全国重点高中竞赛讲座 25绝对值与二次根式
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1、竞赛讲座 25 绝对值与二次根式绝对值与二次根式 1 绝对值 例 1 (1986 年扬州初一竞赛题)设 T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|,其中 0p15.对 于满足 px15 的 x 的来说,T 的最小值是多少? 解由已知条件可得 T=(x-p)+(15-x)+(p+15-x)=30-x. 当 px15 时,上式中在 x 取最大值时 T 最小;当 x=15 时,T=30-15=15,故 T 的最小值是 15. 例 2 若两数绝对值之和等于绝对值之积, 且这两数都不等于 0.试证这两个数都 不在-1 与-之间. 证 设两数为 a、b,则|a|+|b|=|a|b|. |b|=|a|b
2、|-|a|=|a|(|b|-1). ab0,|a|0,|b|0. |b|-1=0,|b|1. 同理可证|a|1. a、b 都不在-1 与 1 之间. 例 3 设 a、b 是实数,证明 |a|-|b|a+b|a|+|b|. 证明 当|a|-|b|0 时,|a|-|b|a+b|成立. 当|a|-|b|0 时,由于 (|a|-|b|)2-|a+b|2 =(a2+b2-2|ab|)-(a2+b2+2ab) =-2(|ab|-ab)0, |a|-|b|a+b|. 同理可证|a+b|a|+|b|. 2 根式 在根式进行化简、求值和证明的过程中,常采用配方法、乘方法、比较系数法、设 参法、公式法等等,现举例
3、如下: (1) 配方法:将二次根号内的式子配成完全平方式,将三次根号下的式子配成 完全立方式. 例 4 (1981 年宁波初中竞赛题)设的整数部分为 x,小数部分为 y,试求的值. 解 =4-=2+(2-), 故 x=2,y=2-, x+y+ =4-+2+=6. 例 5 化简 解 原式= =|x+3|+|x-1|-|x-2|. 令 x+3=0,x-1=0,x-2=0.得 x=-3,x=1,x=2,这些点把数轴划分成四个部分: 当 x-3 时 原式=-(x+3)-(x-1)+(x-2)=-x-4; 当-3x1 时, 原式=(x+3)-(x-1)+(x-2)=x+2; 当 1x2 时, 原式=(x
4、+3)+(x-1)+(x-2)=3x; 当 x2 时, 原式=(x+3)+(x-1)-(x-2)=x+4. 说明:将根号下含字母的式子化为带绝对值的式子来讨论,是解这类问题的一般技 巧. 例 6 化简(a0). 解 原式= = = a0. a22b2, 原式= 例 7 求证: 证明: = 原式=4. (2)乘方法:由于乘方与开方互为逆运算,顺理成章地可以用乘方的方法去根号 例 8 已知求证: (x+y+z)3=27xyz. 证明: 两边立方 x+y+ 即 再边再立方得(x+y+z)3=27xyz. 例 9 已知 求证 证明 设则 即 同理可设则 A+B= = = 由 A+B=a, 得 (2)
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