1、2.2 等差数列 2.2.2 等差数列的前n项和(一),学习目标 1.体会等差数列前n项和公式的推导过程. 2.掌握等差数列前n项和公式. 3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 1.设梯形的上底、下底、高分别为a，b，h，把两个相同的梯形一个倒置并成平行四边形，则梯形的面积 为_.,2.把二次函数y2x24x3化成ya(xh)2k的形式是 ，当x 时，y有最 值 . 解析 y2x24x32(x1)25. x1时，y有最大值5.,y2(
2、x1)25,1,大,5,SnSn1,S1,预习导引 1.等差数列前n项和公式 (1)若an是等差数列，则Sn . (2) Sn也可以表示为Sn . 2.数列中an与Sn的关系 对任意数列an，Sn与an的关系可以表示为an,3.等差数列前n项和的最值 (1)因为等差数列前n项和可变为Sn n2(a1 )n，若 d0，则从二次函数的角度看：当d0时，Sn有 值；当d0，d0时，Sn有 值，使Sn取到最值的n可由不 等式组 确定.,最小,最大,要点一 等差数列Sn中基本量的计算 例1 在等差数列an中， (1)已知S848，S12168，求a1和d；,解方程组得a18，d4.,解方程组得a15，d
3、3， a8a62d102316，,(2)已知a610，S55，求a8和S8；,规律方法 a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，注意利用等差数列的性质以简化计算过程，同时在具体求解过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.,(3)已知a163，求S31.,跟踪演练1 在等差数列an中.,解得n15.,又a84(81)d39，d5.,(2)a14，S8172，求a8和d.,(3)已知d2，an11，Sn35，求a1和n.,要点二 由数列的Sn求通项an 例2 (1)已知数列an的前n项和为Sn，且Snn23n，
4、求证数列an是等差数列. 证明 a1S1132， 当n2时，anSnSn1(n23n)(n1)23(n1)2n4， 当n1时，2n42a1，an2n4. 又因为anan1(2n4)2(n1)42(n2)，所以an是等差数列.,当且仅当n9时，Sn最大.故n9.,规律方法 一般地，an与Sn有如下关系：ananSnSn1并非对所有的nN都成立，而只对n2的正整数成立.由Sn求通项公式an时，要分n1和n2两种情形，然后验证n1时是否满足n2的解析式，若不满足，则用分段函数的形式表示.,(2)数列an的前n项和Sn35n2n2，求使Sn最大的n.,跟踪演练2 已知正数数列bn的前n项和Sn (bn
5、1)2，求证bn为等差数列，并求其通项. 解 当n2时，bnSnSn1，,(bnbn1)(bnbn12)0， bnbn10，bnbn12(n2). 又b1 (b11)2，b11， bn为等差数列，bn1(n1)22n1.,要点三 等差数列前n项和的最值 例3 在等差数列an中，a125，S17S9，求Sn的最大值. 解 方法一 由S17S9，得2517 (171)d259 (91)d， 解得d2， Sn25n (n1)(2)(n13)2169， 当n13时，Sn有最大值169.,方法二 先求出d2，a1250，当n13时，Sn有最大值169.,方法三 由S17S9，得a10a11a170， 而
6、a10a17a11a16a12a15a13a14， 故a13a140.d20， a130，a140，d0时，满足 的项数n，使Sn取最小值， 注意两个不等式都有等号.,跟踪演练3 首项为正数的等差数列an，它的前3项和与前11项和相等，问此数列前多少项之和最大？ 解 因为S3S11，则,故当n7时，Sn最大，即前7项和最大.,1.在等差数列an中，S10120，那么a1a10的值是( ) A.12 B.24 C.36 D.48,B,1,2,3,4,2.记等差数列前n项和为Sn，若S24，S420，则该数列的公差d等于( ) A.2 B.3 C.6 D.7方法二 由S4S2a3a4a12da22
7、dS24d，所以20444d，解得d3.,B,2,3,4,1,3.首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3S8，当n_时，Sn取到最大值. 解析 S3S8，S8S3a4a5a6a7a85a60，a60. a10，a1a2a3a4a5a60，a70.故当n5或6时，Sn最大.,1,2,3,4,5或6,4.已知数列an的前n项和Sn32n，求an. 解 (1)当n1时，a1S1325. (2)当n2时，Sn132n1，又Sn32n， anSnSn12n2n12n1. 又当n1时，a152111，,1,2,3,4,课堂小结 1.等差数列前n项和公式推导及应用 (1)公式的推导：在等差数列中a1ana2an1.故公式的推导中，用倒序相加法. (2)当已知首项a1，末项an，项数n时，用公式Sn ， 用此公式时，有时要结合等差数列的性质.,(3)当已知首项a1，公差d及项数n时，用公式Snna1 d 求和方便. (4)上述两个公式均为等差数列的求和公式，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个，可求另外两个，而且方法就是解方程组，这也是等差数列中的基本问题. 2.等差数列前n项和的最值方法 (1)二次函数配方法.(2)单调性法.,
