1、第第 2 课时课时 等比数列的应用等比数列的应用及性质及性质 1已知等比数列an，a11，a31 9，则 a5等于( ) A1 81 B 1 81 C. 1 81 D 1 2 答案 C 解析 根据等比数列的性质可知 a1a5a23a5a 2 3 a1 1 81. 2在等比数列an中，a2a3a41，a6a7a864，则 a5等于( ) A2 B2 C 2 D4 答案 A 解析 由等比数列的性质可得，a2a3a4a331， a6a7a8a3764， a31，a74， a25a3a74， 易知 a5与 a3和 a7同号， a52. 3设各项均为正数的等比数列an满足 a4a83a7，则 log3(
2、a1a2 a9)等于( ) A38 B39 C9 D7 答案 C 解析 因为 a4a8a5a73a7且 a70， 所以 a53， 所以 log3(a1a2 a9)log3a95log3399. 4已知等比数列an的公比 q1 3，则 a1a3a5a7 a2a4a6a8等于( ) A1 3 B3 C. 1 3 D3 答案 B 解析 因为 a2a4a6a8q(a1a3a5a7)， 所以a1a3a5a7 a2a4a6a8 1 q3. 5(多选)设an是等比数列，有下列四个命题，其中正确的是( ) Aa2n是等比数列 Banan1是等比数列 C. 1 an 是等比数列 Dlg|an|是等比数列 答案
3、ABC 解析 由an是等比数列可得 an an1q(q 为定值，n1)A 中， a2n a2n1 an an1 2q2为常数，故 A 正确；B 中，anan 1 an1an an1 an1q 2，故 B 正确；C 中， 1 an 1 an1 an 1 an 1 q为常数，故 C 正确；D 中， lg|an| lg|an1|不一定为常数，故 D 错误 6已知在等比数列an中，a33，a10384，则该数列的通项公式 an_. 答案 32n 3 解析 由已知得 a10a3 q73 q7384， 所以 q712827， 故 q2. 所以 ana3 qn 332n3. 7已知数列an为等比数列，且 a
4、3a5，则 a4(a22a4a6)_. 答案 2 解析 因为数列an为等比数列， 且 a3a5， 所以 a4(a22a4a6) a4a22a24a4a6 a232a3a5a25 (a3a5)22. 8在数列an中，a23 2，a3 7 3，且 bnnan1，若bn是等比数列，则数列bn的公比是 _，an_. 答案 2 2n1 n 解析 因为在数列an中，a23 2，a3 7 3， 且数列nan1是等比数列， 2a21314,3a31718， 所以数列nan1是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 所以 nan12n， 解得 an2 n1 n . 9已知数列an是等比数列，a3a720，a1a9
5、64，求 a11的值 解 an为等比数列，a1 a9a3 a764. 又a3a720， a34，a716 或 a316，a74. 当 a34，a716 时，a7 a3q 44， 此时 a11a3q844264. 当 a316，a74 时，a7 a3q 41 4， 此时 a11a3q816 1 4 21. 10已知数列an为等比数列 (1)若 an0，且 a2a42a3a5a4a636，求 a3a5的值； (2)若数列an的前三项和为 168，a2a542，求 a5，a7的等比中项 解 (1)a2a42a3a5a4a636， a232a3a5a2536， 即(a3a5)236， 又an0，a3a
6、56. (2)设等比数列an的公比为 q， a2a542，q1.由已知，得 a1a1qa1q2168， a1qa1q442， a11qq2168， a1q1q342， 解得 a196， q1 2. 若 G 是 a5，a7的等比中项，则有 G2a5 a7a1q4 a1q6a21q10962 1 2 109， a5，a7的等比中项为 3. 11设an是首项为 a1，公差为1 的等差数列，Sn为其前 n 项和若 S1，S2，S4成等比数 列，则 a1等于( ) A2 B2 C.1 2 D1 2 答案 D 解析 因为an是首项为 a1，公差为1 的等差数列， 所以 Snna11 2n (n1) (1)
7、， 由 S1，S2，S4成等比数列可知 S22S1 S4， 代入可得(2a11)2a1 (4a16)， 解得 a11 2. 12等比数列an是递减数列，前 n 项的积为 Tn，若 T134T9，则 a8a15等于( ) A 2 B 4 C2 D4 答案 C 解析 T134T9， a1a2a9a10a11a12a134a1a2a9， a10a11a12a134. 又a10 a13a11 a12a8 a15， (a8 a15)24， a8a15 2. 又an为递减数列， q0，a8a152. 13在等比数列an中，若 a72，则此数列的前 13 项之积等于_ 答案 213 解析 由于an是等比数列
8、， a1a13a2a12a3a11a4a10a5a9a6a8a27， a1a2a3a13(a27)6 a7a13 7， 而 a72. a1a2a3a13(2)13213. 14已知等比数列an满足 a2a52a3，且 a4，5 4，2a7 成等差数列，则 a1a2a3 an的最大值 为_ 答案 1 024 解析 因为等比数列an满足 a2a52a3，且 a4，5 4，2a7 成等差数列， 所以 a1qa1q42a1q2， a1q32a1q625 4， 解得 a116，q1 2， 所以 an16 1 2 n125n， 所以 a1a2a3 an24 32(5n) 2 9 2 2, nn 所以当 n
9、4 或 n5 时，a1a2a3 an取最大值，且最大值为 2101 024. 15在等比数列an中，若 a7a116，a4a145，则a20 a10_. 答案 2 3或 3 2 解析 an是等比数列， a7 a11a4 a146， 又 a4a145， a42， a143 或 a43， a142. a14 a4q 10，q103 2或 q 102 3. 而a20 a10q 10，a20 a10 2 3或 3 2. 16 设关于 x 的二次方程 anx2an1x10(n1,2,3， )有两根 和 ， 且满足 626 3. (1)试用 an表示 an1； (2)求证： an2 3 是等比数列； (3
10、)当 a17 6时，求数列an的通项公式 (1)解 根据根与系数的关系，得 an 1 an ， 1 an. 代入题设条件 6()23， 得6an 1 an 2 an3. 所以 an11 2an 1 3. (2)证明 因为 an11 2an 1 3， 所以 an12 3 1 2 an2 3 . 若 an2 3，则方程 anx 2a n1x10， 可化为2 3x 22 3x10， 即 2x22x30. 此时 (2)24230， 所以 an2 3，即 an 2 30. 所以数列 an2 3 是以1 2为公比的等比数列 (3)解 当 a17 6时， a1 2 3 1 2， 所以数列 an2 3 是首项为1 2，公比为 1 2的等比数列 所以 an2 3 1 2 1 2 n1 1 2 n， 所以 an2 3 1 2 n，nN* 即数列an的通项公式为 an2 3 1 2 n，nN*.
