1、第第 2 2 课时课时 等差数列的性质等差数列的性质 学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质简 化计算 知识点一 等差数列通项公式的变形及推广 设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，则 andn(a1d)(nN*)， anam(nm)d(m，nN*)， danam nm (m，nN*，且 mn) 其中，的几何意义是点(n，an)均在直线 ydx(a1d)上 可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求 a1. 可用来由等差数列任两项求公差 知识点二 等差数列的性质 1若an，bn分别是公差为 d，d的等差数列，则有 数列 结论 can 公差为
2、 d 的等差数列(c 为任一常数) c an 公差为 cd 的等差数列(c 为任一常数) anank 公差为 kd 的等差数列(k 为常数，kN*) panqbn 公差为 pdqd的等差数列(p，q 为常数) 2.下标性质：在等差数列an中，若 mnpq(m，n，p，qN*)，则 amanapaq. 特别地，若 mn2p(m，n，pN*)，则有 aman2ap. 3在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列 4等差数列an的公差为 d，则 d0an为递增数列； d0， 所以 d1，故所求的四个数为2,0,2,4. 反思感悟 等差数列的设项方法和技巧 (1)当已知
3、条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为 a1，公差为 d，利用已知 条件建立方程(组)求出 a1和 d，即可确定此等差数列的通项公式 (2)当已知数列有 3 项时，可设为 ad，a，ad，此时公差为 d.若有 5 项、7 项、时，可 同理设出 (3)当已知数列有 4 项时，可设为 a3d，ad，ad，a3d，此时公差为 2d.若有 6 项、8 项、时，可同理设出 跟踪训练 3 已知五个数成等差数列，它们的和为 5，平方和为85 9 ，求这 5 个数 解 设第三个数为 a，公差为 d， 则这 5 个数分别为 a2d，ad，a，ad，a2d. 由已知有 a2dadaada2d5， a2
4、d2ad2a2ad2a2d285 9 ， 整理得 5a5， 5a210d285 9 . 解得 a1，d 2 3. 当 d2 3时，这 5 个数分别是 1 3， 1 3，1， 5 3， 7 3； 当 d2 3时，这 5 个数分别是 7 3， 5 3，1， 1 3， 1 3. 综上，这 5 个数分别是1 3， 1 3，1， 5 3， 7 3或 7 3， 5 3，1， 1 3， 1 3. 数列问题如何选择运算方法 典例 在等差数列an中，a3a72a1540，求 a10. 解 方法一 设数列an的公差为 d. 则 a3a72a15a12da16d2(a114d) 4a136d4(a19d)4a104
5、0， a1010. 方法二 a3a72a15a3a7a15a15a10a10a10a1040， a1010. 素养提升 (1)等差数列中的计算大致有两条路：一是都化为基本量(a1，d，n)，然后解方程 (组)；二是借助等差数列的性质简化计算前者是通用方法，但计算量大，后者不一定每个 题都能用，能用上会使计算简单些，所以建议学习者立足通法，注意观察各项序号特点，能 巧则巧，但不要刻意追求巧法 (2)本例中明确题目的运算对象，选择适当的运算方法，灵活运用运算技巧，充分体现数学运 算的数学核心素养 1在等差数列an中，已知 a310，a820，则公差 d 等于( ) A3 B6 C4 D3 答案 B
6、 解析 由等差数列的性质得 a8a3(83)d5d， 所以 d2010 5 6. 2在等差数列an中，a4a515，a712，则 a2等于( ) A3 B3 C.3 2 D 3 2 答案 A 解析 由数列的性质，得 a4a5a2a7， 所以 a215123. 3在等差数列an中，若 a3a5a7a9a11100，则 a1a13的值为( ) A20 B30 C40 D50 答案 C 解析 a3a11a5a92a7， a3a5a7a9a115a7100， a720. a1a132a740. 4由公差 d0 的等差数列 a1，a2，an组成一个新的数列 a1a3，a2a4，a3a5， 下列说法正确的
7、是( ) A新数列不是等差数列 B新数列是公差为 d 的等差数列 C新数列是公差为 2d 的等差数列 D新数列是公差为 3d 的等差数列 答案 C 解析 因为(an1an3)(anan2)(an1an)(an3an2)2d， 所以数列 a1a3，a2a4，a3a5，是公差为 2d 的等差数列 5在等差数列an中，已知 5 是 a3和 a6的等差中项，则 a1a8_. 答案 10 解析 由 5 是 a3和 a6的等差中项，可得 a3a62510，则由等差数列的性质可得 a1a8 a3a610. 1知识清单： (1)等差数列通项公式的变形运用 (2)等差数列的性质 (3)等差数列中项的设法. 2方法归纳：解方程组法 3常见误区： (1)对等差数列的性质不理解而致错 (2)不注意运用性质而出错或解法烦琐
