1、4.24.2 等差数列等差数列 4 4. .2.12.1 等差数列的概念等差数列的概念 第第 1 1 课时课时 等差数列的概念及通项公式等差数列的概念及通项公式 学习目标 1.理解等差数列、等差中项的概念.2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公 式解决一些简单的问题.3.掌握等差数列的判断与证明方法 知识点一 等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个 数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示，公差可正可 负可为零 思考 你能根据等差数列的概念写出它的数学表达式吗？ 答案 an1and(d 为常数，n
2、N*) 知识点二 等差中项的概念 由三个数 a，A，b 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列这时，A 叫做 a 与 b 的等 差中项且 2Aab. 思考 下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)1,5；(3)0,0；(4)a，b. 答案 插入的数分别为(1)3，(2)2，(3)0，(4)ab 2 . 知识点三 等差数列的通项公式 首项为 a1，公差为 d 的等差数列an的通项公式 ana1(n1)d. 思考 由等差数列的通项公式可以看出，要求 an，需要哪几个条件？ 答案 只要求出等差数列的首项 a1和公差 d，代入公式 ana1(n1)d
3、即可 知识点四 从函数角度认识等差数列an 若数列an是等差数列，首项为 a1，公差为 d， 则 anf(n)a1(n1)dnd(a1d) (1)点(n，an)落在直线 ydx(a1d)上，这条直线的斜率为 d，在 y 轴上的截距为 a1d ； (2)这些点的横坐标每增加 1，函数值增加 d. 1数列 4,4,4，是等差数列( ) 2数列an的通项公式为 an 1，n1， n1，n2， 则an是等差数列( ) 3 若一个数列从第 2 项起每一项与它前一项的差都是常数， 则这个数列是等差数列 ( ) 4若三个数 a，b，c 满足 ac2b，则 a，b，c 一定是等差数列( ) 一、等差数列的通项
4、公式及其应用 例 1 在等差数列an中， (1)已知 a51，a82，求 a1与 d； (2)已知 a1a612，a47，求 an. 解 (1)由题意知 a151d1， a181d2， 解得 a15， d1. (2)由题意知 a1a161d12， a141d7， 解得 a11， d2. 所以 ana1(n1)d1(n1)22n1，nN*. 反思感悟 等差数列通项公式的求法与应用技巧 (1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项 与公差即可 (2)等差数列an的通项公式 ana1(n1)d 中共含有四个参数，即 a1，d，n，an，如果知道 了其中的任意三
5、个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通 常称之为“知三求一” (3)通项公式可变形为 andn(a1d)，可把 an看作自变量为 n 的一次函数 跟踪训练 1 在等差数列an中，求解下列各题： (1)已知公差 d1 3，a78，则 a1 . (2)已知 a30，a72a41，则公差 d . (3)已知an的前 3 项依次为 2,6,10，则 a15 . 答案 (1)10 (2)1 2 (3)58 解析 (1)由 a7a16d，得 8a16 1 3 ， 故 a110. (2)设首项为 a1，公差为 d， 则 a12d0， a16d2a13d1， 解得 a11， d1
6、2. (3)由题意得，d624， 把 a12，d4 代入 ana1(n1)d，得 an2(n1)44n2， a15415258. 二、等差数列的判定与证明 例 2 已知数列an满足 a12，an1 2an an2. (1)数列 1 an 是否为等差数列？说明理由； (2)求 an. 解 (1)数列 1 an 是等差数列，理由如下： a12，an1 2an an2， 1 an1 an2 2an 1 2 1 an， 1 an1 1 an 1 2， 即 1 an 是首项为 1 a1 1 2，公差为 d 1 2的等差数列 (2)由上述可知 1 an 1 a1(n1)d n 2， an2 n，nN *.
7、 延伸探究 将本例中的条件“a12，an1 2an an2”换为“a14，an4 4 an1(n1)，记 bn 1 an2” (1)试证明数列bn为等差数列； (2)求数列an的通项公式 (1)证明 bn1bn 1 an12 1 an2 1 4 4 an 2 1 an2 an 2an2 1 an2 an2 2an2 1 2. 又 b1 1 a12 1 2， 数列bn是首项为1 2，公差为 1 2的等差数列 (2)解 由(1)知 bn1 2(n1) 1 2 1 2n. bn 1 an2， an 1 bn2 2 n2. 数列an的通项公式为 an2 n2，nN *. 反思感悟 判断等差数列的方法
8、(1)定义法 an1and(nN*)或 anan1d(n2，nN*)数列an是等差数列. (2)等差中项法 2an1anan2(nN*)数列an为等差数列 (3)通项公式法 数列an的通项公式形如 anpnq(p，q 为常数)数列an为等差数列 跟踪训练 2 已知数列an满足(an11)(an1)3(anan1)，a12，令 bn 1 an1. (1)证明：数列bn是等差数列； (2)求数列an的通项公式 (1)证明 1 an11 1 an1 anan1 an11an1 1 3， bn1bn1 3，又 b1 1 a111， bn是首项为 1，公差为1 3的等差数列 (2)解 由(1)知 bn1
9、 3n 2 3， an1 3 n2，an n5 n2. 三、等差中项及应用 例 3 (1)在1 与 7 之间顺次插入三个数 a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列 解 因为1，a，b，c，7 成等差数列， 所以 b 是1 与 7 的等差中项， 则 b17 2 3， 又 a 是1 与 3 的等差中项， 所以 a13 2 1. 又 c 是 3 与 7 的等差中项， 所以 c37 2 5. 所以该数列为1,1,3,5,7. (2)已知1 a， 1 b， 1 c成等差数列求证： bc a ，ac b ，ab c 也成等差数列 证明 因为1 a， 1 b， 1 c成等差数列， 所以2 b 1 a 1
10、 c，即 2acb(ac) 因为bc a ab c cbcaab ac c 2a2bac ac a 2c22ac ac 2ac 2 bac 2ac b ， 所以bc a ，ac b ，ab c 成等差数列 反思感悟 若 a，A，b 成等差数列，则 Aab 2 ；反之，由 Aab 2 也可得到 a，A，b 成等 差数列，所以 A 是 a，b 的等差中项Aab 2 . 跟踪训练 3 (1)若 m 和 2n 的等差中项为 4,2m 和 n 的等差中项为 5，求 m 和 n 的等差中项 解 由 m 和 2n 的等差中项为 4，得 m2n8. 又由 2m 和 n 的等差中项为 5，得 2mn10. 两式
11、相加，得 mn6. 所以 m 和 n 的等差中项为mn 2 3. (2)已知 a，b，c 成等差数列，证明：a2(bc)，b2(ca)，c2(ab)也成等差数列 证明 因为 a，b，c 成等差数列，所以 ac2b. 又 a2(bc)c2(ab)2b2(ca) a2cc2aab(a2b)bc(c2b) a2cc2a2abcac(ac2b) 0， 所以 a2(bc)c2(ab)2b2(ca) 故 a2(bc)，b2(ca)，c2(ab)成等差数列 等差数列的实际应用 典例 某公司经销一种数码产品，第一年可获利 200 万元，从第二年起由于市场竞争方面的 原因，其利润每年比上一年减少 20 万元，按
12、照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整 经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 解 设从第一年起，第 n 年的利润为 an万元， 则 a1200，an1an20(nN*)， 每年的利润构成一个等差数列an， 从而 ana1(n1)d200(n1)(20)22020n. 若 an0，则该公司经销这一产品将亏损 由 an22020n11， 即从第 12 年起，该公司经销此产品将亏损 素养提升 (1)解决实际应用问题， 首先要认真领会题意， 根据题目条件， 寻找有用的信息 若 一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列 合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中
13、，一定要分清首项、项数等 关键的问题 (2)能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决 相应的问题，是数学建模的核心素养的体现 1已知等差数列an的通项公式 an32n(nN*)，则它的公差 d 为( ) A2 B3 C2 D3 答案 C 解析 由等差数列的定义，得 d2. 2若 5，x，y，z，21 成等差数列，则 xyz 的值为( ) A26 B29 C39 D52 答案 C 解析 5，x，y，z，21 成等差数列， y 既是 5 和 21 的等差中项也是 x 和 z 的等差中项 5212y，y13，xz2y26，xyz39. 3在等差数列an中，若 a
14、184，a280，则使 an0，且 an10 的 n 为( ) A21 B22 C23 D24 答案 B 解析 公差 da2a14， ana1(n1)d84(n1)(4)884n， 令 an0， an10， 即 884n0， 884n10 21n22. 又nN*，n22. 4已知 31 与 31 的等差中项为 a，等差数列an的通项公式为 ana2n1(nN*)，公 差为 d，则 ad . 答案 3 3 解析 由题意，知 a 31 31 2 3，d3， 所以 ad3 3. 5 九章算术是我国古代数学名著，其中有道“竹九问题”：“今有竹九节，下三节容量 四升，上四节容量三升问中间二节欲均容各多少
15、？”意思为：今有竹九节，下三节容量之 和为 4 升，上四节容量之和为 3 升，且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列)，则中 间两节各多少容量？在这个问题中，中间一节的容量为 升 答案 67 66 解 析 设 从 最 上 至 最 下 每 节 的 容 量 构 成 等 差 数 列 an ， 公 差 为 d ， 由 题 意 知 a1a2a3a43， a7a8a94， 则 4a16d3， 3a121d4， 解得 a113 22， d 7 66， 故 a5a14d67 66. 1知识清单： (1)等差数列的有关概念 (2)等差数列的通项公式 (3)等差数列的判定与证明 2方法归纳：列方程组法、迭代法、构造法 3常见误区：在具体应用问题中项数不清
