1、2021 年湖南省长沙市中考数学适应性试卷（二）年湖南省长沙市中考数学适应性试卷（二） 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题本大题 共共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、浙江大学的校徽，其中是轴对称图形的是（ ） A B C D 2 （3 分） 2021 年 2 月 中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见 正式发布 意 见确定的目标任务为，
2、2021 年，农业供给侧结构性改革深入推进，粮食播种面积保持稳定、产量达到 1 300 000 000 000 斤以上， 农民收入增长继续快于城镇居民， 脱贫攻坚成果持续巩固 其中数据 1 300 000 000 000 用科学记数法表示正确的是（ ） A131011 B131012 C1.31012 D0.131013 3 （3 分）下列计算正确的是（ ） Aa2+2ab+b22a3b3 B （a2）3a5 C （a+b） （ab）a22ab+b2 Da（b+c）ab+ac 4 （3 分）一个不透明的袋子里装有 2 个红球和 4 个黄球，它们除颜色外其余都相同从袋中任意摸出一个 球是红球的概
3、率为（ ） A B C D 5 （3 分）对于一组数据 3，7，5，3，2，下列说法正确的是（ ） A中位数是 5 B众数是 7 C平均数是 4 D方差是 3 6 （3 分）圆锥的母线长是 3，底面半径是 1，则这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为（ ） A90 B120 C150 D180 7 （3 分）古希腊有一位著名的数学家因发现“” ，而改写了整部数学史，也因此付出了生命的代价，他 就是希帕索斯下面对说法正确的是（ ） A是有理数 B可以在数轴上找到唯一点与之对应 C可以用两个整数的比表示 D1.414 8 （3 分）如图，小明在学校操场 A 处测得旗杆的仰角DAC 为 30，沿 AC 方
4、向行进 10 米至 B 处，测得 仰角DBC 为 45，则旗杆的高度 DC 是（ ） A5（+1）米 B （1）米 C10 米 D （10+）米 9 （3 分）函数 ykx+1 与函数 y在同一坐标系中的大致图象是（ ） A B C D 10 （3 分）如图，已知等腰 RtABC，ACB90，以 AC 为边向上作等边ACD，连接 BD，AB 与 CD 相交于点 E有下列结论：BD2DEDC，其中正 确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）2 的绝对值是 12 （3 分
5、）要使分式有意义，则 x 的取值范围是 13 （3 分）因式分解：a3a 14 （3 分）不等式组的解集 15 （3 分）如图，在ABC 中，按以下步骤作图： 以点 B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 AB、BC 于点 D、E 分别以点 D、E 为圆心，大于DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点 F 作射线 BF 交 AC 于点 G 如果，求 16 （3 分） 如图， 已知OAB 是边长为 3 的等边三角形， 反比例函数 y （k0） 与 OB、 AB 相交于点 C、 D，当BDC 为直角三角形时，则 k 的值是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题，第个小题，第 17、18、
6、19 题每小题题每小题 6 分，第分，第 20、21 题每小题题每小题 6 分，第分，第 22、23 题每题每 小题小题 6 分，第分，第 24、25 题每小题题每小题 6 分，共分，共 72 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （6 分）计算：|4|（3.14）0+2cos30+（） 1 18 （6 分）先化简，再求值：，其中 x2 19 （6 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AE，CF 分别平分BAD 和DCB，交对角线 BD 于点 E，F （1）若BCF60，求ABC 的度数； （2）求证：BEDF 20 （8
7、分）某学校开展了防疫知识的宣传教育活动为了解这次活动的效果，学校从全校 1500 名学生中随 机抽取部分学生进行知识测试（测试满分 100 分，得分 x 均为不小于 60 的整数） ，并将测试成绩分为四 个等级：基本合格（60 x70） ，合格（70 x80） ，良好（80 x90） ，优秀（90 x100） ，制作了 如图统计图（部分信息未给出） 由图中给出的信息解答下列问题： （1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数分布直方图 （2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数 （3）这次测试成绩的中位数是什么等级？ （4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得
8、优秀的学生有多少人？ 21 （8 分）如图，AB 是O 的直径，C 为O 上一点，连接 AC，CEAB 于点 E，D 是直径 AB 延长线上 一点，且ABCD （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 AD10，tanBCE，求 BD 的长 22 （9 分） 三湘都市报华声在线 2 月 21 日讯，在长沙市岳麓区麓景路与梅溪湖路的交汇处，一条穿过 桃花岭公园连接含浦片区与梅溪湖片区的麓景路隧道正在加紧施工当中从隧道中运输挖出土方，其中 每辆大货车运输的土方比每辆小货车多8立方米， 大货车运120立方米与小货车运80立方米车辆数相同 （1）求大货车与小货车每辆各运输土方多少立方米？ （2）总共
9、有大小货车共 20 辆，每天需运出 432 立方米泥土，大小货车各需要多少辆？ 23 （9 分）已知，正六边形 ABCDEF，边长为 6，G 点以每秒为 1 的速度从 ABCDE 上运动，不与 E 点重合，同时，点 H 以同样的速度从 BCDEF 上运动，不与 F 点重合，连接 GF、AH 交于点 I； （1）求E 的度数 （2）如图 1，IJ 是FIH 的角平分线，过 F 点作 IJ 的垂线，垂足为 J，当 FI 是AFJ 的角平分线时， 求证 AIIJ （3）如图 2，过 B 点作 FG 的平行线，交直线 AH 于点 L，当 G 在运动的过程中，写出 FI、AL、AI 之 间的数量关系，并
10、给出证明 24 （10 分）我们不妨约定：二次函数 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A、B 两点，其中 C 为顶点，当 ABC 为等腰直角三角形时，我们称二次函数为“等腰直角函数” （1）证明 y为“等腰直角函数” ； （2）如图 1，在（1）的“等腰直角函数”图象中，过 AB 中点 F 的直线 l1与二次函数相交于 D，E 两点， 求CDE 面积的最小值； （3）如图 2，M、N 为“等腰直角函数”y2 上不重合的两个动点，且关于过原点的直线 l2对 称，当点 M 的横坐标为 1 时，求出点 N 的坐标 25 （10 分）如图，已知 A（5，0） ，点 B 在第一象限内以 OA 为
11、半径的圆上运动点 C 是OAB 的外心， 延长 BC 交 x 轴于点 D （1）求证：BOA2OBD （2）当BDA 为等腰三角形时，求BAD 的大小 （3）当 D 点坐标为（2，0） ，求 AB 的长 2021 年湖南省长沙市中考数学适应性试卷（二）年湖南省长沙市中考数学适应性试卷（二） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题本大题 共共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1
12、（3 分）以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、浙江大学的校徽，其中是轴对称图形的是（ ） A B C D 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：B 2 （3 分） 2021 年 2 月 中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见 正式发布 意 见确定的目标任务为，2021 年，农业供给侧结构性改革深入推进，粮食播种面积保持稳定、产量达到 1 300 000 000 000 斤以上， 农民收入增长继续快于城镇居民， 脱贫攻坚成果持续巩固 其
13、中数据 1 300 000 000 000 用科学记数法表示正确的是（ ） A131011 B131012 C1.31012 D0.131013 【解答】解：1 300 000 000 0001.31012 故选：C 3 （3 分）下列计算正确的是（ ） Aa2+2ab+b22a3b3 B （a2）3a5 C （a+b） （ab）a22ab+b2 Da（b+c）ab+ac 【解答】解：A、a2+2ab+b2（a+b）2，故本选项不合题意； B、 （a2）3a6，故本选项不合题意； C、 （a+b） （ab）a2b2，故本选项不合题意； D、a（b+c）ab+ac，故本选项符合题意； 故选：D
14、4 （3 分）一个不透明的袋子里装有 2 个红球和 4 个黄球，它们除颜色外其余都相同从袋中任意摸出一个 球是红球的概率为（ ） A B C D 【解答】解：由题意可得， 从袋中任意摸出一个球是红球的概率为， 故选：B 5 （3 分）对于一组数据 3，7，5，3，2，下列说法正确的是（ ） A中位数是 5 B众数是 7 C平均数是 4 D方差是 3 【解答】解：A、把这组数据从小到大排列为：2，3，3，5，7，最中间的数是 3，则中位数是 3，故本 选项错误； B、3 出现了 2 次，出现的次数最多，则众数是 3，故本选项错误； C、平均数是： （3+7+5+3+2）54，故本选项正确； D、
15、方差是：2（34）2+（74）2+（54）2+（24）23.2，故本选项错误； 故选：C 6 （3 分）圆锥的母线长是 3，底面半径是 1，则这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为（ ） A90 B120 C150 D180 【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2cm， 设圆心角的度数是 x 度则2， 解得：x120 故选：B 7 （3 分）古希腊有一位著名的数学家因发现“” ，而改写了整部数学史，也因此付出了生命的代价，他 就是希帕索斯下面对说法正确的是（ ） A是有理数 B可以在数轴上找到唯一点与之对应 C可以用两个整数的比表示 D1.414 【解答】解：A、是无理数，故此选项不合题意； B、实
16、数和数轴上的点一一对应，可以在数轴上找到唯一点与之对应，故此选项符合题意； C、不能用两个整数比表示，故此选项不合题意； D、是无限不循环小数，1.414，故此选项不合题意 故选：B 8 （3 分）如图，小明在学校操场 A 处测得旗杆的仰角DAC 为 30，沿 AC 方向行进 10 米至 B 处，测得 仰角DBC 为 45，则旗杆的高度 DC 是（ ） A5（+1）米 B （1）米 C10 米 D （10+）米 【解答】解：如图，在 RtBCD 中， DBC45，BCD90， BDC45， DBCBDC， BCDC， 设 BCDCx 米， 在 RtADC 中， DAC30， tanDAC， t
17、an30， 解得，x（5+） （米） ， DC（5+）米 故选：A 9 （3 分）函数 ykx+1 与函数 y在同一坐标系中的大致图象是（ ） A B C D 【解答】解：分两种情况讨论： 当 k0 时，ykx+1 与 y 轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，y的图象在第一、三象限； 当 k0 时，ykx+1 与 y 轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，y的图象在第二、四象限 故选：A 10 （3 分）如图，已知等腰 RtABC，ACB90，以 AC 为边向上作等边ACD，连接 BD，AB 与 CD 相交于点 E有下列结论：BD2DEDC，其中正 确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【解
18、答】解：ABC 是等腰 RtABC、ACD 是等边三角形， CDCBCA，DCA60，ABC45， DCB30，DBC75， DBEDCB30， BDECDB， DBEDCB， ， BD2DEDC，正确； 过点 E 作 EMAC 于 M， ACB90， MEBC， AECEBC+BCE75，DCA60， MEC30，AEM45， AMME，MEMC， MEBC， ，正确； ， ， SACESBEC， ABC 是等腰 RtABC， ABBC， ， DBEDCB， ， ， SDBESBEC， ，正确； ， ，即，正确 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每
19、小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）2 的绝对值是 2 【解答】解：2 的绝对值是：2 故答案为：2 12 （3 分）要使分式有意义，则 x 的取值范围是 x2 【解答】解：当分母 x20，即 x2 时，分式有意义 故答案为：x2 13 （3 分）因式分解：a3a a（a+1） （a1） 【解答】解：原式a（a21）a（a+1） （a1） ， 故答案为：a（a+1） （a1） 14 （3 分）不等式组的解集 【解答】解：解不等式 2x10，得：x， 解不等式 x+10，得：x1， 则不等式组的解集为1x 故答案为：1x 15 （3 分）如图，在ABC 中，按以下步骤作图：
20、以点 B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 AB、BC 于点 D、E 分别以点 D、E 为圆心，大于DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点 F 作射线 BF 交 AC 于点 G 如果，求 【解答】解：如图，过点 G 作 GMAB 于 M，GNBC 于 N 由作图可知，BG 平分ABC， GMBA，GNBC， GMGN， ， 故答案为： 16 （3 分） 如图， 已知OAB 是边长为 3 的等边三角形， 反比例函数 y （k0） 与 OB、 AB 相交于点 C、 D，当BDC 为直角三角形时，则 k 的值是 【解答】解：过点 A 作 AMOB 交 OB 于点 M，如图， OAB 是边长为 3 的等
21、边三角形， A，B，M 点坐标分别为（3，0） ， （，） ， （，） ， 当BDC 为直角三角形时， DCB90， BCDBMA90，BB， BCDBMA， ， 设n（0n1） ， C 点坐标为（，） ，D 点坐标为（，） ， 点 C、D 在反比例函数 y（k0） ， ， 解得， 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题，第个小题，第 17、18、19 题每小题题每小题 6 分，第分，第 20、21 题每小题题每小题 6 分，第分，第 22、23 题每题每 小题小题 6 分，第分，第 24、25 题每小题题每小题 6 分，共分，共 72 分分.解答应写出必要的文字说明
22、、证明过程或演算步骤）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （6 分）计算：|4|（3.14）0+2cos30+（） 1 【解答】解：原式41+2+3 41+3+3 9 18 （6 分）先化简，再求值：，其中 x2 【解答】解： x1， 当 x2 时，原式211 19 （6 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AE，CF 分别平分BAD 和DCB，交对角线 BD 于点 E，F （1）若BCF60，求ABC 的度数； （2）求证：BEDF 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， ABC+BCD180， CF 平分DCB， BCD2BCF， BCF60，
23、 BCD120， ABC18012060； （2）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD，BADDCB， ABECDF， AE，CF 分别平分BAD 和DCB， BAE，DCF， BAEDCE， ABECDF（ASA） ， BEDF 20 （8 分）某学校开展了防疫知识的宣传教育活动为了解这次活动的效果，学校从全校 1500 名学生中随 机抽取部分学生进行知识测试（测试满分 100 分，得分 x 均为不小于 60 的整数） ，并将测试成绩分为四 个等级：基本合格（60 x70） ，合格（70 x80） ，良好（80 x90） ，优秀（90 x100） ，制作了 如图统计图（
24、部分信息未给出） 由图中给出的信息解答下列问题： （1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数分布直方图 （2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数 （3）这次测试成绩的中位数是什么等级？ （4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？ 【解答】解： （1）3015%200（人） ， 20030804050（人） ， 直方图如图所示： （2） “良好”所对应的扇形圆心角的度数360144 （3）这次测试成绩的中位数是 8090这次测试成绩的中位数的等级是良好 （4）1500300（人） ， 答：估计该校获得优秀的学生有 300 人 21 （8
25、分）如图，AB 是O 的直径，C 为O 上一点，连接 AC，CEAB 于点 E，D 是直径 AB 延长线上 一点，且ABCD （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 AD10，tanBCE，求 BD 的长 【解答】 （1）证明：如图，连接 OC， 则 OCOAr DCBAACO， OCOB， OCBABC， 又AB 是直径， ACB90 即ACO+OCB90， DCB+OCB90， OCD90， DC 是O 的切线； （2）解：A+ACE90，BCE+ACE90， BCEA， ， DCBA，DD， DBCDCA， ， AD10， 解得： 22 （9 分） 三湘都市报华声在线 2 月 21
26、日讯，在长沙市岳麓区麓景路与梅溪湖路的交汇处，一条穿过 桃花岭公园连接含浦片区与梅溪湖片区的麓景路隧道正在加紧施工当中从隧道中运输挖出土方，其中 每辆大货车运输的土方比每辆小货车多8立方米， 大货车运120立方米与小货车运80立方米车辆数相同 （1）求大货车与小货车每辆各运输土方多少立方米？ （2）总共有大小货车共 20 辆，每天需运出 432 立方米泥土，大小货车各需要多少辆？ 【解答】解： （1）设小货车每辆运 x 方，则大货车每辆运（x+8）方， 依题意得：， 解得：x16， 经检验：x16 是方程的解 则大货车为：16+824（方） 答：小货车每辆运输 16 方，大货车每辆运输 24
27、方； （2）设小货车有 a 辆，则大货车有（20a）辆 依题意得：16a+24（20a）432， 解得：a6， 则大货车为 20614（辆） 答：大货车需要 14 辆，小货车需要 6 辆 23 （9 分）已知，正六边形 ABCDEF，边长为 6，G 点以每秒为 1 的速度从 ABCDE 上运动，不与 E 点重合，同时，点 H 以同样的速度从 BCDEF 上运动，不与 F 点重合，连接 GF、AH 交于点 I； （1）求E 的度数 （2）如图 1，IJ 是FIH 的角平分线，过 F 点作 IJ 的垂线，垂足为 J，当 FI 是AFJ 的角平分线时， 求证 AIIJ （3）如图 2，过 B 点作
28、FG 的平行线，交直线 AH 于点 L，当 G 在运动的过程中，写出 FI、AL、AI 之 间的数量关系，并给出证明 【解答】解： （1）由多边形内角和公式得：E120， （2）如图 1，正六边形 ABCDEF， FABABC120，AFAB6， 点 G，H 均以每秒为 1 的速度同时分别沿着 ABCDE 和 BCDEF 上运动， AGBH， 在ABH 和FAG 中， ， ABHFAG（SAS） ， BAHAFG， AIGFAI+AFIFAI+BAH120， FIHAIG120，AIF60， IJ 是FIH 的角平分线， JIFFIH60， AIFJIF， FI 是AFJ 的角平分线， AFI
29、JFI， 在AIF 和JIF 中， ， AIFJIF（ASA） ， AIIJ； （3）当点 G 在 ABC 上运动时， 始终有AFGBAH， AFG+FAIBAH+FAI120， FIA60，AIG120， BLFG， ALBAIG120， 如图 2，在 IF 上截取 IM，使 MIAI， FIA60， AMI 是等边三角形， IMIAAM，AMI60， AMF120ALB， 在AFM 和BAL 中， ， AFMBAL（AAS） ， FMAL， FIFM+MIAL+AI； 当点 G 在 CDE 上运动时，同样AFGBAH， AFG+FAIBAH+FAI120， 如图 3，在射线 IF 上截取
30、IM，使 MIAI， 故AMI 是等边三角形， 在AFM 和BAL 中， ALBAMF60， AFMBAL，AFAB， AFMBAL（AAS） ， FMAL FIMIFMAIAL， 综上所述，FIAL+AI 或 FIAIAL 24 （10 分）我们不妨约定：二次函数 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A、B 两点，其中 C 为顶点，当 ABC 为等腰直角三角形时，我们称二次函数为“等腰直角函数” （1）证明 y为“等腰直角函数” ； （2）如图 1，在（1）的“等腰直角函数”图象中，过 AB 中点 F 的直线 l1与二次函数相交于 D，E 两点， 求CDE 面积的最小值； （3）如图
31、2，M、N 为“等腰直角函数”y2 上不重合的两个动点，且关于过原点的直线 l2对 称，当点 M 的横坐标为 1 时，求出点 N 的坐标 【解答】解： （1）由题意得：时， 解得：x11，x25， 故 A（1，0）B（5，0）C（3，2） ， ， 故 AC2+BC2AB2， ABC 是等腰直角三角形， y为“等腰直角函数” ； （2）设直线 l1的解析式为 ykx+b，D（x1，y1） ，E（x2，y2） ， 直线 l1经过点 F（3，0） ， 则直线 l1的解析式为 ykx3k， 由， 可得：， x1+x22（3+k） ，x1x25+6k， ， ， ， 当 k0 时，CDE 的面积有最小值为
32、 4； （3）根据“等腰直角函数”y2 可设， M 的横坐标为 1， 易得， N、M 关于直线 l2对称， OMON 即， 解得：， 当， 当， 当（M、N 不重合所以不合题意舍去） ， 当， 综上所述，N 点的坐标为（，）或或 25 （10 分）如图，已知 A（5，0） ，点 B 在第一象限内以 OA 为半径的圆上运动点 C 是OAB 的外心， 延长 BC 交 x 轴于点 D （1）求证：BOA2OBD （2）当BDA 为等腰三角形时，求BAD 的大小 （3）当 D 点坐标为（2，0） ，求 AB 的长 【解答】解： （1）连接 OC、CA， C 是OAB 的外心 ACBCOC， 点 C 在
33、 AB 的垂直平分线上 同理可得：点 O 也在 AB 的垂直平分线上 直线 CO 为线段 AB 的对称轴 BOCAOC， BOA2BOC COCB， BOCOBD， BOA2OBD； （2）当 ABAD 时， 设OBDx，则BOA2x， BDAOBD+BOA3xDBA OABOBAOBD+DBA4x 在ABD 中，由三角形内角和等于 180可得：3x+3x+4x180， 解得：x18， BAD41872； 当 BDBA 时， 设OBDx，则BOA2x， BDAOBD+BOA3xBAD OBABAD3x 在ABO 中，由三角形内角和等于 180， 3x+3x+2x180， x22.5， BAD322.567.5 当 ADBD 时，不存在， 综上所述，ADB72或 67.5； （3）过 O 点作 OEAB，延长 BD 交 OE 于点 E，延长 OC 交 AB 于点 H， 则， ， 设 OCBC4a，则 CH3a， BH2OB2OH2BC2CH2， 即：2549a216a29a2， ， ，
