1、2021 年湖南省长沙市中考数学学业模拟试卷（二） 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，共计 36 分） 1.下列四个数中，最大的负数是（ ） A2 B1 C1 D2 2.的平方根是（ ） A4 B4 C2 D+2 3.用四舍五入法将数 3.14159 精确到千分位的结果是（ ） A3.1 B3.14 C3.142 D3.141 4.下列各选项中因式分解正确的是（ ） Ax21（x1）2 Ba32a2+aa2（a2） C2y2+4y2y（y+2） Dm2n2mn+nn（m1）2 n（m1）2，正确 故选：D 5.在平面直角坐标系中，点 G 的坐标是（2，1） ，连接 OG，将线段 OG
2、 绕原点 O 顺时针旋转 90，得到 对应线段 OG，则点 G的坐标为（ ） A （2，1） B （1，2） C （2，1） D （1，2） 6.某校九年级进行了 3 次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁 4 名同学 3 次数学成绩的平均分都是 129 分，方差 分别是 s甲 23.6，s 乙 24.6，s 丙 26.3，s 丁 27.3，则这 4 名同学 3 次数学成绩最稳定的是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 7.若 m2+2m1，则 4m2+8m3 的值是（ ） A4 B3 C2 D1 8.如图，在 RtABC 中，ACB90，A50，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交 AB 于点 D，
3、连接 CD，则ACD 的度数是（ ） A50 B40 C30 D20 9.长沙电视塔位于岳麓山顶峰， 其功能集广播电视信号发射与旅游观光于一身某校数学社团的同学对长沙电 视塔的高度进行了测量，如图，他们在 A 处仰望塔顶，测得仰角为 30，再往塔的方向前进 104m 至 B 处， 测得仰角为 60， 若学生的身高忽略不计，1.7，结果精确到 1m， 则该塔的高度 CD 为（ ） A81m B85m C88m D93m 10.如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，连接 AE若 BC5，AC4，则 ACE 的周长为（ ） A9 B10 C13 D14 11.
4、如图，要拧开一个边长为 a（a6mm）的正六边形，扳手张开的开口 b 至少为（ ） A4mm B6mm C4mm D12mm 12.如图，在平面直角坐标系中，直线 y3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，点 C 的坐标为（5，0） ， 点 P 为坐标平面内一点，CP2，连接 AP、BP，当点 P 运动到某一位置时，BP+AP 有最小值，则最 小值是（ ） A B C5 D 二、填空题（共 4 小题，每小题 3 分，共计 12 分） 13.在一个不透明的盒子中装有 a 个除颜色外完全相同的球，其中只有 6 个白球若每次将球充分搅匀后， 任意摸出 1 个球记下颜色后再放回盒子，通过大
5、量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在 20%左右， 则 a 的值约为 14.函数 y的自变量 x 的取值范围 15.如图，在正方形 ABCD 中，DE 平分CDB，EFBD 于点 F若 BE，则此正方形的边长为 16.如图，在平面直角坐标系中，已知直线 ykx（k0）分别交反比例函数 y和 y在第一象限的图 象于点 A，B，过点 B 作 BDx 轴于点 D，交 y的图象于点 C，连接 AC若ABC 是等腰三角形， 则 k 的值是 三、解答题（共 9 小题，第 17、18、19 题每题 6 分，第 20、21 题每题 8 分，第 22、23 题每题 9 分，第 24、25 题每题 10 分，共
6、 72 分） 17.计算：（2）0+|1|+2cos30 18.先化简，再求值：，其中 a+2 19.解不等式组：，并将解集在数轴上表示出 来 20.新学期复学后， 学校为了保障学生的出行安全， 随机调查了部分学生的上学方式 （每位学生从乘私家车、 坐公交、 骑车和步行 4 种方式中限选 1 项） ， 根据调查数据制作了如图所示的不完整的统计表和扇形统计 图 上学方式统计表 上学方式 人数 乘私家车 42 坐公交 54 骑车 a 步行 b （1）本次学校共调查了 名学生，a ，m ； （2）求扇形统计图中“步行”对应扇形的圆心角； （3）甲、乙两位同学住在同一小区，且都坐公交车上学，有 A、B
7、、C 三路公交车途径该小区和学校， 假设甲、乙两位同学坐这三路公交车是等可能的，请用列表或画树状图的方法求某日甲、乙两位同学坐 同一路公交车到学校的概率 21.如图，在ABC 中，BC，过 BC 的中点 D 作 DEAB，DFAC，垂足分别为点 E、F （1）求证：DEDF； （2）若B50，求BAC 的度数 22.口味虾是长沙网红美食之一，步行街某口味虾店“五一黄金周”期间，来店内就餐选择微辣和不辣两种 口味虾的游客共 2500 人，其中微辣和不辣两种口味虾的人均消费分别为 80 元和 60 元 （1） “五一”期间，若选择微辣口味虾的人数是不辣口味虾人数的 1.5 倍，求有多少人选择不辣口
8、味虾？ （2）随着“五一”的结束，前来店里就餐的人数逐渐减少，据接下来的第二周统计数据显示，在（1） 的条件下，选择微辣口味虾的人数下降了 a%，选择不辣口味虾的人数不变，但选择微辣口味虾的人均消 费增长了 a%，选择不辣口味虾的人均消费增长了a%，最终销售总额为 18 万元，求 a 的值 23.如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 为 BA 延长线上一点，ACDB （1）求证：DC 为O 的切线； （2）线段 DF 分别交 AC，BC 于点 E，F 且CEF45，O 的半径为 5，sinB，求 CF 的长 24.定义：经过三角形一边中点，且平分三角形周长的直线叫做这个三角形在该边上
9、的中分线，其中落在三 角形内部的部分叫做中分线段 （1）如图，ABC 中，ACAB，DE 是ABC 在 BC 边上的中分线段，F 为 AC 中点，过点 B 作 DE 的 垂线交 AC 于点 G，垂足为 H，设 ACb，ABc 求证：DFEF； 若 b6c4，试说明 ABAG，并求出 CG 的长度； （2）若题（1）中，SBDHSEGH，求的值 25.如图，直线 y2x+4 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，抛物线 yax2+bx+c（a0）经过点 A、E，点 E 的坐标是（5，3） ，抛物线交 x 轴于另一点 C（6，0） （1）求抛物线的解析式 （2）设抛物线的顶点为 D，连接 BD，
10、AD，CD，动点 P 在 BD 上以每秒 2 个单位长度的速度由点 B 向 点 D 运动， 同时动点 Q 在线段 CA 上以每秒 3 个单位长度的速度由点 C 向点 A 运动， 当其中一个点到达 终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为 t 秒，PQ 交线段 AD 于点 H 当DPHCAD 时，求 t 的值； 过点 H 作 HMBD，垂足为点 M，过点 P 作 PNBD 交线段 AB 或 AD 于点 N在点 P、Q 的运动过 程中，是否存在以点 P，N，H，M 为顶点的四边形是矩形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理 由 2021 年湖南省长沙市中考数学学业模拟试卷（二）
11、一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，共计 36 分） 1.下列四个数中，最大的负数是（ ） A2 B1 C1 D2 【考点】正数和负数；有理数大小比较 【专题】实数；数感 【答案】B 【分析】有理数大小比较方法：正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数两个负数比较大小， 绝对值大的反而小据此判断即可 【解答】解：21012， 其中最大的负数是1 故选：B 2.的平方根是（ ） A4 B4 C2 D+2 【考点】平方根；算术平方根 【答案】C 【分析】根据算术平方根的意义，可得 16 的算术平方根，再根据平方根的意义，可得答案 【解答】解：4，2， 故选：C 3.用四舍五入法将数
12、 3.14159 精确到千分位的结果是（ ） A3.1 B3.14 C3.142 D3.141 【考点】近似数和有效数字 【专题】实数；数感 【答案】C 【分析】把万分位上的数字 5 进行四舍五入 【解答】解：3.14159 精确到千分位的结果是 3.142 故选：C 4.下列各选项中因式分解正确的是（ ） Ax21（x1）2 Ba32a2+aa2（a2） C2y2+4y2y（y+2） Dm2n2mn+nn（m1）2 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【专题】整式 【答案】D 【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断即可 【解答】解：A、x21（x+1） （x1） ，故此选项
13、错误； B、a32a2+aa（a1）2，故此选项错误； C、2y2+4y2y（y2） ，故此选项错误； D、m2n2mn+nn（m1）2，正确 故选：D 5.在平面直角坐标系中，点 G 的坐标是（2，1） ，连接 OG，将线段 OG 绕原点 O 顺时针旋转 90，得到 对应线段 OG，则点 G的坐标为（ ） A （2，1） B （1，2） C （2，1） D （1，2） 【考点】坐标与图形变化旋转 【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；推理能力 【答案】B 【分析】利用图象法求解即可 【解答】解：如图，观察图象可知 G（1，2） 故选：B 6.某校九年级进行了 3 次数学模拟考试，甲、乙、
14、丙、丁 4 名同学 3 次数学成绩的平均分都是 129 分，方差 分别是 s甲 23.6，s 乙 24.6，s 丙 26.3，s 丁 27.3，则这 4 名同学 3 次数学成绩最稳定的是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 【考点】方差 【专题】统计的应用；数据分析观念 【答案】A 【分析】根据方差的意义求解可得 【解答】解：s甲 23.6，s 乙 24.6，s 丙 26.3，s 丁 27.3，且平均数相等， s甲 2s 乙 2s 丙 2s 丁 2， 这 4 名同学 3 次数学成绩最稳定的是甲， 故选：A 7.若 m2+2m1，则 4m2+8m3 的值是（ ） A4 B3 C2 D1 【考点】代数式
15、求值 【专题】整式 【答案】D 【分析】把代数式 4m2+8m3 变形为 4（m2+2m）3，再把 m2+2m1 代入计算即可求出值 【解答】解：m2+2m1， 4m2+8m3 4（m2+2m）3 413 1 故选：D 8.如图，在 RtABC 中，ACB90，A50，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交 AB 于点 D， 连接 CD，则ACD 的度数是（ ） A50 B40 C30 D20 【考点】等腰三角形的性质 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力 【答案】D 【分析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论 【解答】解：在 RtABC 中，ACB90，A50， B40，
16、 BCBD， BCDBDC（18040）70， ACD907020， 故选：D 9.长沙电视塔位于岳麓山顶峰， 其功能集广播电视信号发射与旅游观光于一身某校数学社团的同学对长沙电 视塔的高度进行了测量，如图，他们在 A 处仰望塔顶，测得仰角为 30，再往塔的方向前进 104m 至 B 处， 测得仰角为 60， 若学生的身高忽略不计，1.7，结果精确到 1m， 则该塔的高度 CD 为（ ） A81m B85m C88m D93m 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力 【答案】C 【分析】由题意易得：A30，DBC60，DCAC，即可证得ABD 是等腰三角
17、形，然后利用 三角函数，求得答案 【解答】解：根据题意得：A30，DBC60，DCAC， ADBDBCA30， ADBA30， BDAB104m， CDBDsin601045288（m） ， 故选：C 10.如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，连接 AE若 BC5，AC4，则 ACE 的周长为（ ） A9 B10 C13 D14 【考点】线段垂直平分线的性质 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力 【答案】A 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到 EAEB，根据三角形的周长公式计算即可 【解答】解：DE 是线段 AB 的垂直平分线， EAEB， A
18、CE 的周长EA+EC+ACEB+EC+ACBC+AC9， 故选：A 11.如图，要拧开一个边长为 a（a6mm）的正六边形，扳手张开的开口 b 至少为（ ） A4mm B6mm C4mm D12mm 【考点】正多边形和圆 【答案】B 【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的 2 倍构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三 角形，且其半边所对的角是 30 度，再根据锐角三角函数的知识求解 【解答】解：设正多边形的中心是 O，其一边是 AB， AOBBOC60， OAOBABOCBC， 四边形 ABCO 是菱形， AB6mm，AOB60， cosBAC， AM63（mm） ， OAOC，且A
19、OBBOC， AMMCAC， AC2AM6（mm） 解法 2：连接 OC、OD，过 O 作 OMCD 于 M，如图 1 所示： 则COD60， COM906030，OCD 是等边三角形， OCODCD6mm， OMCD， CMDMCD3（mm） ，OMCM3（mm） ， b2OM6（mm） ， 故选：B 12.如图，在平面直角坐标系中，直线 y3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，点 C 的坐标为（5，0） ， 点 P 为坐标平面内一点，CP2，连接 AP、BP，当点 P 运动到某一位置时，BP+AP 有最小值，则最 小值是（ ） A B C5 D 【考点】一次函数的性质；一次函
20、数图象上点的坐标特征；轴对称最短路线问题 【专题】几何图形；推理能力 【答案】C 【分析】由 CP2 可知 P 在以 C 为圆心、2 为半径的圆上，然后取 CD 的中点 E，构造相似三角形，使 其相似比为，从而构造出，再根据两点之间，线段最短来解决问题即可 【解答】解：点 P 为坐标平面内一点，CP2， 点 P 在以 C 为圆心、2 为半径的圆上， 如图，设C 交 x 轴上一点为 C， 取 CD 的中点 E， ， ， 且ECPPCA， CPECAP， ， ， BP+BP+PE， 当 B、P、E 三点共线时，BP+PEBE 最小， 直线 y3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点， A
21、（1，0） ，B（0，3） ， OB3，OE4， 在 RtBOE 中，由勾股定理得： BE 故选：C 二、填空题（共 4 小题，每小题 3 分，共计 12 分） 13.在一个不透明的盒子中装有 a 个除颜色外完全相同的球，其中只有 6 个白球若每次将球充分搅匀后， 任意摸出 1 个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在 20%左右， 则 a 的值约为 【考点】利用频率估计概率 【专题】概率及其应用 【答案】见试题解答内容 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球 的频率稳定在 20%左右得到比例关系，列出方程求解即
22、可 【解答】解：由题意可得，100%20%， 解得，a30 故答案为：30 14.函数 y的自变量 x 的取值范围 【考点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围 【答案】见试题解答内容 【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两部分根据二次根式的 意义，被开方数 x10；根据分式有意义的条件，x30，则函数的自变量 x 取值范围就可 以求出 【解答】解：根据题意得： 解得 x1 且 x3， 即：自变量 x 取值范围是 x1 且 x3 15.如图，在正方形 ABCD 中，DE 平分CDB，EFBD 于点 F若 BE，则此正方形的边长为 【考点】
23、角平分线的性质；正方形的性质 【专题】矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力 【答案】见试题解答内容 【分析】由正方形的性质得CBD45，解直角三角形得 EF，由角平分线的性质得 CE，进而得正方 形的边长 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， BCD90，CBD45， EFBD 于点 FBE， EFBEsin451， DE 平分CDB， CEEF1， BC+1 故答案为：+1 16.如图，在平面直角坐标系中，已知直线 ykx（k0）分别交反比例函数 y和 y在第一象限的图 象于点 A，B，过点 B 作 BDx 轴于点 D，交 y的图象于点 C，连接 AC若ABC 是
24、等腰三角形， 则 k 的值是 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【专题】方程思想；反比例函数及其应用 【答案】见试题解答内容 【分析】联立 ykx、y并解得：点 A（，2） ，同理点 B（，3） ，点 C（，） ， 分 ABBC、ACBC 两种情况分别求解即可 【解答】解：联立 ykx、y并解得：点 A（，2） ，同理点 B（，3） ， 点 C（，） ，ABAC， 当 ABBC 时， （）2+（32）2（3）2，解得：k（舍去负值） ； 当 ACBC 时，同理可得： （） 2+（3 2） 2（3 ） 2，解得：k （舍 去负值） ； 故答案为：或 三、解答题（共 9 小题，第 17、18
25、、19 题每题 6 分，第 20、21 题每题 8 分，第 22、23 题每题 9 分，第 24、25 题每题 10 分，共 72 分） 17.计算：（2）0+|1|+2cos30 【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值 【专题】常规题型 【答案】见试题解答内容 【分析】本题涉及开平方、零次幂、绝对值、特殊角的三角函数，在计算时，需要针对每个考点分别进 行计算，然后再根据实数的运算法则求得计算结果 【解答】解：原式31+1+2， 31+1+， 52 18.先化简，再求值：，其中 a+2 【考点】分式的化简求值 【专题】分式；运算能力 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据分式的混合运
26、算顺序和运算法则化简原式，再将 a 的值代入计算可得 【解答】解：原式 ， 当 a+2 时， 原式 19.解不等式组：，并将解集在数轴上表示出 来 【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组 【专题】一元一次不等式(组)及应用；运算能力 【答案】见试题解答内容 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在 数轴上即可 【解答】解：， 由得：x5， 由得：x4， 不等式组的解集为4x5， 20.新学期复学后， 学校为了保障学生的出行安全， 随机调查了部分学生的上学方式 （每位学生从乘私家车、 坐公交、 骑车和步行 4 种方式中限选 1 项）
27、 ， 根据调查数据制作了如图所示的不完整的统计表和扇形统计 图 上学方式统计表 上学方式 人数 乘私家车 42 坐公交 54 骑车 a 步行 b （1）本次学校共调查了 名学生，a ，m ； （2）求扇形统计图中“步行”对应扇形的圆心角； （3）甲、乙两位同学住在同一小区，且都坐公交车上学，有 A、B、C 三路公交车途径该小区和学校， 假设甲、乙两位同学坐这三路公交车是等可能的，请用列表或画树状图的方法求某日甲、乙两位同学坐 同一路公交车到学校的概率 【考点】统计表；扇形统计图；列表法与树状图法 【专题】概率及其应用；应用意识 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）依据乘公交车的人数以及百分
28、比，即可得到本次调查共抽取的人数，根据本次调查共抽取 的人数乘以骑车的百分比即可得到结论； （2）依据“步行”的百分比乘以 360，即可得到结论； （3）根据题意画树状图即可得到结论 【解答】解： （1）本次学校共调查了 5436%150 名学生，a15016%24（名） ，m100 28； 故答案为：150，24，28； （2）扇形统计图中“步行”对应扇形的圆心角为 360（136%28%16%）72； （3）画树状图如图所示， 共有 9 种等可能的结果，甲、乙两位同学坐同一路公交车的有 3 种情况， 甲、乙两位同学坐同一路公交车的概率为 21.如图，在ABC 中，BC，过 BC 的中点 D
29、 作 DEAB，DFAC，垂足分别为点 E、F （1）求证：DEDF； （2）若B50，求BAC 的度数 【考点】等腰三角形的性质 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力 【答案】 （1）证明过程见解析 （2）80 【分析】 （1）根据 DEAB，DFAC 可得BEDCFD90，由于BC，D 是 BC 的中点， AAS 求证BEDCFD 即可得出结论 （2）根据直角三角形的性质求出B50，根据等腰三角形的性质即可求解 【解答】 （1）证明：DEAB，DFAC， BEDCFD90， D 是 BC 的中点， BDCD， 在BED 与CFD 中， ， BEDCFD（AAS） ， DEDF； （2）
30、解：B50， CB50， BAC180505080 22.口味虾是长沙网红美食之一，步行街某口味虾店“五一黄金周”期间，来店内就餐选择微辣和不辣两种 口味虾的游客共 2500 人，其中微辣和不辣两种口味虾的人均消费分别为 80 元和 60 元 （1） “五一”期间，若选择微辣口味虾的人数是不辣口味虾人数的 1.5 倍，求有多少人选择不辣口味虾？ （2）随着“五一”的结束，前来店里就餐的人数逐渐减少，据接下来的第二周统计数据显示，在（1） 的条件下，选择微辣口味虾的人数下降了 a%，选择不辣口味虾的人数不变，但选择微辣口味虾的人均消 费增长了 a%，选择不辣口味虾的人均消费增长了a%，最终销售总
31、额为 18 万元，求 a 的值 【考点】一元二次方程的应用 【专题】一元二次方程及应用；应用意识 【答案】 （1）1000 人； （2）10 【分析】 （1）设有 x 人选择不辣口味虾，则有（2500 x）人选择微辣口味虾，根据选择微辣口味虾的人 数是不辣口味虾人数的 1.5 倍，列出方程可求解； （2）根据最终销售总额为 18 万元，即可得出关于 a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论 【解答】解： （1）设有 x 人选择不辣口味虾，则有（2500 x）人选择微辣口味虾， 依题意，得：2500 x1.5x， 解得：x1000 答：1000 人选择不辣口味虾 （2）依题意，得：80（1+
32、a%）（25001000） （1a%）+60（1+a%）1000180000， 整理，得：12a2120a0， 解得：a110，a20（不合题意，舍去） 答：a 的值为 10 23.如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 为 BA 延长线上一点，ACDB （1）求证：DC 为O 的切线； （2）线段 DF 分别交 AC，BC 于点 E，F 且CEF45，O 的半径为 5，sinB，求 CF 的长 【考点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形 【专题】与圆有关的位置关系 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）根据圆周角定理得：ACBBCO+OCA90，根据
33、同圆的半径相等和已知相等的角 代换可得：OCD90，可得结论； （2）先根据三角函数计算 AC6，BC8，证明CADBCD，得，设 AD3x，CD 4x，利用勾股定理列方程可得 x 的值，证明CEDBFD，列比例式可得 CF 的长 【解答】 （1）证明：连接 OC， AB 为O 的直径， ACBBCO+OCA90， OBOC， BBCO， ACDB， ACDBCO， ACD+OCA90，即OCD90， DC 为O 的切线； （2）解：RtACB 中，AB10， sinB， AC6，BC8， ACDB，ADCCDB， CADBCD， ， 设 AD3x，CD4x， RtOCD 中，OC2+CD2O
34、D2， 52+（4x）2（5+3x）2， x0（舍）或， CEF45，ACB90， CECF， 设 CFa， CEFACD+CDE， CFEB+BDF， CDEBDF， ACDB， CEDBFD， ， ，a， CF 24.定义：经过三角形一边中点，且平分三角形周长的直线叫做这个三角形在该边上的中分线，其中落在三 角形内部的部分叫做中分线段 （1）如图，ABC 中，ACAB，DE 是ABC 在 BC 边上的中分线段，F 为 AC 中点，过点 B 作 DE 的 垂线交 AC 于点 G，垂足为 H，设 ACb，ABc 求证：DFEF； 若 b6c4，试说明 ABAG，并求出 CG 的长度； （2）若
35、题（1）中，SBDHSEGH，求的值 【考点】三角形综合题 【专题】几何综合题；应用意识 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）利用三角形的中位线定理以及三角形中分线段的定义解决问题即可 根据等角的余角相等证明FOGFGO，再证明 ABGFOG 可得结论 （2）如图 2 中，过点 E 作 ENBC 于 N，过点 G 作 GMBC 于 M由 SBDHSEGH，推出 SBCGS ECD，可得BCGMCDEN，由 BC2CD，推出 EN2GM，用 b，c 表示出 CG，AG，根据 AC b，构建关系式即可解决问题 【解答】 （1）证明：BDDC，AFCF， DFABc， DE 是ABC 的中分线段
36、， CD+CF+EFBC+AC+AB， CDBC，CFAC， EFABc， DFEF 证明：如图设 BG 交 DF 于 O DFEF， FEDFDE， BGDE， EHGDHO90， FED+EGH90，FDE+HOD90， HODFOG， FOGFGO， BDDC，AFCF， DFAB， ABGFOG， ABGAGB， ABAG， ABAG4，AC6， CGACAG642 （2）解：如图 2 中，过点 E 作 ENBC 于 N，过点 G 作 GMBC 于 M SBDHSEGH， SBCGSECD， BCGMCDEN， BC2CD， EN2GM， ENGM， EGCG，MNCM， EFc，CF
37、AFb， EC， CGEC， ABAGc，AG+GCb， c+b， 4c+b+c4b， 5c3b， 25.如图，直线 y2x+4 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，抛物线 yax2+bx+c（a0）经过点 A、E，点 E 的坐标是（5，3） ，抛物线交 x 轴于另一点 C（6，0） （1）求抛物线的解析式 （2）设抛物线的顶点为 D，连接 BD，AD，CD，动点 P 在 BD 上以每秒 2 个单位长度的速度由点 B 向 点 D 运动， 同时动点 Q 在线段 CA 上以每秒 3 个单位长度的速度由点 C 向点 A 运动， 当其中一个点到达 终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间
38、为 t 秒，PQ 交线段 AD 于点 H 当DPHCAD 时，求 t 的值； 过点 H 作 HMBD，垂足为点 M，过点 P 作 PNBD 交线段 AB 或 AD 于点 N在点 P、Q 的运动过 程中，是否存在以点 P，N，H，M 为顶点的四边形是矩形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理 由 【考点】二次函数综合题 【专题】代数几何综合题；压轴题；动点型；存在型；几何直观；运算能力；推理能力；应用意识 【答案】 （1）yx2+8x12； （2）t； 当以点 P，N，H，M 为顶点的四边形是矩形时，t 的值为 1 【分析】 （1）先由直线解析式求得点 A、B 坐标，根据两点式设抛物线解析
39、式，将点 E 坐标代入抛物线 解析式求得 a 的值，从而得出答案； （2）由点 A，点 B，点 C，点 D 坐标可求 ADCD，BDOC，可证四边形 PDQC 是平行四边形，可 得 PDCQ，即 3t42t，解之即可； 分点 N 在 AB 上和点 N 在 AD 上两种情况分别求解 【解答】解： （1）在直线 y2x+4 中， 令 x0 时，y4， 点 B 坐标（0，4） ， 令 y0 时，得：2x+40， 解得：x2， 点 A（2，0） ， 抛物线经过点 A（2，0） ，C（6，0） ，E（5，3） ， 可设抛物线解析式为 ya（x2） （x6） ， 将 E（5，3）代入，得：3a（52） （
40、56） ， 解得：a1， 抛物线解析式为：y（x2） （x6）x2+8x12； （2）抛物线解析式为：yx2+8x12（x4）2+4， 顶点 D（4，4） ， 点 B 坐标（0，4） ， BDOC，BD4， yx2+8x12 与 x 轴交于点 A，点 C， 点 C（6，0） ，点 A（2，0） ， AC4， 点 D（4，4） ，点 C（6，0） ，点 A（2，0） ， ADCD2， DACDCA， BDAC， DPHPQA， 且DPHDAC， PQADAC， PQDC，且 BDAC， 四边形 PDCQ 是平行四边形， PDQC， 42t3t， t； 存在以点 P，N，H，M 为顶点的四边形是矩形，此时 t1 如图，若点 N 在 AB 上时，即 0t1， BDOC， DBAOAB， 点 B 坐标（0，4） ，A（2，0） ，点 D（4，4） ， ABAD2，OA2，OB4， ABDADB， tanOABtanDBA， PN2BP4t， MHPN4t， tanADBtanABD2， MD2t， DH2t， AHADDH22t， BDOC， ， ， 5t210t+40， t11+（舍去） ，t21； 若点 N 在 AD 上，即 1t， PNMH， 点 E、N 重合，此时以点 P，N，H，M 为顶点的矩形不存在， 综上所述：当以点 P，N，H，M 为顶点的四边形是矩形时，t 的值为 1
