1、2020 年湖南省长沙市中考数学仿真试卷（年湖南省长沙市中考数学仿真试卷（A 卷）卷） 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的请在答题卡中填涂符合题意的选项本一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的请在答题卡中填涂符合题意的选项本 大题共大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1计算32的结果是（ ） A9 B9 C6 D6 2下列运算正确的是（ ） A2a23a36a6 B2xa+xa3x2a2 C （2a）36a3 Da5a4a 3下面四个几何体中，主视图与其它几何体的主视图不同的是（ ） A B C D 4已知三角形
2、的两边长分别为 3cm 和 8cm，则此三角形的第三边的长可能是（ ） A4cm B5cm C6cm D13cm 5不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A B C D 6在一次献爱心的捐赠活动中，某班 45 名同学捐款金额统计如下： 金额（元） 20 30 35 50 100 学生数（人） 5 10 5 15 10 在这次活动中，该班同学捐款金额的众数和中位数分别是（ ） A30，35 B50，35 C50，50 D15，50 7下列说法错误的是（ ） A平分弦的直径垂直于弦 B圆内接四边形的对角互补 C任意三角形都有一个外接圆 D正 n 边形的中心角等于 8 九章算术中有“盈不足术”的问题，
3、原文如下： “今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足 三问人数，羊價各幾何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出 5 元，则差 45 元；每人出 7 元，则 差 3 元求人数和羊价各是多少？设买羊人数为 x 人，则根据题意可列方程为（ ） A5x+457x+3 B5x+457x3 C5x457x+3 D5x457x3 9如图，将三角尺的直角顶点放在直线 a 上，ab，150，260，则3 的度数为（ ） A50 B60 C70 D80 10如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 OA 过点（2，1） ，直线 OA 与 x 轴的夹角为 ，则 tan 的值为 （ ） A B C2 D 11
4、如图，O 的半径为 2，点 A 为O 上一点，半径 OD弦 BC 于 D，如果BAC60，那么 OD 的 长是（ ） A2 B C1 D 12二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论中，其中正确的有（ ） 2a+b0； a+bm（am+b） （m1 的实数） ； a+c2； 1x0 在中存在一个实数 x0，使得 x0 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13计算： 14分解因式 y34y2+4y 的结果为 15若关于 x 的方程是非负数，则 m 的取值范围是 16如图
5、，直线 yx+2 与双曲线相交于点 A，点 A 的纵坐标为 3，k 的值为 17如图，线段 AB、DC 分别表示甲、乙两座楼房的高，ABBC，DCBC，两建筑物间距离 BC30 米， 若甲建筑物高 AB28 米，在点 A 测得 D 点的仰角 45，则乙建筑物高 DC 米 18如图，直线 ykx+4 与 x，y 轴分别交于 A，B 两点，以 OB 为边在 y 轴左侧作等边三角形 OBC，将 OBC 沿 y 轴翻折后，点 C 的对应点 C恰好落在直线 AB 上，则 k 的值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，第个小题，第 19、20 题每小题题每小题 6 分，第分，第 21、
6、22 题每小题题每小题 6 分，第分，第 23、24 题每小题题每小题 6 分，第分，第 25、26 题每小题题每小题 6 分，共分，共 66 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19计算：|1|+（+1）0+（） 12sin60 20先化简，再求值： （），其中 a2 21湘江中学九年级开展了“读一本好书”的活动，通过抽样对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问 卷设置了“小说” “戏剧” “散文” “其他”四个类别，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了如图不完 整的频数分布表和扇形统计图 类别 频数（人数） 频率 小说 0.5
7、 戏剧 4 散文 10 0.25 其他 6 合计 m 1 请根据以上信息，解答下列问题： （1）计算：m ； （2）在扇形统计图中， “戏剧”类所占的百分比为 ； （3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从中任意选出 2 名同学参加学校的 戏剧社团，请用画树状图或列表的方法，求选取的 2 人恰好是乙和丙的概率 22如图所示，P 为正方形 ABCD 的边 AD 上的一个动点，AEBP，CFBP，垂足分别为点 E、F，已知 AD4 （1）证明：ABEBCF； （2）过点 P 作 PMFC 交 CD 于点 M，点 P 在何位置时线段 DM 最长，并求出此时 DM 的值 23某医
8、疗物资生产企业受疫情影响，一至三月份完全处于停产状态随着我国疫情得到有效控制，国家 号召加快复工复产的步伐为响应“大于三个月，实现双过半”号召，该企业从四月份开始全面提升产 能，到六月份，第二季度总产能可达到 400 万元已知，四月份的产能达到了 66 万，五月份的产能比六 月份少 80 万 （1）五、六月份的产能各是多少？ （2） “山川异城，风月同天” ，为支援国际社会的抗疫战斗，该企业对来自友邦的一份口罩订单，决定给 予捐助 300000 只口罩的支持，若口罩每只的成本为 2 元，售价每只 2.5 元，问这份订单的口罩数量至少 要多少只，本次交易才不会亏本？ 24我们把有一组对角的夹边分
9、别相等的四边形叫等腰四边形比如：如图 1，四边形 ABCD 中，若 AB AD，CDCB，则四边形 ABCD 为一个等腰四边形 （1）下列关于等腰四边形的说法正确的是： 等腰四边形的对角线互相垂直； 等腰四边形是轴对称图形； 是等腰四边形的平行四边形是菱形； 对角互补的等腰四边形是矩形 （2）已知A 的半径为 5，过A 外一点 P 作两条切线，切点分别为 B，C，若四边形 PBAC 的面积为 25，试判断四边形 PBAC 的形状，并证明你的结论 （3）平面直角坐标系 xOy 中（如图 2） ，已知直线 ykx+2 与 y（m0，x0）交于 A，B 两点，点 C（x，y）在第一象限，若四边形 C
10、AOB 是等腰四边形，试求 x，y 满足的关系式，并说明此时 k，m 的 取值情况 25已知：关于 x 的方程 x2+（m4）x3（m1）0 有两个不相等的实数根 （1）求 m 的取值范围； （2）抛物线 C：yx2（m4）x+3（m1）与 x 轴交于 A、B 两点若 m1 且直线 l1： 经过点 A，求抛物线 C 的函数解析式； （3）在（2）的条件下，直线 l1：绕着点 A 旋转得到直线 l2：ykx+b，设直线 l2与 y 轴交于 点 D，与抛物线 C 交于点 M（M 不与点 A 重合） ，当时，求 k 的取值范围 26如图，在平面直角坐标系中，M 与 x 轴相交于点 B（4，0） ，D
11、（2，0） ，与 y 轴相交于点 A（0，m） ， C（0，n） （1）求 mn 的值； （2）若抛物线 yx2+bx+c（b，c 为常数）经过点 B，C，点 E 在抛物线上当AED 的重心恰好是原 点 O 时，求该抛物线的解析式 （3）在（2）条件下，P 是抛物线上的动点问：直角平面坐标系中是否存在一点 Q，使得以 A，D，P， Q 为顶点的平行四边形的面积取最小？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 2020 年湖南省长沙市中考数学仿真试卷（年湖南省长沙市中考数学仿真试卷（A 卷）卷） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 1计算
12、32的结果是（ ） A9 B9 C6 D6 【分析】根据有理数的乘方的定义解答 【解答】解：329 故选：B 2下列运算正确的是（ ） A2a23a36a6 B2xa+xa3x2a2 C （2a）36a3 Da5a4a 【分析】 根据单项式乘单项式的运算法则、 合并同类项法则、 积的乘方和同底数幂的除法法则进行计算， 选择得到答案 【解答】解：2a23a36a5，A 错误； 2xa+xa3xa，B 错误； （2a）38a3，C 错误； a5a4a，D 正确， 故选：D 3下面四个几何体中，主视图与其它几何体的主视图不同的是（ ） A B C D 【分析】找到从正面看所得到的图形比较即可 【解答
13、】解：A、主视图为长方形； B、主视图为长方形； C、主视图为两个相邻的三角形； D、主视图为长方形； 故选：C 4已知三角形的两边长分别为 3cm 和 8cm，则此三角形的第三边的长可能是（ ） A4cm B5cm C6cm D13cm 【分析】已知三角形的两边长分别为 3cm 和 8cm，根据在三角形中任意两边之和第三边，任意两边之 差第三边；即可求第三边长的范围 【解答】解：设第三边长为 x，则由三角形三边关系定理得 83x8+3，即 5x11 因此，本题的第三边应满足 5x11，把各项代入不等式符合的即为答案 4，5，13 都不符合不等式 5x11，只有 6 符合不等式，故答案为 6c
14、m故选 C 5不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A B C D 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解 【解答】解：由得：x2由 2x3 得：x1所以不等式组的解集为1x2故选 C 6在一次献爱心的捐赠活动中，某班 45 名同学捐款金额统计如下： 金额（元） 20 30 35 50 100 学生数（人） 5 10 5 15 10 在这次活动中，该班同学捐款金额的众数和中位数分别是（ ） A30，35 B50，35 C50，50 D15，50 【分析】根据众数、中位数的定义，结合表格数据进行判断即可 【解答】解：捐款金额学生数最多的是 50 元， 故众数为 50； 共 45 名学生，中位
15、数在第 23 名学生处，第 23 名学生捐款 50 元， 故中位数为 50； 故选：C 7下列说法错误的是（ ） A平分弦的直径垂直于弦 B圆内接四边形的对角互补 C任意三角形都有一个外接圆 D正 n 边形的中心角等于 【分析】根据垂径定理、圆内接四边形的性质、正多边形的性质分别对各个选项进行判断即可 【解答】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 选项 A 符合题意； B、圆内接四边形的对角互补， 选项 B 不符合题意； C、任意三角形都有一个外接圆， 选项 C 不符合题意； D、正 n 边形的中心角等于， 选项 D 不符合题意； 故选：A 8 九章算术中有“盈不足术”的问题，原文如下：
16、 “今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足 三问人数，羊價各幾何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出 5 元，则差 45 元；每人出 7 元，则 差 3 元求人数和羊价各是多少？设买羊人数为 x 人，则根据题意可列方程为（ ） A5x+457x+3 B5x+457x3 C5x457x+3 D5x457x3 【分析】设买羊人数为 x 人，根据出资数不变列出方程 【解答】解：设买羊人数为 x 人，则根据题意可列方程为 5x+457x+3 故选：A 9如图，将三角尺的直角顶点放在直线 a 上，ab，150，260，则3 的度数为（ ） A50 B60 C70 D80 【分析】先根据三角形内角
17、和定理求出4 的度数，由对顶角的性质可得出5 的度数，再由平行线的性 质得出结论即可 【解答】解：BCD 中，150，260， 418012180506070， 5470， ab， 3570 故选：C 10如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 OA 过点（2，1） ，直线 OA 与 x 轴的夹角为 ，则 tan 的值为 （ ） A B C2 D 【分析】过点 C（2，1） ，作 CDx 轴于 D，则 OD2，CD1，由三角函数定义即可得出答案 【解答】解：过点 C（2，1）作 CDx 轴于 D，如图所示： 则 OD2，CD1， 在 RtOCD 中，tan； 故选：B 11如图，O 的半径为
18、 2，点 A 为O 上一点，半径 OD弦 BC 于 D，如果BAC60，那么 OD 的 长是（ ） A2 B C1 D 【分析】 由于BAC60， 根据圆周角定理可求BOC120， 又 ODBC， 根据垂径定理可知BOD 60，在 RtBOD 中，利用特殊三角函数值易求 OD 【解答】解：OD弦 BC， BDO90， BODA60， ODOB1， 故选：C 12二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论中，其中正确的有（ ） 2a+b0； a+bm（am+b） （m1 的实数） ； a+c2； 1x0 在中存在一个实数 x0，使得 x0 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分
19、析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案 【解答】解：由抛物线的对称轴可知：1， 由抛物线的图象可知：a0， b2a， 2a+b0，故正确； 当 x1 时，ya+b+c0， 当 yax2+bx+c0， x1 或 xm， 当 m1 时，a+bam2+bm，故错误； 由图象可知：x1，y2， 即 ab+c2， a+b+c0， b1， c1a a+ca+1a12，故错误； 由于 a+bca1， c0， a10， a1， 01， x01+， 11+0 1x00，故正确； 故选：B 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 13计算： 1 【分析】应用同分母分式的加减运算法则求解即可求得答案，注意要化
20、简 【解答】解：1 故答案为：1 14分解因式 y34y2+4y 的结果为 y（y2）2 【分析】先提取公因式 y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解 【解答】解：y34y2+4y， y（y24y+4） ， y（y2）2 15若关于 x 的方程是非负数，则 m 的取值范围是 m2 且 m1 【分析】方程去分母，移项合并，将 x 系数化为 1，表示出解，根据解为非负数求出 m 的范围即可 【解答】解：由原方程，得 x+m2x2， xm+2， 则 m+20，且 m+21， 解得 m2 且 m1 故答案为：m2 且 m1 16如图，直线 yx+2 与双曲线相交于点 A，点 A 的纵坐标为 3，
21、k 的值为 3 【分析】由于点 A 位于两函数图象的交点上，故将 y3 代入函数 yx+2，即可求出 A 的横坐标，从而 得到 A 的坐标，将 A 的坐标代入 y即可求出 k 的值 【解答】解：设 A 的坐标为（x，3） ； 将（x，3）代入 yx+2 得：3x+2， x1， 故 A 点坐标为（1，3） 将 A（1，3）代入 y得： k3， 故答案为 3 17如图，线段 AB、DC 分别表示甲、乙两座楼房的高，ABBC，DCBC，两建筑物间距离 BC30 米， 若甲建筑物高 AB28 米，在点 A 测得 D 点的仰角 45，则乙建筑物高 DC 58 米 【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三
22、角形本题涉及到两个直角三角形ADE、DBC，应借 助 AEBC 得到方程求解 【解答】解：过点 A 作 AECD 于点 E 根据题意，得DAE45，AEDEBC30 DCDE+ECDE+AB30+2858 米 故答案为：58 18如图，直线 ykx+4 与 x，y 轴分别交于 A，B 两点，以 OB 为边在 y 轴左侧作等边三角形 OBC，将 OBC 沿 y 轴翻折后，点 C 的对应点 C恰好落在直线 AB 上，则 k 的值为 【分析】由等边三角形的性质和折叠的性质得出ABOOBC60，由三角函数求出 OA，得出点 A 的坐标，代入直线 ykx+4 求出 k 即可 【解答】解：OBC 是等边三
23、角形， OBC60， 直线 ykx+4，当 x0 时，y4， B（0，4） ， OB4， 由折叠的性质得：ABOOBC60， AOB90， OAOB4， A（4，0） ， 把点 A（4，0）代入直线 ykx+4 得： 4k+40， 解得：k 故答案为： 三解答题三解答题 19计算：|1|+（+1）0+（） 12sin60 【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式1+13 3 20先化简，再求值： （），其中 a2 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数 的倒数将除法运算化为乘法运算，
24、约分后再通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，将 a 的值代入计算即可求出值 【解答】解：原式11， 当 a22 时，原式 21湘江中学九年级开展了“读一本好书”的活动，通过抽样对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问 卷设置了“小说” “戏剧” “散文” “其他”四个类别，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了如图不完 整的频数分布表和扇形统计图 类别 频数（人数） 频率 小说 0.5 戏剧 4 散文 10 0.25 其他 6 合计 m 1 请根据以上信息，解答下列问题： （1）计算：m 40 ； （2）在扇形统计图中， “戏剧”类所占的百分比为 10% ； （3）在调查问卷中，甲、乙
25、、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从中任意选出 2 名同学参加学校的 戏剧社团，请用画树状图或列表的方法，求选取的 2 人恰好是乙和丙的概率 【分析】 （1）用散文的频数除以其频率即可求得样本总数 m； （2）用喜欢戏剧的人数除以样本总数即可求得喜欢戏剧的百分比； （3） 画树状图得出所有等可能的情况数， 找出恰好是乙与丙的情况数， 然后根据概率公式即可得出答案 【解答】解： （1）喜欢散文的有 10 人，频率为 0.25， m100.2540； 故答案为：40； （2）喜欢戏剧的有 4 人， “戏剧”类所占的百分比为100%10%； 故答案为：10%； （3）画树状图，如图所示： 所有等可
26、能的情况有 12 种，其中恰好是乙与丙的情况有 2 种， 则 P（乙和丙） 22如图所示，P 为正方形 ABCD 的边 AD 上的一个动点，AEBP，CFBP，垂足分别为点 E、F，已知 AD4 （1）证明：ABEBCF； （2）过点 P 作 PMFC 交 CD 于点 M，点 P 在何位置时线段 DM 最长，并求出此时 DM 的值 【分析】 （1）由已知AEBBFC90，ABBC，结合ABEBCF，根据 AAS 可证明ABE BCF； （2）设 APx，则 PD4x，由已知DPMPAEABP，得出PDMBAP，列出关于 x 的一 元二次函数，求出 DM 的最大值 【解答】解： （1）由已知AE
27、BBFC90，ABBC， 又ABE+FBCBCF+FBC， ABEBCF， 在ABE 和BCF 中， ， ABEBCF（AAS） ； （2）设 APx，则 PD4x， 由已知DPMPAEABP， PDMBAP， ， 即， DMxx2， 当 x2 时，即点 P 是 AD 的中点时，DM 有最大值为 1 23某医疗物资生产企业受疫情影响，一至三月份完全处于停产状态随着我国疫情得到有效控制，国家 号召加快复工复产的步伐为响应“大于三个月，实现双过半”号召，该企业从四月份开始全面提升产 能，到六月份，第二季度总产能可达到 400 万元已知，四月份的产能达到了 66 万，五月份的产能比六 月份少 80
28、万 （1）五、六月份的产能各是多少？ （2） “山川异城，风月同天” ，为支援国际社会的抗疫战斗，该企业对来自友邦的一份口罩订单，决定给 予捐助 300000 只口罩的支持，若口罩每只的成本为 2 元，售价每只 2.5 元，问这份订单的口罩数量至少 要多少只，本次交易才不会亏本？ 【分析】 （1） 设五月份的产能为 x 万元， 六月份的产能为 y 万元， 根据 “五月份的产能比六月份少 80 万， 且第二季度总产能可达到 400 万元” ，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设这份订单的口罩数量为 m 只，根据利润销售收入成本，结合本次交易不亏本，即可得出关 于
29、m 的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论 【解答】解： （1）设五月份的产能为 x 万元，六月份的产能为 y 万元， 依题意得：， 解得： 答：五月份的产能为 127 万元，六月份的产能为 207 万元 （2）设这份订单的口罩数量为 m 只， 依题意得：2.5（x300000）2x0， 解得：x1500000 答：这份订单的口罩数量至少要 1500000 只，本次交易才不会亏本 24我们把有一组对角的夹边分别相等的四边形叫等腰四边形比如：如图 1，四边形 ABCD 中，若 AB AD，CDCB，则四边形 ABCD 为一个等腰四边形 （1）下列关于等腰四边形的说法正确的是： 等腰四边
30、形的对角线互相垂直； 等腰四边形是轴对称图形； 是等腰四边形的平行四边形是菱形； 对角互补的等腰四边形是矩形 （2）已知A 的半径为 5，过A 外一点 P 作两条切线，切点分别为 B，C，若四边形 PBAC 的面积为 25，试判断四边形 PBAC 的形状，并证明你的结论 （3）平面直角坐标系 xOy 中（如图 2） ，已知直线 ykx+2 与 y（m0，x0）交于 A，B 两点，点 C（x，y）在第一象限，若四边形 CAOB 是等腰四边形，试求 x，y 满足的关系式，并说明此时 k，m 的 取值情况 【分析】 （1）证明ACBACD（SSS） ，即可求解；ACBD，而 ABAD，CDCB，即四
31、边形 ABCD 的对称轴为 AC，即可求解；等腰四边形的邻边相等，即可求解；可以证明ADC180 9090，ABC90，但证明不出DABDCB，进而求解； （2） 根据 S等腰三角形PBAC252SABP2ABBP， 求出 PB5， 故 ABBPPCAC， 进而求解； （3）分 ACAO、BCBO，ACBC、AOBO 两种情况，利用轴对称的性质即可求解 【解答】解： （1）如图，连接 BD、AC 交于点 H， ABAD，CDCB，ACAC， ACBACD（SSS） ， DACBAC， ACBD， 即等腰四边形的对角线互相垂直，故正确，符合题意； ACBD， 而 ABAD，CDCB，即四边形 A
32、BCD 的对称轴为 AC， 即等腰四边形是轴对称图形正确，即正确，符合题意； 等腰四边形的邻边相等， 而邻边相等的平行四边形为菱形， 故正确，符合题意； 当DAB+DCB180时， 则DAC+DCA（DAB+DCB）90， 故ADC1809090， 同理可得ABC90， 而证明不出DABDCB， 故错误，不符合题意， 故答案为； （2）四边形 PBAC 为正方形； 证明：PB、PC 为圆 A 的切线， PBPC， 又ABAC，故四边形 PBAC 为等腰四边形， S等腰三角形PBAC252SABP2ABBP， 又AB5， PB5，故 ABBPPCAC， 四边形 PBAC 为菱形， 又ABP90，
33、 四边形 PBAC 为正方形； （3）四边形 CAOB 为等腰四边形，直线 ykx+2 与 y交于点 A、B， 则，则 kx2+2xm0 有两个不同的解， 0，即4+4km0，解得 mk1， 当 ACAO、BCBO 时，则 AB 是线段 OC 的垂直平分线， 直线 ykx+2 交 y 轴于点 D（0，2） ， 而点 D 在线段 OC 的垂直平分线 AB 上， DODC2， 点 C（x，y） ， x2+（y2）24，即 x2+y24y0， 此时 mk1，m0； 当 ACBC、AOBO 时，直线 OC 是线段 AB 的垂直平分线，即直线 OC 为等腰四边形的对称轴， 双曲线上的点 A、B 为直线
34、OC 的对称点， 又双曲线关于直线 yx 成轴对称， 直线 OC 与直线 yx 重合， yx，即直线 OC 的倾斜角为 45， 而 COAB，故直线 AB 与 x 轴负半轴的夹角为 45，故 k1， 而 mk1，故 0m1； 综上，当 x2+y24y0 时，四边形 CAOB 为等腰四边形，此时 mk1，m0； 当 yx 时，四边形 CAOB 为等腰四边形，此时 k1，0m1 25已知：关于 x 的方程 x2+（m4）x3（m1）0 有两个不相等的实数根 （1）求 m 的取值范围； （2）抛物线 C：yx2（m4）x+3（m1）与 x 轴交于 A、B 两点若 m1 且直线 l1： 经过点 A，求
35、抛物线 C 的函数解析式； （3）在（2）的条件下，直线 l1：绕着点 A 旋转得到直线 l2：ykx+b，设直线 l2与 y 轴交于 点 D，与抛物线 C 交于点 M（M 不与点 A 重合） ，当时，求 k 的取值范围 【分析】 （1） 方程有两个不等的实数根， 则判别式0， 据此即可得到关于 m 的不等式求得 m 的范围； （2） 求得抛物线与 x 轴的两个交点坐标， yx1 经过点 A 点， 则 A 可能是两个交点中的任意一个， 分两种情况进行讨论，把点的坐标代入直线的解析式，即可求得 m 的值； （3）设出 M 点的坐标，当点 M 在 A 点的右侧时，可得，据此即可求得 M 的横坐标，
36、则 M 的坐标可以得到，代入函数解析式，利用待定系数法即可求得 k 值； 当点 M 与 A 点重合时直线 l2与抛物线 C 只有一个公共点，则两个函数解析式组成的方程组，只有一个 解，利用根的判别式即可求解； 当点 M 在 A 点的左侧时，可证，可以求得 M 的横坐标，则 M 的坐标可以得到，代入函数 解析式，利用待定系数法即可求得 k 值 【解答】解： （1）（m4）243（m1）（m+2）2， 方程 x2+（m4）x3（m1）0 有两个不相等的实数根， 0， m2； （2）抛物线 yx2（m4）x+3（m1）中，令 y0， 则 x2+（m4）x3（m1）0， 解得：x13，x21m 抛物线
37、与 x 轴的交点坐标为（3，0）和（1m，0） ， 直线 l1：yx1 经过点 A， 当点 A 坐标为（3，0）时310， 解得 m， 当点 A 坐标为（1m，0）时，（1m）10， 解得 m2 或 m1， 又m1， m1 且 A（3，0） ， 抛物线 C 的解析式为 yx2+5x6； （3）设 M（xM，xM2+5xM6） ， 当点 M 在 A 点的右侧时，可证， 若，则， 此时 xM5，M（5，6） ， 过点 A 的直线 l2：ykx+b 的解析式为 ykx2k，M（5，6）时，5k2k6， 求得 k2； 当点 M 与 A 点重合时直线 l2与抛物线 C 只有一个公共点， 解得， 则 x2
38、+（k5）x+62k0， 令（k5）24（62k）0，求得 k1； 当点 M 在 A 点的左侧时， 可证， 若，则，此时 xM1，则 M 的坐标是： （1，12） ， 则k2k12，解得 k4 综上所述，当时2k4 且 k1 26如图，在平面直角坐标系中，M 与 x 轴相交于点 B（4，0） ，D（2，0） ，与 y 轴相交于点 A（0，m） ， C（0，n） （1）求 mn 的值； （2）若抛物线 yx2+bx+c（b，c 为常数）经过点 B，C，点 E 在抛物线上当AED 的重心恰好是原 点 O 时，求该抛物线的解析式 （3）在（2）条件下，P 是抛物线上的动点问：直角平面坐标系中是否存在
39、一点 Q，使得以 A，D，P， Q 为顶点的平行四边形的面积取最小？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）通过证明ADOBCO，可得，可求解； （2）先求出点 E 坐标，利用待定系数法可求解； （3） 利用待定系数法求出 AD 解析式， 设与直线 AD 平行的直线 L 为 yx+k 与抛物线 yx25x+8 只有一个交点 P 时，此时ADP 的面积最小，对应的平行四边形的面积2SADP，也最小，联立方程组 可求点 P 坐标，分三种情况讨论，由平行四边形的性质和中点坐标公式可求解 【解答】解： （1）如图 1，连接 BC，AD， 点 B（4，0） ，D（2，0） ，
40、点 A（0，m） ，C（0，n） ， OB4，OD2，AOm，OCn， CBODAO，COBDOA， ADOBCO， ， mn42， mn8； （2）AED 的重心恰好是原点 O，点 D（2，0） ，点 A（0，m） ， 点 E（2，m） ， 又抛物线 yx2+bx+c（b，c 为常数）经过点 B，C， ， 解得：m1，n8c，b5， 抛物线的解析式为 yx25x+8； （3）D（2，0） ，点 A（0，1） ， 直线 AD 的解析式为 yx1， 如图 2， 设与直线 AD 平行的直线 L 为 yx+k 与抛物线 yx25x+8 只有一个交点 P 时， 此时ADP 的面积最小，对应的平行四边形的面积2SADP，也最小， x25x+8x+k， 4（8k）0， k， 直线 L 解析式为：yx+， 联立方程组可得：， 解得：， 点 P（3，） ， 设点 Q（x，y） ， 当 AD 与 PQ 为对角线时，则， x5，y， 点 Q（5，） ； 当 AP 与 DQ 为对角线时，则， x5，y， 点 Q（5，） ； 当 AQ 与 PD 为对角线时，则， x1，y， 点 Q（1，） ； 综上所述：点 Q 坐标为（5，）或（5，）或（1，）
