1、2.2 等差数列 2.2.2 等差数列的前n项和(二),学习目标 1.掌握等差数列与其前n项和Sn有关的一些性质，能熟练运用这些性质解题. 2.掌握可以转化为等差数列的数列求和问题. 3.会用等差数列的相关知识解决简单的实际问题.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 如果已知数列an的前n项和Sn的公式，如何求它的通项公式？如果一个数列的前n项和的公式是Snan2bnc(a，b，c为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？ 答 若n1时，a1S1， 若n2时，anSnSn1， 对于Snan2bnc(a，b，c为常数)，
2、当c0时，an是等差数列，当c0时，an不是等差数列.,预习导引 等差数列前n项和的性质 (1)等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，那么数列Sk，S2kSk，S3kS2k，(kN)是等差数列，其公差等于 . (2)若在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在 .,最小值,k2d,最大值,(3)若等差数列的项数为2n(nN)时， 则S2n ，且S偶S奇 ，(4)若等差数列的项数为2n1(nN)时，则S2n1，且S奇S偶an，S奇nan，S偶(n1)an，,(2n1)an,n(anan1),nd,要点一 等差数列前n项和性质的应用 例1 已知等差数列an，Sm，S2m，S3m分别是其前m，前2
3、m，前3m项和，若Sm30，S2m100，求S3m. 解 方法一 设an的公差为d，依据题设和前n项和公式有：,方法二 Sm、S2mSm、S3mS2m成等差数列， 所以30、70、S3m100成等差数列， 所以27030S3m100. 所以S3m210.,方法三 在等差数列an中，因为Sna1n n(n1)d，,所以S3m3(S2mSm)3(10030)210.,规律方法 在等差数列中，前n项和Sn的问题利用公式可列出关于a1和d的方程(组).要注意等差数列中Sm，S2mSm， S3mS2m，也成等差数列且公差为m2d，也成等差数列，用此性质可简化运算.,跟踪演练1 项数为奇数的等差数列，奇数
4、项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数. 解 设等差数列共2n1项，则奇数项有n1项，偶数项有n项，中间项是第n1项，记为an1，设公差为d，S奇S偶a1ndan111，,即中间项an111. 又S2n1S奇S偶77.(2n1)1177， 2n17， 即数列的中间项为11，这个数列共7项.,要点二 等差数列前n项和公式在实际中的应用 例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买
5、这件家电实际花费多少钱？,解 设每次交款数额依次为a1，a2，a20，则 a1501 0001%60(元)， a250(1 00050)1%59.5(元)， a1050(1 000950)1%55.5(元)， 即第10个月应付款55.5元. 由于an是以60为首项，以0.5为公差的等差数列，,即全部付清后实际付款1 1051501 255(元). 规律方法 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.,跟踪演练2 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相
6、遇？,解 设n分钟后第1次相遇，依题意，有2n 5n70， 整理得n213n1400.解之得n7，n20(舍去). 第1次相遇是在开始运动后7分钟.,解 设n分钟后第2次相遇，依题意，有2n 5n370，整理得n213n4200.解之得n15，n28(舍去). 第2次相遇是在开始运动后15分钟.,(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？,要点三 等差数列的绝对值|an|的前n项和 例3 在等差数列an中，Sn为前n项和，且S216，S424，求Tn|a1|a2|an|的值. 解 由S216，S424，,所以
7、等差数列an的通项公式为an112n(nN). (1)当n5时，Tn|a1|a2|an| a1a2anSnn210n.,(2)当n6时，Tn|a1|a2|an| a1a2a5a6a7an2S5Sn 2(52105)(n210n)n210n50，规律方法 求等差数列an前n项绝对值的和，首先要搞清哪些项是正数哪些项是负数，正的直接去掉绝对值，负的变为原来的相反数，再转化为等差数列an的前n项和的形式求解.,跟踪演练3 数列an的前n项和Sn100nn2(nN). (1)an是什么数列？ 解 anSnSn1(100nn2)100(n1)(n1)2 1012n(n2). a1S11001129910121， 数列an的通项公式为an1012n(nN). 又an1an2为常数， 数列an是首项为a199， 公差d2的等差数列.,(2)设bn|an|，求数列bn的前n项和. 解 令an1012n0，得n50.5， nN，n50(nN). 当1n50时，an0，此时bn|an|an， bn的前n项和Sn100nn2. 当n51时，an0，d0，这种数列只有前面有限项为负数，其余都为非负数，同样可以分成两段处理.,
