1、2021 年湖南省长沙市中考数学仿真模拟试卷（一）年湖南省长沙市中考数学仿真模拟试卷（一） 一、单选题（本大题共一、单选题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 122 的绝对值等于（ ） A22 B C D22 2新冠病毒（2019nCoV）是一种新的 Sarbecovirus 亚属的 冠状病毒，它是一类具有囊膜的正链单股 RNA 病毒，也是自然界广泛存在的一大类病毒，其粒子形状并不规则，平均直径为 110nm（纳米） 1m 109nm，110nm 用科学记数法可以表示为（ ）m A0.11x10 6 B1.1x10 7 C11x10 8 D1.1x
2、10 11 3如图所示是一个几何体的三视图，这个几何体的名称是（ ） A圆柱体 B三棱锥 C球体 D圆锥体 4下列各式计算正确的是（ ） A+ B431 C236 D3 5下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B C D 6一组数据：3、2、4、2、5、3、2，这组数据的众数是（ ） A2 B3 C4 D5 7如图，在离地面高度 5m 处引拉线固定电线杆，拉线和地面成 60角（ ） A10m Bm Cm D5m 8下列调查中，适合普查的是（ ） A全国中学生的环保意识 B一批 LED 节能灯的使用寿命 C对“天宫二号”空间实验室零部件的检查 D白龟山水库水质的污染情况 9已知
3、三角形的两边 a3，b7，则下列长度的四条线段中能作为第三边 c 的是（ ） A3 B4 C7 D10 10四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，下列四组条件中，一定能判定四边形 ABCD 为平行四边 形的是（ ） AADBC BOAOC，OBOD CADBC，ABDC DACBD 11双曲线与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于 y 轴的直线分别交双曲线于 A、B 两 点，则AOB 的面积为（ ） A1 B2 C3 D4 12如图，直角梯形 ABCD 中，BADCDA90，CD2，过 A、 B、 D 三点的O 分别交 BC， 且 CE2，下列结论：DMCM；O 的直径
4、为 2；AE（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 13因式分解：12a23b2 14计算： 15已知扇形的半径为 3cm，面积为 6cm2，则该扇形的弧长等于 16某同学利用描点法画二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象时，列出的部分数据如下表： 序号 x 0 1 2 3 4 y 3 0 2 0 3 经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你找出错误的那组数据 （只填序号） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题，共个小题，共 72 分）分） 17计算：+（） 1|5|+ si
5、n45 18先化简（），然后从 1、2、3 中选取一个你认为合适的数作为 a 的值代入求值 19有一些代数问题，我们也可以通过几何方法进行求解，例如下面的问题： 已知：ab0，求证： 经过思考，小明给出了几何方法的证明，如图： 在直线 l 上依次取 ABa，BCb； 以 AC 为直径作半圆，圆心为 O； 过 B 点作直线 l 的垂线，与半圆交于点 D，连接 OD 请回答： （1）连接 AD，CD，由作图的过程判断，其依据是 ； （2）根据作图过程，试求线段 BD、OD（用 a，b 的代数式表示） ，请写出过程； （3）由 BDAC，可知 BDOD，其依据是 ，由此即证明了这个不等式 206 月
6、 26 日是“国际禁毒日” ，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动为了 解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了 10 名同学的成绩（满分为 100 分） ，95，95，90，80，90，85； 八年级 85，85，80，95，90，90，90 整理数据： 分数 人数 80 85 90 95 100 年级 七年级 2 2 3 2 1 八年级 1 2 4 a 1 分析数据： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 89 b 90 39 八年级 c 90 d 30 根据以上信息回答下列问题： （1）请直接写出表格中 a，b，c，d 的值； （2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好
7、？请说明理由； （3）该校七、八年级共有 600 人，本次竞赛成绩不低于 90 分的为“优秀” 估计这两个年级共有多少名 学生达到“优秀”？ 21动手操作： 如图，已知 ABCD，点 A 为圆心，分别交 AB，AC 于 E，再分别以点 E，F 为圆心EF 长为半径作圆 弧，两条圆弧交于点 P，交 CD 于点 M 问题解决： （1）若ACD78，求MAB 的度数； （2）若 CNAM，垂足为点 N，求证：CANCMN 实验探究： （3）直接写出当CAB 的度数为多少时？CAM 分别为等边三角形和等腰直角三角形 22某市教育局对某镇实施“教育精准扶贫” ，为某镇建了中、小两种图书馆若建立 3 个中
8、型图书馆和 5 个小型图书馆需要 30 万元，建立 2 个中型图书馆和 3 个小型图书馆需要 19 万元 （1）建立每个中型图书馆和每个小型图书馆各需要多少万元？ （2）现要建立中型图书馆和小型图书馆共 10 个，小型图书馆数量不多于中型图书馆数量，且总费用不 超过 44 万元 23如图，BC 是O 的直径，点 A 在O 上，垂足为 D，BE 分别交 AD、AC 延长线于点 F、G （1）过点 A 作直线 MN，使得 MNBG，判断直线 MN 与O 的位置关系 （2）若 AC3，AB4，求 BG 的长 （3）连接 CE，探索线段 BD、CD 与 CE 之间的数量关系，并说明理由 24 如 图
9、为 一 个 合 作 学 习 小 组 在 一 次 数 学 实 验 中 的 过 程 记 录 ， 请 阅 读 后 完 成 下 面 的 问 题 （1）在 RtABC 中，在探究三边关系时，通过画图，收集到，组数据如下表： （单位：厘米） AC 2.8 2.7 2.6 2.3 2 1.5 0.4 BC 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 AC+BC 3.2 3.5 3.8 3.9 4 3.9 3.2 （2）根据学习函数的经验，选取上表中 BC 和 AC+BC 的数据进行分析； 设 BCx，AC+BCy，以（x，y）为坐标； 连线； 观察思考： （3）结合表中的数据以及所面的图象，猜想当
10、x 时，y 最大； （4）进一步 C 猜想：若 RtMBC 中，C90，斜边 AB2a（a 为常数，a0） 时，AC+BC 最大 推理证明： （5）对（4）中的猜想进行证明 问题 1在图 1 中完善（2）的描点过程，并依次连线； 问题 2补全观察思考中的两个猜想： （3） ， （4） ； 问题 3证明上述（5）中的猜想； 问题 4 图 2 中折线 BEFGA 是一个感光元件的截面设计草图， 其中点 A， B 间的距离是 4 厘米， EFG90，平行光线从 AB 区域射入，线段 FM、FN 为感光区域，当 EF 的长度为多少时， 并求出最大值 25如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的
11、三个顶点 A（3，4） （3，0） 、C（1，0） 以 D 为顶点的抛物线 yax2+bx+c 过点 B动点 P 从点 D 出发，沿 DC 边向点 C 运动，同时动点 Q 从点 B 出 发，点 P、Q 运动的速度均为每秒 1 个单位，运动的时间为 t 秒过点 P 作 PECD 交 BD 于点 E，交抛 物线于点 G （1）求抛物线的解析式； （2）当 t 为何值时，四边形 BDGQ 的面积最大？最大值为多少？ （3）动点 P、Q 运动过程中，在矩形 ABCD 内（包括其边界）是否存在点 H，Q，E，H 为顶点的四边 形是菱形，若存在；若不存在，请说明理由 2021 年湖南省长沙市中考数学仿真模
12、拟试卷（一）年湖南省长沙市中考数学仿真模拟试卷（一） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单选题（本大题共一、单选题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 122 的绝对值等于（ ） A22 B C D22 【分析】利用绝对值的意义求解 【解答】解：|22|22 故选：D 2新冠病毒（2019nCoV）是一种新的 Sarbecovirus 亚属的 冠状病毒，它是一类具有囊膜的正链单股 RNA 病毒，也是自然界广泛存在的一大类病毒，其粒子形状并不规则，平均直径为 110nm（纳米） 1m 109nm，110nm 用科学记数法可以表示为（ ）m A0
13、.11x10 6 B1.1x10 7 C11x10 8 D1.1x10 11 【分析】绝对值小于 1 的正数用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数法不同的 是其所使用的是负整指数幂，指数 n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：110nm11010 9m1.2107m， 故选：B 3如图所示是一个几何体的三视图，这个几何体的名称是（ ） A圆柱体 B三棱锥 C球体 D圆锥体 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形 【解答】解：由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体， 由俯视图为圆可得为圆柱体 故选：
14、A 4下列各式计算正确的是（ ） A+ B431 C236 D3 【分析】分别根据二次根式有关的运算法则，化简分析得出即可 【解答】解：A.，无法计算， B.83， C.23，故此选项错误， D.，此选项正确， 故选：D 5下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意 故选：C 6一组数据：3、2、4、2、5、3、2，这组数据的众数是（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】根据众数的定义
15、即可求出这组数据的众数 【解答】解：在这组数据中 2 出现了 3 次，出现的次数最多； 故选：A 7如图，在离地面高度 5m 处引拉线固定电线杆，拉线和地面成 60角（ ） A10m Bm Cm D5m 【分析】利用 60的正弦值求解即可 【解答】解：CDAB 且 CD5，AB60， AC 故选：B 8下列调查中，适合普查的是（ ） A全国中学生的环保意识 B一批 LED 节能灯的使用寿命 C对“天宫二号”空间实验室零部件的检查 D白龟山水库水质的污染情况 【分析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查 结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无
16、破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很 多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就 应选择抽样调查 【解答】解：A、全国中学生的环保意识，故 A 错误； B、一批 LED 节能灯的使用寿命，故 B 错误； C、对“天宫二号”空间实验室零部件的检查，故 C 正确； D、白龟山水库水质的污染情况，故 D 错误； 故选：C 9已知三角形的两边 a3，b7，则下列长度的四条线段中能作为第三边 c 的是（ ） A3 B4 C7 D10 【分析】ABC 的两边 a、b 之和是 10，a、b 之差是 4根据在三角形中任意两边之和第三边，任意 两边之差第三
17、边；即可求第三边长 c 的范围，然后由 c 的范围来作出选择 【解答】解：设三角形的两边长分别为 a、b，第三边是 c a+b10、ab4， 4c10 故选：C 10四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，下列四组条件中，一定能判定四边形 ABCD 为平行四边 形的是（ ） AADBC BOAOC，OBOD CADBC，ABDC DACBD 【分析】由平行四边形的判定定理即可得出答案 【解答】解：OAOC，OBOD， 四边形 ABCD 是平行四边形； 故选：B 11双曲线与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于 y 轴的直线分别交双曲线于 A、B 两 点，则AOB 的面积为
18、（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】如果设直线 AB 与 x 轴交于点 C，那么AOB 的面积AOC 的面积COB 的面积根据反 比例函数的比例系数 k 的几何意义，知AOC 的面积5，COB 的面积3，从而求出结果 【解答】解：设直线 AB 与 x 轴交于点 C ABy 轴， ACx 轴，BCx 轴 点 A 在双曲线 y的图象上104 点 B 在双曲线 y的图象上63 AOB 的面积AOC 的面积COB 的面积732 故选：B 12如图，直角梯形 ABCD 中，BADCDA90，CD2，过 A、 B、 D 三点的O 分别交 BC， 且 CE2，下列结论：DMCM；O 的直径为 2；AE（
19、 ） A B C D 【分析】连接 BD，BM，AM，EM，DE，由 90 度角所对的弦为直径，得到 BD 为圆的直径，再利用直径 所对的圆周角为直角，得到BMD 为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形得到 ABMD 为矩形，利 用矩形的对边相等得到 ABDM，而 DC2AB，等量代换得到 CD2DM，可得出 M 为 DC 的中点，即 DMCM， 故选项正确； 由 AB 与 MC 平行且相等， 利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形， 得到四边形 AMCB 为平行四边形，可得出 AMBC，而 BDAM，等量代换得到 BCBD，由 BD 为圆 的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到三角形 D
20、EC 为直角三角形，由 DC 与 EC 的长，利用勾股定 理求出 DE 的长，设 BEx，则 BDBCBE+ECx+2，在直角三角形 BDE 中，利用勾股定理列出关 于 x 的方程，求出方程的解得到 x 的值，确定出 BC 的长，即为 BD 的长，确定出圆的直径，即可对于选 项作出判断；在直角三角形 DEC 中，由 M 为 CD 的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到 DM 与 EM 相等，都等于 DC 的一半，利用等弦所对的劣弧相等，得到弧 DM弧 EM，同时由 ABDM，得 到弧 AB弧 DM，等量代换得到弧 AB弧 EM，故选项正确；在直角三角形 AEM 中，由 AM 与 ME 的长
21、，利用勾股定理求出 AE 的长，即可对于选项作出判断 【解答】解：连接 BD，BM，EM， BAD90， BD 为圆的直径， BMD90， BADCDABMD90， 四边形 ABMD 矩形， ABDM， 又CD2AB， CD2DM，即 DMMC； 故选项正确； ABMC，ABMC， 四边形 ABCM 是平行四边形， AMBC，又 BDAM， BDBC， BD 是直径， BED90，即DEC90， 又 EC6，DC2， 根据勾股定理得：DE2， 设 BEx，BDBCBE+ECx+2， 在 RtBDE 中，根据勾股定理得：BE2+DE6BD2，即 x2+20（x+5）2， 解得：x4， BD2，故
22、选项错误； 在 RtDEC 中，M 是 DC 中点， EMDMCD， 弧 EM弧 DM， 又ABDM， 弧 AB弧 DM， 弧 AB弧 EM， 故选项正确； 在 RtAEM 中，AM6， 根据勾股定理得：AE； 故选项正确； 则正确的选项为： 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 13因式分解：12a23b2 3（2a+b） （2ab） 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式3（4a4b2） 3（3a+b） （2ab） 故答案为：3（5a+b） （2ab） 14计算： 【分析】根据分式
23、的除法法则即可求出答案 【解答】解：原式 （a+3） ， 故答案为： 15已知扇形的半径为 3cm，面积为 6cm2，则该扇形的弧长等于 4cm 【分析】将已知的半径及面积代入扇形的面积公式 Srl（r 为扇形半径，l 为扇形的弧长）中计算，即 可得到扇形的弧长 【解答】解：r3cm，S6cm5，且 Srl， l4 （cm） 故答案为：5cm 16某同学利用描点法画二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象时，列出的部分数据如下表： 序号 x 0 1 2 3 4 y 3 0 2 0 3 经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你找出错误的那组数据 （只填序号） 【分析】观察图表数据，根据二
24、次函数的对称性即可判断出计算错误的一组数据，然后再利用待定系数 法求出二次函数解析式，进行验证 【解答】解：由图表数据可知，、两点关于直线 x2 对称， 、两点关于直线 x2 对称， 所以，计算错误的一组数据应该是， 验证：由数据可得， 解得， 该二次函数解析式为 yx34x+3， 当 x4 时，y2272+332， 所以数据计算错误 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题，共个小题，共 72 分）分） 17计算：+（） 1|5|+ sin45 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质和立方根的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式2+23+ 2+22
25、+1 4 18先化简（），然后从 1、2、3 中选取一个你认为合适的数作为 a 的值代入求值 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案 【解答】解：原式 要使原分式有意义，故 a6， 当 a3时，原式2 19有一些代数问题，我们也可以通过几何方法进行求解，例如下面的问题： 已知：ab0，求证： 经过思考，小明给出了几何方法的证明，如图： 在直线 l 上依次取 ABa，BCb； 以 AC 为直径作半圆，圆心为 O； 过 B 点作直线 l 的垂线，与半圆交于点 D，连接 OD 请回答： （1）连接 AD，CD，由作图的过程判断，其依据是 直径所对的圆周角是直角 ； （2）根据作图过程，试求线段 BD
26、、OD（用 a，b 的代数式表示） ，请写出过程； （3）由 BDAC，可知 BDOD，其依据是 垂线段最短 ，由此即证明了这个不等式 【分析】 （1）由作图可知 AC 为直径，直径所对的圆周角是直角，可得ADC90，答案可得； （2）易证ABDDBC，相似三角形对应边成比例可得比例式，将 Aa，b 代入可求 BD，依据直径的 大小可求半径 OD； （3）由连接直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短，根据 BDAC，可知 BDOD，故答 案可得 【解答】解： （1）AC 为直径， ADC90（直径所对的圆周角是直角） 故答案为：直径所对的圆周角是直角； （2）BDAC， ABDCBD9
27、0 BAD+ADB90 ADC90， CDB+ADB90 BADCDB ABDDBC BD2ABBCab BD ABa，BCb， ACa+b OD （3）BDAC， BDOD（直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短） 故答案为：垂线段最短 206 月 26 日是“国际禁毒日” ，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动为了 解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了 10 名同学的成绩（满分为 100 分） ，95，95，90，80，90，85； 八年级 85，85，80，95，90，90，90 整理数据： 分数 人数 年级 80 85 90 95 100 七年级 2 2 3
28、 2 1 八年级 1 2 4 a 1 分析数据： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 89 b 90 39 八年级 c 90 d 30 根据以上信息回答下列问题： （1）请直接写出表格中 a，b，c，d 的值； （2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由； （3）该校七、八年级共有 600 人，本次竞赛成绩不低于 90 分的为“优秀” 估计这两个年级共有多少名 学生达到“优秀”？ 【分析】 （1）根据提供数据确定八年级 95 分的人数，利用众数中位数及平均数分别确定其他未知数的值 即可； （2）利用平均数、众数及方差确定哪个年级的成绩好即可； （3）用样本的平均数估计总体的平均
29、数即可 【解答】解： （1）观察八年级 95 分的有 2 人，故 a2； 七年级的中位数为，故 b90； 八年级的平均数为：85+85+95+80+95+90+90+90+100+9090； 八年级中 90 分的最多，故 d90； （2）七、八年级学生成绩的中位数和众数相同，且从方差看，综上； （3）600390（人） ， 估计该校七、八年级这次竞赛达到优秀的有 390 人 21动手操作： 如图，已知 ABCD，点 A 为圆心，分别交 AB，AC 于 E，再分别以点 E，F 为圆心EF 长为半径作圆 弧，两条圆弧交于点 P，交 CD 于点 M 问题解决： （1）若ACD78，求MAB 的度数；
30、 （2）若 CNAM，垂足为点 N，求证：CANCMN 实验探究： （3）直接写出当CAB 的度数为多少时？CAM 分别为等边三角形和等腰直角三角形 【分析】 （1）利用平行线的性质求出CAB，再根据角平分线的定义即可解决问题； （2）根据 AAS 即可判断； （3）根据等边三角形、等腰直角三角形的定义即可判定； 【解答】解： （1）ABCD， ACD+CAB180， 又ACD78， CAB102 由作法知，AM 是CAB 的平分线， MABCAB51； （2）证明：由作法知，AM 平分CAB， CAMMAB ABCD， MABCMA， CAMCMA， CNAM， CNACNM90 又CNCN
31、， CANCMN （3）当CAB 为 120时，CAM 为等边三角形 当CAB 为 90时，CAM 为等腰直角三角形 22某市教育局对某镇实施“教育精准扶贫” ，为某镇建了中、小两种图书馆若建立 3 个中型图书馆和 5 个小型图书馆需要 30 万元，建立 2 个中型图书馆和 3 个小型图书馆需要 19 万元 （1）建立每个中型图书馆和每个小型图书馆各需要多少万元？ （2）现要建立中型图书馆和小型图书馆共 10 个，小型图书馆数量不多于中型图书馆数量，且总费用不 超过 44 万元 【分析】 （1）设建立每个中型图书馆 x 万元，建立每个小型图书馆 y 万元，根据建立 3 个中型图书馆和 5 个小
32、型图书馆需要 30 万元，建立 2 个中型图书馆和 3 个小型图书馆需要 19 万元，列方程组求解 （2）设建立中型图书馆 a 个，根据要建立中型图书馆和小型图书馆共 10 个，小型图书馆数量不多于中 型图书馆数量，且总费用不超过 44 万元，列出不等式组求解 【解答】解： （1）设建立每个中型图书馆 x 万元，建立每个小型图书馆 y 万元， 根据题意列方程组： 解得： 答：建立每个中型图书馆需要 5 万元，建立每个小型图书馆需要 3 万元 （2）设建立中型图书馆 a 个， 根据题意得： 解得：5a3 a 取正整数， a5，6，6 10a5，4，6 答：一共有 3 种方案： 方案一：中型图书馆
33、 5 个，小型图书馆 8 个； 方案二：中型图书馆 6 个，小型图书馆 4 个； 方案三：中型图书馆 2 个，小型图书馆 3 个 23如图，BC 是O 的直径，点 A 在O 上，垂足为 D，BE 分别交 AD、AC 延长线于点 F、G （1）过点 A 作直线 MN，使得 MNBG，判断直线 MN 与O 的位置关系 （2）若 AC3，AB4，求 BG 的长 （3）连接 CE，探索线段 BD、CD 与 CE 之间的数量关系，并说明理由 【分析】 （1）根据平行线的性质得到NAGG，等量代换得到NAGFAG，NACBAO，求 得 OAMN，即可得到结论； （2）连接 AE，根据圆周角定理得到AEBA
34、CB，根据等腰三角形的性质得到ABEAEB，根据 相似三角形的性质即可得到结论； （3）连接 CE，在 BC 上截取 BHCE，连接 AH，根据全等三角形的性质即可得到结论 【解答】解： （1）直线 MN 与O 相切， 理由：MNBG， NAGG， NAGFAG， BACADC90， CADABO， OAOB， OABABO， CADBAO， NACBAO， BAO+OAC90， NAC+OAC90， OAMN， 直线 MN 与O 相切； （2）解：连接 AE， ， ABAE， AEBACB， ABAE， ABEAEB， ACBABE， BACGAB， ABCAGB， ， BC 是O 的直径，
35、 BAC90， AC3，AB4， BC6， ， BG； （3）解：BDCE+CD， 理由：连接 CE， 在 BC 上截取 BHCE，连接 AH， ABAE， 又ABCAEC， ABHAEC（SAS） ， AHAC， 又ADBC， HDCD， BDBH+HDCE+CD 24 如 图 为 一 个 合 作 学 习 小 组 在 一 次 数 学 实 验 中 的 过 程 记 录 ， 请 阅 读 后 完 成 下 面 的 问 题 （1）在 RtABC 中，在探究三边关系时，通过画图，收集到，组数据如下表： （单位：厘米） AC 2.8 2.7 2.6 2.3 2 1.5 0.4 BC 0.4 0.8 1.2
36、1.6 2 2.4 2.8 AC+BC 3.2 3.5 3.8 3.9 4 3.9 3.2 （2）根据学习函数的经验，选取上表中 BC 和 AC+BC 的数据进行分析； 设 BCx，AC+BCy，以（x，y）为坐标； 连线； 观察思考： （3）结合表中的数据以及所面的图象，猜想当 x 2 时，y 最大； （4）进一步 C 猜想：若 RtMBC 中，C90，斜边 AB2a（a 为常数，a0） a 时，AC+BC 最大 推理证明： （5）对（4）中的猜想进行证明 问题 1在图 1 中完善（2）的描点过程，并依次连线； 问题 2补全观察思考中的两个猜想： （3） x2 ， （4） BCa ； 问题
37、3证明上述（5）中的猜想； 问题 4 图 2 中折线 BEFGA 是一个感光元件的截面设计草图， 其中点 A， B 间的距离是 4 厘米， EFG90，平行光线从 AB 区域射入，线段 FM、FN 为感光区域，当 EF 的长度为多少时， 并求出最大值 【分析】问题 1：利用描点法解决问题即可 问题 2：利用图象法解决问题即可 问题 3：设 BCx，AC+BCy，根据一元二次方程，利用根的判别式解决问题即可 问题 4：延长 AM 交 EF 的延长线于 C，过点 A 作 AHEF 于 H，过点 B 作 BKGF 于 K 交 AH 于 Q证 明 FN+FMEF+FGENGMBK+AHBQ+AQ+KQ
38、+QHBQ+AQ+2， 求出 BQ+AQ 的最大值即可解决问题 【解答】解：问题 1：函数图象如图所示： 问题 2： （3）观察图象可知，x5 时 （4）猜想：BCa 故答案为：x2，BCa 问题 3：设 BCx，AC+BCy， 在 RtABC 中，C90 AC， yx+， yx， y22xy+x44a2x7， 2x28xy+y24a20， 关于 x 的一元二次方程有实数根， 4y442（y54a2）2， y28a7， y0，a0， y4a， 当 y2a 时 24 ax+4a26 （x2a）20， x1x6a， 当 BCa 时 问题 3：延长 AM 交 EF 的延长线于 C，过点 A 作 AH
39、EF 于 H 在 RtBNE 中，E90，BE1cm， tanBNE， NE（cm） ， AMBN， C60， GFE90， CMF30， AMG30， G90，AG1cm， 在 RtAGM 中，tanAMG， GM（cm） ， GGFH90，AHF90， 四边形 AGFH 为矩形， AHFG， GFHE90，BKF90 四边形 BKFE 是矩形， BKFE， FN+FMEF+FGENGMBK+AHBQ+AQ+KQ+QH， 在 RtABQ 中，AB2cm， 由问题 3 可知，当 BQAQ2，AQ+BQ 的值最大）cm， BQAQ2时，FN+FM 的最大值为（4）cm）cm 25如图，在平面直角
40、坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 A（3，4） （3，0） 、C（1，0） 以 D 为顶点的抛物线 yax2+bx+c 过点 B动点 P 从点 D 出发，沿 DC 边向点 C 运动，同时动点 Q 从点 B 出 发，点 P、Q 运动的速度均为每秒 1 个单位，运动的时间为 t 秒过点 P 作 PECD 交 BD 于点 E，交抛 物线于点 G （1）求抛物线的解析式； （2）当 t 为何值时，四边形 BDGQ 的面积最大？最大值为多少？ （3）动点 P、Q 运动过程中，在矩形 ABCD 内（包括其边界）是否存在点 H，Q，E，H 为顶点的四边 形是菱形，若存在；若不存在，请说明理由 【分析
41、】 （1）先求得点 D 的坐标，设抛物线的解析式为 ya （x+1）2+4（a0） ，将点 B 的坐标代入可 求得 a 的值，故此可得到抛物线的解析式； （2）由题意知，DPBQt，然后证明DPEDBC，可得到 PEt，然后可得到点 E 的横坐标（用 含 t 的式子表示） ，接下来可求得点 G 的坐标，然后依据 S四边形BDGQSBQG+SBEG+SDEG，列出四边形 的面积与 t 的函数关系式，然后依据利用配方法求解即可； （3） 首先用含 t 的式子表示出 DE 的长， 当 BE 和 BQ 为菱形的邻边时， 由 BEQB 可列出关于 t 的方程， 从而可求得 t 的值，然后可求得菱形的周长
42、；当 BE 为菱形的对角时，则 BQQE，过点 Q 作 QMBE， 则 BMEM然后用含 t 的式子表示出 BE 的长，最后利用 BE+EDBD 列方程求解即可 【解答】解： （1）由题意得，顶点 D 点的坐标为（1 设抛物线的解析式为 ya（x+1）5+4（a0） ， 抛物线经过点 B（7，0）（x+1）8+4 可求得 a1 抛物线的解析式为 y（x+4）2+4，即 yx32x+3 （2）由题意知，DPBQt， PEBC， DPEDBC 4， PEDPt 点 E 的横坐标为1t，AF2t 将 x1t 代入 y（x+1）4+4，得 yt2+4 点 G 的纵坐标为t2+5， GEt2+4（4t）
43、t2+t 如图 5 所示：连接 BG S四边形BDGQSBQG+SBEG+SDEG，即 S四边形BDGQBQAF+ t（2t4+t t6+2t（t2）2+8 当 t2 时，四边形 BDGQ 的面积最大 （3）存在 CD4，BC6， tanBDC，BD4 cosBDC BQDPt， DEt 如图 2 所示：当 BE 和 BQ 为菱形的邻边时，BEQB BEBDDE， BQBDDE，即 t2t 菱形 BQEH 的周长8032 如图 3 所示：当 BE 为菱形的对角时，则 BQQE，则 BMEM MBcosQBMBQ， MBt BEt BE+DEBD， t+，解得：t 菱形 BQEH 的周长为 综上所述，菱形 BQEH 的周长为
