1、2021 年湖南省长沙市中考数学仿真模拟试卷年湖南省长沙市中考数学仿真模拟试卷 一、单选题（本大题共一、单选题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1下列各组数中，不相等的一组是（ ） A （2）3和23 B （2）2和22 C+（2）和2 D|2|3和|2|3 2如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3新型冠状病毒肺炎是 21 世纪全人类面临的灾难，面对突发的疫情，我国政府积极开展防疫工作，经过 全国人民艰苦卓绝的努力，防疫工作取得了重大战略成果，截止到 2020 年 12 月 24 日，我国累计确诊 96074
2、例，累计治愈 89743 例，将 96074 用科学记数法表示应为（ ） A9.6074105 B9.6074104 C96.074103 D0.96074105 4下列计算正确的是（ ） Aa2+a4a6 B2a4a8a C （a2）3a6 Da8a2a4 5在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也随之 改变密度 （单位：kg/m3）与体积 V（单位：m3）满足函数关系式 （k 为常数，k0） ，其图象 如图所示，则 k 的值为（ ） A9 B9 C4 D4 6直升飞机在离地面 2000 米的上空测得上海东方明珠底部的俯角为 30，此时直升飞机与
3、上海东方明珠 底部之间的距离是（ ） A2000 米 B米 C4000 米 D米 7不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 8下列事件中，是必然事件的是（ ） A任意掷一枚骰子一定出现奇数点 B彩票中奖率 20%，买 5 张一定中奖 C晚间天气预报说明天有小到中雪 D在 13 个同学中至少有 2 人生肖相同 9下列说法：a 必是负数；绝对值最小的数是 0；在数轴上，原点两旁的两个点表示的数必互为 相反数；在数轴上，左边的点比右边的点所表示的数大，其中正确的有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 10如图，EFBC，AC 平分BAF，B80，C（ ）度 A40 B45
4、 C50 D55 11为了加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区要对全长 4000 米的道路进行改造，为了尽量减少施工 对交通的影响，施工队的工作效率增加了 30%，结果提前 7 天完成，设施工队原计划每天铺 x 米，则下 列方程正确的是（ ） A B C D 12如图所示，已知ABC 与DEF 均为等边三角形，且 AB2，DB1，现ABC 静止不动，DEF 沿 着直线 EC 以每秒 1 个单位的速度向右移动设DEF 移动的时间为 x， DEF 与ABC 重合的面积为 y， 则能大致反映 y 与 x 函数关系的图象是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，
5、每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 13如图，国内截至目前部分地区新冠肺炎治愈出院人数，则这组数据的中位数是 地区 湖北省 中国香 港 中国台 湾 上海市 北京市 删东省 河北省 浙江省 治愈 63612 173 50 348 434 1368 310 1228 14我国上海的“磁悬浮”列车，依靠“磁悬浮”技术使列车悬浮在轨道上行驶，从而减小阻力，因此列 车时速可超过 400 公里现在一个轨道长为 180cm 的“磁悬浮”轨道架上做钢球碰撞实验，如图所示， 轨道架上安置三个大小、质量完全相同的钢球 A、B、C、左右各有一个钢制挡板 D 和 E，其中 C 到左挡 板的距离为
6、40cm，B 到右挡板的距离为 50cm，A、B 两球相距 30cm碰撞实验中（钢球大小、相撞时间 不记） ，钢球的运动都是匀速的，当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位 置， 被撞钢球则以同样的速度向前运动， 钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动， 现 A 球以每秒 10cm 的速度向右匀速运动 （1） 秒后 B 球第二次撞向右挡板 E； （2） 秒后 B 球第 n（n 为正整数）次撞向右挡板 E 15已知圆锥的轴截面是边长为 6 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是 16如图，ABC 中，AD 平分BAC，ACB3B，CEAD，AC8，BCBD，则 CE 三、解答题
7、（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题，共分）个小题，共分） 17 （8 分）计算： （1）0|+（1）2018（） 1 18 （8 分）先化简，再求值： （），其中 a2 19 （8 分）如图，已知ABC 中，BAC90，ABAC，D、E 是 BC 边上的点，将ABD 绕点 A 旋转， 得到ACD （1）求DAD的度数 （2）当DAE45时，求证：DEDE； 20 （8 分）某数学小组将课外书大概分四类： “文学名著” 、 “科普” 、 “人文社科”和“猎奇类” ，在校内对 你最喜欢读的一类书进行调查，随机调查了若干人（每名学生必选一种且只能从这四项中选择一项） ，并 将调查结果绘制成不
8、完整的统计图 （1）求本次共抽查了多少名学生； （2）请补全条形统计图，并求出“科普”类书在扇形统计图中圆心角的度数； （3）若该学校共有 2000 名学生，请你估计最喜欢读“猎奇类”书的学生有多少名？ 21 （8 分）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 与过 C 点的直线互相垂直，垂足为 D，AC 平分 DAB （1）求证：DC 为O 的切线 （2）若 AD3，DC，求O 的半径 22 （8 分）一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两 种货车的运货情况如表： 第一次 第二次 甲种货车数量 2 辆 5 辆 乙种货车数量 3 辆 6 辆
9、累计运货重量 14 吨 32 吨 （1）分别求甲、乙两种货车每辆载重多少吨？ （2） 现租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车刚好一次运完这批货物， 如果按每吨付运费120元计算， 货主应付运费多少元？ 23 （8 分）如图，将一个正方形纸片 AOBC 放置在平面直角坐标系中，点 A（0，6） ，B（6，0） 动点 E 在边 AO 上， 点 F 在边 BC 上， 沿 EF 折叠该纸片， 使点 O 的对应点 M 始终落在边 AC 上 （点 M 不与 A， C 重合） ，点 B 落在点 N 处，MN 与 BC 交于点 P （1）求点 C 的坐标； （2）当点 M 落在 AC 的中点时，求点 E 的坐
10、标； （3）当点 M 在边 AC 上移动时，设 AMt，求点 E 的坐标（用 t 表示） 24 （8 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+2x+3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧） ， 与 y 轴交于点 C，过点 C 作 CDy 轴，交抛物线于点 D，连接 AD （1）点 P 为线段 AD 上方抛物线上的一动点，点 E 是线段 AD 上一动点，连接 PA，PD，PE，当PAD 面积最大时，求 PE+AE 的最小值； （2）在（1）中，PE+AE 取得最小值时，过点 E 作 EFx 轴，垂足为点 F，将AEF 绕点 F 顺时针 旋转 90后得到AEF，点 A、E
11、的对应点分别为 A、E，在直线 AD 上是否存在一点 Q，使得 DEQ 为等腰三角形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 25 （8 分）如图，在 RtABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，O 为 AB 上一点，经过点 A， D 的O 分别交 AB，AC 于点 E，F，连接 OF 交 AD 于点 G （1）求证：BC 是O 的切线； （2）求证：AD2ABAF； （3）若 BE8，sinB，求 AD 的长， 2021 年湖南省长沙市中考数学仿真模拟试卷年湖南省长沙市中考数学仿真模拟试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单选题（本大题共一、单选题（
12、本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1下列各组数中，不相等的一组是（ ） A （2）3和23 B （2）2和22 C+（2）和2 D|2|3和|2|3 【分析】根据有理数的乘方法则和绝对值的性质分别对每一项进行分析，即可得出答案 【解答】解：A、（2）38，238， （2）3和23相等； B、（2）24，224， （2）2和22不相等； C、+（2）2， +（2）和2 相等； D、|2|38，|2|38， |2|3和|2|3相等； 故选：B 2如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形
13、的概念求解 【解答】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形故本选项不合题意； B不是轴对称图形，也不是中心对称图形故本选项不合题意； C既是轴对称图形又是中心对称图形故本选项符合题意； D不是轴对称图形，是中心对称图形故本选项不合题意 故选：C 3新型冠状病毒肺炎是 21 世纪全人类面临的灾难，面对突发的疫情，我国政府积极开展防疫工作，经过 全国人民艰苦卓绝的努力，防疫工作取得了重大战略成果，截止到 2020 年 12 月 24 日，我国累计确诊 96074 例，累计治愈 89743 例，将 96074 用科学记数法表示应为（ ） A9.6074105 B9.6074104 C96.074103
14、 D0.96074105 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：960749.6074104 故选：B 4下列计算正确的是（ ） Aa2+a4a6 B2a4a8a C （a2）3a6 Da8a2a4 【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则、单项式乘单项式的运算法则，以及合并同类项法则和幂的 乘方运算法则分别计算得出答案 【解答】解：A、a2+a4无法计算，故此选项错误； B、
15、2a4a8a2，故此选项错误； C、 （a2 ）3a6，故此选项正确； D、a8a2a6，故选项错误 故选：C 5在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也随之 改变密度 （单位：kg/m3）与体积 V（单位：m3）满足函数关系式 （k 为常数，k0） ，其图象 如图所示，则 k 的值为（ ） A9 B9 C4 D4 【分析】 由图象可知， 反比例函数图象经过点 （6， 1.5） ， 利用待定系数法求出函数解形式即可求得 k 值 【解答】解：由图象可知，函数图象经过点（6，1.5） ， 设反比例函数为 ， 则 1.5， 解得 k9， 故选：A 6直升
16、飞机在离地面 2000 米的上空测得上海东方明珠底部的俯角为 30，此时直升飞机与上海东方明珠 底部之间的距离是（ ） A2000 米 B米 C4000 米 D米 【分析】由题意可知，在直角三角形中，已知角的对边求斜边，可以用正弦函数来计算 【解答】解：根据题意得：直升飞机与上海东方明珠底部之间的距离是 4000 米 故选：C 7不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 【分析】分别求出每一个不等式的解集，结合各选项中解集在数轴上的表示即可 【解答】解：解不等式2x+53，得：x1， 解不等式 3（x1）2x，得：x3， 故原不等式组的解集是 1x3， 在数轴上表示如下所示，
17、故选：A 8下列事件中，是必然事件的是（ ） A任意掷一枚骰子一定出现奇数点 B彩票中奖率 20%，买 5 张一定中奖 C晚间天气预报说明天有小到中雪 D在 13 个同学中至少有 2 人生肖相同 【分析】根据理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可 【解答】解：A、任意掷一枚骰子一定出现奇数点，是随机事件； B、彩票中奖率 20%，买 5 张一定中奖，是随机事件； C、晚间天气预报说明天有小到中雪，是随机事件； D、在 13 名同学中至少有 2 人生肖相同，是必然事件， 故选：D 9下列说法：a 必是负数；绝对值最小的数是 0；在数轴上，原点两旁的两个点表示的数必互为 相反数；在数
18、轴上，左边的点比右边的点所表示的数大，其中正确的有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【分析】根据数轴的性质，相反数的定义，绝对值的意义对各小题分析判断即可得解 【解答】解：a 可能是正数，也可能是负数或 0，错误； 绝对值最小的数是 0，正确； 应为在数轴上，原点两旁的到原点距离相等的两个点所表示的数都是互为相反数，错误； 在数轴上，左边的点比右边的点所表示的数小，错误； 综上所述，判断正确的是 故选：B 10如图，EFBC，AC 平分BAF，B80，C（ ）度 A40 B45 C50 D55 【分析】先根据平行线的性质得出BAF 的度数，再由 AC 平分BAF 求出CAF 的度
19、数，根据平行线 的性质即可得出结论 【解答】解：EFBC， BAF180B100 AC 平分BAF， CAFBAF50， EFBC， CCAF50 故选：C 11为了加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区要对全长 4000 米的道路进行改造，为了尽量减少施工 对交通的影响，施工队的工作效率增加了 30%，结果提前 7 天完成，设施工队原计划每天铺 x 米，则下 列方程正确的是（ ） A B C D 【分析】根据为了尽量减少施工对交通的影响，施工队的工作效率增加了 30%，结果提前 7 天完成，可 以列出相应的分式方程，从而可以解答本题 【解答】解：由题意可得， 7， 故选：D 12如图所示，已
20、知ABC 与DEF 均为等边三角形，且 AB2，DB1，现ABC 静止不动，DEF 沿 着直线 EC 以每秒 1 个单位的速度向右移动设DEF 移动的时间为 x， DEF 与ABC 重合的面积为 y， 则能大致反映 y 与 x 函数关系的图象是（ ） A B C D 【分析】要找出准确反映 y 与 x 之间对应关系的图象，需分析在不同阶段中 y 随 x 变化的情况，由题意 知，在DEF 移动的过程中，重叠部分总为等腰三角形；据此根据重合部分的边长的不同分情况讨论求 解 【解答】解：由题意知：在DEF 移动的过程中，重叠部分总为等腰三角形 当 0 x1 时，如图所示： 此时重合部分（BH）的边长
21、为 x，则 y； 当 1x2 时，如图所示： 此时重合部分的边长为 1，则 y； 当 2x3 时，如图所示： 此时重合部分的边长为 3x，则 y 由以上分析可知，这个分段函数的图象左边为抛物线的一部分且开口向上，中间为一条线段，右边为抛 物线的一部分且开口向上 故选：A 二、填空题（二、填空题（本大题共本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 13如图，国内截至目前部分地区新冠肺炎治愈出院人数，则这组数据的中位数是 391 地区 湖北省 中国香 港 中国台 湾 上海市 北京市 删东省 河北省 浙江省 治愈 63612 173 50 348 434 1368
22、310 1228 【分析】根据中位数的定义，把 8 个数据从大到小排列后，中位数是第 4 和第 5 个数的平均数 【解答】解：把 8 个数据从大到小排列为 63612，1368，1228，434，348，310，173，50， 第 4 和第 5 个数分别是 434，348， 故中位数为（434+348）2391 故答案为：391 14我国上海的“磁悬浮”列车，依靠“磁悬浮”技术使列车悬浮在轨道上行驶，从而减小阻力，因此列 车时速可超过 400 公里现在一个轨道长为 180cm 的“磁悬浮”轨道架上做钢球碰撞实验，如图所示， 轨道架上安置三个大小、质量完全相同的钢球 A、B、C、左右各有一个钢制
23、挡板 D 和 E，其中 C 到左挡 板的距离为 40cm，B 到右挡板的距离为 50cm，A、B 两球相距 30cm碰撞实验中（钢球大小、相撞时间 不记） ，钢球的运动都是匀速的，当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位 置， 被撞钢球则以同样的速度向前运动， 钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动， 现 A 球以每秒 10cm 的速度向右匀速运动 （1） 44 秒后 B 球第二次撞向右挡板 E； （2） （36n+8） 秒后 B 球第 n（n 为正整数）次撞向右挡板 E 【分析】 （1）设 t 秒后第二次撞向右挡板，根据速度时间路程，列方程求解即可； （2）由（1）得出
24、第二次撞向右挡板的时间，根据题意后面再撞向右挡板的间隔时间相同，即可得出第 n 次撞向右挡板的时间 【解答】解： （1）设 t 秒后第二次撞向右挡板， 由题意得：10t30+50+1802， 解得 t44， 故答案为：44； （2）由题知每相邻两次撞击间隔时间相等， 为：18021036（秒） ， 由（1）知第二次撞击时间为 44 秒， 第 n 次撞击右挡板的时间为（36n+4436）（36n+8） ， 故答案为：36n+8 15已知圆锥的轴截面是边长为 6 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是 18 【分析】易得圆锥的底面半径及母线长，那么圆锥的侧面积底面周长母线长2 【解答】解：圆锥的轴截面
25、是一个边长为 6 的等边三角形， 底面半径3，底面周长6， 圆锥的侧面积6618 故答案为：18 16如图，ABC 中，AD 平分BAC，ACB3B，CEAD，AC8，BCBD，则 CE 【分析】延长 CE 交 AB 于 F，过点 D 作 DHAB 于 H，DNAC 于 N，过点 A 作 AMBC 于 M，由 ASA 证得AEFAEC，得出 AFAC8，AFEACE，EFCE，证明BECD，得出 CFBF， 由 BCBD，得出，由三角形面积得出，求出 ABAC，即可得出结果 【解答】解：延长 CE 交 AB 于 F，过点 D 作 DHAB 于 H，DNAC 于 N，过点 A 作 AMBC 于
26、M， 如图所示： CEAD， AEFAEC90， AD 平分BAC， FAECAE，DHDN， 在AEF 与AEC 中， AEFAEC（ASA） ， AFAC8，AFEACE，EFCE， AFCB+ECD， ACFB+ECD， ACB2ECD+B， ACB3B， 2ECD+B3B， BECD， CFBF， BCBD， ， SADBDHABAMBD，SACDDNACAMCD， ， 即， ABAC， CFBF8， CECF， 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题，共分）个小题，共分） 17 （8 分）计算： （1）0|+（1）2018（） 1 【分析】 原式利用零指数幂
27、、 负整数指数幂法则， 绝对值的代数意义， 以及乘方的意义计算即可求出值 【解答】解：原式12+122 18 （8 分）先化简，再求值： （），其中 a2 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案 【解答】解：原式 ， 当 a2 时， 原式4 19 （8 分）如图，已知ABC 中，BAC90，ABAC，D、E 是 BC 边上的点，将ABD 绕点 A 旋转， 得到ACD （1）求DAD的度数 （2）当DAE45时，求证：DEDE； 【分析】 （1）旋转的性质即可得到结论； （2）利用旋转的性质得 ADAD，DADBAC90，再计算出EADDAE45，则 利用“SAS”可判断AEDAED，所以 DE
28、DE 【解答】解： （1）将ABD 绕点 A 旋转，得到ACD DADBAC， BAC90， DAD90； （2）证明：ABD 绕点 A 旋转，得到ACD， ADAD，DADBAC90， DAE45 EADDADDAE904545， EADDAE， 在AED 与AED中， AEDAED（SAS） ， DEDE 20 （8 分）某数学小组将课外书大概分四类： “文学名著” 、 “科普” 、 “人文社科”和“猎奇类” ，在校内对 你最喜欢读的一类书进行调查，随机调查了若干人（每名学生必选一种且只能从这四项中选择一项） ，并 将调查结果绘制成不完整的统计图 （1）求本次共抽查了多少名学生； （2）请
29、补全条形统计图，并求出“科普”类书在扇形统计图中圆心角的度数； （3）若该学校共有 2000 名学生，请你估计最喜欢读“猎奇类”书的学生有多少名？ 【分析】 （1）根据人文社科的人数和所占的百分比求出总人数； （2）用总人数减去其它项目的人数求出科普的人数，补全统计图；用 360乘以“科普”所占的百分比 即可得出“科普”类书在扇形统计图中圆心角的度数； （3）用总人数乘以“猎奇类”所占的百分比即可 【解答】解： （1）本次共抽查的学生有：3535%100（名） ； （2）选择“科普”的人数有：10015351040（人） ， 补全统计图如下： “科普”类书在扇形统计图中圆心角的度数是 3601
30、44； （3）2000200（名） ， 答：最喜欢读“猎奇类”书的学生有 200 名 21 （8 分）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 与过 C 点的直线互相垂直，垂足为 D，AC 平分 DAB （1）求证：DC 为O 的切线 （2）若 AD3，DC，求O 的半径 【分析】 （1）如图，连接 OC，根据已知条件可以证明OCADAC，得 ADOC，由 ADDC，得 OCDC，进而可得 DC 为O 的切线； （2）过点 O 作 OEAC 于点 E，根据 RtADC 中，AD3，DC，可得DAC30，再根据垂 径定理可得 AE 的长，进而可得O 的半径 【解答】解： （1）如图，连接
31、 OC， OAOC， OACOCA， AC 平分DAB， DACOAC， OCADAC， ADOC， ADDC， OCDC， 又 OC 是O 的半径， DC 为O 的切线； （2）过点 O 作 OEAC 于点 E， 在 RtADC 中，AD3，DC， tanDAC， DAC30， AC2DC2， OEAC， 根据垂径定理，得 AEECAC， EAODAC30， OA2， O 的半径为 2 22 （8 分）一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两 种货车的运货情况如表： 第一次 第二次 甲种货车数量 2 辆 5 辆 乙种货车数量 3 辆 6 辆 累计运货
32、重量 14 吨 32 吨 （1）分别求甲、乙两种货车每辆载重多少吨？ （2） 现租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车刚好一次运完这批货物， 如果按每吨付运费120元计算， 货主应付运费多少元？ 【分析】 （1）设甲种货车每辆载重 x 吨，乙种货车每辆载重 y 吨，根据过去两次租用这两种货车的运货 情况表中的数据，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总运费每吨货物所需运费（甲种货车每辆载重租用甲种货车的数量+乙种货车每辆载重 租用乙种货车的数量） ，即可求出结论 【解答】解： （1）设甲种货车每辆载重 x 吨，乙种货车每辆载重 y 吨， 依题意得：， 解得： 答
33、：甲种货车每辆载重 4 吨，乙种货车每辆载重 2 吨 （2）120（43+25）120（12+10）120222640（元） 答：货主应付运费 2640 元 23 （8 分）如图，将一个正方形纸片 AOBC 放置在平面直角坐标系中，点 A（0，6） ，B（6，0） 动点 E 在边 AO 上， 点 F 在边 BC 上， 沿 EF 折叠该纸片， 使点 O 的对应点 M 始终落在边 AC 上 （点 M 不与 A， C 重合） ，点 B 落在点 N 处，MN 与 BC 交于点 P （1）求点 C 的坐标； （2）当点 M 落在 AC 的中点时，求点 E 的坐标； （3）当点 M 在边 AC 上移动时，
34、设 AMt，求点 E 的坐标（用 t 表示） 【分析】 （1）由正方形的性质可得 OBOA6BCAC，ACOB，AOBC，即可求解； （2）设 OEx，则 EMOEx，AE6x，在直角三角形 AEM 中，由勾股定理可求解； （3）设 OEm，则 EMOEm，AE6m，在直角三角形 AEM 中，由勾股定理可求解 【解答】解： （1）四边形 AOBC 是正方形，点 A（0，6） ，B（6，0） ， OBOA6BCAC，ACOB，AOBC， 点 C（6，6） ； （2）点 M 是边 AC 的中点， AMAC3， 由折叠可得 EMOE， 设 OEx，则 EMOEx，AE6x， 在 RtAEM 中，EM
35、2AM2+AE2， 即 x232+（6x）2，解得 x E（0，） ； （3）设 OEm，则 EMOEm，AE6m， 在 RtAEM 中，EM2AM2+AE2， 即 m2t2+（6m）2，解得 x， E（0，） 24 （8 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+2x+3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧） ， 与 y 轴交于点 C，过点 C 作 CDy 轴，交抛物线于点 D，连接 AD （1）点 P 为线段 AD 上方抛物线上的一动点，点 E 是线段 AD 上一动点，连接 PA，PD，PE，当PAD 面积最大时，求 PE+AE 的最小值； （2）在（1）中，PE+A
36、E 取得最小值时，过点 E 作 EFx 轴，垂足为点 F，将AEF 绕点 F 顺时针 旋转 90后得到AEF，点 A、E 的对应点分别为 A、E，在直线 AD 上是否存在一点 Q，使得 DEQ 为等腰三角形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）先求出点 A，B，C，D 的坐标，进而求出直线 AD 的解析式，设 P（m，m2+2m+3） ，PQ m2+2m+3m1m2+m+2， 进而用PAD 面积最大， 求出点 P 的坐标， 再判断出BAD45， 进而判断出 EFAE，得出点 P，E，F 在同一条线上时，PE+AE 取得最小值，即可得出结论； （2） 借助 （1
37、） 的结论判断出 DEx 轴于 E， 再分三种情况利用等腰三角形的性质求解， 即可得出结论 【解答】解： （1）如图 1，针对于抛物线 yx2+2x+3， 令 x0，则 y3， C（0，3） ， 令 y0，则x2+2x+30， x1 或 x3， A（1，0） ，B（3，0） ， CDy 轴， D（2，3） ， 直线 AD 的解析式为 yx+1， 设点 P（m，m2+2m+3） ， 过点 P 作 PQy 轴交 AD 于 H，则 Q（m，m+1） ， PQm2+2m+3m1m2+m+2， SPADPQ（xDxA）（m2+m+2）（2+1）（x）2+， 当 x时，PAD 的面积最大， P（，） ，
38、过点 D 作 DGx 轴于 G， DG3，OG2， AG3， AGDG， DAG45， 过点 E 作 EFx 轴于 F，则 EFAE， 要 PE+AE 最小，则 PE+EF 最小， 点 P，E，F 在同一条线上时， PE+EF 最小值yP， 即 PE+AE 最小值为； （2）如图 2， 由（1）知，点 P，E，F 在同一条线上， EFx 轴， F（，0） ， EFAF（1）， 由旋转知，EFEF， OEOF+EF2， E（2，0） ，D（2，3） ， DEx 轴， DEQ 为等腰三角形， 当 QDQE时， 由旋转知，AEFEEF45， DEE90， ADE45， DEEE， 点 P 和点 E
39、重合， E（，） ， Q（，） ， 当 DEQE时，由（1）知，AEDE， 点 Q 和点 A 重合， Q（1，0） ， 当 DQDE时，设点 Q（n，n+1） ， 3， n2， Q（2，3）或（2+，3+） ， 即满足条件的点 Q 的坐标为（，）或（1，0）或（2，3）或（2+，3+） 25 （8 分）如图，在 RtABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，O 为 AB 上一点，经过点 A， D 的O 分别交 AB，AC 于点 E，F，连接 OF 交 AD 于点 G （1）求证：BC 是O 的切线； （2）求证：AD2ABAF； （3）若 BE8，sinB，求 AD 的长， 【
40、分析】 （1）先判断出 ODAC，得出ODB90，即可得出结论； （2）先判断出AEFB再判断出AEFADF，进而得出BADF，进而判断出ABD ADF，即可得出结论； （3）先利用三角函数求出O 的半径，进而求出 AE，AB，再判断出AEFB，进而利用三角函数求 出 AF，最后借助（2）的结论即可得出结论 【解答】解： （1）如图 1，连接 OD，则 OAOD， ODAOAD， AD 是BAC 的平分线， OADCAD， ODACAD， ODAC， ODBC90， 点 D 在O 上， BC 是O 的切线； （2）如图 2， 连接 OD，DF，EF， AE 是O 的直径， AFE90C， EFBC， BAEF， AEFADF， BADF， 由（1）知，BADDAF， ABDADF， ， AD2ABAF； （3）如图 3， 连接 OD，由（1）知，ODBC， BDO90， 设O 的半径为 R，则 OAODOER， BE8， OBBE+OE8+R， 在 RtBDO 中，sinB， sinB， R5， AE2OE10，ABBE+2OE18， 连接 EF，由（2）知，AEFB，AFEC90， sinAEFsinB， 在 RtAFE 中，sinAEF， AF 由（2）知，AD2ABAF18， AD
