全国重点高中竞赛讲座 26平面图形的面积
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1、竞赛讲座 26 平面图形的面积平面图形的面积 1 关于面积的两点重要知识 (1)相似三角形的面积比等于相似比的平方 例 1(第 2 届美国数学邀请赛题)如图 40-1,在ABC 的内部选取一点 P,过 P 点 作三条分别与ABC 的三条边平行的直线,这样所得的三个三角形 t1、t2 和 t3 的面 积分别为 4,9 和 49求ABC 的面积 解 设 T 是ABC 的面积,T1、T2 和 T3 分别是三角形 t1、t2 和 t3 的面积;c 是边 AB 的长, c1、 c2 和 c3 分别是平行于边 AB 的三个三角形 t1、 t2 和 t3 的边长 那么, 由四个三角形相似,得 (2)两边夹角
2、的三角形面积,灵活运用ABC 的面积公式 S=可以方便地解决一 些较难的面积问题 例 2 已知 P、Q、R、S 四点分别由四边形的四个顶点 A、B、C、D 同时开始沿四 边形各边依反时针方向以各自的速度作匀速直线运动(如图 40-2) ,已知 P 由 A 至 B,R 由 C 至 D 分别需要两秒钟;Q 由 B 至 C,S 由 D 至 A 分别需要 1 秒钟;问开 始运动后,经过多少时间,四边形 PQRS 的面积最小? 解设 P 的速度是 Q 的速度是;R 的速度是,S 的速度是.在 t(0t1)秒时,AP= 设四边形 PQRS 和四边形 ABCD 的面积分别为 S、S. +得, +得, 当 t
3、=有极小值 答:经过秒后,四边形 PQRS 面积最小 下面是一个用不等式来证明相等问题的例子 例3(1982年英国数学奥林匹克竞赛试题).PQRS是面积为A的四边形.O是在它内部 的一点,证明:如果 2A=OP2+OQ2+OR2+OS2 那么 PQRS 是正方形并且 O 是它的中心 证明 如图 40-3,按题设有 此处无图 p2+q2+r2+s2=pqsin+qrsin+rsin+spsin pq+qr+rs+sp 依题设、必须且只须这里所有的不等式都取等号由取等号有 由取等号有 p=q=r=s 因此 PQRS 是正方形,O 是它的中心. 2.等积变换与面积法 等积变换的特点是利用图形之间的面
4、积相等或成比例的转换来解题 例 4(第 17 届苏联竞赛题)图 40-4 中阴影所示的四个三角形面积相等.求证:无阴影所 示的四个三角形面积相等.求证:无阴影的三个四边形的面积也相等 证明 如图:连 ME、NC. SNME=SCEM, MENC 若设则由上式可得解以上三式的联立方程组可得 这样,则 N 为 BE 中点 又 同理可证 例 5(第 9 届全俄中学竞赛题)如图 40-5 在凸五边形 ABCDE 中,对角线 CE 分别 交对角线 BD、AD 于 F、G,BF:FD=5:4,AG:GD=1:1,CF:FG:GE=2:2: 3,求CFD 和ABE 的面积比 解 连 AF.CF:FG:GE=
5、2:2:3, SCFD:SDFG:SDEG=2:2:3. SCFD=S,则 SFDG=S,SDGF=S. 又 BF:FD=5:4,SBEF:SFDE=5:4 SBEF=(SFDG+SDEG)=S 又由 BF:FD=5:4,SABF:SAFD=5:4 SABE=SABFE-SBFE =(SABF+SAFG+SAGE)-SBFE =5S-S=S (AG:GD=1:1). 即 SCFD:SABE=8:15. 例6 六边形ABCDEF内接于O,且AB=BC=CD=(如图40-6(a),求此六边形的面积. 分析 如果连 OA、OB、OC、OD、OE、OF,那么容易看出 SAOB=SBOC=SCOD, S
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