2 秒，R 点由 C 到 A 需 3 秒，在 一秒钟内，问开始运动多少时间PQR 的面积最小？最小面积是多少？） 11.(1985 年苏州初中数学竞赛题)如图,凸四边形 ABCD 边长依次为 2、2、3、1.问 在四边形 ABCD 变形为各种凸四边形的过程中,BD 的长的变化范围是什么?B 到 DC 距离的变化范围又是什么? 练习三十一 当 （）（）得（）（）得 由 z=1-x-y,W=4-2x+y要求的最大、最小值，只需求 y-2x 的最大、最小 值设（x,y）是坐标适合条件的点，则在以为顶点的内（包括边界） 设 t=y-2x, 则 y=2x+t.由 t 的几何意义最大值最小值 先证 、四个根之和为 先由 如图（a）最大时，、在一直线上，.
